Номер 113, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

113. На рисунке 24 $DE \parallel AC$, $FK \parallel AB$. Укажите, какие треугольники на этом рисунке подобны.

Рис. 23

Рис. 24

Для определения подобных треугольников на рисунке воспользуемся признаком подобия по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Условия параллельности прямых $DE \parallel AC$ и $FK \parallel AB$ позволяют нам найти такие равные углы.

Подобие треугольников $DBE$ и $ABC$

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$. По условию, прямая $DE$ параллельна стороне $AC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle BDE$ и $\angle BAC$ равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, по двум равным углам, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$.

$\triangle DBE \sim \triangle ABC$

Подобие треугольников $FCK$ и $ABC$

Рассмотрим треугольники $FCK$ и $ABC$. По условию, прямая $FK$ параллельна стороне $AB$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle CFK$ и $\angle CBA$ равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых $FK$ и $AB$ и секущей $BC$.

Следовательно, по двум равным углам, треугольник $FCK$ подобен треугольнику $ABC$.

$\triangle FCK \sim \triangle ABC$

Подобие треугольника $FME$

Из доказанных выше подобий следует, что $\triangle DBE \sim \triangle FCK$ (по свойству транзитивности, так как оба подобны $\triangle ABC$).

Теперь рассмотрим $\triangle FME$.

Так как $DE \parallel AC$, то и отрезок $ME \parallel KC$. В треугольнике $\triangle FKC$ прямая $ME$ параллельна стороне $KC$. Следовательно, малый треугольник $\triangle FME$ подобен большому $\triangle FKC$.

• Угол $\angle F$ у них общий.
• Углы $\angle FME$ и $\angle FKC$ равны как соответственные при параллельных прямых $ME$ и $KC$ и секущей $FK$.

Таким образом, $\triangle FME \sim \triangle FKC$. А поскольку $\triangle FKC \sim \triangle ABC$, то и $\triangle FME$ подобен всем трём треугольникам: $\triangle ABC$, $\triangle DBE$ и $\triangle FCK$.

Подобие треугольников $BDM$ и $BAK$

Рассмотрим треугольник $BAK$. Так как $DE \parallel AC$, то и отрезок $DM \parallel AK$. Прямая $DM$ параллельна стороне $AK$ треугольника $BAK$.

• Угол $\angle B$ является общим для треугольников $BDM$ и $BAK$.
• Углы $\angle BDM$ и $\angle BAK$ равны как соответственные при параллельных прямых $DM$ и $AK$ и секущей $AB$.

Следовательно, по двум равным углам, $\triangle BDM \sim \triangle BAK$.

Ответ: На рисунке подобны следующие треугольники:

1. Группа из четырех треугольников, подобных друг другу: $\triangle ABC \sim \triangle DBE \sim \triangle FCK \sim \triangle FME$.

2. Пара подобных треугольников: $\triangle BDM \sim \triangle BAK$.