Номер 112, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

112. Биссектрисы углов $B$ и $C$ прямоугольника $ABCD$ пересекают сторону $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $BM = CK$.

Поскольку ABCD является прямоугольником, все его углы равны $90^\circ$, а противоположные стороны равны. То есть, $∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90^\circ$ и $AB = CD$.

Так как BM — биссектриса угла B, она делит этот угол на два равных угла:
$∠ABM = ∠CBM = \frac{∠B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Аналогично, CK — биссектриса угла C, поэтому:
$∠BCK = ∠DCK = \frac{∠C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM (поскольку $∠A = 90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол AMB:
$∠AMB = 180^\circ - ∠A - ∠ABM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как $∠ABM = ∠AMB = 45^\circ$, треугольник ABM является равнобедренным. Следовательно, его боковые стороны равны: $AM = AB$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DCK (поскольку $∠D = 90^\circ$). Найдем угол DKC:
$∠DKC = 180^\circ - ∠D - ∠DCK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как $∠DCK = ∠DKC = 45^\circ$, треугольник DCK также является равнобедренным. Следовательно, $DK = CD$.

Сравним треугольники ABM и DCK. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):
1. $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника).
2. $AM = DK$ (поскольку $AM = AB$, $DK = CD$ и $AB = CD$).
3. $∠A = ∠D = 90^\circ$ (как углы прямоугольника).
Таким образом, $△ABM ≅ △DCK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны BM и CK являются гипотенузами в этих треугольниках и лежат напротив равных углов (A и D), значит, они являются соответствующими сторонами. Следовательно, $BM = CK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = CK$ доказано.