Номер 111, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

111. Дороги из сёл A и B сходятся у развилки C (рис. 23). Дорога из села A до развилки образует с дорогой из села A в село B угол $30^\circ$, а дорога из села B до развилки образует с дорогой из села B в село A угол $70^\circ$. Одновременно из села A в направлении развилки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села B — автобус со скоростью 60 км/ч. Автомобиль или автобус первым доедет до развилки?

Рис. 23

Чтобы определить, кто первым доедет до развилки C — автомобиль из села A или автобус из села B, — необходимо сравнить время их движения до этой точки. Обозначим дороги как стороны треугольника $ABC$, где $A$ и $B$ — сёла, а $C$ — развилка.

По условию задачи нам даны:
- Скорость автомобиля, выехавшего из села A: $v_A = 90$ км/ч.
- Скорость автобуса, выехавшего из села B: $v_B = 60$ км/ч.
- Угол, который образует дорога AC (из A к развилке) с дорогой AB: $\angle A = 30^\circ$.
- Угол, который образует дорога BC (из B к развилке) с дорогой AB: $\angle B = 70^\circ$.

Время движения для автомобиля ($t_A$) и автобуса ($t_B$) вычисляется по формулам:
$t_A = \frac{AC}{v_A} = \frac{AC}{90}$
$t_B = \frac{BC}{v_B} = \frac{BC}{60}$
где $AC$ и $BC$ — это длины соответствующих дорог.

Чтобы сравнить время $t_A$ и $t_B$, нам нужно найти соотношение между расстояниями $AC$ и $BC$. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения углов:
$\frac{AC}{\sin(70^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}$

Отсюда выразим отношение сторон:
$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Теперь сравним время в пути. Автомобиль приедет первым, если его время в пути меньше ($t_A < t_B$). Это условие эквивалентно неравенству $\frac{AC}{90} < \frac{BC}{60}$.
Умножим обе части неравенства на 180 (наименьшее общее кратное 90 и 60), чтобы избавиться от дробей:
$2 \cdot AC < 3 \cdot BC$
Разделив на $BC$ и на 2, получим:
$\frac{AC}{BC} < \frac{3}{2}$ или $\frac{AC}{BC} < 1.5$

Проверим, выполняется ли это неравенство, подставив в него наше соотношение сторон:
$\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)} < 1.5$
Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:
$\frac{\sin(70^\circ)}{0.5} < 1.5$
$2 \cdot \sin(70^\circ) < 1.5$
$\sin(70^\circ) < 0.75$

Оценим значение $\sin(70^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
Поскольку функция синуса является возрастающей на интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$, и $70^\circ > 60^\circ$, то $\sin(70^\circ) > \sin(60^\circ)$.
Следовательно, $\sin(70^\circ) > 0.866$. А так как $0.866 > 0.75$, то и $\sin(70^\circ) > 0.75$.

Наше неравенство $\sin(70^\circ) < 0.75$ оказалось ложным. Это означает, что первоначальное предположение ($t_A < t_B$) неверно. Следовательно, верно обратное неравенство:
$t_A > t_B$
Время в пути у автомобиля больше, чем у автобуса, поэтому автобус приедет на развилку раньше.

Ответ: Автобус первым доедет до развилки.