Номер 104, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

104. Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим стороны треугольника, прилежащие к этому углу, как $AB = c$ и $AC = b$. Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD$ и $DC$.

Поскольку $AD$ — биссектриса, она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим к нему теорему синусов: $$ \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Подставив известные обозначения, получим: $$ \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\angle ADB)} $$ Из этого соотношения выразим длину отрезка $BD$: $$ BD = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Аналогично применим к нему теорему синусов: $$ \frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Подставив известные обозначения, получим: $$ \frac{DC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\angle ADC)} $$ Выразим длину отрезка $DC$: $$ DC = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADC)} $$

Теперь составим отношение длин отрезков $BD$ и $DC$, используя полученные выражения: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{\frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)}}{\frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\angle ADC)}} $$ Сократим общий множитель $\sin(\alpha)$: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle ADC)}{\sin(\angle ADB)} $$

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол при точке $D$ на прямой $BC$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ $$ Для синусов смежных углов справедливо равенство $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$. Таким образом, мы можем написать: $$ \sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle ADB) = \sin(\angle ADB) $$

Подставим это равенство в полученное ранее отношение: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\sin(\angle ADB)}{\sin(\angle ADB)} $$ Сократив $\sin(\angle ADB)$, окончательно получаем: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} $$ Заменив $c$ и $b$ на $AB$ и $AC$ соответственно, мы приходим к равенству: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$ Это доказывает, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.