Номер 102, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

102. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите биссектрису $BD$ треугольника.

Для нахождения длины биссектрисы $BD$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся известными данными: сторона $AC = b$, $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$.

1. Найдем угол $B$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан), поэтому: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = \pi - (\alpha + \gamma)$.

2. Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, он делит этот угол на две равные части: $\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{\pi - (\alpha + \gamma)}{2}$.

3. Для дальнейших вычислений нам понадобится длина одной из сторон, прилежащих к углу $B$, например, стороны $AB$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$ Подставим известные значения: $\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\pi - (\alpha + \gamma))}$ Используя формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем: $\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{b}{\sin(\alpha + \gamma)}$ Отсюда выразим длину стороны $AB$: $AB = \frac{b \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma)}$

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Чтобы применить к нему теорему синусов и найти $BD$, нам нужно знать угол, противолежащий стороне $AB$, то есть $\angle ADB$. $\angle ADB = 180^\circ - (\angle A + \angle ABD) = \pi - \left(\alpha + \frac{\pi - (\alpha + \gamma)}{2}\right)$ Приведем к общему знаменателю выражение в скобках: $\angle ADB = \pi - \frac{2\alpha + \pi - \alpha - \gamma}{2} = \pi - \frac{\pi + \alpha - \gamma}{2}$ $\angle ADB = \frac{2\pi - (\pi + \alpha - \gamma)}{2} = \frac{\pi - \alpha + \gamma}{2}$

5. Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$: $\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$ Подставим известные нам выражения: $\frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{\frac{b \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma)}}{\sin\left(\frac{\pi + \gamma - \alpha}{2}\right)}$

6. Выразим искомую биссектрису $BD$: $BD = \frac{b \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma) \sin\left(\frac{\pi - (\alpha - \gamma)}{2}\right)}$ Воспользуемся формулой приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$. $\sin\left(\frac{\pi - (\alpha - \gamma)}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha - \gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)$ Подставив это в выражение для $BD$, получим окончательный ответ.

Ответ: $BD = \frac{b \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}$