Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

36.2. Используя определение предела функции в точке, докажите, что:

1) $ \lim_{x\to 1} (3x - 1) = 2; $

2) $ \lim_{x\to 2} (3x - 2) = 4; $

3) $ \lim_{x\to -2} (5x + 4) = -6; $

4) $ \lim_{x\to -0,2} (5x - 1) = -2. $

1) Докажем, что $\lim_{x \to 1} (3x - 1) = 2$, используя определение предела функции в точке.

Согласно определению предела (по Коши), число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

В данном случае у нас есть:

$f(x) = 3x - 1$

$a = 1$

$L = 2$

Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Нам необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы из неравенства $0 < |x - 1| < \delta$ следовало неравенство $|(3x - 1) - 2| < \epsilon$.

Преобразуем выражение в левой части второго неравенства:

$|(3x - 1) - 2| = |3x - 3| = |3(x - 1)| = 3|x - 1|$.

Таким образом, неравенство, которое должно выполняться, имеет вид $3|x - 1| < \epsilon$.

Разделив обе части на 3, получим: $|x - 1| < \frac{\epsilon}{3}$.

Сравнивая полученное неравенство с исходным условием $|x - 1| < \delta$, мы можем выбрать $\delta = \frac{\epsilon}{3}$.

Поскольку $\epsilon$ — положительное число, то и $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ также будет положительным числом.

Проверим: пусть $\delta = \frac{\epsilon}{3}$. Тогда для любого $x$, такого, что $0 < |x - 1| < \delta$, мы имеем $|x - 1| < \frac{\epsilon}{3}$. Умножая обе части на 3, получаем $3|x - 1| < \epsilon$, что эквивалентно $|(3x - 1) - 2| < \epsilon$.

Таким образом, для любого $\epsilon > 0$ мы нашли соответствующее $\delta > 0$, что доказывает истинность утверждения.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $\lim_{x \to 2} (3x - 2) = 4$.

В этом случае: $f(x) = 3x - 2$, $a = 2$, $L = 4$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем соответствующее ему $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|(3x - 2) - 4| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(3x - 2) - 4|$:

$|(3x - 2) - 4| = |3x - 6| = |3(x - 2)| = 3|x - 2|$.

Нам нужно, чтобы выполнялось $3|x - 2| < \epsilon$, или $|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{3}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 2| < \delta$, будет справедливо $|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}$, а значит, $3|x - 2| < \epsilon$, то есть $|(3x - 2) - 4| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что $\lim_{x \to -2} (5x + 4) = -6$.

В этом случае: $f(x) = 5x + 4$, $a = -2$, $L = -6$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-2)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 2| < \delta$) следует $|(5x + 4) - (-6)| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(5x + 4) - (-6)|$:

$|(5x + 4) - (-6)| = |5x + 4 + 6| = |5x + 10| = |5(x + 2)| = 5|x + 2|$.

Требуется, чтобы выполнялось $5|x + 2| < \epsilon$, или $|x + 2| < \frac{\epsilon}{5}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{5}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x + 2| < \delta$, будет справедливо $|x + 2| < \frac{\epsilon}{5}$, а значит, $5|x + 2| < \epsilon$, то есть $|(5x + 4) - (-6)| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что $\lim_{x \to -0,2} (5x - 1) = -2$.

В этом случае: $f(x) = 5x - 1$, $a = -0,2$, $L = -2$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-0,2)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 0,2| < \delta$) следует $|(5x - 1) - (-2)| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(5x - 1) - (-2)|$:

$|(5x - 1) - (-2)| = |5x - 1 + 2| = |5x + 1|$.

Вынесем 5 за скобки: $|5(x + \frac{1}{5})| = |5(x + 0,2)| = 5|x + 0,2|$.

Требуется, чтобы выполнялось $5|x + 0,2| < \epsilon$, или $|x + 0,2| < \frac{\epsilon}{5}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{5}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x + 0,2| < \delta$, будет справедливо $|x + 0,2| < \frac{\epsilon}{5}$, а значит, $5|x + 0,2| < \epsilon$, то есть $|(5x - 1) - (-2)| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.

36.3. Найдите предел функции:

$1) \lim_{x\to -1} (x^2 + 1); \quad 2) \lim_{x\to 2} (x^2 - 1); \quad 3) \lim_{x\to -1} (2x^2 - 1);$

$4) \lim_{x\to 2} (2x^2 - 3); \quad 5) \lim_{x\to 2} (2x^2 + 3); \quad 6) \lim_{x\to -1} (2x^2 - x).$

1) Все представленные функции являются многочленами. Предел многочлена при $x$, стремящемся к конечному числу $a$, равен значению этого многочлена в точке $a$. Это следует из свойства непрерывности полиномиальных функций. Поэтому для нахождения предела достаточно подставить предельное значение аргумента $x$ в выражение функции.

$\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Подставим значение $x=2$ в выражение функции:

$\lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: 3.

3) Подставим значение $x=-1$ в выражение функции:

$\lim_{x \to -1} (2x^2 - 1) = 2(-1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: 1.

4) Подставим значение $x=-2$ в выражение функции:

$\lim_{x \to -2} (2x^2 - 3) = 2(-2)^2 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Ответ: 5.

5) Подставим значение $x=-2$ в выражение функции:

$\lim_{x \to -2} (2x^2 + 3) = 2(-2)^2 + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Ответ: 11.

6) Подставим значение $x=-1$ в выражение функции:

$\lim_{x \to -1} (2x^2 - x) = 2(-1)^2 - (-1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

36.4. Найдите предел выражения:

1) $\lim_{x \to 2} (2x^2 - 3x);$

2) $\lim_{x \to 0.4} (x^2 + x);$

3) $\lim_{x \to -1} (-2x^3 - x);$

4) $\lim_{x \to -2} (x^2 + 2x);$

5) $\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x);$

6) $\lim_{x \to -0.1} (2x^2 + 2).$

1) Для нахождения предела функции, которая является многочленом, достаточно подставить в выражение предельное значение аргумента, так как многочлены непрерывны на всей числовой оси. В данном случае $x$ стремится к 2.

Подставляем $x = 2$ в выражение $2x^2 - 3x$:

$\lim_{x \to 2} (2x^2 - 3x) = 2 \cdot (2)^2 - 3 \cdot 2 = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$.

Ответ: 2.

2) Функция $f(x) = x^2 + x$ является многочленом, следовательно, она непрерывна. Чтобы найти ее предел при $x \to 0.4$, подставим это значение в функцию.

$\lim_{x \to 0.4} (x^2 + x) = (0.4)^2 + 0.4 = 0.16 + 0.4 = 0.56$.

Ответ: 0.56.

3) Функция $f(x) = -2x^3 - x$ является непрерывной, так как это многочлен. Найдем предел путем подстановки значения $x = -1$.

$\lim_{x \to -1} (-2x^3 - x) = -2 \cdot (-1)^3 - (-1) = -2 \cdot (-1) + 1 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

4) Для нахождения предела $\lim_{x \to -2} (x^2 + 2x)$ подставим значение $x = -2$ в выражение, так как функция является непрерывной.

$\lim_{x \to -2} (x^2 + 2x) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$.

Ответ: 0.

5) Найдем предел, подставив $x = -2$ в непрерывную функцию $f(x) = x^2 - 2x$.

$\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

6) Для нахождения предела $\lim_{x \to -0.1} (2x^2 + 2)$ подставим $x = -0.1$ в выражение, так как функция непрерывна.

$\lim_{x \to -0.1} (2x^2 + 2) = 2 \cdot (-0.1)^2 + 2 = 2 \cdot 0.01 + 2 = 0.02 + 2 = 2.02$.

Ответ: 2.02.

36.5. Докажите, что предел функции $f(x)$ в точке $a = 2$ равен числу $B$:

1) $f(x) = x^2 - 3x + 1, B = -1;$

2) $f(x) = x^2 - 2x + 3, B = 3;$

3) $f(x) = -x^2 - 2x + 2, B = -6;$

4) $f(x) = -2x^2 + 3x - 2, B = -4.$

1) Чтобы доказать, что предел функции $ f(x) = x^2 - 3x + 1 $ в точке $ a = 2 $ равен числу $ B = -1 $, то есть $ \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1 $, мы воспользуемся определением предела функции по Коши (в терминах $ \varepsilon-\delta $).

Согласно определению, для любого сколь угодно малого числа $ \varepsilon > 0 $ мы должны найти такое число $ \delta > 0 $, что для всех $ x $, удовлетворяющих условию $ 0 < |x - a| < \delta $, будет выполняться неравенство $ |f(x) - B| < \varepsilon $.

В нашем случае $ a = 2 $ и $ B = -1 $. Составим и преобразуем выражение $ |f(x) - B| $: $ |(x^2 - 3x + 1) - (-1)| = |x^2 - 3x + 2| $.

Разложим квадратный трехчлен $ x^2 - 3x + 2 $ на множители. Корнями уравнения $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2 $. Следовательно, $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $.

Таким образом, наше неравенство принимает вид: $ |(x - 1)(x - 2)| < \varepsilon $, или $ |x - 1| \cdot |x - 2| < \varepsilon $.

Нам нужно оценить множитель $ |x - 1| $ для $ x $, близких к $ 2 $. Давайте выберем начальное ограничение на $ \delta $, например, пусть $ \delta \le 1 $. Тогда из неравенства $ |x - 2| < \delta \le 1 $ следует, что $ -1 < x - 2 < 1 $, откуда $ 1 < x < 3 $.

Для $ x $ в этом интервале $ (1, 3) $ оценим $ |x - 1| $: $ 1 - 1 < x - 1 < 3 - 1 $, то есть $ 0 < x - 1 < 2 $. Значит, $ |x - 1| < 2 $.

Теперь мы можем записать: $ |f(x) - B| = |x - 1| \cdot |x - 2| < 2 \cdot |x - 2| $.

Мы хотим, чтобы $ |f(x) - B| < \varepsilon $, значит, нам нужно, чтобы выполнялось $ 2 \cdot |x - 2| < \varepsilon $, что равносильно $ |x - 2| < \varepsilon / 2 $.

Итак, мы получили два условия на $ \delta $: $ \delta \le 1 $ и $ \delta \le \varepsilon / 2 $. Чтобы оба условия выполнялись, мы можем выбрать $ \delta = \min(1, \varepsilon / 2) $.

Таким образом, для любого $ \varepsilon > 0 $ мы нашли соответствующее $ \delta > 0 $. Если $ 0 < |x - 2| < \delta $, то $ |(x^2 - 3x + 1) - (-1)| < \varepsilon $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $ \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + 3) = 3 $. Воспользуемся определением предела по Коши. Для любого $ \varepsilon > 0 $ нужно найти такое $ \delta > 0 $, что из $ 0 < |x - 2| < \delta $ следует $ |(x^2 - 2x + 3) - 3| < \varepsilon $.

Рассмотрим выражение $ |(x^2 - 2x + 3) - 3| = |x^2 - 2x| $.

Разложим на множители: $ |x(x - 2)| = |x| \cdot |x - 2| $.

Оценим множитель $ |x| $ для $ x $, близких к $ 2 $. Пусть $ \delta \le 1 $. Тогда из $ |x - 2| < 1 $ следует $ 1 < x < 3 $. Для таких $ x $ справедливо неравенство $ |x| < 3 $.

Тогда $ |f(x) - B| = |x| \cdot |x - 2| < 3 \cdot |x - 2| $.

Мы хотим, чтобы $ 3 \cdot |x - 2| < \varepsilon $, что означает $ |x - 2| < \varepsilon / 3 $.

Мы получили два условия на $ \delta $: $ \delta \le 1 $ и $ \delta \le \varepsilon / 3 $. Выберем $ \delta = \min(1, \varepsilon / 3) $.

Таким образом, для любого $ \varepsilon > 0 $ мы нашли $ \delta > 0 $. Если $ 0 < |x - 2| < \delta $, то $ |(x^2 - 2x + 3) - 3| < \varepsilon $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что $ \lim_{x \to 2} (-x^2 - 2x + 2) = -6 $. Воспользуемся определением предела по Коши. Для любого $ \varepsilon > 0 $ нужно найти такое $ \delta > 0 $, что из $ 0 < |x - 2| < \delta $ следует $ |(-x^2 - 2x + 2) - (-6)| < \varepsilon $.

Рассмотрим выражение $ |(-x^2 - 2x + 2) - (-6)| = |-x^2 - 2x + 8| = |-(x^2 + 2x - 8)| $.

Разложим на множители $ x^2 + 2x - 8 $. Корни уравнения $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ это $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $. Значит, $ x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4) $.

Тогда $ |f(x) - B| = |-(x - 2)(x + 4)| = |x - 2| \cdot |x + 4| $.

Оценим множитель $ |x + 4| $ для $ x $, близких к $ 2 $. Пусть $ \delta \le 1 $. Тогда из $ |x - 2| < 1 $ следует $ 1 < x < 3 $. Для таких $ x $ оценим $ |x + 4| $: $ 1 + 4 < x + 4 < 3 + 4 $, то есть $ 5 < x + 4 < 7 $. Отсюда $ |x + 4| < 7 $.

Следовательно, $ |f(x) - B| = |x - 2| \cdot |x + 4| < 7 \cdot |x - 2| $.

Мы хотим, чтобы $ 7 \cdot |x - 2| < \varepsilon $, что означает $ |x - 2| < \varepsilon / 7 $.

Мы получили два условия на $ \delta $: $ \delta \le 1 $ и $ \delta \le \varepsilon / 7 $. Выберем $ \delta = \min(1, \varepsilon / 7) $.

Таким образом, для любого $ \varepsilon > 0 $ мы нашли $ \delta > 0 $. Если $ 0 < |x - 2| < \delta $, то $ |(-x^2 - 2x + 2) - (-6)| < \varepsilon $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что $ \lim_{x \to 2} (-2x^2 + 3x - 2) = -4 $. Воспользуемся определением предела по Коши. Для любого $ \varepsilon > 0 $ нужно найти такое $ \delta > 0 $, что из $ 0 < |x - 2| < \delta $ следует $ |(-2x^2 + 3x - 2) - (-4)| < \varepsilon $.

Рассмотрим выражение $ |(-2x^2 + 3x - 2) - (-4)| = |-2x^2 + 3x + 2| = |-(2x^2 - 3x - 2)| $.

Разложим на множители $ 2x^2 - 3x - 2 $. Корни уравнения $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $ это $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1/2 $. Значит, $ 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + 1/2) = (x - 2)(2x + 1) $.

Тогда $ |f(x) - B| = |-(x - 2)(2x + 1)| = |x - 2| \cdot |2x + 1| $.

Оценим множитель $ |2x + 1| $ для $ x $, близких к $ 2 $. Пусть $ \delta \le 1 $. Тогда из $ |x - 2| < 1 $ следует $ 1 < x < 3 $. Для таких $ x $ оценим $ |2x + 1| $: $ 2 \cdot 1 < 2x < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 2x < 6 $. $ 2 + 1 < 2x + 1 < 6 + 1 \Rightarrow 3 < 2x + 1 < 7 $. Отсюда $ |2x + 1| < 7 $.

Следовательно, $ |f(x) - B| = |x - 2| \cdot |2x + 1| < 7 \cdot |x - 2| $.

Мы хотим, чтобы $ 7 \cdot |x - 2| < \varepsilon $, что означает $ |x - 2| < \varepsilon / 7 $.

Мы получили два условия на $ \delta $: $ \delta \le 1 $ и $ \delta \le \varepsilon / 7 $. Выберем $ \delta = \min(1, \varepsilon / 7) $.

Таким образом, для любого $ \varepsilon > 0 $ мы нашли $ \delta > 0 $. Если $ 0 < |x - 2| < \delta $, то $ |(-2x^2 + 3x - 2) - (-4)| < \varepsilon $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

36.6. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x \to -1} (2(x^2 + 1) - 1);$

2) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x);$

3) $\lim_{x \to 4} (2\sqrt{x} - 1);$

4) $\lim_{x \to 1} (2\sqrt{4x} - 3).$

1) Для нахождения предела функции $\lim_{x\to-1} (2(x^2 + 1) - 1)$, мы можем использовать свойство непрерывности полиномиальных функций. Функция $f(x) = 2(x^2 + 1) - 1$ является многочленом, который непрерывен на всей числовой прямой. Поэтому, чтобы найти предел при $x$, стремящемся к $-1$, достаточно подставить это значение в функцию.

Сначала упростим выражение:

$2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 2 - 1 = 2x^2 + 1$.

Теперь подставим $x = -1$ в упрощенное выражение:

$\lim_{x\to-1} (2x^2 + 1) = 2(-1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: 3

2) Функция $f(x) = x^2 - 3x$ является многочленом и, следовательно, непрерывна для всех действительных значений $x$. Для нахождения предела при $x \to 2$, мы можем просто подставить значение $x=2$ в выражение функции.

$\lim_{x\to2} (x^2 - 3x) = (2)^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$.

Ответ: -2

3) Функция $f(x) = 2\sqrt{x} - 1$ определена и непрерывна для всех $x \ge 0$. Поскольку точка $x=4$ входит в область определения и непрерывности функции, мы можем найти предел путем прямой подстановки.

Подставим $x=4$ в функцию:

$\lim_{x\to4} (2\sqrt{x} - 1) = 2\sqrt{4} - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: 3

4) Рассмотрим функцию $f(x) = 2\sqrt{4x-3}$. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $4x-3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge \frac{3}{4}$. В точке $x=1$ функция определена и непрерывна, так как $1 > \frac{3}{4}$. Следовательно, предел можно найти прямой подстановкой.

Подставим $x=1$ в функцию:

$\lim_{x\to1} (2\sqrt{4x - 3}) = 2\sqrt{4(1) - 3} = 2\sqrt{4 - 3} = 2\sqrt{1} = 2(1) = 2$.

Ответ: 2

36.7. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

1) $f(x) = x^2 - 3x$ при $x \to 1$;

2) $f(x) = 2x^2 + x - 5$ при $x \to -2$;

3) $f(x) = -2x^2 + 3x - 3$ при $x \to 2$;

4) $f(x) = -x^2 - x + 5$ при $x \to -3$.

1) Чтобы найти предел функции $f(x) = x^2 - 3x$ при $x \to 1$, необходимо подставить значение $x=1$ в выражение для функции. Это возможно, так как все многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой оси.

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x) = (1)^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: -2

2) Функция $f(x) = 2x^2 + x - 5$ является многочленом, следовательно, она непрерывна. Для нахождения предела при $x \to -2$ достаточно подставить это значение в функцию.

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to -2} (2x^2 + x - 5) = 2(-2)^2 + (-2) - 5 = 2 \cdot 4 - 2 - 5 = 8 - 7 = 1$.

Ответ: 1

3) Функция $f(x) = -2x^2 + 3x - 3$ является непрерывным многочленом. Чтобы найти предел при $x \to 2$, подставим $x=2$ в выражение функции.

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to 2} (-2x^2 + 3x - 3) = -2(2)^2 + 3 \cdot 2 - 3 = -2 \cdot 4 + 6 - 3 = -8 + 6 - 3 = -5$.

Ответ: -5

4) Функция $f(x) = -x^2 - x + 5$ является непрерывным многочленом. Чтобы найти предел при $x \to -3$, подставим $x=-3$ в выражение функции.

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to -3} (-x^2 - x + 5) = -(-3)^2 - (-3) + 5 = -(9) + 3 + 5 = -9 + 8 = -1$.

Ответ: -1

36.8. Докажите, что верно равенство:

1) $\lim_{x\to 2} (2x^2 - 3) = 5;$

2) $\lim_{x\to 3} (7 - 2x^2) = -11;$

3) $\lim_{x\to 2} (x^2 - 3x) = -2.$

1) Чтобы доказать равенство $\lim_{x\to2} (2x^2 - 3) = 5$, воспользуемся свойством непрерывности многочленов. Функция $f(x) = 2x^2 - 3$ является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Для непрерывной функции предел в точке равен значению функции в этой точке. Таким образом, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x=2$ в функцию.

Вычислим предел:

$\lim_{x\to2} (2x^2 - 3) = 2 \cdot (2)^2 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Поскольку результат вычисления $5$ совпадает с правой частью равенства, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Чтобы доказать равенство $\lim_{x\to3} (7 - 2x^2) = -11$, мы также используем свойство непрерывности многочленов. Функция $f(x) = 7 - 2x^2$ является непрерывной функцией, так как это многочлен. Следовательно, предел функции при $x \to 3$ равен значению функции в точке $x=3$.

Выполним подстановку:

$\lim_{x\to3} (7 - 2x^2) = 7 - 2 \cdot (3)^2 = 7 - 2 \cdot 9 = 7 - 18 = -11$.

Результат $-11$ совпадает со значением в правой части равенства. Таким образом, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

3) Чтобы доказать равенство $\lim_{x\to2} (x^2 - 3x) = -2$, рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 3x$. Эта функция является многочленом и, следовательно, непрерывна в любой точке, включая $x=2$. Это означает, что для нахождения предела мы можем просто подставить значение $x=2$ в выражение.

Произведем вычисление:

$\lim_{x\to2} (x^2 - 3x) = (2)^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$.

Полученное значение $-2$ равно значению в правой части исходного равенства. Следовательно, равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

36.9. Найдите предел:

1) $lim_{x \to -2} \frac{x - 6}{x + 2}$;

2) $lim_{x \to 1} \frac{3x - 5}{x - 3}$;

3) $lim_{x \to -3} \frac{5x + 4}{2 - x}$;

4) $lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3}{x - 3}$.

1) Чтобы найти предел $\lim_{x \to 2} \frac{x - 6}{x + 2}$, мы можем использовать прямую подстановку, поскольку функция является рациональной и непрерывной в точке $x=2$ (знаменатель $2+2=4 \neq 0$). Подставляя $x=2$ в выражение, получаем: $\frac{2 - 6}{2 + 2} = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $-1$.

2) Для вычисления предела $\lim_{x \to 1} \frac{3x - 5}{x - 3}$ произведем прямую подстановку, так как функция непрерывна в точке $x=1$ (знаменатель $1-3=-2 \neq 0$). Подставляем $x=1$: $\frac{3(1) - 5}{1 - 3} = \frac{3 - 5}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Ответ: $1$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to -3} \frac{5x + 4}{2 - x}$. Функция непрерывна в точке $x=-3$, так как знаменатель $2 - (-3) = 5 \neq 0$. Выполняем подстановку $x=-3$: $\frac{5(-3) + 4}{2 - (-3)} = \frac{-15 + 4}{2 + 3} = \frac{-11}{5}$.

Ответ: $-\frac{11}{5}$.

4) Найдем предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3}{x - 3}$. Данная функция является непрерывной в точке $x=2$, потому что знаменатель $2-3=-1 \neq 0$. Применяем прямую подстановку значения $x=2$: $\frac{2(2)^2 - 3}{2 - 3} = \frac{2 \cdot 4 - 3}{-1} = \frac{8 - 3}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$.

Ответ: $-5$.