Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Вычислите пределы (37.13–37.15):

37.13. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x}$;

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{\sin x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}(-4x)}{\sin 2x}$;

5) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}(-x^2)}{\sin 2x^2}$;

6) $\lim_{x \to 0} \frac{2\operatorname{arctg}x^2}{\sin x^2}$.

1) Для вычисления предела $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x} $ воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $, из которого следует, что при $ u \to 0 $, функция $ \sin u $ эквивалентна $ u $, что записывается как $ \sin u \sim u $.

В нашем случае, при $ x \to 0 $, имеем $ -4x \to 0 $ и $ 2x \to 0 $. Поэтому мы можем заменить синусы на их аргументы (использовать эквивалентные бесконечно малые):

$ \sin(-4x) \sim -4x $

$ \sin(2x) \sim 2x $

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-4x}{2x} = \lim_{x\to 0} (-2) = -2 $.

Ответ: -2

2) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x} $. При $ x \to 0 $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми, основанными на первом замечательном пределе ($ \sin u \sim u $ при $ u \to 0 $).

При $ x \to 0 $, аргумент синуса в числителе $ x^2 \to 0 $, следовательно, $ \sin(x^2) \sim x^2 $.

В знаменателе аргумент синуса $ 2x \to 0 $, поэтому $ \sin(2x) \sim 2x $. Тогда $ \sin^2(2x) = (\sin(2x))^2 \sim (2x)^2 = 4x^2 $.

Заменяем функции в пределе на эквивалентные:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{4x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

3) Для вычисления предела $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x} $ воспользуемся следствиями из первого замечательного предела. При $ u \to 0 $, имеем $ \tan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

При $ x \to 0 $, у нас $ 3x \to 0 $ и $ x \to 0 $. Следовательно:

$ \tan(3x) \sim 3x $

$ \sin(x) \sim x $

Выполняем замену в пределе:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{3x}{x} = 3 $.

Ответ: 3

4) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-4x)}{\sin 2x} $. Здесь также неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Используем эквивалентные бесконечно малые: при $ u \to 0 $, $ \tan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

При $ x \to 0 $:

$ \tan(-4x) \sim -4x $

$ \sin(2x) \sim 2x $

Подставляем в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-4x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-4x}{2x} = -2 $.

Ответ: -2

5) Вычислим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-x^2)}{\sin 2x^2} $. При $ x \to 0 $ возникает неопределенность $ \frac{0}{0} $.

При $ x \to 0 $, аргументы функций $ -x^2 \to 0 $ и $ 2x^2 \to 0 $. Используем эквивалентные бесконечно малые:

$ \tan(-x^2) \sim -x^2 $

$ \sin(2x^2) \sim 2x^2 $

Заменяем функции в пределе на эквивалентные:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-x^2)}{\sin 2x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

6) Найдем предел $ \lim_{x\to 0} \frac{2\arctan x^2}{\sin x^2} $. Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми. При $ u \to 0 $, $ \arctan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

В нашем случае, при $ x \to 0 $, аргумент $ x^2 \to 0 $. Поэтому:

$ \arctan(x^2) \sim x^2 $

$ \sin(x^2) \sim x^2 $

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{2\arctan x^2}{\sin x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot x^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} 2 = 2 $.

Ответ: 2

37.14. 1)
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1}$;

2) $\lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1)^2}{3x - x^2 + 3}$;

3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}$;

4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{1 - \sqrt{x^2 - 1}}$.

1) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{2}{x^2}$, $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

2) Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1)^2}{3x - x^2 + 3}$. Сначала раскроем скобки в числителе: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Предел принимает вид: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{-x^2 + 3x + 3}$.

Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (старшую степень $x$):

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{-x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{-1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2}}$.

При $x \to \infty$ дроби $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{3}{x}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\frac{1 - 0 + 0}{-1 + 0 + 0} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$. Так как $x \to \infty$, то $x > 0$ и $x = \sqrt{x^2}$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt{4 + x^2}}{x} - \frac{2}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt{4 + x^2}}{\sqrt{x^2}} - \frac{2}{x} \right)$.

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}} - \frac{2}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - \frac{2}{x} \right)$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к 0, получаем:

$\sqrt{1 + 0} - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

4) Найдем значение предела $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{1 - \sqrt{x^2 - 1}}$. При подстановке $x \to \infty$ получаем неопределенность вида $\frac{\infty}{-\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, равную $x^1$. Учитывая, что при $x \to \infty$ имеем $x > 0$ и, следовательно, $x = \sqrt{x^2}$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}}{\frac{1 - \sqrt{x^2 - 1}}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2}}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}}$.

Упростив выражение, получим:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$.

При $x \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n>0$) стремятся к нулю. Таким образом:

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 0}{0 - \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

37.15. 1) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x^2 + \pi x}; $

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - 2}{\operatorname{tg}x}; $

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x + \pi)}{\sin 2x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos x}{1 - \cos x}; $

5) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x \sin x}; $

6) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 10x}{2\operatorname{tg}x}; $

7) $ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\operatorname{tg}x}\right); $

8) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\operatorname{tg}x}. $

1)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x^2 + \pi x} $.При $ x \to 0 $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Разложим знаменатель на множители: $ x^2 + \pi x = x(x + \pi) $.Предел принимает вид: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x(x + \pi)} $.Для использования первого замечательного предела $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $, преобразуем выражение.$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 7x}{x} \cdot \frac{1}{x + \pi} \right) $.Домножим и разделим на 7, чтобы аргумент синуса совпал со знаменателем:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 7x}{7x} \cdot 7 \cdot \frac{1}{x + \pi} \right) $.Используя свойство предела произведения, получаем:$ \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{7}{x + \pi} \right) $.Первый предел равен 1 (так как при $ x \to 0 $, $ 7x \to 0 $).Второй предел равен $ \frac{7}{0 + \pi} = \frac{7}{\pi} $.Итоговый результат: $ 1 \cdot \frac{7}{\pi} = \frac{7}{\pi} $.

Ответ: $ \frac{7}{\pi} $

2)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - 2}{\tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Чтобы раскрыть неопределенность в числителе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{4+x} + 2 $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4+x} - 2)(\sqrt{4+x} + 2)}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(4+x) - 4}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} $.Разделим предел на произведение двух пределов:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} \right) $.Первый предел является следствием первого замечательного предела: $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1 $.Второй предел вычисляется прямой подстановкой: $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} $.Результат: $ 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

3)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x + \pi)}{\sin 2x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем формулу приведения для числителя: $ \sin(x + \pi) = -\sin x $.Используем формулу двойного угла для знаменателя: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.Подставим эти выражения в предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{2(-\sin x)}{2 \sin x \cos x} $.Так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin x \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2 \sin x $:$ \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\cos x} $.Теперь подставим $ x = 0 $:$ \frac{-1}{\cos 0} = \frac{-1}{1} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

4)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos x}{1 - \cos x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 $.Подставим в числитель:$ \cos 2x - \cos x = (2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 2 \cos^2 x - \cos x - 1 $.Разложим квадратный трехчлен относительно $ \cos x $ на множители. Пусть $ y = \cos x $. Выражение $ 2y^2 - y - 1 $ имеет корни $ y_1 = 1 $ и $ y_2 = -1/2 $.Следовательно, $ 2y^2 - y - 1 = 2(y - 1)(y + 1/2) = (y-1)(2y+1) $.Возвращаясь к $ \cos x $: $ (\cos x - 1)(2 \cos x + 1) $.Подставим это в наш предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(2 \cos x + 1)}{1 - \cos x} $.Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе: $ \cos x - 1 = -(1 - \cos x) $.$ \lim_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos x)(2 \cos x + 1)}{1 - \cos x} $.Сокращаем на $ (1 - \cos x) $, так как при $ x \to 0 $, $ \cos x \neq 1 $:$ \lim_{x \to 0} -(2 \cos x + 1) $.Подставляем $ x = 0 $:$ -(2 \cos 0 + 1) = -(2 \cdot 1 + 1) = -3 $.

Ответ: $ -3 $

5)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x \sin x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $ 1 + \sqrt{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})}{x \sin x (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x (1 + \sqrt{\cos x})} $.Теперь воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми при $ x \to 0 $: $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ и $ \sin x \sim x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x \cdot x \cdot (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2 (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1 + \sqrt{\cos x})} $.Подставляем $ x = 0 $:$ \frac{1}{2(1 + \sqrt{\cos 0})} = \frac{1}{2(1 + \sqrt{1})} = \frac{1}{2(1+1)} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

6)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 10x}{2 \tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Воспользуемся эквивалентностями для бесконечно малых при $ x \to 0 $: $ \sin(kx) \sim kx $ и $ \tan x \sim x $.Тогда $ \sin 10x \sim 10x $ и $ \tan x \sim x $.Заменяем функции на эквивалентные им:$ \lim_{x \to 0} \frac{10x}{2x} $.Сокращаем на $ x $:$ \lim_{x \to 0} \frac{10}{2} = 5 $.

Ответ: $ 5 $

7)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} \right) $.Это неопределенность вида $ \infty - \infty $.Приведем выражение к общему знаменателю. Для этого заменим $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} $.Получили неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем эквивалентные бесконечно малые при $ x \to 0 $: $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ и $ \sin x \sim x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} $.Подставляем $ x = 0 $:$ \frac{0}{2} = 0 $.

Ответ: $ 0 $

8)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $ \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x})(\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})}{\tan x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.В числителе используем формулу разности квадратов:$ (1 + \sin x) - (1 - \sin x) = 1 + \sin x - 1 + \sin x = 2 \sin x $.Предел принимает вид:$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{\tan x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.Заменим $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{\frac{\sin x}{\cos x} (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.Сокращаем на $ \sin x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $):$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}} $.Теперь можно подставить $ x = 0 $:$ \frac{2 \cos 0}{\sqrt{1 + \sin 0} + \sqrt{1 - \sin 0}} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 $.

Ответ: $ 1 $

37.16. Постройте график какой-либо функции $f(x)$, обладающей свойствами:

1) $ \lim_{x \to 2} f(x) = 4, f(2) = 4 $;

2) $ \lim_{x \to -1} f(x) = 3, f(-1) = 2 $;

3) $ \lim_{x \to 2} f(x) = 2, f(2) $ — не существует;

4) $ \lim_{x \to 0} f(x) = 2, \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 $.

1) Условие $\lim_{x\to2} f(x) = 4$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к числу 2 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к числу 4. На графике это означает, что ветви графика "сходятся" в точке с координатой $y=4$ при $x=2$.

Условие $f(2) = 4$ означает, что функция определена в точке $x=2$ и ее значение равно 4. На графике это соответствует закрашенной точке с координатами $(2, 4)$.

Поскольку предел функции в точке $x=2$ равен значению функции в этой же точке, функция является непрерывной в точке $x=2$. Самый простой пример такой функции — это постоянная функция $f(x) = 4$. Ее график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 4)$. Эта линия непрерывна на всей числовой оси, и в любой ее точке, включая $x=2$, предел равен значению функции, то есть 4.

Ответ: Графиком может служить горизонтальная прямая $y=4$.

2) Условие $\lim_{x\to-1} f(x) = 3$ означает, что при приближении $x$ к -1, значения функции $f(x)$ стремятся к 3. На графике это означает, что кривая функции с обеих сторон приближается к точке $(-1, 3)$.

Условие $f(-1) = 2$ означает, что значение функции в точке $x=-1$ равно 2. На графике это — закрашенная точка с координатами $(-1, 2)$.

Так как предел функции в точке $x=-1$ не равен значению функции в этой точке ($3 \neq 2$), функция имеет в этой точке устранимый разрыв. Чтобы построить такой график, можно взять любую функцию, предел которой при $x \to -1$ равен 3 (например, $y=3$), и отдельно определить значение в точке $x=-1$.

Пример такой функции:

$f(x) = \begin{cases} 3, & \text{если } x \neq -1 \\ 2, & \text{если } x = -1 \end{cases} $

График этой функции представляет собой горизонтальную прямую $y=3$, из которой "выколота" точка с абсциссой -1 (то есть в точке $(-1, 3)$ находится пустое колечко), и отдельно отмеченную закрашенную точку $(-1, 2)$.

Ответ: График — горизонтальная прямая $y=3$ с "выколотой" точкой в $x=-1$, и закрашенная точка с координатами $(-1, 2)$.

3) Условие $\lim_{x\to2} f(x) = 2$ означает, что при приближении $x$ к 2, значения функции $f(x)$ стремятся к 2. На графике это означает, что кривая функции с обеих сторон приближается к точке с ординатой 2, то есть к точке $(2, 2)$.

Условие $f(2)$ — не существует, означает, что функция не определена в точке $x=2$. На графике в этой точке будет разрыв, а именно "выколотая" точка.

Мы имеем дело с устранимым разрывом в точке $x=2$, где предел существует, но сама функция не определена. Простейший пример — это функция, которая равна константе везде, кроме точки $x=2$.

Например, функция $f(x) = \frac{2(x-2)}{x-2}$. Эта функция равна 2 при всех $x \neq 2$, а в точке $x=2$ она не определена.

Ее график — это горизонтальная прямая $y=2$, на которой в точке с абсциссой $x=2$ находится "дырка" или "выколотая" точка с координатами $(2, 2)$.

Ответ: График — горизонтальная прямая $y=2$ с "выколотой" точкой $(2, 2)$.

4) Условие $\lim_{x\to0} f(x) = 2$ означает, что при приближении $x$ к 0, значения функции стремятся к 2. График функции подходит к точке $(0, 2)$. При этом функция в самой точке $x=0$ может быть не определена или иметь другое значение, но для простоты можно считать, что $f(0)=2$.

Условие $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ означает, что при неограниченном возрастании $x$ (при $x$, стремящемся к плюс бесконечности), значения функции стремятся к 0. На графике это означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$.

Нужно найти функцию, которая удовлетворяет обоим условиям. Подходящим примером может служить функция вида $f(x) = \frac{2}{ax^n+1}$ (где $n$ - четное число) или $f(x) = 2e^{-kx}$ (где $k>0$).

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2}{x^2+1}$.

Проверим условия:

$\lim_{x\to0} \frac{2}{x^2+1} = \frac{2}{0^2+1} = 2$. Первое условие выполнено.

$\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^2+1} = 0$, так как знаменатель неограниченно растет, а числитель — константа. Второе условие выполнено.

График этой функции симметричен относительно оси ординат, имеет максимум в точке $(0, 2)$ и приближается к оси абсцисс ($y=0$) при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Ответ: Графиком может служить кривая, заданная функцией $f(x) = \frac{2}{x^2+1}$. Эта кривая имеет "шапку" в точке $(0,2)$ и ось $Ox$ в качестве горизонтальной асимптоты.

37.17. На рисунке 37.2 изображен график функции $y = f(x)$. Найдите:

1) $\lim_{x \to 0} f(x)$;

2) $\lim_{x \to -2} f(x)$;

3) $\lim_{x \to 3} f(x)$;

4) $\lim_{x \to -1} f(x)$;

5) $\lim_{x \to -3} f(x)$;

6) $\lim_{x \to -4} f(x)$.

Для решения данной задачи необходимо иметь изображение графика функции $y=f(x)$ (рисунок 37.2), который не был предоставлен. Без графика невозможно определить конкретные значения пределов.

Однако, можно описать общий метод нахождения пределов по графику, который вы сможете применить, имея соответствующее изображение.

Общий принцип: Чтобы найти предел функции $ \lim_{x \to a} f(x) $ по графику, нужно посмотреть, к какому значению $y$ приближается кривая графика, когда значение $x$ стремится к числу $a$. Важно рассматривать приближение к $a$ как слева (для значений $x$, которые меньше $a$), так и справа (для значений $x$, которые больше $a$).

• Если при приближении к $a$ с обеих сторон график стремится к одной и той же высоте (значению $y$), то предел существует и равен этому значению $y$.
• Даже если в самой точке $x=a$ на графике "выколотая точка" (разрыв), а значение функции определено в другом месте или не определено вовсе, предел всё равно равен тому значению $y$, к которому стремится график.
• Если при приближении к $a$ слева и справа график стремится к разным значениям $y$ (разрыв типа "скачок"), то предел в этой точке не существует.

1) $\lim_{x \to 0} f(x)$

Чтобы найти этот предел, необходимо найти на оси абсцисс точку $x=0$ и посмотреть, к какому значению на оси ординат ($y$) стремится график функции при приближении к этой точке с обеих сторон (слева и справа).

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

2) $\lim_{x \to -2} f(x)$

Нужно найти на оси абсцисс точку $x=-2$. Затем определить, к какому значению $y$ приближается график функции, когда $x$ стремится к $-2$. Если левосторонний и правосторонний пределы совпадают, то это и есть искомый предел.

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

3) $\lim_{x \to -3} f(x)$

Аналогично предыдущим пунктам, находим на оси $x$ точку $-3$ и смотрим, к какому значению $y$ сходится функция при приближении к этой точке.

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

4) $\lim_{x \to -1} f(x)$

Находим на оси $x$ точку $-1$. Прослеживаем поведение графика слева и справа от этой точки. Значение $y$, к которому стремится кривая, является значением предела. Важно помнить, что само значение функции $f(-1)$ (если оно определено) не обязано совпадать со значением предела.

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

5) $\lim_{x \to 3} f(x)$

Находим на оси $x$ точку $3$. Определяем значение $y$, к которому приближается график, когда $x$ приближается к $3$ с обеих сторон. Это значение и будет пределом.

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

6) $\lim_{x \to -4} f(x)$

Находим на оси $x$ точку $-4$. Определяем значение $y$, к которому приближается график функции, когда $x$ стремится к $-4$. Если эта точка является концом области определения, то предел может быть односторонним.

Ответ: Для получения численного ответа необходим график функции.

37.18. Постройте эскиз графика функции:

1) $f(x) = (x + 1)^2 - 1$;

2) $f(x) = |x^2 - 4|$;

3) $f(x) = |\sin x|$;

4) $f(x) = |2\cos x|$.

a)

б)

Рис. 37.2

1) Для построения эскиза графика функции $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Сначала сдвигаем эту параболу на 1 единицу влево, чтобы получить график функции $y = (x + 1)^2$. Вершина параболы переместится в точку $(-1, 0)$. Затем сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз, чтобы получить график функции $y = (x + 1)^2 - 1$. Вершина сместится в точку $(-1, -1)$. Для большей точности эскиза найдем точки пересечения с осями координат. Пересечение с осью OY: $x=0$, $y = (0+1)^2 - 1 = 0$. Точка $(0,0)$. Пересечение с осью OX: $y=0$, $(x+1)^2 - 1 = 0$, $(x+1)^2 = 1$, откуда $x+1=1$ или $x+1=-1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$. Точки $(0,0)$ и $(-2,0)$.

Ответ: Эскиз представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. График проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

2) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |x^2 - 4|$ сначала построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью OX находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, то есть $x = -2$ и $x = 2$. Затем применяем операцию взятия модуля. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |x^2 - 4|$ получается из параболы $y = x^2 - 4$ следующим образом: часть параболы при $x \le -2$ и $x \ge 2$ остается на месте. Часть параболы, находящаяся между $x=-2$ и $x=2$ (которая была ниже оси OX), отражается вверх. В результате получается график с локальным максимумом в точке $(0, 4)$ и двумя точками излома ("остриями") в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Функция всегда неотрицательна ($f(x) \ge 0$).

3) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |\sin x|$ сначала рассмотрим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$, колеблющаяся в пределах от -1 до 1. Она проходит через начало координат, а её нули находятся в точках $x=k\pi$, где $k$ — любое целое число. Применение модуля означает, что все отрицательные значения функции становятся положительными. Геометрически это соответствует отражению частей графика, лежащих ниже оси OX, симметрично вверх относительно этой оси.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |\sin x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов", расположенных на оси OX. Функция всегда неотрицательна. Минимальное значение равно 0 (достигается в точках $x=k\pi$), а максимальное значение равно 1 (достигается в точках $x = \pi/2 + k\pi$). Период этой функции равен $\pi$.

4) Для построения эскиза графика функции $f(x) = |2\cos x|$ сначала построим график функции $y = 2\cos x$. Это косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY. Она является периодической функцией с периодом $2\pi$ и колеблется в пределах от -2 до 2. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=2k\pi$, а минимумы, равные -2, в точках $x=\pi+2k\pi$. Нули функции находятся в точках $x=\pi/2+k\pi$, где $k$ — любое целое число. Применение модуля отражает все части графика, находящиеся ниже оси OX, симметрично вверх.

Ответ: Эскиз графика функции $f(x) = |2\cos x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов". Функция всегда неотрицательна. Максимальное значение равно 2 (достигается в точках $x=k\pi$), а минимальное значение равно 0 (достигается в точках $x = \pi/2 + k\pi$). Период этой функции равен $\pi$.