Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

38.3. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 1$:

1)

$y = \begin{cases} 1 + 2x \text{ при } x \ge 1, \\ 4x - 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} 5x \text{ при } x \ge 1, \\ 3x - 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

3)

$y = \begin{cases} 8 - 7x \text{ при } x \ge 1, \\ x + 3 \text{ при } x < 1. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} 1 + 2x, & \text{при } x \ge 1 \\ 4x - 1, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей, так как каждая из частей функции является линейной.

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 1 + 2x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

Найдем координаты начальной точки. При $x=1$, $y = 1 + 2 \cdot 1 = 3$. Точка $(1; 3)$ принадлежит графику, поэтому на чертеже она будет закрашенной.

Для построения луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 1$. Например, при $x=2$, $y = 1 + 2 \cdot 2 = 5$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, выходящий из точки $(1; 3)$ и проходящий через точку $(2; 5)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = 4x - 1$. Это луч, который заканчивается в точке с абсциссой $x=1$.

Найдем координаты конечной точки. Так как неравенство строгое ($x<1$), точка не будет принадлежать графику, и на чертеже она будет выколотой. При $x=1$, $y = 4 \cdot 1 - 1 = 3$. Координаты выколотой точки — $(1; 3)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x < 1$. Например, при $x=0$, $y = 4 \cdot 0 - 1 = -1$.

Таким образом, вторая часть графика — это луч, приходящий из области меньших $x$ в точку $(1; 3)$ и проходящий через точку $(0; -1)$.

Поскольку оба луча "сходятся" в одной и той же точке $(1; 3)$, график функции является сплошной линией.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции должны быть равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Согласно определению функции, при $x=1$ мы используем формулу $y = 1 + 2x$.

$f(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.

2. Найдем левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, т.е. $x < 1$). Используем формулу $y = 4x - 1$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4x-1) = 4 \cdot 1 - 1 = 3$.

3. Найдем правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, т.е. $x > 1$). Используем формулу $y = 1 + 2x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1+2x) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.

Все три значения совпали: $f(1) = 3$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0=1$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 5x, & \text{при } x \ge 1 \\ 3x - 1, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 5x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 5 \cdot 1 = 5$. Точка $(1; 5)$ — закрашенная.

При $x=2$, $y = 5 \cdot 2 = 10$.

Первая часть графика — луч, выходящий из точки $(1; 5)$ и проходящий через точку $(2; 10)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = 3x - 1$. Это луч, заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ — выколотая.

При $x=0$, $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$.

Вторая часть графика — луч, приходящий в точку $(1; 2)$ и проходящий через точку $(0; -1)$.

В точке $x=1$ происходит "разрыв" графика: один луч заканчивается в точке $(1; 2)$, а другой начинается в точке $(1; 5)$.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Используем формулу $y = 5x$.

$f(1) = 5 \cdot 1 = 5$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x < 1$). Используем формулу $y = 3x - 1$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x-1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x > 1$). Используем формулу $y = 5x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5x) = 5 \cdot 1 = 5$.

Левосторонний предел (2) не равен правостороннему пределу (5). Это означает, что общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Условие непрерывности не выполняется. Функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.

3) Дана функция $y = \begin{cases} 8 - 7x, & \text{при } x \ge 1 \\ x + 3, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

Построение графика:

1. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 8 - 7x$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 8 - 7 \cdot 1 = 1$. Точка $(1; 1)$ — закрашенная.

При $x=2$, $y = 8 - 7 \cdot 2 = -6$.

Первая часть графика — луч, выходящий из точки $(1; 1)$ и проходящий через точку $(2; -6)$.

2. На промежутке $x < 1$ строим график функции $y = x + 3$. Это луч, заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

При $x=1$, $y = 1 + 3 = 4$. Точка $(1; 4)$ — выколотая.

При $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$.

Вторая часть графика — луч, приходящий в точку $(1; 4)$ и проходящий через точку $(0; 3)$.

В точке $x=1$ также происходит разрыв графика: один луч начинается в точке $(1; 1)$, а другой заканчивается в точке $(1; 4)$.

Проверка непрерывности в точке $x_0=1$:

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$. Используем формулу $y = 8 - 7x$.

$f(1) = 8 - 7 \cdot 1 = 1$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x < 1$). Используем формулу $y = x + 3$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+3) = 1 + 3 = 4$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x > 1$). Используем формулу $y = 8 - 7x$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (8 - 7x) = 8 - 7 \cdot 1 = 1$.

Левосторонний предел (4) не равен правостороннему пределу (1). Общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, и функция не является непрерывной.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.

38.4. Постройте схематически график функции, имеющей разрыв в точке:

1) $x_0 = 3$; 2) $x_0 = -1,5$; 3) $x_0 = 4$; 4) $x_0 = -0,5$.

Для построения схематического графика функции, имеющей разрыв в заданной точке $x_0$, можно использовать функцию вида $y = \frac{1}{x-x_0}$. Такая функция имеет бесконечный разрыв (вертикальную асимптоту) в точке, где знаменатель равен нулю, то есть при $x = x_0$.

1) $x_0 = 3$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-3}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=3$. В точке $x_0 = 3$ функция имеет разрыв. Для построения схематического графика начертим систему координат. Проведем пунктирной линией вертикальную асимптоту $x=3$. График функции — гипербола. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ стремятся к $+\infty$. При приближении $x$ к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к $-\infty$. Горизонтальной асимптотой является ось абсцисс ($y=0$). Справа от асимптоты ($x>3$) ветвь гиперболы расположена в верхней полуплоскости, а слева ($x<3$) — в нижней.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x-3}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

2) $x_0 = -1,5$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-(-1,5)} = \frac{1}{x+1,5}$. Функция не определена и имеет разрыв в точке $x_0 = -1,5$. Для построения графика проведем вертикальную асимптоту $x=-1,5$. При $x \to -1,5^+$, функция стремится к $+\infty$. При $x \to -1,5^-$, функция стремится к $-\infty$. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Ветви гиперболы расположены справа вверху и слева внизу относительно точки пересечения асимптот.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x+1,5}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1,5$.

3) $x_0 = 4$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-4}$. Функция имеет разрыв в точке $x_0 = 4$. Схематический график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. При $x \to 4^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. Ветвь гиперболы справа от асимптоты находится в верхней полуплоскости, а слева — в нижней.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x-4}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$.

4) $x_0 = -0,5$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x-(-0,5)} = \frac{1}{x+0,5}$. Функция имеет разрыв в точке $x_0 = -0,5$. Схематический график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0,5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. При $x \to -0,5^+$, $y \to +\infty$. При $x \to -0,5^-$, $y \to -\infty$. Ветви гиперболы расположены справа вверху и слева внизу относительно точки пересечения асимптот.

Ответ: Примером функции является $y=\frac{1}{x+0,5}$. Её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0,5$.

38.5. Исследуйте на непрерывность функцию f(x). Постройте график f(x):

1) $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x \le 0, \\ 1 - x^2 & \text{при } x > 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x & \text{при } x \le 0, \\ x^2 + 1 & \text{при } x > 0; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 2, \\ 1 - x & \text{при } x > 2. \end{cases}$

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x \le 0, \\ 1 - x^2 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как на этих интервалах она совпадает с элементарными функциями (константой и многочленом), которые непрерывны на своей области определения. Единственной точкой, где непрерывность может нарушаться, является точка $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции.

Для проверки непрерывности в точке $x=0$ необходимо, чтобы выполнялось условие $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \le 0$, $f(x)=1$. Следовательно, $f(0) = 1$.

2. Найдем левосторонний предел при $x \to 0^-$. При $x \to 0^-$ (x стремится к нулю слева), $x < 0$, поэтому $f(x) = 1$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$.

3. Найдем правосторонний предел при $x \to 0^+$. При $x \to 0^+$ (x стремится к нулю справа), $x > 0$, поэтому $f(x) = 1 - x^2$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу и равен значению функции в точке $x=0$ ($1=1=1$), функция является непрерывной в точке $x=0$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси.

Построение графика:

1. При $x \le 0$ график функции $f(x)=1$ представляет собой горизонтальный луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий влево вдоль прямой $y=1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику.

2. При $x > 0$ график функции $f(x)=1-x^2$ представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 1)$. Мы строим правую ветвь этой параболы для $x>0$. Парабола проходит через точки, например, $(1, 0)$ и $(2, -3)$.

График состоит из двух частей, которые плавно соединяются в точке $(0, 1)$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $\mathbb{R}$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x & \text{при } x \le 0, \\ x^2 + 1 & \text{при } x > 0. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как она задана непрерывными элементарными функциями (линейной и квадратичной). Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

Проверим выполнение условия непрерывности $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \le 0$, $f(x)=-x$. Значит, $f(0) = -0 = 0$.

2. Левосторонний предел при $x \to 0^-$: при $x < 0$, $f(x) = -x$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.

3. Правосторонний предел при $x \to 0^+$: при $x > 0$, $f(x) = x^2 + 1$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.

Так как левосторонний предел ($\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$), то предел функции в точке $x=0$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=0$.

Поскольку существуют конечные односторонние пределы, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|\lim_{x \to 0^+} f(x) - \lim_{x \to 0^-} f(x)| = |1 - 0| = 1$.

Построение графика:

1. При $x \le 0$ график функции $f(x)=-x$ — это луч прямой, проходящей через начало координат. Этот луч начинается в точке $(0, 0)$ и идет влево и вверх. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику (изображается закрашенной точкой).

2. При $x > 0$ график функции $f(x)=x^2+1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки, например, $(1, 2)$ и $(2, 5)$. Начальная точка этой части графика, $(0, 1)$, не принадлежит графику (изображается выколотой точкой).

В точке $x=0$ график терпит разрыв: левая часть заканчивается в точке $(0, 0)$, а правая начинается в точке $(0, 1)$.

Ответ: функция непрерывна на $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$; в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 2, \\ 1 - x & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. На интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$ функция непрерывна как элементарная (квадратичная и линейная). Исследуем на непрерывность в точке $x=2$.

Проверим условие непрерывности $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.

1. Значение функции в точке $x=2$: при $x \le 2$, $f(x)=x^2$. Значит, $f(2) = 2^2 = 4$.

2. Левосторонний предел при $x \to 2^-$: при $x < 2$, $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.

3. Правосторонний предел при $x \to 2^+$: при $x > 2$, $f(x) = 1 - x$.

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (1 - x) = 1 - 2 = -1$.

Левосторонний предел ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = -1$). Следовательно, предел функции в точке $x=2$ не существует, и функция в этой точке разрывна.

Это разрыв первого рода (скачок), так как односторонние пределы существуют и конечны. Величина скачка равна $|\lim_{x \to 2^+} f(x) - \lim_{x \to 2^-} f(x)| = |-1 - 4| = 5$.

Построение графика:

1. При $x \le 2$ график функции $f(x)=x^2$ — это часть параболы с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вверх. Мы строим эту параболу до точки $x=2$. Конечная точка этой части — $(2, 4)$, она принадлежит графику (изображается закрашенной точкой).

2. При $x > 2$ график функции $f(x)=1-x$ — это луч прямой с угловым коэффициентом $-1$. Этот луч начинается от точки $(2, 1-2) = (2, -1)$ и идет вправо и вниз. Начальная точка луча, $(2, -1)$, не принадлежит графику (изображается выколотой точкой).

В точке $x=2$ график терпит разрыв: левая часть заканчивается в точке $(2, 4)$, а правая начинается в точке $(2, -1)$.

Ответ: функция непрерывна на $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$; в точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

38.6. Приведите пример функции, имеющей разрыв в точке:

1) $x_0 = 2$ и $x_0 = 4$;

2) $x_0 = -3$ и $x_0 = 0$;

3) $x_0 = -1$ и $x_0 = 2$.

1) $x_0 = 2$ и $x_0 = 4$

Чтобы функция имела разрыв в заданных точках, можно построить дробно-рациональную функцию. Точки разрыва такой функции возникают там, где ее знаменатель обращается в ноль (при условии, что числитель в этих точках в ноль не обращается, иначе может возникнуть устранимый разрыв).

Чтобы знаменатель обращался в ноль в точках $x=2$ и $x=4$, он должен содержать множители $(x-2)$ и $(x-4)$. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1.

Таким образом, примером такой функции может быть:$f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-4)}$.

Эта функция не определена в точках, где ее знаменатель равен нулю, то есть при $(x-2)(x-4) = 0$. Решениями этого уравнения являются $x=2$ и $x=4$. В этих точках функция имеет бесконечные разрывы, так как ее предел при приближении к этим точкам равен бесконечности.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-4)}$.

2) $x_0 = -3$ и $x_0 = 0$

Поступаем аналогично предыдущему пункту. Нам нужно, чтобы знаменатель функции обращался в ноль в точках $x=-3$ и $x=0$.

Для этого знаменатель должен содержать множители $(x - (-3))$ и $(x-0)$, то есть $(x+3)$ и $x$. Снова выберем числитель равным 1.

Пример функции:$f(x) = \frac{1}{x(x+3)}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель $x(x+3)$ равен нулю. Это происходит при $x=0$ и $x=-3$. Следовательно, в этих точках функция имеет разрывы.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x(x+3)}$.

3) $x_0 = -1$ и $x_0 = 2$

Для того чтобы функция имела разрывы в точках $x=-1$ и $x=2$, ее знаменатель должен обращаться в ноль в этих точках.

Знаменатель должен содержать множители $(x - (-1))$ и $(x-2)$, то есть $(x+1)$ и $(x-2)$. В качестве числителя снова используем 1.

Пример искомой функции:$f(x) = \frac{1}{(x+1)(x-2)}$.

Данная функция имеет разрывы в точках, где знаменатель равен нулю. Уравнение $(x+1)(x-2)=0$ имеет корни $x=-1$ и $x=2$. Именно в этих точках функция терпит разрыв.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x+1)(x-2)}$.

38.7. Постройте график функции $y = f(x)$. Исследуйте функцию на непрерывность:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 2, \\ 5 - x \text{ при } x > 2; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 0, \\ x - 1 \text{ при } x > 0; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 \text{ при } x \le 2, \\ 7 - x^2 \text{ при } x > 2. \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ 5 - x & \text{при } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 2$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Для построения найдем несколько точек: $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$; $f(0) = 0^2 - 1 = -1$; $f(1) = 1^2 - 1 = 0$; $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ является конечной точкой этой части графика и принадлежит ей.

2. При $x > 2$ строим график функции $y = 5 - x$. Это прямая линия. Для построения найдем две точки. Возьмем точку $x=3$, $f(3) = 5 - 3 = 2$. Возьмем точку $x=5$, $f(5) = 5 - 5 = 0$. График начинается в точке, близкой к $x=2$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 2+} (5-x) = 3$. Таким образом, эта часть графика начинается из точки $(2, 3)$, не включая ее.

Так как в точке $x=2$ значение первой функции равно $3$ и предел второй функции тоже равен $3$, то на графике в точке $(2, 3)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Функции $y = x^2 - 1$ и $y = 5 - x$ являются элементарными и непрерывными на всей числовой прямой. Поэтому единственной точкой, где может нарушаться непрерывность, является точка $x=2$, где меняется аналитическое выражение функции.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (5 - x) = 5 - 2 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны между собой ($\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} f(x) = f(2) = 3$), функция является непрерывной в точке $x=2$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 0 \\ x - 1 & \text{при } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это левая часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$. Точка $(0, -1)$ является конечной точкой этой части графика и принадлежит ей.

2. При $x > 0$ строим график функции $y = x - 1$. Это прямая линия (луч). Для построения найдем несколько точек: $f(1) = 1-1=0$; $f(2) = 2-1=1$. График начинается в точке, близкой к $x=0$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 0+} (x-1) = -1$. Эта часть графика начинается из точки $(0, -1)$, не включая ее.

Так как в точке $x=0$ значение первой функции равно $-1$ и предел второй функции тоже равен $-1$, то на графике в точке $(0, -1)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Функции $y = x^2 - 1$ и $y = x - 1$ являются непрерывными на своих областях определения. Исследуем на непрерывность точку $x=0$, где меняется формула функции.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1. Значение функции в точке: $f(0) = 0^2 - 1 = -1$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} (x - 1) = 0 - 1 = -1$.

Так как $\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} f(x) = f(0) = -1$, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 2 \\ 7 - x^2 & \text{при } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. При $x \le 2$ строим график функции $y = x^2 - 1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в $(0, -1)$. Крайняя точка этой части графика $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.

2. При $x > 2$ строим график функции $y = 7 - x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(0, 7)$. Для построения найдем несколько точек: $f(3) = 7 - 3^2 = -2$. Корень функции: $7-x^2=0 \Rightarrow x=\sqrt{7} \approx 2.65$, точка $(\sqrt{7}, 0)$ принадлежит графику. График начинается в точке, близкой к $x=2$. Найдем предел справа: $\lim_{x \to 2+} (7-x^2) = 7 - 2^2 = 3$. Эта часть графика начинается из точки $(2, 3)$, не включая ее.

Так как в точке $x=2$ значение первой функции равно $3$ и предел второй функции тоже равен $3$, то на графике в точке $(2, 3)$ разрыва не будет.

Исследование на непрерывность:

Функция определена на всей числовой оси. Обе функции $y = x^2 - 1$ и $y = 7 - x^2$ являются непрерывными. Исследуем на непрерывность точку "стыка" $x=2$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 2$:

1. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.

2. Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3$.

3. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (7 - x^2) = 7 - 2^2 = 3$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны ($\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} f(x) = f(2) = 3$), функция является непрерывной в точке $x=2$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

38.8. Постройте график функции и найдите ее точки разрыва:

1) $f(x) = \lfloor x \rfloor$;

2) $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$;

3) $f(x) = \text{sign}x$.

1) f(x)=[x];

Функция $f(x) = [x]$ (целая часть числа, или антье) сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.

Построение графика: График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков единичной длины.

• При $x \in [-2, -1)$, $f(x) = -2$.
• При $x \in [-1, 0)$, $f(x) = -1$.
• При $x \in [0, 1)$, $f(x) = 0$.
• При $x \in [1, 2)$, $f(x) = 1$.
• При $x \in [2, 3)$, $f(x) = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $f(x) = n$. Левый конец каждого такого отрезка (точка $(n, n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка $(n+1, n)$) — не принадлежит (изображается выколотой точкой).

Точки разрыва: Функция непрерывна на каждом интервале $(n, n+1)$, где $n$ — целое число. Разрывы могут происходить только в целочисленных точках. Рассмотрим произвольную целочисленную точку $x_0 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем односторонние пределы в этой точке:

• Предел слева: $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} [x] = n-1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} [x] = n$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу ($\lim_{x \to n^-} f(x) \neq \lim_{x \to n^+} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в каждой целочисленной точке. Величина скачка равна $n - (n-1) = 1$.

Ответ: Точками разрыва являются все целые числа ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

2) f(x) = x - [x];

Функция $f(x) = x - [x]$ (дробная часть числа) сопоставляет каждому действительному числу $x$ разность между этим числом и его целой частью. Часто эту функцию обозначают как $\{x\}$.

Построение графика: Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:

• При $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, следовательно $f(x) = x - 0 = x$.
• При $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, следовательно $f(x) = x - 1$.
• При $x \in [-1, 0)$, $[x] = -1$, следовательно $f(x) = x - (-1) = x+1$.

Функция является периодической с периодом $T=1$, так как $f(x+1) = (x+1) - [x+1] = (x+1) - ([x]+1) = x - [x] = f(x)$. График функции представляет собой "пилу". Он состоит из параллельных отрезков с угловым коэффициентом 1. На каждом интервале $[n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y = x-n$. Левая точка $(n, 0)$ принадлежит графику, а правая $(n+1, 1)$ — нет.

Точки разрыва: Функция непрерывна на каждом интервале $(n, n+1)$, где $n$ — целое число. Разрывы могут происходить только в целочисленных точках. Рассмотрим произвольную целочисленную точку $x_0 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем односторонние пределы:

• Предел слева: $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x])$. Когда $x \to n^-$, $[x] = n-1$, поэтому предел равен $\lim_{x \to n^-} (x - (n-1)) = n - (n-1) = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x])$. Когда $x \to n^+$, $[x] = n$, поэтому предел равен $\lim_{x \to n^+} (x - n) = n - n = 0$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в каждой целочисленной точке.

Ответ: Точками разрыва являются все целые числа ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

3) f(x) = signx.

Функция $f(x) = \text{sign}(x)$ (сигнум или знак числа) определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

• Для всех $x > 0$, график функции — это открытый луч $y=1$, идущий вправо от оси ординат.
• Для всех $x < 0$, график функции — это открытый луч $y=-1$, идущий влево от оси ординат.
• При $x = 0$, значение функции $f(0)=0$. Это точка $(0,0)$.

Таким образом, график состоит из двух лучей и одной точки в начале координат.

Точки разрыва: Функция постоянна (и, следовательно, непрерывна) на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Единственная точка, в которой может быть разрыв, — это $x=0$. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \text{sign}(x) = -1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \text{sign}(x) = 1$.

Левосторонний и правосторонний пределы не равны. Значение функции в точке $f(0)=0$ не совпадает ни с одним из них. Это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $1 - (-1) = 2$.

Ответ: Точкой разрыва является $x=0$.