Страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \frac{2}{0,25(x + 1)} - 3$, преобразуя график функции $y = \frac{1}{x}$ (рис.6.1)?

1)

Растяжение вдоль оси Ox в 4 раза

2)

Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза

3)

Рис. 6.1

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево вдоль оси Ox на 1

4)

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вниз вдоль оси Oy на 3

5)

Рис. 6.1

Для построения графика функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$ из графика функции $y = \frac{1}{x}$ выполняются следующие последовательные преобразования:

1) Исходным является график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, расположенная в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: Построен график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2) Растяжение вдоль оси Ox в 4 раза

Чтобы из функции $y = f(x) = \frac{1}{x}$ получить функцию $y = \frac{1}{0,25x}$, необходимо аргумент $x$ заменить на $kx$, где $k=0,25$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $0 < k < 1$ соответствует растяжению графика вдоль оси абсцисс (Ox) в $\frac{1}{k}$ раз. В данном случае растяжение происходит в $\frac{1}{0,25} = 4$ раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(4x_0, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(4, 1)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ растягивается в 4 раза вдоль оси Ox, в результате чего получается график функции $y = \frac{1}{0,25x}$.

3) Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза

Для перехода от функции $y = g(x) = \frac{1}{0,25x}$ к функции $y = \frac{2}{0,25x}$ необходимо всю функцию умножить на коэффициент $a=2$. Преобразование вида $g(x) \rightarrow a \cdot g(x)$ при $a > 1$ соответствует растяжению графика вдоль оси ординат (Oy) в $a$ раз. В данном случае растяжение происходит в 2 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0, 2y_0)$. Например, точка $(4, 1)$ переходит в точку $(4, 2)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{0,25x}$ растягивается в 2 раза вдоль оси Oy, в результате чего получается график функции $y = \frac{2}{0,25x}$.

4) Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево вдоль оси Ox на 1

Чтобы из функции $y = h(x) = \frac{2}{0,25x}$ получить функцию $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$, необходимо аргумент $x$ заменить на $(x+1)$. Преобразование вида $h(x) \rightarrow h(x+c)$ при $c > 0$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика влево вдоль оси Ox на $c$ единиц. В данном случае $c=1$, поэтому график сдвигается влево на 1. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается в положение $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{0,25x}$ сдвигается влево на 1 единицу вдоль оси Ox, в результате чего получается график функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$.

5) Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вниз вдоль оси Oy на 3

Для перехода от функции $y = p(x) = \frac{2}{0,25(x+1)}$ к итоговой функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$ необходимо из всей функции вычесть число 3. Преобразование вида $p(x) \rightarrow p(x) - d$ при $d > 0$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вниз вдоль оси Oy на $d$ единиц. В данном случае $d=3$, поэтому график сдвигается вниз на 3. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в положение $y=-3$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$ сдвигается вниз на 3 единицы вдоль оси Oy, в результате чего получается искомый график функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$.

Продемонстрируйте справедливость этого утверждения с помощью рисунка 39.2.

1)

Рис. 39.2

Объясните, почему прямая, заданная уравнением $x = 5$, является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$.

Продемонстрируйте справедливость этого утверждения с помощью рисунка 39.2.

На рисунке 39.2 изображен график некоторой функции $y = f(x)$ и вертикальная прямая $x = x_0$. Утверждение $x \to x_0, y \to -\infty$ означает, что при приближении аргумента $x$ к значению $x_0$, значение функции $y$ стремится к минус бесконечности. График наглядно иллюстрирует это утверждение. На нем показана ветвь функции, расположенная справа от прямой $x = x_0$. Если мы будем выбирать точки на этой ветви все ближе и ближе к прямой $x = x_0$ (что соответствует стремлению $x$ к $x_0$ справа, или $x \to x_0^+$), то мы увидим, что эти точки на графике уходят все ниже и ниже, то есть их координата $y$ неограниченно убывает. Таким образом, по мере того как $x$ приближается к $x_0$, $y$ стремится к $-\infty$.

Ответ: На рисунке видно, что по мере приближения значения аргумента $x$ к точке $x_0$ с правой стороны, соответствующая точка на графике функции неограниченно опускается вниз вдоль прямой $x=x_0$, что и означает, что $y$ стремится к $-\infty$.

Объясните, почему прямая, заданная уравнением x = 5, является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$.

Прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x)$, если при приближении $x$ к $a$ (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$). Область определения функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$ – это все действительные числа, кроме $x = 5$, так как при $x = 5$ знаменатель дроби обращается в ноль. Это означает, что в точке $x = 5$ функция имеет разрыв, и в этой точке может существовать вертикальная асимптота. Для проверки найдем односторонние пределы функции при $x \to 5$:

1. Когда $x$ стремится к 5 справа ($x \to 5^+$), значения $x$ немного больше 5. Следовательно, знаменатель $x - 5$ является малым положительным числом. Предел в этом случае равен: $\lim_{x\to 5^+} \frac{2}{x - 5} = +\infty$.

2. Когда $x$ стремится к 5 слева ($x \to 5^-$), значения $x$ немного меньше 5. Следовательно, знаменатель $x - 5$ является малым отрицательным числом. Предел в этом случае равен: $\lim_{x\to 5^-} \frac{2}{x - 5} = -\infty$.

Так как при приближении $x$ к 5 функция стремится к бесконечности, то по определению прямая $x = 5$ является вертикальной асимптотой графика функции $f(x)$.

Ответ: Прямая $x = 5$ является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$, потому что односторонние пределы функции в этой точке равны бесконечности: $\lim_{x\to 5^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x\to 5^-} f(x) = -\infty$.