Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

37.19. Преобразуйте в сумму или разность произведение тригонометрических функций:

1) $\sin(2a) \cdot \cos(3a)$;

2) $\cos(4a) \cdot \cos(2a)$;

3) $\sin(5a) \cdot \sin(3a)$;

4) $\sin(2a) \cdot \sin(8a)$.

1) Для преобразования произведения $ \sin(2a) \cdot \cos(3a) $ в сумму или разность воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 2a $ и $ \beta = 3a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(2a) \cos(3a) = \frac{1}{2}(\sin(2a + 3a) + \sin(2a - 3a)) = \frac{1}{2}(\sin(5a) + \sin(-a)) $.

Используя свойство нечетности синуса, $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin(5a) - \sin(a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(5a) - \sin(a)) $.

2) Для преобразования произведения $ \cos(4a) \cdot \cos(2a) $ в сумму или разность используем формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 4a $ и $ \beta = 2a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos(4a) \cos(2a) = \frac{1}{2}(\cos(4a - 2a) + \cos(4a + 2a)) = \frac{1}{2}(\cos(2a) + \cos(6a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2a) + \cos(6a)) $.

3) Для преобразования произведения $ \sin(5a) \cdot \sin(3a) $ в сумму или разность используем формулу произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 5a $ и $ \beta = 3a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(5a) \sin(3a) = \frac{1}{2}(\cos(5a - 3a) - \cos(5a + 3a)) = \frac{1}{2}(\cos(2a) - \cos(8a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2a) - \cos(8a)) $.

4) Для преобразования произведения $ \sin(2a) \cdot \sin(8a) $ в сумму или разность воспользуемся той же формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В данном случае $ \alpha = 2a $ и $ \beta = 8a $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(2a) \sin(8a) = \frac{1}{2}(\cos(2a - 8a) - \cos(2a + 8a)) = \frac{1}{2}(\cos(-6a) - \cos(10a)) $.

Используя свойство четности косинуса, $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем:

$ \frac{1}{2}(\cos(6a) - \cos(10a)) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(6a) - \cos(10a)) $.

37.20. Упростите выражение:

1) $4\sin^6\alpha + 4\cos^6\alpha - 3\cos^22\alpha;$

2) $(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \text{ctg}(\alpha - \beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta;$

3) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)};$

4) $\frac{2\cos\beta + \cos3\beta + \cos5\beta}{\cos3\beta + \sin\beta \cdot \sin2\beta};$

5) $\frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha};$

6) $\frac{\sin9\alpha - \sin6\alpha - \sin7\alpha + \sin8\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha}.$

1) $4\sin^6\alpha + 4\cos^6\alpha - 3\cos^22\alpha$

Сначала упростим выражение $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)((\sin^2\alpha)^2 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2)$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение становится:

$1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Теперь преобразуем $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Подставим это обратно:

$1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$4(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 3\cos^22\alpha = 4 - 12\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 3\cos^22\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin^22\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Тогда $12\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 3 \cdot 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 3\sin^22\alpha$.

Выражение принимает вид:

$4 - 3\sin^22\alpha - 3\cos^22\alpha = 4 - 3(\sin^22\alpha + \cos^22\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$4 - 3(1) = 1$

Ответ: 1

2) $(\tan\alpha - \tan\beta) \cdot \cot(\alpha - \beta) - \tan\alpha \cdot \tan\beta$

Преобразуем разность тангенсов:

$\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Котангенс разности равен $\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$.

Подставим эти выражения в первую часть исходного выражения:

$(\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}) \cdot \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Теперь всё выражение выглядит так:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} - \tan\alpha \cdot \tan\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Раскроем косинус разности в числителе: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

$\frac{(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = 1$

Ответ: 1

3) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}$

Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов.

Для числителя: $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$

Для знаменателя: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta$

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$

4) $\frac{2\cos\beta + \cos3\beta + \cos5\beta}{\cos3\beta + \sin\beta \cdot \sin2\beta}$

Преобразуем числитель, сгруппировав $\cos3\beta$ и $\cos5\beta$ и применив формулу суммы косинусов:

$\cos3\beta + \cos5\beta = 2\cos\frac{3\beta+5\beta}{2}\cos\frac{5\beta-3\beta}{2} = 2\cos4\beta\cos\beta$

Числитель становится: $2\cos\beta + 2\cos4\beta\cos\beta = 2\cos\beta(1 + \cos4\beta)$.

Используем формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2x$, тогда $1 + \cos4\beta = 2\cos^2(2\beta)$.

Числитель равен $2\cos\beta \cdot 2\cos^2(2\beta) = 4\cos\beta\cos^2(2\beta)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

$\sin\beta \sin2\beta = \frac{1}{2}(\cos(2\beta-\beta) - \cos(2\beta+\beta)) = \frac{1}{2}(\cos\beta - \cos3\beta)$.

Знаменатель становится: $\cos3\beta + \frac{1}{2}(\cos\beta - \cos3\beta) = \frac{1}{2}\cos3\beta + \frac{1}{2}\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos3\beta + \cos\beta)$.

Применим формулу суммы косинусов: $\cos3\beta + \cos\beta = 2\cos\frac{3\beta+\beta}{2}\cos\frac{3\beta-\beta}{2} = 2\cos2\beta\cos\beta$.

Знаменатель равен $\frac{1}{2}(2\cos2\beta\cos\beta) = \cos2\beta\cos\beta$.

Собираем дробь:

$\frac{4\cos\beta\cos^2(2\beta)}{\cos2\beta\cos\beta} = 4\cos2\beta$

Ответ: $4\cos2\beta$

5) $\frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha}$

Сгруппируем члены в числителе и знаменателе.

Числитель: $(\sin\alpha - \sin5\alpha) - 2\cos3\alpha$. Применим формулу разности синусов:

$\sin\alpha - \sin5\alpha = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\sin(-2\alpha) = -2\cos3\alpha\sin2\alpha$

Числитель становится: $-2\cos3\alpha\sin2\alpha - 2\cos3\alpha = -2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)$.

Знаменатель: $(\cos\alpha - \cos5\alpha) + 2\sin3\alpha$. Применим формулу разности косинусов:

$\cos\alpha - \cos5\alpha = -2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} = -2\sin3\alpha\sin(-2\alpha) = 2\sin3\alpha\sin2\alpha$

Знаменатель становится: $2\sin3\alpha\sin2\alpha + 2\sin3\alpha = 2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)$.

Теперь составим дробь:

$\frac{-2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)}{2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)}$

Сокращаем на $2(\sin2\alpha + 1)$ (при условии, что это выражение не равно нулю):

$-\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\cot3\alpha$

Ответ: $-\cot3\alpha$

6) $\frac{\sin9\alpha - \sin6\alpha - \sin7\alpha + \sin8\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе для удобного применения формул преобразования суммы/разности в произведение.

Числитель: $(\sin9\alpha + \sin8\alpha) - (\sin7\alpha + \sin6\alpha)$.

Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin9\alpha + \sin8\alpha = 2\sin\frac{17\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$\sin7\alpha + \sin6\alpha = 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Числитель равен: $2\sin\frac{17\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{17\alpha}{2} - \sin\frac{13\alpha}{2})$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin\frac{17\alpha}{2} - \sin\frac{13\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{17\alpha}{2}+\frac{13\alpha}{2}}{2}\sin\frac{\frac{17\alpha}{2}-\frac{13\alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\sin\alpha$

Итого числитель: $2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot 2\cos\frac{15\alpha}{2}\sin\alpha = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{15\alpha}{2}\sin\alpha$.

Знаменатель: $(\cos9\alpha + \cos6\alpha) + (\cos8\alpha + \cos7\alpha)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos9\alpha + \cos6\alpha = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$

$\cos8\alpha + \cos7\alpha = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Знаменатель равен: $2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} + 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{15\alpha}{2}(\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.

Применим формулу суммы косинусов еще раз:

$\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}$

Итого знаменатель: $2\cos\frac{15\alpha}{2} \cdot 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2} = 4\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}$.

Собираем дробь:

$\frac{4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{15\alpha}{2}\sin\alpha}{4\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$