Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

5.4. Выполните сжатие вдоль оси $Ox$ в 3 раза графика функции $y = x^2 - 2$. Запишите формулу полученной функции.

Сжатие графика функции $y = f(x)$ вдоль оси $Ox$ в $k$ раз ($k>1$) означает, что для получения новой функции $y_1$ нужно в исходной формуле заменить аргумент $x$ на выражение $kx$. Таким образом, новая функция будет иметь вид $y_1 = f(kx)$.

В данном случае исходная функция $f(x) = x^2 - 2$, а сжатие выполняется в 3 раза, следовательно, коэффициент $k=3$.

Выполним замену $x$ на $3x$ в формуле исходной функции:

$y_1 = (3x)^2 - 2$

Теперь упростим полученное выражение, возведя $3x$ в квадрат:

$y_1 = 9x^2 - 2$

Это и есть искомая формула функции, график которой получен сжатием графика функции $y = x^2 - 2$ вдоль оси $Ox$ в 3 раза.

Ответ: $y = 9x^2 - 2$

5.5. Выполните растяжение вдоль оси $Ox$ в 0,4 раза графика функции $y = x^2 + 3x$. Запишите формулу полученной функции.

5.5. Чтобы выполнить растяжение графика функции $y = f(x)$ вдоль оси Ox (оси абсцисс) в $k$ раз, необходимо в формуле функции заменить аргумент $x$ на выражение $\frac{x}{k}$.

В данной задаче исходная функция имеет вид $y = x^2 + 3x$. Растяжение выполняется с коэффициентом $k = 0,4$.

Сделаем замену $x$ на $\frac{x}{0,4}$ в исходном уравнении: $y_{новая} = \left(\frac{x}{0,4}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{0,4}\right)$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала преобразуем дробь: $\frac{x}{0,4} = \frac{x}{4/10} = \frac{10x}{4} = \frac{5x}{2} = 2,5x$.

Подставим $2,5x$ в преобразованное выражение и выполним вычисления: $y = (2,5x)^2 + 3(2,5x)$

$y = (2,5)^2 \cdot x^2 + (3 \cdot 2,5) \cdot x$

$y = 6,25x^2 + 7,5x$

Ответ: $y = 6,25x^2 + 7,5x$

5.6. Заданы координаты вершин прямоугольника ABCK — $A(0; 0)$, $B(0; 4)$, $C(6; 4)$, $K(6; 0)$. Выполните растяжение или сжатие вдоль оси $Ox$ или $Oy$ прямоугольника так, чтобы получился квадрат.

Задан прямоугольник ABCK с координатами вершин A(0; 0), B(0; 4), C(6; 4), K(6; 0). Найдем длины его сторон, лежащих на осях координат.

Длина стороны AK, лежащей на оси Ox, равна разности абсцисс точек K и A: $|AK| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = 6$.

Длина стороны AB, лежащей на оси Oy, равна разности ординат точек B и A: $|AB| = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4$.

Поскольку стороны прямоугольника не равны ($6 \ne 4$), для получения квадрата необходимо изменить длину одной из сторон так, чтобы она стала равна длине другой. Это можно сделать двумя способами.

1. Сжатие вдоль оси Ox

Чтобы получить квадрат, можно сжать прямоугольник вдоль оси Ox так, чтобы его сторона длиной 6 стала равна 4. Для этого необходимо все абсциссы (координаты x) точек умножить на коэффициент сжатия $k$.

Найдем коэффициент сжатия $k$: $k \cdot 6 = 4 \implies k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Формулы преобразования координат: $x' = \frac{2}{3}x$, $y' = y$. Применим это преобразование к каждой вершине:

A(0; 0) $\rightarrow$ A'( $\frac{2}{3} \cdot 0$; 0) = A'(0; 0)

B(0; 4) $\rightarrow$ B'( $\frac{2}{3} \cdot 0$; 4) = B'(0; 4)

C(6; 4) $\rightarrow$ C'( $\frac{2}{3} \cdot 6$; 4) = C'(4; 4)

K(6; 0) $\rightarrow$ K'( $\frac{2}{3} \cdot 6$; 0) = K'(4; 0)

В результате получился квадрат A'B'C'K' со стороной 4.

Ответ: необходимо выполнить сжатие вдоль оси Ox с коэффициентом $k = 2/3$. Новые координаты вершин: A'(0; 0), B'(0; 4), C'(4; 4), K'(4; 0).

2. Растяжение вдоль оси Oy

Чтобы получить квадрат, можно растянуть прямоугольник вдоль оси Oy так, чтобы его сторона длиной 4 стала равна 6. Для этого необходимо все ординаты (координаты y) точек умножить на коэффициент растяжения $k$.

Найдем коэффициент растяжения $k$: $k \cdot 4 = 6 \implies k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Формулы преобразования координат: $x' = x$, $y' = \frac{3}{2}y$. Применим это преобразование к каждой вершине:

A(0; 0) $\rightarrow$ A''(0; $\frac{3}{2} \cdot 0$) = A''(0; 0)

B(0; 4) $\rightarrow$ B''(0; $\frac{3}{2} \cdot 4$) = B''(0; 6)

C(6; 4) $\rightarrow$ C''(6; $\frac{3}{2} \cdot 4$) = C''(6; 6)

K(6; 0) $\rightarrow$ K''(6; $\frac{3}{2} \cdot 0$) = K''(6; 0)

В результате получился квадрат A''B''C''K'' со стороной 6.

Ответ: необходимо выполнить растяжение вдоль оси Oy с коэффициентом $k = 3/2$. Новые координаты вершин: A''(0; 0), B''(0; 6), C''(6; 6), K''(6; 0).

5.7. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x}$;

2) $y = \sqrt{0,5x}$;

3) $y = \sqrt{-4x}$;

4) $y = \sqrt{-0,2x}$.

Для построения всех графиков используется базовый график функции $y = \sqrt{x}$. Этот график представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и проходящую через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3). Область определения функции $x \ge 0$.

Преобразуем функцию: $y = \sqrt{2x} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x}$. Область определения функции: $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения вдоль оси ординат (OY) в $\sqrt{2}$ раз. Это означает, что для каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$, ее ордината (y-координата) умножается на $\sqrt{2}$, а абсцисса (x-координата) остается неизменной. Например, точка (4, 2) на базовом графике переместится в точку (4, $2\sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в $\sqrt{2}$ раз.

Преобразуем функцию: $y = \sqrt{0.5x} = \sqrt{0.5} \cdot \sqrt{x}$. Область определения: $0.5x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем его сжатия вдоль оси ординат (OY) в $\frac{1}{\sqrt{0.5}} = \sqrt{2}$ раз. Ордината каждой точки графика $y = \sqrt{x}$ умножается на $\sqrt{0.5} \approx 0.707$. Например, точка (4, 2) на базовом графике переместится в точку (4, $2\sqrt{0.5}$) или (4, $\sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = \sqrt{0.5x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сжатия вдоль оси OY в $\sqrt{2}$ раз.

Сначала найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $-4x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Это означает, что график функции находится во второй координатной четверти. Преобразуем функцию: $y = \sqrt{-4x} = \sqrt{4 \cdot (-x)} = 2\sqrt{-x}$. Построение графика происходит в два этапа:1. Построить график $y = \sqrt{-x}$ путем симметричного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (OY).2. Полученный график $y = \sqrt{-x}$ растянуть вдоль оси ординат (OY) в 2 раза.Например, точка (4, 2) на графике $y = \sqrt{x}$ сначала отражается в точку (-4, 2) на графике $y = \sqrt{-x}$, а затем растягивается в точку (-4, 4) на искомом графике.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-4x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси OY с последующим растяжением вдоль оси OY в 2 раза.

Область определения функции: $-0.2x \ge 0$, откуда $x \le 0$. График расположен во второй координатной четверти. Преобразуем функцию: $y = \sqrt{-0.2x} = \sqrt{0.2 \cdot (-x)} = \sqrt{0.2}\sqrt{-x}$. Построение графика происходит в два этапа:1. Построить график $y = \sqrt{-x}$ путем симметричного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (OY).2. Полученный график $y = \sqrt{-x}$ сжать вдоль оси ординат (OY) в $\frac{1}{\sqrt{0.2}} = \sqrt{5}$ раз.Например, точка (1, 1) на графике $y = \sqrt{x}$ сначала отражается в точку (-1, 1) на графике $y = \sqrt{-x}$, а затем сжимается в точку (-1, $\sqrt{0.2}$) на искомом графике. Для получения целочисленной точки можно взять $x=-5$, тогда $y = \sqrt{-0.2 \cdot (-5)} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-0.2x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси OY с последующим сжатием вдоль оси OY в $\sqrt{5}$ раз.

5.8. Найдите число общих точек графиков функций:

1) $y = (2 - x)^2$ и $y = \sqrt{0.4x}$;

2) $y = -(2x - 3)^2$ и $y = -\sqrt{0.6x}$.

1) Чтобы найти число общих точек графиков функций $y = (2 - x)^2$ и $y = \sqrt{0.4x}$, необходимо определить количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = (2 - x)^2 \\ y = \sqrt{0.4x} \end{cases}$

Для нахождения общих точек приравняем правые части уравнений:

$(2 - x)^2 = \sqrt{0.4x}$

Проанализируем графики обеих функций.

Функция $y = (2 - x)^2$ — это парабола. Так как $(2 - x)^2 = (x - 2)^2$, её вершина находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх. Значения этой функции всегда неотрицательны, $y \ge 0$.

Функция $y = \sqrt{0.4x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $0.4x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Значения этой функции также неотрицательны, $y \ge 0$.

Сравним поведение графиков, чтобы определить количество точек пересечения:

1. При $x = 0$ значение первой функции $y = (2 - 0)^2 = 4$. Значение второй функции $y = \sqrt{0.4 \cdot 0} = 0$. В этой точке график параболы находится выше графика корня.

2. При $x = 2$ (вершина параболы) значение первой функции $y = (2 - 2)^2 = 0$. Значение второй функции $y = \sqrt{0.4 \cdot 2} = \sqrt{0.8} \approx 0.89$. В этой точке график параболы находится ниже графика корня.

Поскольку обе функции непрерывны, а в точке $x=0$ парабола выше, а в точке $x=2$ — ниже, то на интервале $(0, 2)$ должно быть как минимум одно пересечение. На этом интервале парабола убывает, а функция корня возрастает, поэтому пересечение может быть только одно.

3. При $x > 2$ обе функции возрастают. В точке $x=2$ парабола находится ниже. Однако при больших значениях $x$ квадратичная функция $y=(x-2)^2$ растет значительно быстрее, чем функция $y=\sqrt{0.4x}$. Это означает, что график параболы неизбежно пересечет график функции корня еще раз и станет выше него. После этого второго пересечения они больше не встретятся.

Таким образом, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: 2.

2) Чтобы найти число общих точек графиков функций $y = -(2x - 3)^2$ и $y = -\sqrt{0.6x}$, необходимо определить количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = -(2x - 3)^2 \\ y = -\sqrt{0.6x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-(2x - 3)^2 = -\sqrt{0.6x}$

$(2x - 3)^2 = \sqrt{0.6x}$

Проанализируем графики обеих функций.

Функция $y = -(2x - 3)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке, где $2x-3=0$, то есть $x=1.5$. Координаты вершины: $(1.5, 0)$. Значения функции всегда неположительны, $y \le 0$.

Функция $y = -\sqrt{0.6x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно убывает. Значения функции также неположительны, $y \le 0$.

Сравним поведение графиков при $x \ge 0$:

1. При $x = 0$ значение первой функции $y = -(2 \cdot 0 - 3)^2 = -9$. Значение второй функции $y = -\sqrt{0.6 \cdot 0} = 0$. В этой точке график параболы находится ниже.

2. При $x = 1.5$ (вершина параболы) значение первой функции $y = -(2 \cdot 1.5 - 3)^2 = 0$. Значение второй функции $y = -\sqrt{0.6 \cdot 1.5} = -\sqrt{0.9} \approx -0.95$. В этой точке график параболы находится выше.

На интервале $(0, 1.5)$ парабола возрастает (от -9 до 0), а функция корня убывает (от 0 до ≈ -0.95). Поскольку в $x=0$ парабола ниже, а в $x=1.5$ — выше, и обе функции непрерывны, на этом интервале существует ровно одна точка пересечения.

3. При $x > 1.5$ обе функции убывают. В точке $x=1.5$ парабола находится выше графика корня. Однако при больших значениях $x$ квадратичная функция $y=-(2x-3)^2$ убывает гораздо быстрее (стремится к $-\infty$), чем функция $y=-\sqrt{0.6x}$. Следовательно, график параболы должен пересечь график функции корня еще раз и уйти ниже. После этого второго пересечения они больше не встретятся.

Таким образом, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: 2.

5.9. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2|x|}$;

2) $y = \sqrt{0.5|x|}$;

3) $y = -\sqrt{-4x}$;

4) $y = 2\sqrt{0.3x}$.

1) $y = \sqrt{2|x|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{2|x|}$ будем использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Функция $y = \sqrt{2|x|}$ является четной, так как $f(-x) = \sqrt{2|-x|} = \sqrt{2|x|} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Сначала построим часть графика для $x \ge 0$. При $x \ge 0$ модуль $|x|$ равен $x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2x}$.

3. График функции $y = \sqrt{2x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Это значит, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{x}$, то точка $(x_0/2, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{2x}$.Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2).Соответствующие точки на графике $y = \sqrt{2x}$ будут: (0, 0), (0.5, 1), (2, 2).

4. Теперь, используя свойство четности, отразим построенную часть графика (для $x \ge 0$) симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Точки на левой ветви будут, например, (-0.5, 1), (-2, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{2|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Правая ветвь ($x \ge 0$) является графиком функции $y=\sqrt{2x}$, который получается сжатием графика $y=\sqrt{x}$ к оси OY в 2 раза. Левая ветвь является зеркальным отражением правой относительно оси OY.

2) $y = \sqrt{0,5|x|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту, так как функция также является четной.

1. График функции $y = \sqrt{0,5|x|}$ симметричен относительно оси OY.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$, где функция имеет вид $y = \sqrt{0,5x}$.

3. График функции $y = \sqrt{0,5x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения по горизонтали (от оси OY) в $1/0,5 = 2$ раза. Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{x}$, то точка $(x_0/0.5, y_0) = (2x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{0,5x}$.Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2).Соответствующие точки на графике $y = \sqrt{0,5x}$ будут: (0, 0), (2, 1), (8, 2).

4. Отразив построенную ветвь симметрично относительно оси OY, получим вторую ветвь графика для $x < 0$. Она будет проходить через точки (-2, 1), (-8, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{0,5|x|}$ симметричен относительно оси OY. Правая ветвь ($x \ge 0$) является графиком функции $y=\sqrt{0,5x}$, который получается растяжением графика $y=\sqrt{x}$ от оси OY в 2 раза. Левая ветвь является зеркальным отражением правой относительно оси OY.

3) $y = -\sqrt{-4x}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика $y = \sqrt{x}$. Область определения функции: $-4x \ge 0 \implies x \le 0$.

1. Начнем с графика $y = \sqrt{x}$. Его ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. Преобразуем его в график $y = \sqrt{-x}$. Это преобразование является симметричным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси OY. График будет расположен во второй координатной четверти. Ключевые точки: (0, 0), (-1, 1), (-4, 2).

3. Далее построим график $y = \sqrt{-4x}$. Его можно представить как $y = \sqrt{4(-x)} = 2\sqrt{-x}$. Этот график получается из графика $y = \sqrt{-x}$ путем растяжения по вертикали (от оси OX) в 2 раза. Ключевые точки станут: (0, 0), (-1, 2), (-4, 4).

4. Финальным шагом построим график $y = -\sqrt{-4x}$. Знак "минус" перед корнем означает симметричное отражение графика $y = \sqrt{-4x}$ относительно оси OX. График окажется в третьей координатной четверти. Ключевые точки: (0, 0), (-1, -2), (-4, -4).

Ответ: График функции $y = -\sqrt{-4x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем последовательных преобразований: симметричного отражения относительно оси OY, затем растяжения от оси OX в 2 раза и, наконец, симметричного отражения относительно оси OX. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в третьей четверти.

4) $y = 2\sqrt{0,3x}$

Построим график функции $y = 2\sqrt{0,3x}$, выполняя преобразования над графиком $y = \sqrt{x}$. Область определения: $0,3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

1. Начнем с графика $y = \sqrt{x}$.

2. Построим график функции $y = \sqrt{0,3x}$. Он получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем горизонтального растяжения от оси OY в $1/0,3 = 10/3$ раза. Найдем новые точки. Точкам (1, 1) и (9, 3) на исходном графике будут соответствовать точки $(10/3, 1)$ и $(9 \cdot 10/3, 3) = (30, 3)$ на новом графике. Чтобы получить более удобные целочисленные значения, можно рассмотреть точку $(10/3, 1)$ на графике $y=\sqrt{0,3x}$, так как $\sqrt{0,3 \cdot 10/3} = \sqrt{1} = 1$.

3. Теперь построим график $y = 2\sqrt{0,3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{0,3x}$ путем вертикального растяжения от оси OX в 2 раза. Каждая ордината точки умножается на 2.Ключевые точки для $y = 2\sqrt{0,3x}$:Начало в (0, 0).Точка $(10/3, 1)$ с предыдущего графика переходит в точку $(10/3, 2)$.Точка $(40/3, 2)$ на графике $y=\sqrt{0,3x}$ (т.к. $\sqrt{0,3 \cdot 40/3} = \sqrt{4} = 2$) перейдет в точку $(40/3, 4)$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{0,3x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем горизонтального растяжения от оси OY в $10/3$ раза с последующим вертикальным растяжением от оси OX в 2 раза. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в первой четверти.

*5.10. Используя графики функций, найдите число корней уравнения:

1) $x^2 - 2|x| = \frac{1}{|x|}$;

2) $-x^2 + 4|x| = -\sqrt{2|x|}$.

1) Чтобы найти число корней уравнения $x^2 - 2|x| = \frac{1}{|x|}$, мы построим графики двух функций в одной системе координат и найдём количество точек их пересечения.

Пусть $y_1 = x^2 - 2|x|$ и $y_2 = \frac{1}{|x|}$.

Рассмотрим функцию $y_1 = x^2 - 2|x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно записать $y_1 = |x|^2 - 2|x|$. Эта функция является чётной, так как $y_1(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = y_1(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.

Построим часть графика для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $x^2 - 2x = 0$, то есть $x(x-2)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$.

Для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую вершину в точке $(-1, -1)$ и пересечение с осью Ox в точке $x=-2$. График функции $y_1$ напоминает букву 'W'.

Теперь рассмотрим функцию $y_2 = \frac{1}{|x|}$. Эта функция также является чётной, так как $y_2(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y_2(x)$, и её график симметричен относительно оси Oy. Область определения: $x \ne 0$. Все значения функции положительны ($y_2 > 0$).

Для $x > 0$ функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в первой координатной четверти. При $x \to 0^+$, $y_2 \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y_2 \to 0$.

Для $x < 0$ график симметрично отражается и представляет собой ветвь гиперболы во второй координатной четверти.

Теперь найдём точки пересечения. График $y_2 = \frac{1}{|x|}$ полностью лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$). График $y_1 = x^2 - 2|x|$ находится в верхней полуплоскости, когда $x^2 - 2|x| > 0$, то есть $|x|(|x|-2) > 0$. Так как $|x| \ge 0$, это неравенство выполняется при $|x| > 2$, то есть для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Следовательно, пересечения могут быть только в этих интервалах.

Рассмотрим интервал $x > 2$. Здесь функция $y_1 = x^2 - 2x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{1}{x}$ убывает. В точке $x=2$, $y_1(2)=0$, а $y_2(2)=\frac{1}{2}$. При увеличении $x$ (например, при $x=3$) $y_1(3)=3$, а $y_2(3)=\frac{1}{3}$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, и в точке $x=2$ $y_1 < y_2$, а при достаточно большом $x$ $y_1 > y_2$, то на интервале $(2, +\infty)$ существует ровно одна точка пересечения.

В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, такая же ситуация будет и на интервале $(-\infty, -2)$. Там также будет ровно одна точка пересечения.

Таким образом, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2

2) Чтобы найти число корней уравнения $-x^2 + 4|x| = -\sqrt{2|x|}$, мы построим графики двух функций в одной системе координат и найдём количество точек их пересечения.

Пусть $y_1 = -x^2 + 4|x|$ и $y_2 = -\sqrt{2|x|}$.

Рассмотрим функцию $y_1 = -x^2 + 4|x|$. Эта функция является чётной, так как $y_1(-x) = -(-x)^2 + 4|-x| = -x^2 + 4|x| = y_1(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.

Построим часть графика для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты её вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, $y_v = -(2^2) + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $-x^2 + 4x = 0$, то есть $-x(x-4)=0$, откуда $x=0$ и $x=4$.

Для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую вершину в точке $(-2, 4)$ и пересечение с осью Ox в точке $x=-4$. График функции $y_1$ напоминает букву 'M'.

Теперь рассмотрим функцию $y_2 = -\sqrt{2|x|}$. Эта функция также является чётной, так как $y_2(-x) = -\sqrt{2|-x|} = -\sqrt{2|x|} = y_2(x)$. Область определения — все действительные числа. Все значения функции неположительны ($y_2 \le 0$).

Для $x \ge 0$ функция имеет вид $y_2 = -\sqrt{2x}$. Её график — это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox, расположенная в четвёртой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$ и уходит вниз.

Для $x < 0$ график симметрично отражается и представляет собой кривую в третьей координатной четверти.

Теперь найдём точки пересечения. Проверим точку $x=0$: $y_1(0) = -0^2 + 4|0| = 0$ и $y_2(0) = -\sqrt{2|0|} = 0$. Значит, $x=0$ является одним из корней, а точка $(0, 0)$ — одна из точек пересечения.

Рассмотрим $x > 0$. График $y_1 = -x^2 + 4x$ лежит в нижней полуплоскости ($y<0$) при $x>4$. График $y_2 = -\sqrt{2x}$ всегда лежит в нижней полуплоскости для $x>0$. Следовательно, другие точки пересечения для $x>0$ могут существовать только при $x>4$.

В точке $x=4$ имеем: $y_1(4)=0$, а $y_2(4) = -\sqrt{2 \cdot 4} = -\sqrt{8} \approx -2.82$.

При $x > 4$ обе функции убывают. Однако, парабола $y_1 = -x^2+4x$ убывает значительно быстрее, чем функция $y_2 = -\sqrt{2x}$. Например, при $x=8$: $y_1(8) = -8^2 + 4 \cdot 8 = -64+32 = -32$, а $y_2(8) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$.

Поскольку в точке $x=4$ график $y_1$ находится выше графика $y_2$ ($0 > -\sqrt{8}$), а при $x=8$ график $y_1$ находится ниже графика $y_2$ ($-32 < -4$), и обе функции непрерывны, то на интервале $(4, +\infty)$ должна быть ровно одна точка пересечения.

В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, существует ещё одна точка пересечения на интервале $(-\infty, -4)$.

Таким образом, всего имеется три точки пересечения: одна при $x=0$, одна при $x>4$ и одна при $x<-4$.

Ответ: 3

5.11.Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 4|x| + 1|$;

2) $y = |-x^2 + 2|x| - 2|$;

3) $y = |\sqrt{|x|} - 2|$.

1) Построить график функции $y = |x^2 - 4|x| + 1|$.

1. Заметим, что функция является четной, так как $x$ входит в уравнение только в виде $|x|$ и $x^2 = |x|^2$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$.

2. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 4x + 1|$.

3. Сначала построим параболу $g(x) = x^2 - 4x + 1$. Ветви параболы направлены вверх.

- Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

- $y_0 = g(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. Вершина находится в точке $(2, -3)$.

- Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $x^2 - 4x + 1 = 0$.

- $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

- $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{12}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{3}) / 2 = 2 \pm \sqrt{3}$. Обе точки, $x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.27$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73$, принадлежат рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = g(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

4. Теперь построим график функции $y = |x^2 - 4x + 1|$ для $x \ge 0$. Для этого часть графика параболы $g(x)$, которая лежит ниже оси $Ox$ (где $x^2 - 4x + 1 < 0$, то есть при $x \in (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$), нужно симметрично отразить относительно оси $Ox$. Вершина $(2, -3)$ перейдет в точку $(2, 3)$, которая станет точкой локального максимума.

5. Наконец, отразим полученный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси $Oy$. Точка максимума $(2, 3)$ отразится в точку $(-2, 3)$. Точка $(0, 1)$ останется на месте и будет точкой локального минимума. Нули функции $2 \pm \sqrt{3}$ отразятся в точки $-(2 \pm \sqrt{3})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет два локальных максимума в точках $(-2, 3)$ и $(2, 3)$, и локальный минимум в точке $(0, 1)$. График пересекает ось $Ox$ (касается ее) в четырех точках: $x = \pm(2 - \sqrt{3})$ и $x = \pm(2 + \sqrt{3})$.

2) Построить график функции $y = |-x^2 + 2|x| - 2|$.

1. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = -x^2 + 2|x| - 2$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно переписать $g(x) = -|x|^2 + 2|x| - 2$.

2. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = -t^2 + 2t - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз.

- Найдем вершину параболы: $t_0 = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

- Максимальное значение функции $f(t)$ равно $f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.

- Поскольку максимальное значение функции $f(t)$ равно -1 (при $t=1$), то для всех $t \ge 0$ функция $f(t)$ принимает только отрицательные значения. Следовательно, выражение $g(x) = -x^2 + 2|x| - 2$ всегда отрицательно для любых действительных $x$.

3. Так как выражение под модулем всегда отрицательно, то $|g(x)| = -g(x)$. Таким образом, исходная функция упрощается:

$y = -(-x^2 + 2|x| - 2) = x^2 - 2|x| + 2$.

4. Теперь строим график функции $y = x^2 - 2|x| + 2$. Эта функция четная, так как зависит только от $|x|$ и $x^2$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Построим график для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция имеет вид $y = x^2 - 2x + 2$.

- Это парабола, ветви которой направлены вверх. Выделим полный квадрат: $y = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.

- Вершина этой параболы находится в точке $(1, 1)$.

- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$.

6. Отразим построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Вершина $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, 1)$. Точка $(0, 2)$ останется на месте. Для $x < 0$ график будет описываться функцией $y = x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из двух ветвей парабол. Минимальные значения достигаются в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. В точке $(0, 2)$ наблюдается "излом" (локальный максимум).

3) Построить график функции $y = |\sqrt{4|x|} - 2|$.

1. Упростим выражение под модулем: $\sqrt{4|x|} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{|x|} = 2\sqrt{|x|}$. Таким образом, функция имеет вид $y = |2\sqrt{|x|} - 2|$.

2. Функция является четной, так как $x$ входит в уравнение только под знаком модуля. График функции симметричен относительно оси $Oy$. Построим его для $x \ge 0$ и отразим.

3. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |2\sqrt{x} - 2|$. Область определения для этой части: $x \ge 0$.

4. Сначала построим график функции $g(x) = 2\sqrt{x} - 2$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$ и смещенный на 2 единицы вниз по оси $Oy$.

- Начальная точка графика (при $x=0$): $y = 2\sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

- Найдем точку пересечения с осью $Ox$: $2\sqrt{x} - 2 = 0 \implies 2\sqrt{x} = 2 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$. Точка $(1, 0)$.

- Для контроля возьмем еще одну точку: при $x=4$, $y = 2\sqrt{4} - 2 = 2 \cdot 2 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$.

5. Теперь построим график $y = |2\sqrt{x} - 2|$ для $x \ge 0$. Часть графика $g(x)$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $0 \le x < 1$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

- Точка $(0, -2)$ переходит в точку $(0, 2)$.

- Часть графика для $x \ge 1$ остается на месте, так как там $g(x) \ge 0$.

- В точке $(1, 0)$ будет "излом" графика.

6. Отразим полученный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси $Oy$.

- Точка $(0, 2)$ лежит на оси симметрии.

- Точка излома $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.

- Точка $(4, 2)$ отразится в точку $(-4, 2)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет локальный максимум (излом) в точке $(0, 2)$ и два минимума (также изломы) в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, где он касается оси $Ox$.

5.12.Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 - 3 \text{ при } x \ge 0, \\ 3-2x \text{ при } x \ge 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} x^2 + 3x \text{ при } x \ge 0, \\ \sqrt{-x} \text{ при } x < 0; \end{cases}$

1) Данная функция является кусочно-заданной. В условии, по всей видимости, допущена опечатка. Наиболее вероятный вид функции, который имелся в виду:

$y = \begin{cases} x^2 - 3 & \text{при } x \ge 0, \\ 3 - 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построим график этой функции. Он состоит из двух частей.

Часть 1: $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$.

Это график параболы $y=x^2$, смещенной на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -3)$. Так как мы рассматриваем область $x \ge 0$, нам нужна только правая ветвь параболы, включая вершину. Точка $(0, -3)$ является частью графика (закрашенная точка).

Найдем точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Найдем пересечение с осью Ox: $y=0 \implies x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3$. Так как $x \ge 0$, то $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(\sqrt{3}, 0)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Часть 2: $y = 3 - 2x$ при $x < 0$.

Это график линейной функции, то есть прямая. Поскольку $x < 0$, мы строим луч.

Найдем точки для построения:

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x \to 0^-} (3-2x) = 3$. Это означает, что луч начинается в точке $(0, 3)$, но сама точка не включается в график (она выколотая).
• При $x = -1$, $y = 3 - 2(-1) = 5$. Точка $(-1, 5)$.
• При $x = -2$, $y = 3 - 2(-2) = 7$. Точка $(-2, 7)$.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это луч, выходящий из выколотой точки $(0, 3)$ и проходящий через точки $(-1, 5)$ и $(-2, 7)$. Вторая часть — это правая ветвь параболы $y=x^2-3$, начинающаяся в точке $(0, -3)$ (вершина) и проходящая через точку $(\sqrt{3}, 0)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2) Построим график кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 + 3x & \text{при } x \ge 0, \\ \sqrt{-x} & \text{при } x < 0. \end{cases}$

График состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $x=0$.

Часть 1: $y = x^2 + 3x$ при $x \ge 0$.

Это график параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Так как вершина находится в точке $x=-1.5$, а мы рассматриваем область $x \ge 0$, то на этом промежутке функция будет монотонно возрастать.

Найдем точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0^2 + 3(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. Это точка "стыковки" двух частей графика.
• При $x = 1$, $y = 1^2 + 3(1) = 4$. Точка $(1, 4)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 + 3(2) = 10$. Точка $(2, 10)$.

Часть 2: $y = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Эта функция определена при $-x \ge 0$, то есть при $x \le 0$, что соответствует нашему условию $x < 0$. График этой функции — это график функции $y=\sqrt{x}$, отраженный симметрично относительно оси Oy. Это ветвь параболы, "лежащей на боку", с вершиной в начале координат.

Найдем точки для построения:

• Проверим значение в точке стыковки. При $x \to 0$ слева, $y \to \sqrt{-0} = 0$. График подходит к точке $(0, 0)$. Поскольку первая часть графика также начинается в $(0,0)$, функция непрерывна.
• При $x = -1$, $y = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1, 1)$.
• При $x = -4$, $y = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-4, 2)$.

Соединив эти две части в точке $(0, 0)$, мы получаем итоговый график.

Ответ: График функции является непрерывной линией, состоящей из двух частей, соединенных в начале координат $(0, 0)$. При $x < 0$ это ветвь параболы $y = \sqrt{-x}$, открывающейся влево и проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(-4, 2)$. При $x \ge 0$ это возрастающая часть параболы $y = x^2 + 3x$, открывающейся вверх и проходящая через точки $(1, 4)$ и $(2, 10)$.

5.13. Найдите корни уравнения:

1) $|x - 2| - 2|x + 1| = 4;$

2) $2|x - 1| - |x + 3| = -3.$

1) Решим уравнение $||x-2| - 2|x+1|| = 4$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $|x-2| - 2|x+1| = 4$ и $|x-2| - 2|x+1| = -4$. Для решения используем метод интервалов. Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x-2=0 \implies x=2$ и $x+1=0 \implies x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Сначала решим уравнение $|x-2| - 2|x+1| = 4$:

- При $x < -1$, оба модуля раскрываются со знаком минус: $-(x-2) - 2(-(x+1)) = 4 \implies -x+2+2x+2=4 \implies x+4=4 \implies x=0$. Этот корень не принадлежит промежутку $x < -1$.

- При $-1 \le x < 2$, первый модуль раскрывается со знаком минус, второй — с плюсом: $-(x-2) - 2(x+1) = 4 \implies -x+2-2x-2=4 \implies -3x=4 \implies x=-4/3$. Этот корень не принадлежит промежутку $[-1, 2)$.

- При $x \ge 2$, оба модуля раскрываются со знаком плюс: $(x-2) - 2(x+1) = 4 \implies x-2-2x-2=4 \implies -x-4=4 \implies x=-8$. Этот корень не принадлежит промежутку $x \ge 2$.

Следовательно, это уравнение не имеет корней.

Теперь решим уравнение $|x-2| - 2|x+1| = -4$:

- При $x < -1$: $-(x-2) - 2(-(x+1)) = -4 \implies x+4=-4 \implies x=-8$. Корень принадлежит промежутку $x < -1$, значит, является решением.

- При $-1 \le x < 2$: $-(x-2) - 2(x+1) = -4 \implies -3x=-4 \implies x=4/3$. Корень принадлежит промежутку $[-1, 2)$, значит, является решением.

- При $x \ge 2$: $(x-2) - 2(x+1) = -4 \implies -x-4=-4 \implies x=0$. Корень не принадлежит промежутку $x \ge 2$.

Корнями этого уравнения являются $x=-8$ и $x=4/3$.

Поскольку первое уравнение не имеет решений, корни исходного уравнения — это корни второго уравнения.

Ответ: $-8; 4/3$.

2) Решим уравнение $2|x-1| - |x+3| = -3$.

Для решения используем метод интервалов. Найдём точки, где подмодульные выражения равны нулю: $x-1=0 \implies x=1$ и $x+3=0 \implies x=-3$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка, на каждом из которых мы раскроем модули.

- При $x < -3$, оба модуля раскрываются со знаком минус.

$2(-(x-1)) - (-(x+3)) = -3$

$-2x+2+x+3 = -3$

$-x+5 = -3 \implies -x = -8 \implies x=8$.

Корень $x=8$ не принадлежит промежутку $x < -3$, следовательно, не является решением.

- При $-3 \le x < 1$, модуль $|x-1|$ раскрывается со знаком минус, а $|x+3|$ — со знаком плюс.

$2(-(x-1)) - (x+3) = -3$

$-2x+2-x-3 = -3$

$-3x-1 = -3 \implies -3x = -2 \implies x=2/3$.

Корень $x=2/3$ принадлежит промежутку $[-3, 1)$, следовательно, является решением.

- При $x \ge 1$, оба модуля раскрываются со знаком плюс.

$2(x-1) - (x+3) = -3$

$2x-2-x-3 = -3$

$x-5 = -3 \implies x=2$.

Корень $x=2$ принадлежит промежутку $x \ge 1$, следовательно, является решением.

Ответ: $2/3; 2$.

5.14.Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 3 > x, \\ 3x + 5 \le -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 + 3 < 10x, \\ x^2 + 2 < 3x. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - x - 3 > x, \\ 3x + 5 \le -1 \end{cases} $$ Для этого решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

$x^2 - x - 3 > x$

Переносим $x$ в левую часть:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

$3x + 5 \le -1$

Переносим 5 в правую часть:

$3x \le -1 - 5$

$3x \le -6$

Делим обе части на 3:

$x \le -2$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2]$.

Нахождение решения системы:

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(-\infty; -2]$.

Общей частью этих множеств является промежуток $(-\infty; -2]$.

Ответ: $(-\infty; -2]$.

2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x^2 + 3 < 10x, \\ x^2 + 2 < 3x \end{cases} $$ Для этого решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

$3x^2 + 3 < 10x$

Переносим $10x$ в левую часть:

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 10x + 3$ направлены вверх. Неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся в интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (\frac{1}{3}; 3)$.

Решение второго неравенства:

$x^2 + 2 < 3x$

Переносим $3x$ в левую часть:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся в интервале между корнями.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (1; 2)$.

Нахождение решения системы:

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(\frac{1}{3}; 3)$ и $(1; 2)$.

Общей частью этих интервалов является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

38.13. Найдите предел функции:

1) $ \lim_{x \to 0} \frac{tg 4x}{\sin 2x}; $

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}; $

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{tg^2 2x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}; $

5) $ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}; $

6) $ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 - x} - 2}{x - 1}; $

7) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x + 3}{x^3 - 2}; $

8) $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x^2 + 3x}{x^3 + 2x - 1}. $

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{\sin 2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1$ и его следствием $\lim_{u\to0}\frac{\tg u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель на $4x$ и знаменатель на $2x$:

$\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{\sin 2x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{\tg 4x}{4x} \cdot 4x}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\tg 4x}{4x}}{\frac{\sin 2x}{2x}} \cdot \frac{4x}{2x}$

Поскольку при $x \to 0$, $4x \to 0$ и $2x \to 0$, то $\lim_{x\to0}\frac{\tg 4x}{4x} = 1$ и $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x} = 1$.

Таким образом, предел равен:

$\frac{1}{1} \cdot \lim_{x\to0}\frac{4x}{2x} = 1 \cdot \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

2) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на $x$ и выполнив необходимые умножения и деления:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} \cdot \frac{2x}{3x}$

Так как $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x} = 1$ и $\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x} = 1$, получаем:

$\frac{1}{1} \cdot \lim_{x\to0}\frac{2x}{3x} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\tg^2 2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся известными эквивалентностями для бесконечно малых функций при $x \to 0$: $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$ и $\tg u \sim u$.

Для нашего случая, при $x \to 0$, аргумент $2x \to 0$. Следовательно:

$1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2$

$\tg 2x \sim 2x$, значит $\tg^2 2x \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\tg^2 2x} = \lim_{x\to0}\frac{2x^2}{4x^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для нахождения предела $\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Используем тригонометрическую формулу понижения степени: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в предел:

$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2 x}{\sin^2 x}$

Сокращаем $\sin^2 x$ (поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin^2 x \neq 0$):

$\lim_{x\to0} 2 = 2$

Ответ: 2

5) Для нахождения предела $\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2+x}-2}{x-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{2+x}+2$.

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2+x}-2}{x-2} = \lim_{x\to2}\frac{(\sqrt{2+x}-2)(\sqrt{2+x}+2)}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\lim_{x\to2}\frac{(2+x) - 2^2}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)} = \lim_{x\to2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{2+x}+2)}$

Сокращаем множитель $(x-2)$:

$\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{2+x}+2}$

Теперь подставляем $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

6) Для нахождения предела $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{x-1}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{5-x}+2$.

$\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{5-x}+2)}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)} = \lim_{x\to1}\frac{(5-x)-2^2}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

$\lim_{x\to1}\frac{5-x-4}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)} = \lim_{x\to1}\frac{1-x}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $1-x = -(x-1)$.

$\lim_{x\to1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}$

Сокращаем множитель $(x-1)$:

$\lim_{x\to1}\frac{-1}{\sqrt{5-x}+2}$

Подставляем $x=1$:

$\frac{-1}{\sqrt{5-1}+2} = \frac{-1}{\sqrt{4}+2} = \frac{-1}{2+2} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

7) Для нахождения предела $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-2x+3}{x^3-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^3$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x}{x^3}+\frac{3}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{1-\frac{2}{x^3}}$

При $x\to\infty$ выражения $\frac{2}{x^2}$, $\frac{3}{x^3}$ и $\frac{2}{x^3}$ стремятся к нулю.

Поэтому предел равен:

$\frac{1-0+0}{1-0} = 1$

Ответ: 1

8) Для нахождения предела $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-2x^2+3x}{x^3+2x-1}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^3$.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{2x}{x^3}-\frac{1}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$

При $x\to\infty$ выражения $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю.

Поэтому предел равен:

$\frac{2-0+0}{1+0-0} = 2$

Ответ: 2

38.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = 3 - \cos2x;$

2) $f(x) = \sin x \cdot \cos2x;$

3) $f(x) = 2\cos x \cdot \sin x.$

1) $f(x) = 3 - \cos(2x)$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования, начиная с базового графика $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график $y = \cos(2x)$. Это преобразование представляет собой сжатие графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции уменьшится вдвое и станет равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Далее построим график $y = -\cos(2x)$. Он получается из предыдущего графика путем симметричного отражения относительно оси Ox. Максимумы становятся минимумами и наоборот.

4. Последний шаг — построение искомого графика $f(x) = 3 - \cos(2x)$, или $f(x) = -\cos(2x) + 3$. Этот график получается из графика $y = -\cos(2x)$ сдвигом вверх вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы.

Основные свойства функции $f(x) = 3 - \cos(2x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Область значений: поскольку $-1 \le \cos(2x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(2x) \le 1$. Прибавив 3 ко всем частям неравенства, получим $3 - 1 \le 3 - \cos(2x) \le 3 + 1$, что дает $2 \le f(x) \le 4$. Таким образом, область значений $E(f) = [2, 4]$.

- Период функции: $T = \pi$.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:

- $f(0) = 3 - \cos(0) = 3 - 1 = 2$ (точка минимума).

- $f(\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

- $f(\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\pi) = 3 - (-1) = 4$ (точка максимума).

- $f(\frac{3\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

- $f(\pi) = 3 - \cos(2\pi) = 3 - 1 = 2$ (точка минимума).

Ответ: График функции $f(x) = 3 - \cos(2x)$ представляет собой синусоиду (конкретно, перевернутую и сдвинутую косинусоиду) с периодом $\pi$, колеблющуюся относительно прямой $y=3$ с амплитудой 1. Область значений функции — отрезок $[2, 4]$.

2) $f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$

Для упрощения и анализа функции воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$.

Применим ее к нашей функции, где $A=x$ и $B=2x$:

$f(x) = \sin x \cos 2x = \frac{1}{2}[\sin(x+2x) + \sin(x-2x)] = \frac{1}{2}[\sin(3x) + \sin(-x)]$.

Учитывая, что синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$.

График этой функции можно представить как результат сложения (усреднения) графиков двух функций: $y_1 = \sin(3x)$ и $y_2 = -\sin x$.

Основные свойства функции $f(x) = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Периодичность: Период для $\sin(3x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{3}$. Период для $\sin x$ равен $T_2 = 2\pi$. Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$, что составляет $T = 2\pi$.

- Четность/нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}(\sin(-3x) - \sin(-x)) = \frac{1}{2}(-\sin(3x) + \sin x) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Нули функции (пересечение с осью Ox): $f(x)=0 \implies \sin(3x) - \sin x = 0 \implies \sin(3x) = \sin x$. Преобразуем разность синусов в произведение: $2\cos(\frac{3x+x}{2})\sin(\frac{3x-x}{2}) = 0$, то есть $2\cos(2x)\sin x = 0$. Это уравнение распадается на два: $\sin x = 0$ или $\cos(2x) = 0$.

- $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика найдем значения в нескольких точках на промежутке $[0, \pi]$:

- $f(0)=0$

- $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

- $f(\frac{\pi}{4})=0$

- $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(-1 - 1) = -1$

- $f(\frac{3\pi}{4})=0$

- $f(\pi)=0$

Ответ: График функции является сложной периодической кривой с периодом $2\pi$. Он симметричен относительно начала координат. Для построения графика следует найти его нули и экстремумы и соединить их плавной линией, учитывая периодичность.

3) $f(x) = 2\cos x \cdot \sin x$

Данное выражение является правой частью известной тригонометрической формулы синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Следовательно, функцию можно упростить:

$f(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \sin(2x)$.

Этот график получается из графика базовой функции $y = \sin x$ путем сжатия вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза.

Основные свойства функции $f(x) = \sin(2x)$:

- Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

- Область значений: $E(f) = [-1, 1]$.

- Период: Исходный период синуса $2\pi$ делится на коэффициент при $x$, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:

- $f(0) = \sin(0) = 0$.

- $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (точка максимума).

- $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\pi) = 0$.

- $f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ (точка минимума).

- $f(\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Ответ: График функции $f(x) = 2\cos x \sin x$ идентичен графику функции $y = \sin(2x)$. Это синусоида, сжатая в два раза по горизонтали, с периодом $\pi$ и амплитудой 1.