Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 3]$ имеем $y_{\text{наим.}} = 0, y_{\text{наиб.}} = 9$ (рис. 7.9)?

Рис. 7.9

Чтобы объяснить, почему для функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 3]$ наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 9, необходимо исследовать поведение функции на этом отрезке.

Почему $y_{наим} = 0$

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0; 0)$.

Поскольку точка $x = 0$ принадлежит заданному отрезку $[-2; 3]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно её значению в вершине.

Вычисляем это значение: $y(0) = 0^2 = 0$.

Таким образом, $y_{наим} = 0$. На графике (рис. 7.9) видно, что самая низкая точка рассматриваемого участка кривой — это начало координат.

Ответ: Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 3]$ равно 0.

Почему $y_{наиб} = 9$

Наибольшее значение непрерывной функции на замкнутом отрезке достигается либо в точке локального максимума, либо на одном из концов отрезка. У функции $y = x^2$ нет точек локального максимума (есть только точка минимума), поэтому наибольшее значение следует искать на концах отрезка: в точках $x = -2$ и $x = 3$.

Вычислим значения функции в этих точках:

1. При $x = -2$: $y(-2) = (-2)^2 = 4$.

2. При $x = 3$: $y(3) = 3^2 = 9$.

Сравнивая полученные значения ($4$ и $9$), выбираем наибольшее. Очевидно, что $9 > 4$.

Таким образом, $y_{наиб} = 9$. На графике видно, что значение функции в точке $x=3$ является самым большим на всем отрезке от -2 до 3.

Ответ: Наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 3]$ равно 9.

ОБЪЯСНИТЕ

1) Почему функции $y = x^4$; $y = x^6$; $y = x^8$; $y = x^{10}$; $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число, являются четными функциями?

2) Почему график четной функции симметричен относительно оси $Oy$ (осевая симметрия) рис. 7.10?

Рис. 7.10

1) Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения при этом должна быть симметрична относительно нуля.

Рассмотрим общую функцию $y = f(x) = x^{2n}$, где $n$ – натуральное число.

1. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n}$

Поскольку показатель степени $2n$ является четным числом для любого натурального $n$ ($n \in N$), то при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

$(-x)^{2n} = ((-1) \cdot x)^{2n} = (-1)^{2n} \cdot x^{2n} = 1 \cdot x^{2n} = x^{2n}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{2n} = f(x)$.

Так как условие четности $f(-x) = f(x)$ выполняется, то функция $y = x^{2n}$ является четной. Функции $y = x^4, y = x^6, y = x^8, y = x^{10}$ являются частными случаями функции $y = x^{2n}$ при $n=2, 3, 4, 5$ соответственно, и поэтому они также являются четными.

Ответ: Данные функции являются четными, так как их область определения симметрична относительно нуля и для любой из этих функций $f(x) = x^{2n}$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = f(x)$.

2) График функции представляет собой множество всех точек с координатами $(x, f(x))$.

По определению, функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Пусть точка $M$ с координатами $(x, f(x))$ принадлежит графику четной функции $y = f(x)$.

Рассмотрим точку $M'$ с абсциссой $-x$. Ее ордината будет равна $f(-x)$. Поскольку функция четная, то $f(-x) = f(x)$. Следовательно, координаты точки $M'$ равны $(-x, f(x))$.

Таким образом, если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, y)$ также принадлежит этому графику.

Точки с координатами $(x, y)$ и $(-x, y)$ симметричны друг другу относительно оси ординат (оси $Oy$). Так как это справедливо для любой точки графика четной функции, то и весь график в целом симметричен относительно оси $Oy$. Это свойство и называется осевой симметрией, что проиллюстрировано на рис. 7.10.

Ответ: График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, потому что для каждой точки $(x, f(x))$, принадлежащей графику, на графике также существует симметричная ей относительно оси $Oy$ точка $(-x, f(x))$, так как по определению четной функции $f(-x) = f(x)$.