Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.18. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = -6x + x^2;$

2) $y = |x| - x^3;$

3) $y = \sqrt{x^4 + 1} + 12 |x|;$

4) $y = 0,7x^3 - x|x|;$

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + x;$

6) $y = x - \frac{x}{x^3 + 1};$

7) $y = \frac{4x}{x^4 - 2};$

8) $y = \frac{9+x^2}{x^3}.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность необходимо:

1. Проверить, является ли ее область определения $D(f)$ симметричной относительно начала координат (т.е. если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Если область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Если область определения симметрична, найти значение функции от $-x$, то есть $f(-x)$.

3. Сравнить $f(-x)$ с $f(x)$:

• если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция четная;
• если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечетная;
• если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида).

1) $y = -6x + x^2$

Обозначим $f(x) = -6x + x^2$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -6(-x) + (-x)^2 = 6x + x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = 6x + x^2 \neq f(x)$

$-f(x) = -(-6x + x^2) = 6x - x^2$.

$f(-x) = 6x + x^2 \neq -f(x)$.

Так как ни одно из условий четности/нечетности не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

2) $y = |x| - x^3$

Обозначим $f(x) = |x| - x^3$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |-x| - (-x)^3 = |x| - (-x^3) = |x| + x^3$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = |x| + x^3 \neq f(x)$.

$-f(x) = -(|x| - x^3) = -|x| + x^3$.

$f(-x) = |x| + x^3 \neq -f(x)$.

Функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) $y = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$

Обозначим $f(x) = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$. Так как $x^4+1 > 0$ для любого действительного $x$, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^4 + 1} + 12|-x| = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$.

Видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $y = 0,7x^3 - x|x|$

Обозначим $f(x) = 0,7x^3 - x|x|$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 0,7(-x)^3 - (-x)|-x| = 0,7(-x^3) - (-x)|x| = -0,7x^3 + x|x|$.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(0,7x^3 - x|x|) = -0,7x^3 + x|x|$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + x$

Обозначим $f(x) = -\frac{1}{x^2 - 5} + x$. Область определения задается условием $x^2 - 5 \neq 0$, то есть $x \neq \pm\sqrt{5}$. Область $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{(-x)^2 - 5} + (-x) = -\frac{1}{x^2 - 5} - x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{x^2 - 5} - x \neq f(x)$.

$-f(x) = -(-\frac{1}{x^2 - 5} + x) = \frac{1}{x^2 - 5} - x$.

$f(-x) \neq -f(x)$.

Функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

6) $y = x - \frac{x}{x^3 + 1}$

Обозначим $f(x) = x - \frac{x}{x^3 + 1}$. Область определения задается условием $x^3 + 1 \neq 0$, то есть $x^3 \neq -1$, откуда $x \neq -1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет.

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

7) $y = \frac{4x}{x^4 - 2}$

Обозначим $f(x) = \frac{4x}{x^4 - 2}$. Область определения задается условием $x^4 - 2 \neq 0$, то есть $x^4 \neq 2$, откуда $x \neq \pm\sqrt[4]{2}$. Область $D(f) = (-\infty; -\sqrt[4]{2}) \cup (-\sqrt[4]{2}; \sqrt[4]{2}) \cup (\sqrt[4]{2}; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^4 - 2} = \frac{-4x}{x^4 - 2} = - \frac{4x}{x^4 - 2}$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

8) $y = \frac{9 + x^2}{x^3}$

Обозначим $f(x) = \frac{9 + x^2}{x^3}$. Область определения задается условием $x^3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{9 + (-x)^2}{(-x)^3} = \frac{9 + x^2}{-x^3} = - \frac{9 + x^2}{x^3}$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

7.19. Используя определения точек экстремума и экстремумов функции, запишите для функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке 7.22:

1) точки максимума;

2) точки минимума;

3) экстремумы функции.

Рис. 7.22

1) точки максимума;

Точка максимума функции — это значение аргумента $x$, в котором значение функции является наибольшим по сравнению со значениями в точках из некоторой окрестности. На графике это соответствует "вершинам" или "пикам".

Анализируя представленный график, находим две точки максимума:

- Первая точка максимума соответствует гладкой вершине кривой. Её абсцисса равна $x = 2$.

- Вторая точка максимума находится в точке разрыва при $x = 4$. Значение функции в этой точке, $f(4) = 4$ (обозначено закрашенным кружком), больше, чем значения функции в любой точке из её ближайшей окрестности. Следовательно, $x = 4$ также является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = 2$; $x_{max} = 4$.

2) точки минимума;

Точка минимума функции — это значение аргумента $x$, в котором значение функции является наименьшим по сравнению со значениями в точках из некоторой окрестности. На графике это соответствует "впадинам".

На графике функции можно выделить две точки минимума:

- Первая точка минимума находится в самой низкой точке левой части графика. Её абсцисса равна $x = -4$.

- Вторая точка минимума находится во впадине в правой части графика. Её абсцисса равна $x = 7$.

Ответ: $x_{min} = -4$; $x_{min} = 7$.

3) экстремумы функции.

Экстремумы функции — это значения функции (ординаты $y$) в точках максимума и минимума.

Максимумы функции (значения в точках максимума):

- В точке $x=2$ значение функции равно $f(2) = 7$.

- В точке $x=4$ значение функции равно $f(4) = 4$.

Минимумы функции (значения в точках минимума):

- В точке $x=-4$ значение функции равно $f(-4) = -6$.

- В точке $x=7$ значение функции равно $f(7) = -4$.

Ответ: максимумы функции: 7 и 4; минимумы функции: -6 и -4.

7.20. Какой из графиков, изображенных на рисунке 7.23, является графиком функции? Для функции запишите ее точки экстремума и экстремумы.

Какой из графиков, изображенных на рисунке 7.23, является графиком функции?

Согласно определению, зависимость переменной $y$ от переменной $x$ является функцией, если каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$.

Для того чтобы определить, является ли кривая на плоскости графиком функции, используют так называемый тест с вертикальной линией. Суть теста заключается в следующем: если любая вертикальная прямая, проведенная на плоскости, пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции. Если же найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то это не график функции.

Поскольку сам рисунок 7.23 отсутствует, мы не можем указать конкретный график. Однако, применяя вышеописанный тест, можно однозначно сделать выбор из предложенных вариантов. Например, парабола с ветвями вверх или вниз является графиком функции, а окружность или парабола с ветвями влево или вправо — не является.

Ответ: Графиком функции является тот график, который любая воображаемая вертикальная прямая пересекает не более одного раза.

Для функции запишите ее точки экстремума и экстремумы.

После того как график функции был определен, можно найти его точки экстремума и экстремумы (значения функции в этих точках).

Точки экстремума — это значения аргумента $x$ (абсциссы), в которых функция достигает своего локального максимума или минимума.

Экстремумы функции — это сами локальные максимальные и минимальные значения функции $y$ (ординаты).

На графике это соответствует "вершинам" и "впадинам" кривой:

• Точка максимума ($x_{max}$) — это координата $x$ для самой высокой точки на локальном участке графика ("вершина холма"). Значение функции в этой точке, максимум ($y_{max}$), является наибольшим по сравнению со значениями в соседних точках.

• Точка минимума ($x_{min}$) — это координата $x$ для самой низкой точки на локальном участке графика ("дно впадины"). Значение функции в этой точке, минимум ($y_{min}$), является наименьшим по сравнению со значениями в соседних точках.

Допустим, на графике функции, который мы определили, есть одна "вершина" в точке с координатами $(-4, 3)$ и одна "впадина" в точке с координатами $(2, -2)$. Тогда:

• Точки экстремума: точка максимума $x_{max} = -4$ и точка минимума $x_{min} = 2$.

• Экстремумы функции: максимум функции $y_{max} = 3$ и минимум функции $y_{min} = -2$.

Ответ: Для нахождения точек экстремума и экстремумов необходимо визуально определить на графике функции все локальные "вершины" и "впадины". Абсциссы ($x$) этих точек являются точками экстремума, а соответствующие им ординаты ($y$) — экстремумами функции.

7.21. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$;

2) $y = -x^2 - 2x + 5$;

3) $y = -2x^2 + 3x - 4$.

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=2, b=-4, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вверх, это будет точка минимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_v = y(x_v) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Это точка минимума функции. Ось симметрии параболы – вертикальная прямая $x=1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью ординат (Oy): подставляем $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения – $(0, 3)$.

- С осью абсцисс (Ox): подставляем $y=0$ и решаем уравнение $2x^2 - 4x + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки для построения. Для более точного построения графика найдём ещё несколько точек. Используем симметрию графика относительно оси $x=1$.

- Точка, симметричная точке пересечения с осью Oy $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, имеет абсциссу $x=2$. Её ордината такая же, $y=3$. Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$. Получили точку $(2, 3)$.

- Возьмём $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$. Точка $(-1, 9)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(1, 1)$, точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и $(-1, 9)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вверх.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вверх, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $(1, 1)$.

2) $y = -x^2 - 2x + 5$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=-1, b=-2, c=5$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вниз, это будет точка максимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$

$y_v = y(x_v) = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, 6)$. Это точка максимума функции. Ось симметрии – прямая $x=-1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -(0)^2 - 2(0) + 5 = 5$. Точка пересечения – $(0, 5)$.

- С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 2x + 5 = 0$ или $x^2 + 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$. Точки пересечения – $(-1 - \sqrt{6}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{6}, 0)$, что примерно равно $(-3.45, 0)$ и $(1.45, 0)$.

4. Дополнительные точки для построения. Используем симметрию графика относительно оси $x=-1$.

- Точка, симметричная точке $(0, 5)$, имеет абсциссу $x=-2$. Её ордината $y=5$. Проверим: $y(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 5 = -4 + 4 + 5 = 5$. Получили точку $(-2, 5)$.

- Возьмём $x=1$: $y(1) = -(1)^2 - 2(1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка $(-3, 2)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(-1, 6)$, точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(-1-\sqrt{6}, 0)$, $(-1+\sqrt{6}, 0)$ и дополнительные точки $(-2, 5)$, $(1, 2)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вниз.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $(-1, 6)$.

3) $y = -2x^2 + 3x - 4$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=-2, b=3, c=-4$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вниз, это будет точка максимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$

$y_v = y(x_v) = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) - 4 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{32}{8} = \frac{9-32}{8} = -\frac{23}{8} = -2.875$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{23}{8})$. Это точка максимума функции. Ось симметрии – прямая $x=\frac{3}{4}$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -2(0)^2 + 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения – $(0, -4)$.

- С осью Ox (при $y=0$): $-2x^2 + 3x - 4 = 0$ или $2x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки для построения. Используем симметрию графика относительно оси $x=0.75$.

- Точка, симметричная точке $(0, -4)$, имеет абсциссу $x = 2 \cdot 0.75 - 0 = 1.5$. Её ордината $y=-4$. Проверим: $y(1.5) = -2(1.5)^2 + 3(1.5) - 4 = -2(2.25) + 4.5 - 4 = -4.5 + 4.5 - 4 = -4$. Получили точку $(1.5, -4)$.

- Возьмём $x=-1$: $y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) - 4 = -2 - 3 - 4 = -9$. Точка $(-1, -9)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(0.75, -2.875)$, точки $(0, -4)$, $(1.5, -4)$ и $(-1, -9)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вниз.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $(\frac{3}{4}, -\frac{23}{8})$.

Найдите промежутки возрастания функций (7.22–7.23):

7.22. 1) $y = x^3 + x$;

1)

2) $y = x^2 + 5x$ при $x \ge -1$;

2)

3) $y = x^4 + 4$ при $x \ge 2$;

3)

4) $y = -x^4 + 6$ при $x \le -1$.

4)

Рис. 7.23

7.22. 1) Дана функция $y = x^3 + x$. Чтобы найти промежутки возрастания, найдем ее производную.

$y' = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, то есть $y' \ge 0$.

Рассмотрим неравенство $3x^2 + 1 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$.

Производная функции положительна при всех значениях $x$. Значит, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

7.22. 2) Дана функция $y = x^2 + 5x$ при $x \ge -1$.

Найдем производную: $y' = (x^2 + 5x)' = 2x + 5$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$2x + 5 \ge 0$

$2x \ge -5$

$x \ge -2.5$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем функцию только при $x \ge -1$, то есть на промежутке $[-1; +\infty)$.

Найдем пересечение промежутка возрастания $[-2.5; +\infty)$ и области определения $[-1; +\infty)$. Пересечением является промежуток $[-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

7.22. 3) Дана функция $y = x^4 + 4$ при $x \ge 2$.

Найдем производную: $y' = (x^4 + 4)' = 4x^3$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$4x^3 \ge 0$

$x^3 \ge 0$

$x \ge 0$

Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Согласно условию, мы рассматриваем функцию при $x \ge 2$, то есть на промежутке $[2; +\infty)$.

Пересечение промежутка возрастания $[0; +\infty)$ и области определения $[2; +\infty)$ является промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

7.22. 4) Дана функция $y = -x^4 + 6$ при $x \le -1$.

Найдем производную: $y' = (-x^4 + 6)' = -4x^3$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$-4x^3 \ge 0$

$x^3 \le 0$

$x \le 0$

Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Согласно условию, мы рассматриваем функцию при $x \le -1$, то есть на промежутке $(-\infty; -1]$.

Пересечение промежутка возрастания $(-\infty; 0]$ и области определения $(-\infty; -1]$ является промежуток $(-\infty; -1]$.

Ответ: $(-\infty; -1]$.

7.23. 1) Промежуток возрастания функции соответствует участку графика, на котором он идет вверх при движении слева направо. По графику видно, что функция сначала убывает до точки локального минимума, а затем возрастает. Точка минимума имеет абсциссу (координату по оси x), которую по графику можно оценить как $x \approx -1.2$. Таким образом, функция возрастает на промежутке от $x \approx -1.2$ до $+\infty$ (поскольку правая ветвь графика уходит вверх).

Ответ: $[-1.2; +\infty)$ (приблизительно).

7.23. 2) Функция задана дискретно, в виде набора точек. Возрастание означает, что для большего значения абсциссы ($x$) значение ординаты ($y$) также больше или равно. Сравним значения $y$ для последовательных целочисленных значений $x$:

- От $x=-5$ до $x=-1$ значения $y$ последовательно увеличиваются. Это промежуток возрастания.

- От $x=-1$ до $x=2$ значения $y$ последовательно уменьшаются. Это промежуток убывания.

- От $x=2$ до $x=4$ значения $y$ последовательно увеличиваются. Это еще один промежуток возрастания.

Таким образом, функция возрастает на множествах абсцисс $\{-5, -4, -3, -2, -1\}$ и $\{2, 3, 4\}$, что соответствует целочисленным промежуткам.

Ответ: $[-5; -1]$ и $[2; 4]$.

7.23. 3) Изображенная кривая не является графиком функции $y(x)$, так как некоторым значениям $x$ (например, $x=0$) соответствует несколько значений $y$. Вероятно, следует рассмотреть участки, на которых кривая идет вверх при движении слева направо. Таких участков два:

- Участок нижней части кривой, от точки минимума $(0, -3)$ до точки пересечения с осью $x$ в $(3, 0)$. На этом участке $x$ изменяется в пределах от 0 до 3. Промежуток возрастания: $[0; 3]$.

- Участок верхней части кривой, от ее левой точки (примерно $(-2, 2)$) до точки максимума $(0, 5)$. На этом участке $x$ изменяется в пределах примерно от -2 до 0. Промежуток возрастания: $[-2; 0]$ (оценка по графику).

Ответ: $[-2; 0]$ и $[0; 3]$.

7.23. 4) Проанализируем график функции. При движении слева направо график сначала идет вверх до точки локального максимума, затем вниз до точки локального минимума, а затем снова вверх.

- Первый промежуток возрастания: от $-\infty$ до точки максимума. Координаты точки максимума по графику: $(-3, 3)$. Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; -3]$.

- Второй промежуток возрастания: от точки минимума до $+\infty$. Координаты точки минимума по графику: $(1, -3)$. Таким образом, функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$.

Докажите, что значение произведения константы и дифференцируемой функции $(Cu)'$ можно вычислить по формуле: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$, т.е. константу можно вынести за знак производной.

Для доказательства того, что значение произведения константы $C$ и дифференцируемой функции $f(x)$ можно вычислить по формуле $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$, необходимо воспользоваться определением производной.

Производная функции $g(x)$ по определению равна следующему пределу: $g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$

Пусть $g(x) = C \cdot f(x)$. Подставим эту функцию в определение производной: $(C \cdot f(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot f(x + \Delta x) - C \cdot f(x)}{\Delta x}$

В числителе дроби под знаком предела можно вынести общий множитель $C$ за скобки: $(C \cdot f(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot (f(x + \Delta x) - f(x))}{\Delta x}$

Согласно одному из основных свойств пределов, постоянный множитель можно вынести за знак предела: $(C \cdot f(x))' = C \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Выражение, оставшееся под знаком предела, в точности соответствует определению производной функции $f(x)$. Следовательно: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f'(x)$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$

Это доказывает, что постоянный множитель (константу) можно выносить за знак производной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении производной. Для функции $g(x) = C \cdot f(x)$ её производная вычисляется как предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot f(x + \Delta x) - C \cdot f(x)}{\Delta x}$. Вынося константу $C$ сначала из числителя, а затем за знак предела, получаем $C \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$, что по определению равно $C \cdot f'(x)$. Таким образом, доказано, что $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.