Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.23.1) $y = \frac{3x+7}{x+2};$

2) $y = \frac{6-x}{4-x};$

3) $y = \{4x\}.$

1) Дана функция $y = \frac{3x+7}{x+2}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Для нахождения области определения и области значений проанализируем функцию.

Область определения (D(y)):

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю.

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме -2.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.

Область значений (E(y)):

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. Для её нахождения можно выразить $x$ через $y$:

$y(x+2) = 3x+7$

$yx + 2y = 3x+7$

$yx - 3x = 7 - 2y$

$x(y-3) = 7 - 2y$

$x = \frac{7 - 2y}{y-3}$

Данное выражение для $x$ определено при всех значениях $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$y-3 \neq 0$

$y \neq 3$

Также можно выделить целую часть дроби, чтобы найти горизонтальную асимптоту:

$y = \frac{3x+7}{x+2} = \frac{3(x+2) - 6 + 7}{x+2} = \frac{3(x+2) + 1}{x+2} = 3 + \frac{1}{x+2}$

Из этой записи видно, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3$, которую функция не пересекает. Таким образом, область значений — все действительные числа, кроме 3.

$E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

2) Дана функция $y = \frac{6-x}{4-x}$. Это также дробно-линейная функция.

Область определения (D(y)):

Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$4-x \neq 0$

$x \neq 4$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; \infty)$.

Область значений (E(y)):

Выразим переменную $x$ через $y$:

$y(4-x) = 6-x$

$4y - yx = 6-x$

$x - yx = 6 - 4y$

$x(1-y) = 6 - 4y$

$x = \frac{6-4y}{1-y}$

Это выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y=1$.

$1-y \neq 0$

$y \neq 1$

Выделение целой части также показывает горизонтальную асимптоту:

$y = \frac{6-x}{4-x} = \frac{-(x-6)}{-(x-4)} = \frac{x-6}{x-4} = \frac{(x-4)-2}{x-4} = 1 - \frac{2}{x-4}$

Горизонтальная асимптота $y=1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; \infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

3) Дана функция $y = \{4x\}$. Фигурные скобки обозначают операцию взятия дробной части числа. То есть $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$, где $\lfloor a \rfloor$ — целая часть числа $a$ (наибольшее целое число, не превосходящее $a$).

Область определения (D(y)):

Операция умножения на 4 и операция взятия дробной части определены для любого действительного числа $x$. Никаких ограничений на $x$ нет.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

$D(y) = (-\infty; \infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений (E(y)):

По определению, дробная часть любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, строго меньшим 1. Для любого числа $a$, $0 \le \{a\} < 1$.

В нашем случае $a=4x$. Независимо от значения $x$, дробная часть числа $4x$ будет лежать в этом промежутке.

$0 \le \{4x\} < 1$

$0 \le y < 1$

Следовательно, область значений функции — полуинтервал $[0; 1)$.

$E(y) = [0; 1)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; \infty)$, область значений $E(y) = [0; 1)$.

Найдите промежутки убывания функций (7.24–7.25):

7.24.1) $y = -x^3 - x;$

2) $y = -x^2 + 3x$, где $x \le 1;$

3) $y = x^4 + 3$, где $x \le -3;$

4) $y = -x^4 + 8$, где $x \ge 2.$

Для нахождения промежутков убывания функции используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y' = f'(x)$.

2. Решить неравенство $y' \le 0$. Решение этого неравенства даст промежутки, на которых функция убывает.

3. Учесть область определения функции, заданную в условии, и найти пересечение с найденными промежутками убывания.

1) Дана функция $y = -x^3 - x$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - x)' = -3x^2 - 1$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-3x^2 - 1 \le 0$

$-3x^2 \le 1$

$x^2 \ge -\frac{1}{3}$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно.

3. Область определения не ограничена.

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Дана функция $y = -x^2 + 3x$, где $x \le 1$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^2 + 3x)' = -2x + 3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-2x + 3 \le 0$

$-2x \le -3$

$x \ge 1.5$

Таким образом, функция убывает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 1]$.

Найдем пересечение промежутка убывания $[1.5; +\infty)$ и области определения $(-\infty; 1]$. Их пересечение является пустым множеством.

Следовательно, на заданном промежутке функция не имеет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.

3) Дана функция $y = x^4 + 3$, где $x \le -3$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^4 + 3)' = 4x^3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$4x^3 \le 0$

$x^3 \le 0$

$x \le 0$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $(-\infty; -3]$.

Найдем пересечение промежутка убывания $(-\infty; 0]$ и области определения $(-\infty; -3]$.

Пересечением является промежуток $(-\infty; -3]$.

Ответ: $(-\infty; -3]$.

4) Дана функция $y = -x^4 + 8$, где $x \ge 2$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^4 + 8)' = -4x^3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-4x^3 \le 0$

$x^3 \ge 0$

$x \ge 0$

Таким образом, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $[2; +\infty)$.

Найдем пересечение промежутка убывания $[0; +\infty)$ и области определения $[2; +\infty)$.

Пересечением является промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

7.25.1) $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$;

2) $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$.

1) Проведем полное исследование функции $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$y(0) = \frac{5 - 3 \cdot 0}{0 + 2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2.5)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{5 - 3x}{x + 2} = 0 \implies 5 - 3x = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{5}{3}; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{5 - 3(-x)}{-x + 2} = \frac{5 + 3x}{2 - x}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва. В данном случае это $x=-2$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to -2^-} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \frac{5 - 3(-2)}{-2^- + 2} = \frac{11}{0^-} = -\infty$.

$\lim_{x \to -2^+} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \frac{5 - 3(-2)}{-2^+ + 2} = \frac{11}{0^+} = +\infty$.

Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты найдем, вычислив пределы при $x \to \pm\infty$:

$y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(\frac{5}{x} - 3)}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{-3}{1} = -3$.

Следовательно, прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = (\frac{5 - 3x}{x + 2})' = \frac{(5-3x)'(x+2) - (5-3x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{-3(x+2) - (5-3x)(1)}{(x+2)^2} = \frac{-3x - 6 - 5 + 3x}{(x+2)^2} = \frac{-11}{(x+2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен в области определения, а числитель $-11$ отрицателен, то $y' < 0$ для всех $x \in D(y)$.

Это означает, что функция убывает на всем протяжении своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Так как производная нигде не обращается в ноль, у функции нет точек экстремума.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (\frac{-11}{(x+2)^2})' = (-11(x+2)^{-2})' = -11 \cdot (-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = \frac{22}{(x+2)^3}$.

Знак второй производной зависит от знака выражения $(x+2)^3$.

Если $x < -2$, то $x+2 < 0$, $(x+2)^3 < 0$, и $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх на интервале $(-\infty; -2)$.

Если $x > -2$, то $x+2 > 0$, $(x+2)^3 > 0$, и $y'' > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-2; +\infty)$.

Поскольку вторая производная нигде не равна нулю, точек перегиба у графика нет.

Ответ: Функция $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$ определена на $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=-3$. Точки пересечения с осями: $(0; 2.5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Функция монотонно убывает на всей области определения. График выпуклый вверх при $x \in (-\infty; -2)$ и вогнутый (выпуклый вниз) при $x \in (-2; +\infty)$.

2) Проведем полное исследование функции $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$y(0) = \frac{3 - 2 \cdot 0}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -1.5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1.5)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{3 - 2x}{x - 2} = 0 \implies 3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{3}{2}; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{3 - 2(-x)}{-x - 2} = \frac{3 + 2x}{-x - 2} = -\frac{3 + 2x}{x + 2}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва. В данном случае это $x=2$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{3 - 2(2)}{2^- - 2} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{3 - 2(2)}{2^+ - 2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты найдем, вычислив пределы при $x \to \pm\infty$:

$y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(\frac{3}{x} - 2)}{x(1 - \frac{2}{x})} = \frac{-2}{1} = -2$.

Следовательно, прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции:

$y' = (\frac{3 - 2x}{x - 2})' = \frac{(3-2x)'(x-2) - (3-2x)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{-2(x-2) - (3-2x)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-2x + 4 - 3 + 2x}{(x-2)^2} = \frac{1}{(x-2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен в области определения, а числитель $1$ положителен, то $y' > 0$ для всех $x \in D(y)$.

Это означает, что функция возрастает на всем протяжении своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как производная нигде не обращается в ноль, у функции нет точек экстремума.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (\frac{1}{(x-2)^2})' = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = \frac{-2}{(x-2)^3}$.

Знак второй производной зависит от знака выражения $(x-2)^3$.

Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, $(x-2)^3 < 0$, и $y'' = \frac{-2}{\text{отриц.}} > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-\infty; 2)$.

Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, $(x-2)^3 > 0$, и $y'' = \frac{-2}{\text{полож.}} < 0$. График функции выпуклый вверх на интервале $(2; +\infty)$.

Поскольку вторая производная нигде не равна нулю, точек перегиба у графика нет.

Ответ: Функция $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$ определена на $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=-2$. Точки пересечения с осями: $(0; -1.5)$ и $(\frac{3}{2}; 0)$. Функция монотонно возрастает на всей области определения. График вогнутый (выпуклый вниз) при $x \in (-\infty; 2)$ и выпуклый вверх при $x \in (2; +\infty)$.

7.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = x^2 - x + 3,75;$

2) $y = -x^2 - 3x - 6,25;$

3) $y = 2x^2 - 4x - 3;$

4) $y = -3x^2 - 6x + 4.$

1) Дана функция $y = x^2 - x + 3,75$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не имеет наибольшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=3,75$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции:

$y_{наим} = y(0,5) = (0,5)^2 - 0,5 + 3,75 = 0,25 - 0,5 + 3,75 = 3,5$.

Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3,5; наибольшего значения не существует.

2) Дана функция $y = -x^2 - 3x - 6,25$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы и не имеет наименьшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=-1$, $b=-3$, $c=-6,25$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(-1,5) = -(-1,5)^2 - 3(-1,5) - 6,25 = -2,25 + 4,5 - 6,25 = 2,25 - 6,25 = -4$.

Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают.

Ответ: наибольшее значение функции равно -4; наименьшего значения не существует.

3) Дана функция $y = 2x^2 - 4x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не имеет наибольшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=2$, $b=-4$, $c=-3$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции:

$y_{наим} = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$.

Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5; наибольшего значения не существует.

4) Дана функция $y = -3x^2 - 6x + 4$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы и не имеет наименьшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=-3$, $b=-6$, $c=4$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + 4 = -3(1) + 6 + 4 = -3 + 10 = 7$.

Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают.

Ответ: наибольшее значение функции равно 7; наименьшего значения не существует.

7.27. На рисунке 7.24 изображен график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = (f(x))^2$.

Рис. 7.24

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = (f(x))^2$ необходимо исследовать знак её производной. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((f(x))^2)' = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$.

Знак производной $y'$ определяет характер монотонности функции $y=(f(x))^2$. Этот знак зависит от знаков множителей $f(x)$ (значение функции) и $f'(x)$ (характер монотонности исходной функции), которые мы определим по данному графику $y = f(x)$.

Из графика считываем следующую информацию:

1. Точки, в которых функция равна нулю (пересечение с осью Ox): $f(x)=0$ при $x=0$ и $x=4$.

2. Точка экстремума (вершина параболы), в которой производная равна нулю: $f'(x)=0$ при $x=2$.

Эти три точки ($x=0$, $x=2$, $x=4$) разбивают числовую ось на четыре промежутка. Проанализируем знаки $f(x)$ и $f'(x)$ на каждом из них.

Промежутки возрастания

Функция $y=(f(x))^2$ возрастает там, где её производная $y' = 2f(x)f'(x) > 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).

1. Промежуток $(0, 2)$: график $f(x)$ находится ниже оси Ox, следовательно $f(x) < 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает, следовательно $f'(x) < 0$. Так как оба множителя отрицательны, их произведение $f(x)f'(x) > 0$, значит $y' > 0$.

2. Промежуток $(4, +\infty)$: график $f(x)$ находится выше оси Ox, следовательно $f(x) > 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает, следовательно $f'(x) > 0$. Так как оба множителя положительны, их произведение $f(x)f'(x) > 0$, значит $y' > 0$.

Объединяя интервалы и включая граничные точки (в которых производная равна нулю), получаем промежутки возрастания.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Промежутки убывания

Функция $y=(f(x))^2$ убывает там, где её производная $y' = 2f(x)f'(x) < 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют разные знаки.

1. Промежуток $(-\infty, 0)$: график $f(x)$ находится выше оси Ox, следовательно $f(x) > 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает, следовательно $f'(x) < 0$. Знаки множителей разные, поэтому их произведение $f(x)f'(x) < 0$, значит $y' < 0$.

2. Промежуток $(2, 4)$: график $f(x)$ находится ниже оси Ox, следовательно $f(x) < 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает, следовательно $f'(x) > 0$. Знаки множителей разные, поэтому их произведение $f(x)f'(x) < 0$, значит $y' < 0$.

Объединяя интервалы и включая граничные точки, получаем промежутки убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 4]$.

1. Перечислите правила нахождения производных.

2. Для каких функций справедливы правила нахождения производных?

1. Существует несколько основных правил для нахождения производных, которые также называют правилами дифференцирования. Пусть $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, а $c$ — постоянная величина (константа).

Производная константы

Производная любой постоянной функции равна нулю.

Формула: $c' = 0$

Вынесение постоянного множителя

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Формула: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$

Производная суммы/разности

Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.

Формула: $(u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x)$

Производная произведения

Производная произведения двух функций находится по следующей формуле:

Формула: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

Производная частного

Производная частного (или дроби) двух функций находится по следующей формуле, при условии, что знаменатель не равен нулю.

Формула: $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$, где $v(x) \neq 0$

Производная сложной функции (цепное правило)

Производная сложной функции (композиции функций) равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по основному аргументу.

Формула: Если $y = f(g(x))$, то $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ответ: Правила нахождения производных: производная константы, вынесение постоянного множителя, производная суммы и разности, производная произведения, производная частного, производная сложной функции.

2. Правила нахождения производных справедливы для дифференцируемых функций.

Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке у нее существует конечная производная. Это означает, что в окрестности этой точки график функции можно с высокой точностью приблизить прямой линией (касательной), а сама функция является непрерывной в этой точке.

Таким образом, для того чтобы можно было применять правила дифференцирования, необходимо выполнение следующих условий:

• Для правил, включающих одну функцию (например, умножение на константу), эта функция должна быть дифференцируема в рассматриваемой точке.

• Для правил суммы, разности, произведения и частного обе функции ($u(x)$ и $v(x)$) должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке. В случае с частным, дополнительно требуется, чтобы функция в знаменателе ($v(x)$) не обращалась в ноль в этой точке.

• Для производной сложной функции $f(g(x))$ в точке $x_0$, внутренняя функция $g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$, а внешняя функция $f(u)$ должна быть дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то соответствующее правило дифференцирования применять нельзя.

Ответ: Правила нахождения производных справедливы для функций, которые являются дифференцируемыми в точке или на интервале, где вычисляется производная.

Пользуясь правилами вычисления производных, найдите $f'(x)$

(41.1–41.2):

41.1. 1)

1) $f(x) = 3x - \sqrt{3}$;

2) $f(x) = x^3 - \sqrt{3x}$;

3) $f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}$;

4) $f(x) = x^3 - \sqrt{7} x + \pi$;

5) $f(x) = 5x^{-1} + 2x - \sqrt{5}$;

6) $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3x^2} - 7$.

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 3x - \sqrt{3}$ воспользуемся правилами дифференцирования.

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (3x - \sqrt{3})' = (3x)' - (\sqrt{3})'$.

Производная линейной функции $(kx)' = k$. В нашем случае $(3x)' = 3$.

Производная константы равна нулю. Так как $\sqrt{3}$ является константой, $(\sqrt{3})' = 0$.

Следовательно, $f'(x) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: $f'(x) = 3$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{3x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования разности и степенной функции. Представим $\sqrt{3x}$ как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{3} \cdot x^{1/2}$.

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{3}x^{1/2})' = (x^3)' - (\sqrt{3}x^{1/2})'$.

По формуле производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ находим:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

$(\sqrt{3}x^{1/2})' = \sqrt{3} \cdot (x^{1/2})' = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{-1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная исходной функции равна $f'(x) = 3x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$.

3) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}$ применяем правило производной суммы и разности:

$f'(x) = (x^2 + 3x - \sqrt{2})' = (x^2)' + (3x)' - (\sqrt{2})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$ (по формуле производной степенной функции).

$(3x)' = 3$ (производная линейной функции).

$(\sqrt{2})' = 0$ (производная константы).

Собирая все вместе, получаем: $f'(x) = 2x + 3 - 0 = 2x+3$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{7}x + \pi$.

Производная находится как производная алгебраической суммы:

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{7}x + \pi)' = (x^3)' - (\sqrt{7}x)' + (\pi)'$.

Вычисляем производную каждого члена:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

$(\sqrt{7}x)' = \sqrt{7} \cdot (x)' = \sqrt{7} \cdot 1 = \sqrt{7}$.

$\pi$ - это константа, поэтому $(\pi)' = 0$.

В результате, $f'(x) = 3x^2 - \sqrt{7} + 0 = 3x^2 - \sqrt{7}$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - \sqrt{7}$.

5) Найдем производную функции $f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}$.

Используем правило дифференцирования суммы и разности:

$f'(x) = (5x^{-4} + 2x - \sqrt{5})' = (5x^{-4})' + (2x)' - (\sqrt{5})'$.

Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и правило вынесения константы:

$(5x^{-4})' = 5 \cdot (-4)x^{-4-1} = -20x^{-5}$.

$(2x)' = 2$.

$(\sqrt{5})' = 0$ (как производная константы).

Следовательно, $f'(x) = -20x^{-5} + 2$.

Ответ: $f'(x) = -20x^{-5} + 2$.

6) Дана функция $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3}x^2 - 7$.

Ее производная находится по правилу дифференцирования алгебраической суммы:

$f'(x) = (\frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3}x^2 - 7)' = (\frac{2}{5}x^5)' - (\sqrt{3}x^2)' - (7)'$.

Вычисляем производные, используя правило для степенной функции и вынесение константы:

$(\frac{2}{5}x^5)' = \frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4$.

$(\sqrt{3}x^2)' = \sqrt{3} \cdot 2x^{2-1} = 2\sqrt{3}x$.

$(7)' = 0$ (производная константы).

Итоговая производная: $f'(x) = 2x^4 - 2\sqrt{3}x - 0 = 2x^4 - 2\sqrt{3}x$.

Ответ: $f'(x) = 2x^4 - 2\sqrt{3}x$.

41.2. 1) $f(x) = 3x(x - 1);$

2) $f(x) = x^2(x^3 - \sqrt{3} x);$

3) $f(x) = (x^2 + 3)(x - 5);$

4) $f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{7} x;$

5) $f(x) = \frac{x - 2}{x + 3} - 5x;$

6) $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 4} - 3x + 2.$

1) Для функции $f(x) = 3x(x - 1)$, сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 3x^2 - 3x$. Затем найдем производную, используя правило дифференцирования для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для суммы/разности функций. Производная от $3x^2$ равна $3 \cdot 2x = 6x$. Производная от $3x$ равна $3$. Таким образом, $f'(x) = (3x^2 - 3x)' = 6x - 3$.

Ответ: $f'(x) = 6x - 3$.

2) Для функции $f(x) = x^2(x^3 - \sqrt{3}x)$, сначала раскроем скобки: $f(x) = x^2 \cdot x^3 - x^2 \cdot \sqrt{3}x = x^5 - \sqrt{3}x^3$. Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования степенной функции. Производная от $x^5$ равна $5x^4$. Производная от $\sqrt{3}x^3$ равна $\sqrt{3} \cdot 3x^2 = 3\sqrt{3}x^2$. Следовательно, $f'(x) = (x^5 - \sqrt{3}x^3)' = 5x^4 - 3\sqrt{3}x^2$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4 - 3\sqrt{3}x^2$.

3) Для функции $f(x) = (x^2 + 3)(x - 5)$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x - 5$. Тогда их производные равны $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$. Подставим эти значения в формулу: $f'(x) = (x^2+3)'(x-5) + (x^2+3)(x-5)' = 2x(x-5) + (x^2+3) \cdot 1$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $f'(x) = 2x^2 - 10x + x^2 + 3 = 3x^2 - 10x + 3$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 10x + 3$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{7}x$, перепишем первое слагаемое в виде степени: $f(x) = 2x^{-1} - \sqrt{7}x$. Теперь применим правило дифференцирования степенной функции. Производная от $2x^{-1}$ равна $2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$. Производная от $\sqrt{7}x$ равна $\sqrt{7}$. Таким образом, $f'(x) = (2x^{-1} - \sqrt{7}x)' = -\frac{2}{x^2} - \sqrt{7}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \sqrt{7}$.

5) Для функции $f(x) = \frac{x-2}{x+3} - 5x$, найдем производную каждого слагаемого. Производная от $-5x$ равна $-5$. Для дроби $\frac{x-2}{x+3}$ применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = x - 2$ и $v(x) = x + 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$. Подставляем в формулу: $(\frac{x-2}{x+3})' = \frac{1 \cdot (x+3) - (x-2) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3-x+2}{(x+3)^2} = \frac{5}{(x+3)^2}$. Итоговая производная: $f'(x) = \frac{5}{(x+3)^2} - 5$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{(x+3)^2} - 5$.

6) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 4} - 3x + 2$, сначала упростим дробное слагаемое, выделив целую часть: $\frac{x^2 - 2x}{x - 4} = \frac{x^2 - 4x + 2x}{x - 4} = \frac{x(x - 4) + 2x}{x - 4} = x + \frac{2x}{x - 4} = x + \frac{2(x-4)+8}{x-4} = x + 2 + \frac{8}{x-4}$. Подставим это в исходную функцию: $f(x) = (x + 2 + \frac{8}{x-4}) - 3x + 2 = -2x + 4 + \frac{8}{x-4}$. Теперь находить производную проще: $f'(x) = (-2x + 4 + 8(x-4)^{-1})'$. Производная от $-2x$ равна $-2$, от $4$ равна $0$. Производная от $8(x-4)^{-1}$ равна $8 \cdot (-1)(x-4)^{-2} = -\frac{8}{(x-4)^2}$. Таким образом, $f'(x) = -2 - \frac{8}{(x-4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -2 - \frac{8}{(x-4)^2}$.

41.3. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x \cdot (x - 3)$, $x_0 = 4$;

2) $f(x) = (x^2 - 5) \cdot (x - 3)$, $x_0 = 1.1$;

3) $f(x) = 4 \cdot (x^2 + 3x) \cdot (x - 1)$, $x_0 = -0.4$;

4) $f(x) = (2x - 1)(x + 3) - x$, $x_0 = 1\frac{1}{3}$.

1) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = x \cdot (x - 3)$ в точке $x_0 = 4$, сначала упростим функцию, раскрыв скобки.

$f(x) = x^2 - 3x$

Теперь найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = (x^2)' - (3x)' = 2x - 3$

Подставим значение $x_0 = 4$ в полученное выражение для производной:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Ответ: 5

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 5) \cdot (x - 3)$ и точка $x_0 = 1,1$.

Для нахождения производной этой функции удобнее всего использовать правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 5$ и $v(x) = x - 3$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2 - 5)' \cdot (x - 3) + (x^2 - 5) \cdot (x - 3)' = 2x(x - 3) + (x^2 - 5) \cdot 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = 2x^2 - 6x + x^2 - 5 = 3x^2 - 6x - 5$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,1$:

$f'(1,1) = 3(1,1)^2 - 6(1,1) - 5 = 3(1,21) - 6,6 - 5 = 3,63 - 11,6 = -7,97$

Ответ: -7,97

3) Дана функция $f(x) = 4 \cdot (x^2 + 3x) \cdot (x - 1)$ и точка $x_0 = -0,4$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 4 \cdot (x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x) = 4 \cdot (x^3 + 2x^2 - 3x)$

$f(x) = 4x^3 + 8x^2 - 12x$

Найдем производную полученной функции:

$f'(x) = (4x^3 + 8x^2 - 12x)' = 4 \cdot 3x^2 + 8 \cdot 2x - 12 = 12x^2 + 16x - 12$

Теперь подставим значение $x_0 = -0,4$ в выражение для производной:

$f'(-0,4) = 12(-0,4)^2 + 16(-0,4) - 12 = 12(0,16) - 6,4 - 12$

$f'(-0,4) = 1,92 - 18,4 = -16,48$

Ответ: -16,48

4) Дана функция $f(x) = (2x - 1)(x + 3) - x$ и точка $x_0 = 1\frac{1}{3}$.

Упростим функцию, раскрыв скобки в произведении:

$f(x) = (2x^2 + 6x - x - 3) - x = 2x^2 + 5x - 3 - x$

$f(x) = 2x^2 + 4x - 3$

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 + 4x - 3)' = 2 \cdot 2x + 4 = 4x + 4$

Переведем значение $x_0 = 1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь для удобства вычислений: $x_0 = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Подставим это значение в производную:

$f'(\frac{4}{3}) = 4 \cdot \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{28}{3}$

Преобразуем результат в смешанную дробь: $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$.

Ответ: $9\frac{1}{3}$