Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Используя график функции $y = \frac{2x+1}{x-1}$, опишите ее свойства.

Для описания свойств функции $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ необходимо проанализировать ее и представить ее график. Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2x - 2 + 3}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$.

Это гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Центр симметрии гиперболы находится в точке $(1; 2)$.

На основе этого анализа и мысленного представления графика, опишем свойства функции.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае это $x - 1 = 0$, то есть $x=1$. На графике это соответствует вертикальной асимптоте.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений функции

Из преобразованного вида функции $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ видно, что слагаемое $\frac{3}{x - 1}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $y$ может принимать любые значения, кроме 2. На графике это соответствует горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{2(-x) + 1}{-x - 1} = \frac{-2x + 1}{-x - 1} = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = -1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{2x + 1}{x - 1} = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -0.5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(-0.5; 0)$.

Ответ: Пересечение с осью Ox: $(-0.5; 0)$; пересечение с осью Oy: $(0; -1)$.

5. Промежутки знакопостоянства

Знаки функции определяются на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции ($x=-0.5$) и точками разрыва ($x=1$).

Интервалы: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 1)$, $(1; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -0.5)$ функция положительна ($y>0$). Например, $y(-1) = 0.5$.- На интервале $(-0.5; 1)$ функция отрицательна ($y<0$). Например, $y(0) = -1$.- На интервале $(1; +\infty)$ функция положительна ($y>0$). Например, $y(2) = 5$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-0.5; 1)$.

6. Промежутки монотонности

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.

$y' = \left(2 + \frac{3}{x - 1}\right)' = -\frac{3}{(x - 1)^2}$.

Поскольку $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, а числитель -3 отрицателен, то $y' < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

7. Асимптоты

Как было показано ранее, график функции имеет асимптоты.

- Вертикальная асимптота находится в точке разрыва функции: $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + 1/x}{1 - 1/x} = 2$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 1$; горизонтальная асимптота: $y = 2$.

1. Как получили формулу дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$?

2. Как вы думаете, почему функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ назвали дробно-линейной?

1. Как получили формулу дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$?

Формулу дробно-линейной функции можно получить, рассматривая ее как общий случай функции, график которой является гиперболой. Эта формула является результатом преобразования (параллельного переноса и растяжения) графика простейшей обратной пропорциональности $y = \frac{1}{x}$. Чтобы это показать, выполним алгебраические преобразования, выделив целую часть дроби.

Для функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ будем считать, что $c \neq 0$ (в противном случае, если $d \neq 0$, функция становится линейной $y = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$) и $ad - bc \neq 0$ (в противном случае функция является постоянной, за исключением точки разрыва).

Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе «уголком» или преобразуем выражение, искусственно выделяя в числителе слагаемое, содержащее знаменатель:

$y = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d - d) + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d) - \frac{ad}{c} + b}{cx + d}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)}$

Это выражение уже показывает, что график функции — это гипербола. Чтобы сделать это еще нагляднее, приведем уравнение к каноническому виду графика гиперболы со смещенным центром $y - y_0 = \frac{k}{x - x_0}$:

$y - \frac{a}{c} = \frac{bc-ad}{c^2(x + \frac{d}{c})}$

Если ввести обозначения $y_0 = \frac{a}{c}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $k = \frac{bc-ad}{c^2}$, то уравнение примет вид:

$y - y_0 = \frac{k}{x - x_0}$

Эта формула описывает гиперболу $Y = \frac{k}{X}$, которая получена из графика $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса так, что ее новый центр находится в точке $(x_0, y_0)$.

Таким образом, формула дробно-линейной функции была получена как обобщение функции обратной пропорциональности, или, что эквивалентно, как функция, представляющая собой отношение двух линейных функций общего вида.

Ответ: Формула дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ является наиболее общим видом функции, график которой есть гипербола (с вертикальной и горизонтальной асимптотами), и получается путем преобразования простейшей гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Также ее можно рассматривать как отношение двух линейных функций $f_1(x) = ax+b$ и $f_2(x) = cx+d$.

2. Как вы думаете, почему функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ назвали дробно-линейной?

Название «дробно-линейная» функция получила в точном соответствии со своим математическим видом. Это название является составным и описывает структуру формулы:

1. Часть «дробно» (происходит от слова «дробь») указывает на то, что функция задана в виде дроби, то есть отношения (деления) двух выражений.

2. Часть «линейная» указывает на вид выражений, из которых состоит эта дробь. И числитель ($ax+b$), и знаменатель ($cx+d$) являются многочленами первой степени. Функции, задаваемые такими выражениями (вида $f(x)=kx+m$), называются линейными.

Таким образом, название «дробно-линейная функция» дословно означает, что это функция, которая является дробью, составленной из двух линейных функций.

Ответ: Функцию назвали дробно-линейной, потому что она представляет собой дробь (отношение), в числителе и знаменателе которой находятся выражения, задающие линейные функции.

8.1. Используя параллельный перенос вдоль оси $Ox$, постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{x - 2}$; 2) $y = -\frac{1}{x - 3}$; 3) $y = \frac{1}{x + 2}$; 4) $y = -\frac{1}{x + 3}$.

1) $y = \frac{1}{x-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{x-2}$ используется метод параллельного переноса. За основу берется график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

График функции вида $y = f(x-a)$ получается из графика функции $y=f(x)$ параллельным переносом вдоль оси Ox. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=2$. Так как $a > 0$, перенос осуществляется на $a$ единиц вправо.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \frac{1}{x-2}$, нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

При этом вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 2 единицы вправо и станет прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется на своем месте. Ветви гиперболы будут расположены относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=2$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $y = -\frac{1}{x-3}$

Для построения этого графика за основу возьмем функцию $y = -\frac{1}{x}$. Ее график — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами также являются оси $x=0$ и $y=0$.

Данная функция имеет вид $y = g(x-a)$, где $g(x) = -\frac{1}{x}$ и $a=3$.

Поскольку $a = 3 > 0$, для получения графика функции $y = -\frac{1}{x-3}$ необходимо сдвинуть график функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменит своего положения. Ветви гиперболы будут расположены относительно новых асимптот $x=3$ и $y=0$ во "второй" и "четвертой" четвертях.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x-3}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = \frac{1}{x+2}$

Используем параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола в I и III четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

Заданную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x-(-2)}$. Это функция вида $y = f(x-a)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a = -2$.

Так как $a < 0$, перенос осуществляется на $|a|$ единиц влево.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \frac{1}{x+2}$, нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота $x=0$ сместится в положение $x=-2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

4) $y = -\frac{1}{x+3}$

Используем параллельный перенос графика базовой функции $y = -\frac{1}{x}$ (гипербола во II и IV четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

Заданную функцию можно представить в виде $y = -\frac{1}{x-(-3)}$. Это функция вида $y = g(x-a)$, где $g(x) = -\frac{1}{x}$ и $a = -3$.

Поскольку $a < 0$, необходимо сдвинуть график исходной функции на $|-3| = 3$ единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота $x=0$ сместится в положение $x=-3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится. Ветви гиперболы будут расположены относительно новых асимптот $x=-3$ и $y=0$ во "второй" и "четвертой" четвертях.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x+3}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

8.2. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{2}{x-2}$;

2) $y = \frac{2}{x-3}$;

3) $y = -\frac{3}{x+2}$;

4) $y = \frac{0,5}{x+3}$.

1) $y = -\frac{2}{x-2}$

Для построения графика функции $y = -\frac{2}{x-2}$ определим его основные свойства. Данная функция является гиперболой. Её график можно получить из графика простейшей гиперболы $y' = -\frac{2}{x'}$ с помощью параллельного переноса. В данном случае, знаменатель $x-2$ указывает на сдвиг графика функции $y = -\frac{2}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Асимптотами графика являются прямые, к которым ветви гиперболы стремятся, но не пересекают. Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x-2=0$, то есть $x=2$. Горизонтальной асимптотой является ось абсцисс, так как при увеличении $x$ по модулю значение $y$ стремится к нулю. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=0$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек. Так как коэффициент $k=-2$ отрицательный, ветви гиперболы будут располагаться во второй и четвертой четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами. Выберем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты $x=2$.

Если $x=3$, то $y = -\frac{2}{3-2} = -2$. Точка $(3, -2)$.

Если $x=4$, то $y = -\frac{2}{4-2} = -1$. Точка $(4, -1)$.

Если $x=1$, то $y = -\frac{2}{1-2} = 2$. Точка $(1, 2)$.

Если $x=0$, то $y = -\frac{2}{0-2} = 1$. Точка $(0, 1)$.

Построение: на координатной плоскости проводим пунктирными линиями асимптоты $x=2$ и $y=0$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(1, 2)$ и $(3, -2)$.

2) $y = \frac{2}{x-3}$

График функции $y = \frac{2}{x-3}$ — это гипербола. Его можно построить, сдвинув график функции $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Найдем асимптоты графика. Вертикальная асимптота определяется из условия $x-3=0$, что дает $x=3$. Горизонтальная асимптота — $y=0$, поскольку при $|x| \to \infty$, $y \to 0$.

Коэффициент $k=2$ положительный, следовательно, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, заданной асимптотами $x=3$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек.

При $x=4$, $y = \frac{2}{4-3} = 2$. Точка $(4, 2)$.

При $x=5$, $y = \frac{2}{5-3} = 1$. Точка $(5, 1)$.

При $x=2$, $y = \frac{2}{2-3} = -2$. Точка $(2, -2)$.

При $x=1$, $y = \frac{2}{1-3} = -1$. Точка $(1, -1)$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Затем наносим вычисленные точки на координатную плоскость и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(3, 0)$, вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(4, 2)$ и $(2, -2)$.

3) $y = -\frac{3}{x+2}$

График функции $y = -\frac{3}{x+2}$ — это гипербола. Её получают сдвигом графика функции $y = -\frac{3}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, так как $x+2 = x - (-2)$.

Вертикальная асимптота графика находится из условия $x+2=0$, то есть $x=-2$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

Коэффициент $k=-3$ отрицательный, поэтому ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=-2$ и $y=0$. Вычислим координаты нескольких точек для построения.

При $x=-1$, $y = -\frac{3}{-1+2} = -3$. Точка $(-1, -3)$.

При $x=1$, $y = -\frac{3}{1+2} = -1$. Точка $(1, -1)$.

При $x=-3$, $y = -\frac{3}{-3+2} = 3$. Точка $(-3, 3)$.

При $x=-5$, $y = -\frac{3}{-5+2} = 1$. Точка $(-5, 1)$.

Построение: наносим на координатную плоскость асимптоты $x=-2$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них две плавные кривые — ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(-2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(-1, -3)$ и $(-3, 3)$.

4) $y = \frac{0.5}{x+3}$

График функции $y = \frac{0.5}{x+3}$ является гиперболой. Он получается путем сдвига графика функции $y = \frac{0.5}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс.

Вертикальная асимптота графика проходит там, где знаменатель обращается в ноль: $x+3=0$, откуда $x=-3$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

Так как коэффициент $k=0.5$ положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=-3$ и $y=0$. Найдем несколько точек для построения.

При $x=-2.5$, $y = \frac{0.5}{-2.5+3} = 1$. Точка $(-2.5, 1)$.

При $x=-2$, $y = \frac{0.5}{-2+3} = 0.5$. Точка $(-2, 0.5)$.

При $x=-3.5$, $y = \frac{0.5}{-3.5+3} = -1$. Точка $(-3.5, -1)$.

При $x=-4$, $y = \frac{0.5}{-4+3} = -0.5$. Точка $(-4, -0.5)$.

Чтобы построить график, чертим асимптоты $x=-3$ и $y=0$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными линиями, получая ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(-3, 0)$, вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(-2.5, 1)$ и $(-3.5, -1)$.

8.3. Используя параллельный перенос вдоль оси $Oy$, постройте график функции:

1) $y = 1 + \frac{1}{x}$;

2) $y = 2 + \frac{1}{x}$;

3) $y = 1 - \frac{1}{x}$;

4) $y = 2 - \frac{1}{x}$.

1) Чтобы построить график функции $y = 1 + \frac{1}{x}$, необходимо выполнить параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Её асимптоты — это оси координат: горизонтальная асимптота $y=0$ и вертикальная асимптота $x=0$.

Данная функция $y = 1 + \frac{1}{x}$ имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c=1$.

Поскольку $c=1 > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

При этом вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=1$.

Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = \frac{1}{x}$ перейдет в точку $(x_0, y_0+1)$ на новом графике. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$, вертикальная асимптота — прямая $x=0$.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ используется параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

Как и в предыдущем случае, базовая функция — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $y=0$ и $x=0$.

Данное уравнение можно представить в виде $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c=2$.

Так как $c=2 > 0$, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y=2$.

Например, точка $(1, 1)$ с графика $y = \frac{1}{x}$ переместится в точку $(1, 3)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=2$, вертикальная асимптота — $x=0$.

3) Чтобы построить график функции $y = 1 - \frac{1}{x}$, сначала рассмотрим базовую функцию $y = -\frac{1}{x}$. Её график — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Её асимптоты, как и у $y = \frac{1}{x}$, — это оси координат $x=0$ и $y=0$.

Функцию $y = 1 - \frac{1}{x}$ можно записать как $y = -\frac{1}{x} + 1$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = -\frac{1}{x}$ и $c=1$.

Поскольку $c=1 > 0$, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ останется прежней, а горизонтальная асимптота $y=0$ сместится вверх и станет прямой $y=1$.

Точки графика $y = -\frac{1}{x}$, например, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$, перейдут в точки $(1, 0)$ и $(-1, 2)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = 1 - \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=1$, вертикальная асимптота — $x=0$.

4) Для построения графика функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ используем параллельный перенос графика базовой функции $y = -\frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$.

Запишем функцию в виде $y = -\frac{1}{x} + 2$. Это преобразование вида $y = f(x) + c$ с $f(x) = -\frac{1}{x}$ и $c=2$.

Так как $c=2 > 0$, график функции $y = -\frac{1}{x}$ необходимо сдвинуть на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, а горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=2$.

Например, точка $(1, -1)$ с графика $y = -\frac{1}{x}$ переходит в точку $(1, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-1, 3)$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=2$, вертикальная асимптота — $x=0$.

Постройте график функции (8.4–8.6):

8.4. 1) $y = 2 + \frac{3}{x}$;

2) $y = 1 + \frac{2}{x}$;

3) $y = 1 - \frac{2}{x}$;

4) $y = 2 - \frac{1}{2x}$.

1) $y = 2 + \frac{3}{x}$

Чтобы построить график функции $y = 2 + \frac{3}{x}$, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции.

1. Базовая функция. Основой для нашего графика является функция обратной пропорциональности $y = \frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=3$ положителен. Асимптотами для этой функции служат оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

2. Преобразование. Данная функция $y = 2 + \frac{3}{x}$ получается из базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты. При таком сдвиге вертикальная асимптота не меняется и остается $x=0$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

4. Контрольные точки. Для более точного построения найдем несколько точек графика.

Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):

$0 = 2 + \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$. Точка пересечения: $(-1.5, 0)$.

Вычислим значения функции для других значений $x$:

- при $x=1$, $y = 2 + \frac{3}{1} = 5$. Точка: $(1, 5)$.

- при $x=3$, $y = 2 + \frac{3}{3} = 3$. Точка: $(3, 3)$.

- при $x=-1$, $y = 2 + \frac{3}{-1} = -1$. Точка: $(-1, -1)$.

- при $x=-3$, $y = 2 + \frac{3}{-3} = 1$. Точка: $(-3, 1)$.

5. Построение. В системе координат строим пунктирными линиями асимптоты $x=0$ и $y=2$. Затем отмечаем вычисленные контрольные точки. Соединяем точки плавными кривыми, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{3}{x}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=2$. Ветви графика расположены в областях $x>0, y>2$ и $x<0, y<2$.

2) $y = 1 + \frac{2}{x}$

График функции $y = 1 + \frac{2}{x}$ строится аналогично предыдущему.

1. Базовая функция: $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III четвертях ($k=2>0$).

2. Преобразование: Сдвиг графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 1 + \frac{2}{x} \implies \frac{2}{x} = -1 \implies x = -2$. Точка: $(-2, 0)$.

Другие точки:

- при $x=1$, $y = 1 + \frac{2}{1} = 3$. Точка: $(1, 3)$.

- при $x=2$, $y = 1 + \frac{2}{2} = 2$. Точка: $(2, 2)$.

- при $x=-1$, $y = 1 + \frac{2}{-1} = -1$. Точка: $(-1, -1)$.

5. Построение: Рисуем асимптоты $x=0$ и $y=1$. Отмечаем найденные точки и проводим через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: График функции $y = 1 + \frac{2}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Ветви расположены в областях $x>0, y>1$ и $x<0, y<1$.

3) $y = 1 - \frac{2}{x}$

Для построения графика функции $y = 1 - \frac{2}{x}$ представим её в виде $y = 1 + \frac{-2}{x}$.

1. Базовая функция: $y = \frac{-2}{x}$. Так как коэффициент $k=-2$ отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование: Сдвиг графика базовой функции $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 1 - \frac{2}{x} \implies 1 = \frac{2}{x} \implies x = 2$. Точка: $(2, 0)$.

Другие точки:

- при $x=1$, $y = 1 - \frac{2}{1} = -1$. Точка: $(1, -1)$.

- при $x=-1$, $y = 1 - \frac{2}{-1} = 3$. Точка: $(-1, 3)$.

- при $x=-2$, $y = 1 - \frac{2}{-2} = 2$. Точка: $(-2, 2)$.

5. Построение: Рисуем асимптоты $x=0$ и $y=1$. Отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы. Одна ветвь будет в области $x<0, y>1$, а вторая — в области $x>0, y<1$.

Ответ: График функции $y = 1 - \frac{2}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Ветви расположены в "новых" второй и четвертой четвертях, образованных асимптотами.

4) $y = 2 - \frac{1}{2x}$

Для построения графика функции $y = 2 - \frac{1}{2x}$ представим её в виде $y = 2 + \frac{-1/2}{x}$.

1. Базовая функция: $y = \frac{-1/2}{x}$ (или $y = -\frac{1}{2x}$). Коэффициент $k = -1/2 < 0$, поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование: Сдвиг графика базовой функции $y = -\frac{1}{2x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=2$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 2 - \frac{1}{2x} \implies 2 = \frac{1}{2x} \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка: $(0.25, 0)$.

Другие точки:

- при $x=0.5$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot 0.5} = 2 - 1 = 1$. Точка: $(0.5, 1)$.

- при $x=1$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot 1} = 1.5$. Точка: $(1, 1.5)$.

- при $x=-0.5$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot (-0.5)} = 2 - (-1) = 3$. Точка: $(-0.5, 3)$.

- при $x=-1$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot (-1)} = 2 + 0.5 = 2.5$. Точка: $(-1, 2.5)$.

5. Построение: Строим асимптоты $x=0$ и $y=2$. Наносим на координатную плоскость найденные точки. Соединяем точки плавными кривыми, получая ветви гиперболы в областях $x<0, y>2$ и $x>0, y<2$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{1}{2x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{2x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=2$. Ветви расположены в областях, ограниченных асимптотами, соответствующих второй и четвертой четвертям.

8.5. 1) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$;
2) $y = 2 + \frac{1}{x-3}$;
3) $y = 1 - \frac{1}{x+2}$;
4) $y = 1 - \frac{1}{x+3}$.

1) Данная функция $y = 2 + \frac{1}{x-2}$ является рациональной функцией. Ее график — гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью геометрических преобразований.

Преобразования для получения графика $y = 2 + \frac{1}{x-2}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем функцию $y = \frac{1}{x-2}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомую функцию $y = 2 + \frac{1}{x-2}$.

Центр симметрии гиперболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(2;2)$.

Область определения функции $D(y)$: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота — прямая $x=2$, так как при $x \to 2$ значение функции стремится к бесконечности.

- Горизонтальная асимптота — прямая $y=2$, так как при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{1}{x-2} \to 0$ и $y \to 2$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=2$.

2) Функция $y = 2 + \frac{1}{x-3}$ также является преобразованием базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 2 + \frac{1}{x-3}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y = \frac{1}{x-3}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить $y = 2 + \frac{1}{x-3}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(3;2)$.

Область определения функции $D(y)$: $x-3 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=3$.

- Горизонтальная асимптота: $y=2$, так как при $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x-3} \to 0$ и $y \to 2$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=2$.

3) Функция $y = 1 - \frac{1}{x+2}$ является преобразованием гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 1 - \frac{1}{x+2}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, получаем $y = \frac{1}{x+2}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, получаем $y = -\frac{1}{x+2}$.

3. Сдвиг последнего графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получаем $y = 1 - \frac{1}{x+2}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(-2;1)$.

Область определения функции $D(y)$: $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$, так как при $x \to \pm\infty$, $-\frac{1}{x+2} \to 0$ и $y \to 1$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=1$.

4) Функция $y = 1 - \frac{1}{x+3}$ является преобразованием гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 1 - \frac{1}{x+3}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, получаем $y = \frac{1}{x+3}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, получаем $y = -\frac{1}{x+3}$.

3. Сдвиг последнего графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получаем $y = 1 - \frac{1}{x+3}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(-3;1)$.

Область определения функции $D(y)$: $x+3 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$. $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=-3$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$, так как при $x \to \pm\infty$, $-\frac{1}{x+3} \to 0$ и $y \to 1$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=1$.

8.6. 1) $y = 1 - \frac{1}{x-2}$;

2) $y = 3 - \frac{2}{x-3}$;

3) $y = 3 - \frac{2}{x+2}$;

4) $y = 3 - \frac{1}{2x+4}$.

1) Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{1}{x-2}$.

Это дробно-рациональная функция. Ее график — гипербола, полученная смещением графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота — это прямая, при приближении к которой функция уходит в бесконечность. Это происходит при $x$, обращающем знаменатель в ноль, то есть $x=2$.

Горизонтальную асимптоту найдем, рассмотрев поведение функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to \pm\infty$, член $\frac{1}{x-2} \to 0$. Тогда $y \to 1 - 0 = 1$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=1$.

Функцию также можно представить в виде одной дроби:

$y = 1 - \frac{1}{x-2} = \frac{1 \cdot (x-2) - 1}{x-2} = \frac{x-3}{x-2}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=1$.

2) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{2}{x-3}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель равен нулю: $x=3$.

Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to \pm\infty$, член $\frac{2}{x-3} \to 0$. Тогда $y \to 3 - 0 = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{2}{x-3} = \frac{3 \cdot (x-3) - 2}{x-3} = \frac{3x - 9 - 2}{x-3} = \frac{3x-11}{x-3}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=3$.

3) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{2}{x+2}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево (так как $x+2 = x-(-2)$) и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, член $\frac{2}{x+2} \to 0$, и $y \to 3 - 0 = 3$. Таким образом, асимптота — $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{2}{x+2} = \frac{3 \cdot (x+2) - 2}{x+2} = \frac{3x + 6 - 2}{x+2} = \frac{3x+4}{x+2}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=3$.

4) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{1}{2x+4}$.

Это дробно-рациональная функция. Для анализа преобразуем ее, вынеся общий множитель в знаменателе:

$y = 3 - \frac{1}{2(x+2)} = 3 - \frac{0.5}{x+2}$.

График функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{0.5}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2x + 4 \neq 0 \implies 2(x+2) \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, член $\frac{1}{2x+4} \to 0$, и $y \to 3 - 0 = 3$. Таким образом, асимптота — $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{1}{2x+4} = \frac{3 \cdot (2x+4) - 1}{2x+4} = \frac{6x + 12 - 1}{2x+4} = \frac{6x+11}{2x+4}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=3$.