Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

9.7. Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором достигается это наименьшее значение функции:

1) $y = 3 + \sqrt{x+2}$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 1} - 2$;

3) $y = 3 + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

1) Дана функция $y = 3 + \sqrt{x+2}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения $D(y) = [-2, +\infty)$.

Функция $y$ представляет собой сумму постоянного числа 3 и неотрицательного слагаемого $\sqrt{x+2}$. Наименьшее значение функции достигается тогда, когда слагаемое $\sqrt{x+2}$ принимает свое наименьшее возможное значение.

Наименьшее значение выражения $\sqrt{x+2}$ равно 0, так как корень арифметический. Это значение достигается при условии $x+2=0$, то есть при $x=-2$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 3 + \sqrt{-2+2} = 3 + \sqrt{0} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3 при $x=-2$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x^2-1} - 2$.

Область определения функции находится из условия $x^2-1 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Функция $y$ принимает наименьшее значение, когда выражение $\sqrt{x^2-1}$ принимает наименьшее значение. Это, в свою очередь, происходит, когда подкоренное выражение $x^2-1$ минимально на области определения.

Выражение $x^2-1$ на области определения $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ принимает свое наименьшее значение, равное 0, в точках $x=-1$ и $x=1$.

Следовательно, наименьшее значение $\sqrt{x^2-1}$ равно $\sqrt{0}=0$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 0 - 2 = -2$.

Это значение достигается при $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2 при $x=-1$ и $x=1$.

3) Дана функция $y = 3 + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдем область определения функции из условия $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $f(x)=x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

Функция $y$ является суммой константы 3 и неотрицательного слагаемого $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$. Наименьшее значение функции будет достигнуто, когда слагаемое $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$ будет минимальным.

На своей области определения подкоренное выражение $x^2 - 2x - 3$ всегда неотрицательно. Его наименьшее значение равно 0 и достигается в точках, где $x^2 - 2x - 3 = 0$, то есть при $x=-1$ и $x=3$.

Следовательно, наименьшее значение $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$ равно $\sqrt{0}=0$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 3 + 0 = 3$.

Это значение достигается при $x=-1$ и $x=3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3 при $x=-1$ и $x=3$.

9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

1) $y = x^2 - 5x + 2$ на промежутке $[1; 4];

2) $y = -x^2 + 2x + 1$ на промежутке $[-1; 5];

3) $y = 2x^2 + 4x - 3$ на промежутке $[-3; 1].

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = x^2 - 5x + 2$ на промежутке $[1; 4]$ необходимо найти значение функции в вершине параболы и на концах заданного промежутка.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$

Так как $x_0 = 2.5$ принадлежит промежутку $[1; 4]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = 2.5$.

$y_{наим} = y(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 2 = 6.25 - 12.5 + 2 = -4.25$

Наибольшее значение на отрезке функция принимает на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$:

$y(1) = 1^2 - 5(1) + 2 = 1 - 5 + 2 = -2$

$y(4) = 4^2 - 5(4) + 2 = 16 - 20 + 2 = -2$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наибольшее: $y_{наиб} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.25, наибольшее значение функции равно -2.

2) Для функции $y = -x^2 + 2x + 1$ на промежутке $[-1; 5]$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наибольшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

Так как $x_0 = 1$ принадлежит промежутку $[-1; 5]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = 1$.

$y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

Наименьшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=5$:

$y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$

$y(5) = -(5)^2 + 2(5) + 1 = -25 + 10 + 1 = -14$

Сравнивая значения $y(-1)=-2$ и $y(5)=-14$, находим наименьшее: $y_{наим} = -14$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -14, наибольшее значение функции равно 2.

3) Для функции $y = 2x^2 + 4x - 3$ на промежутке $[-3; 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$), поэтому в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$

Так как $x_0 = -1$ принадлежит промежутку $[-3; 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = -1$.

$y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$

Наибольшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=1$:

$y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 3 = 2 \cdot 9 - 12 - 3 = 18 - 15 = 3$

$y(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наибольшее: $y_{наиб} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение функции равно 3.

9.9. По алгоритму исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = -x^2 + 3x + 2;$

2) $y = 3x^2 + 6x - 4;$

3) $y = 2 + \frac{2}{x - 1};$

4) $y = 3 - \frac{2}{x - 1};$

5) $y = -3 + \frac{1}{x + 2};$

6) $y = -2 - \frac{2}{2x - 5}.

1) $y = -x^2 + 3x + 2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вершина параболы и направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

$y_v = y(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 2 = -2.25 + 4.5 + 2 = 4.25$.

Вершина параболы находится в точке $(1.5; 4.25)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$.

- С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 3x + 2 = 0$, или $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9+8=17$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; 0) \approx (-0.56; 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; 0) \approx (3.56; 0)$.

4. Область значений. Так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине, $E(y) = (-\infty; 4.25]$.

5. Промежутки монотонности. Функция возрастает до вершины и убывает после нее.

- Возрастает на $(-\infty; 1.5]$.

- Убывает на $[1.5; +\infty)$.

Для построения графика отметим вершину $(1.5; 4.25)$, точки пересечения с осями $(0; 2)$, $(\approx -0.56; 0)$, $(\approx 3.56; 0)$ и точку, симметричную $(0; 2)$ относительно оси $x=1.5$, — это точка $(3; 2)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1.5; 4.25)$ и ветвями, направленными вниз. Пересечение с осью OY: $(0; 2)$. Пересечение с осью OX: $(\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}; 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 1.5]$ и убывает на $[1.5; +\infty)$.

2) $y = 3x^2 + 6x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вершина параболы и направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1$.

$y_v = y(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 4 = 3 - 6 - 4 = -7$.

Вершина параболы находится в точке $(-1; -7)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка пересечения: $(0; -4)$.

- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 + 6x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(3)(-4) = 36+48=84$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}$.

Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{3}; 0) \approx (-2.53; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{3}; 0) \approx (0.53; 0)$.

4. Область значений. Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-7; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности. Функция убывает до вершины и возрастает после нее.

- Убывает на $(-\infty; -1]$.

- Возрастает на $[-1; +\infty)$.

Для построения графика отметим вершину $(-1; -7)$, точки пересечения с осями $(0; -4)$, $(\approx -2.53; 0)$, $(\approx 0.53; 0)$ и точку, симметричную $(0; -4)$ относительно оси $x=-1$, — это точка $(-2; -4)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1; -7)$ и ветвями, направленными вверх. Пересечение с осью OY: $(0; -4)$. Пересечение с осью OX: $(\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}; 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и возрастает на $[-1; +\infty)$.

3) $y = 2 + \frac{2}{x - 1}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: прямая $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{2}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to 2$. Прямая $y=2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = 2 + \frac{2}{0 - 1} = 2 - 2 = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = 2 + \frac{2}{x - 1} \implies -2 = \frac{2}{x - 1} \implies -2(x-1) = 2 \implies x-1 = -1 \implies x=0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Найдем производную: $y' = (2 + 2(x-1)^{-1})' = -2(x-1)^{-2} = -\frac{2}{(x-1)^2}$. Так как $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Так как коэффициент при дроби (2) положителен, ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно центра симметрии $(1; 2)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=1$ и $y=2$. Отмечаем точку $(0; 0)$. Возьмем еще контрольные точки: при $x=2, y = 2 + \frac{2}{2-1} = 4$; при $x=3, y = 2 + \frac{2}{3-1} = 3$. Строим ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4) $y = 3 - \frac{2}{x - 1}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = 3 - \frac{2}{0-1} = 3 + 2 = 5$. Точка пересечения: $(0; 5)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = 3 - \frac{2}{x-1} \implies 3 = \frac{2}{x-1} \implies 3(x-1) = 2 \implies 3x-3 = 2 \implies 3x=5 \implies x = \frac{5}{3}$. Точка пересечения: $(\frac{5}{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (3 - 2(x-1)^{-1})' = 2(x-1)^{-2} = \frac{2}{(x-1)^2}$. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Можно представить функцию как $y = 3 + \frac{-2}{x-1}$. Коэффициент при дроби (-2) отрицателен, ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно центра симметрии $(1; 3)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=1$ и $y=3$. Отмечаем точки $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=2, y = 3 - \frac{2}{2-1} = 1$; при $x=-1, y = 3 - \frac{2}{-1-1} = 4$. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=1$ и $y=3$. Точки пересечения с осями: $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5) $y = -3 + \frac{1}{x + 2}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = -2$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = -3 + \frac{1}{0+2} = -3 + 0.5 = -2.5$. Точка пересечения: $(0; -2.5)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = -3 + \frac{1}{x+2} \implies 3 = \frac{1}{x+2} \implies 3(x+2) = 1 \implies 3x+6=1 \implies 3x=-5 \implies x = -\frac{5}{3}$. Точка пересечения: $(-\frac{5}{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (-3 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$. Так как $y' < 0$ на всей области определения, функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Коэффициент при дроби (1) положителен, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно центра симметрии $(-2; -3)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=-2$ и $y=-3$. Отмечаем точки $(0; -2.5)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=-1, y = -3 + \frac{1}{-1+2} = -2$; при $x=-3, y = -3 + \frac{1}{-3+2} = -4$. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=-2$ и $y=-3$. Точки пересечения с осями: $(0; -2.5)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

6) $y = -2 - \frac{2}{2x - 5}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $2x - 5 \neq 0 \implies 2x \neq 5 \implies x \neq 2.5$.

$D(y) = (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 2.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = -2 - \frac{2}{2(0)-5} = -2 - \frac{2}{-5} = -2 + 0.4 = -1.6$. Точка пересечения: $(0; -1.6)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = -2 - \frac{2}{2x-5} \implies 2 = -\frac{2}{2x-5} \implies 2(2x-5) = -2 \implies 2x-5 = -1 \implies 2x=4 \implies x = 2$. Точка пересечения: $(2; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (-2 - 2(2x-5)^{-1})' = 2(2x-5)^{-2} \cdot 2 = \frac{4}{(2x-5)^2}$. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Коэффициент перед дробью (-1) и коэффициент перед x в знаменателе (2) влияют на расположение. Функция вида $y = -2 + \frac{-2}{2x-5}$. Ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно центра симметрии $(2.5; -2)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=2.5$ и $y=-2$. Отмечаем точки $(0; -1.6)$ и $(2; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=3, y = -2 - \frac{2}{2(3)-5} = -2 - 2 = -4$; при $x=2, y = -2 - \frac{2}{2(2)-5} = -2 - \frac{2}{-1} = 0$, что совпадает с нулем функции. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=2.5$ и $y=-2$. Точки пересечения с осями: $(0; -1.6)$ и $(2; 0)$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.

9.10. Начертите схематический график функции $y = f(x)$, если:

1) $y = f(x)$ возрастает на числовых промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; 4]$ и убывает на числовых промежутках $[-1; 1]$ и $[4; +\infty)$;

2) $y = f(x)$ возрастает на числовых промежутках $(-\infty; 2]$ и $[4; 6]$ и убывает на числовых промежутках $[2; 4]$ и $[6; +\infty)$;

3) $y = f(x)$ убывает на числовых промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 5]$ и возрастает на числовых промежутках $[1; 2]$ и $[5; +\infty)$;

4) $y = f(x)$ убывает на числовых промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; 6]$ и возрастает на числовых промежутках $[-2; 3]$ и $[6; +\infty)$.

1) Чтобы начертить схематический график функции $y = f(x)$, проанализируем её поведение на заданных промежутках. Функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; 4]$, то есть на этих интервалах её график идёт вверх. Функция убывает на $[-1; 1]$ и $[4; +\infty)$, то есть на этих интервалах её график идёт вниз. Точки, в которых меняется характер монотонности, являются точками экстремума.

• В точке $x = -1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 4$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

Ответ: Схематический график представляет собой кривую, которая возрастает до $x=-1$ (локальный максимум), затем убывает до $x=1$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=4$ (локальный максимум) и после этого убывает.

2) Функция $y = f(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty; 2]$ и $[4; 6]$ и убывает на промежутках $[2; 4]$ и $[6; +\infty)$. Проанализируем смену монотонности в граничных точках.

• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 4$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x = 6$ возрастание вновь сменяется убыванием, следовательно, это ещё одна точка локального максимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая возрастает до $x=2$ (локальный максимум), затем убывает до $x=4$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=6$ (локальный максимум) и после этого убывает.

3) Функция $y = f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 5]$ и возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[5; +\infty)$. Определим точки экстремума.

• В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 5$ убывание вновь сменяется возрастанием, что соответствует ещё одной точке локального минимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая убывает до $x=1$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=2$ (локальный максимум), снова убывает до $x=5$ (локальный минимум) и после этого возрастает.

4) Функция $y = f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; 6]$ и возрастает на промежутках $[-2; 3]$ и $[6; +\infty)$. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = -2$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x = 3$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 6$ убывание сменяется возрастанием, что соответствует ещё одной точке локального минимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая убывает до $x=-2$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=3$ (локальный максимум), снова убывает до $x=6$ (локальный минимум) и после этого возрастает.

9.11. Начертите схематический график функции $y = f(x)$, если функ-

ция имеет:

1) $x_{\min} = -3, x_{\max} = 2, f(-3) = -2, f(2) = 5$ и $f(-1) = 0$;

2) $x_{\min} = -4, x_{\max} = 3, f(-4) = -4, f(3) = 6$ и $f(-2) = 0$;

3) $x_{\min} = -2, x_{\max} = 4, f(-2) = -5, f(4) = 7$ и $f(1) = 1$;

4) $x_{\min} = -3,5, x_{\max} = 5, f(-3,5) = -6, f(5) = 6$ и $f(-1) = 0, f(2) = 3$.

1) Для построения схематического графика функции $y = f(x)$ используем заданные условия: точка минимума $x_{min} = -3$ со значением $f(-3) = -2$, точка максимума $x_{max} = 2$ со значением $f(2) = 5$, и нуль функции $f(-1) = 0$.

Сначала отметим на координатной плоскости ключевые точки: точку локального минимума $(-3, -2)$, точку локального максимума $(2, 5)$ и точку пересечения с осью абсцисс $(-1, 0)$.

Поскольку $x = -3$ — точка минимума, график функции убывает на промежутке до $x = -3$ и возрастает после. В точке $(-3, -2)$ график имеет вид "впадины".

Поскольку $x = 2$ — точка максимума, график функции возрастает на промежутке до $x = 2$ и убывает после. В точке $(2, 5)$ график имеет вид "пика".

Соединим эти точки плавной кривой. График приходит из левой верхней части, убывает до точки $(-3, -2)$, затем разворачивается и начинает возрастать. Он пересекает ось $Ox$ в точке $(-1, 0)$ и продолжает расти до точки максимума $(2, 5)$. После этой точки график снова начинает убывать, уходя в правую нижнюю часть плоскости.

Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, которая убывает до точки минимума $(-3, -2)$, затем возрастает, проходя через точку $(-1, 0)$, до точки максимума $(2, 5)$, и после этого снова убывает.

2) Для построения схематического графика используем данные: точка минимума $x_{min} = -4$ со значением $f(-4) = -4$, точка максимума $x_{max} = 3$ со значением $f(3) = 6$, и нуль функции $f(-2) = 0$.

Отметим на координатной плоскости точки: минимум $(-4, -4)$, максимум $(3, 6)$ и точку пересечения с осью $Ox$ $(-2, 0)$.

Наличие минимума в точке $x = -4$ означает, что функция убывает при $x < -4$ и возрастает при $x > -4$.

Наличие максимума в точке $x = 3$ означает, что функция возрастает при $x < 3$ и убывает при $x > 3$.

Точка $(-2, 0)$ лежит на интервале возрастания функции между минимумом и максимумом.

Чертим плавную кривую: она спускается до точки $(-4, -4)$, затем начинает подниматься, пересекает ось абсцисс в точке $(-2, 0)$, продолжает свой рост до точки $(3, 6)$, где достигает максимума, и после этого начинает убывать.

Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, которая убывает до точки минимума $(-4, -4)$, затем возрастает, пересекая ось абсцисс в точке $(-2, 0)$, до точки максимума $(3, 6)$, и затем убывает.

3) Для построения схематического графика используем данные: точка минимума $x_{min} = -2$ со значением $f(-2) = -5$, точка максимума $x_{max} = 4$ со значением $f(4) = 7$, и точка на графике $f(1) = 1$.

Отметим на координатной плоскости точки: минимум $(-2, -5)$, максимум $(4, 7)$ и промежуточную точку $(1, 1)$.

В точке $x = -2$ находится минимум, следовательно, до этой точки функция убывает, а после — возрастает.

В точке $x = 4$ находится максимум, следовательно, до этой точки функция возрастает, а после — убывает.

Точка $(1, 1)$ лежит на участке возрастания функции между минимумом и максимумом, что согласуется с условиями, так как $-5 < 1 < 7$.

Чертим плавную кривую: она убывает до точки $(-2, -5)$, затем разворачивается и возрастает, проходит через точку $(1, 1)$, достигает своего максимума в точке $(4, 7)$, после чего снова убывает.

Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, убывающая до точки минимума $(-2, -5)$, затем возрастающая через точку $(1, 1)$ до точки максимума $(4, 7)$, после чего убывающая.

4) Для построения схематического графика используем данные: точка минимума $x_{min} = -3,5$ со значением $f(-3,5) = -6$, точка максимума $x_{max} = 5$ со значением $f(5) = 6$, и две точки на графике: $f(-1) = 0$ и $f(2) = 3$.

Отметим на координатной плоскости все заданные точки: минимум $(-3.5, -6)$, максимум $(5, 6)$, точку пересечения с осью $Ox$ $(-1, 0)$ и промежуточную точку $(2, 3)$.

В точке $x = -3.5$ — минимум, значит, функция убывает до $x = -3.5$ и возрастает после.

В точке $x = 5$ — максимум, значит, функция возрастает до $x = 5$ и убывает после.

Точки $(-1, 0)$ и $(2, 3)$ находятся на интервале возрастания функции между минимумом и максимумом, что логично, так как $f(-3.5) < f(-1) < f(2) < f(5)$.

Чертим плавную кривую: она убывает до точки $(-3.5, -6)$, затем начинает возрастать, пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$, проходит через точку $(2, 3)$, достигает максимума в точке $(5, 6)$, а затем снова начинает убывать.

Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, которая убывает до точки минимума $(-3.5, -6)$, затем возрастает, пересекая ось Ox в $(-1, 0)$ и проходя через точку $(2, 3)$, до точки максимума $(5, 6)$, а затем снова убывает.

9.12. Начертите эскиз графика функции $y = f(x)$, если функция:

1) $y = f(x)$ — четная, $x_{\text{min}} = 1$, $x_{\text{max}} = -3$, $f(-3) = 6$, $f(1) = -2$;

2) $y = f(x)$ — нечетная, $x_{\text{min}} = -3$, $x_{\text{max}} = -1$, $f(-3) = -2$, $f(-1) = 3$.

1) Для построения эскиза графика четной функции $y = f(x)$ воспользуемся ее свойствами. Свойство четной функции заключается в том, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Точка минимума при $x_{min} = 1$, значение функции в этой точке $f(1) = -2$. Следовательно, на графике есть точка $(1, -2)$, которая является локальным минимумом.

• Точка максимума при $x_{max} = -3$, значение функции в этой точке $f(-3) = 6$. Следовательно, на графике есть точка $(-3, 6)$, которая является локальным максимумом.

Используя свойство четности, найдем симметричные точки и экстремумы:

• Так как $f(1) = -2$ и функция четная, то $f(-1) = f(1) = -2$. Значит, точка $(-1, -2)$ также принадлежит графику. Поскольку $x = 1$ — точка минимума, то из-за симметрии $x = -1$ также будет точкой минимума.

• Так как $f(-3) = 6$ и функция четная, то $f(3) = f(-3) = 6$. Значит, точка $(3, 6)$ также принадлежит графику. Поскольку $x = -3$ — точка максимума, то из-за симметрии $x = 3$ также будет точкой максимума.

Таким образом, у нас есть четыре ключевые точки-экстремума: локальные максимумы в $(-3, 6)$ и $(3, 6)$, и локальные минимумы в $(-1, -2)$ и $(1, -2)$. Для непрерывной четной функции, имеющей минимумы в точках $x=-1$ и $x=1$, можно предположить наличие локального максимума в точке $x=0$.

Эскиз графика можно построить следующим образом: нанесите на координатную плоскость точки максимумов $(-3, 6)$, $(3, 6)$ и точки минимумов $(-1, -2)$, $(1, -2)$. Соедините их плавной кривой, симметричной относительно оси Y. На интервале $(-3, -1)$ функция убывает от $6$ до $-2$. На интервале $(-1, 0)$ функция возрастает от $-2$ до некоторого локального максимума на оси Y. На интервале $(0, 1)$ функция симметрично убывает до $-2$. На интервале $(1, 3)$ функция возрастает от $-2$ до $6$.

Ответ: Эскиз представляет собой симметричную относительно оси Y кривую. Ключевые точки: локальные максимумы в точках $(-3, 6)$ и $(3, 6)$, локальные минимумы в точках $(-1, -2)$ и $(1, -2)$. На оси Y в точке $(0, f(0))$ также находится локальный максимум.

2) Для построения эскиза графика нечетной функции $y = f(x)$ воспользуемся ее свойствами. Свойство нечетной функции заключается в том, что ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если функция определена в нуле, то $f(0) = 0$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Точка минимума при $x_{min} = -3$, значение функции в этой точке $f(-3) = -2$. Следовательно, на графике есть точка $(-3, -2)$, которая является локальным минимумом.

• Точка максимума при $x_{max} = -1$, значение функции в этой точке $f(-1) = 3$. Следовательно, на графике есть точка $(-1, 3)$, которая является локальным максимумом.

Используя свойство нечетности, найдем симметричные точки и экстремумы:

• Так как $f(-3) = -2$ и функция нечетная, то $f(3) = -f(-3) = -(-2) = 2$. Значит, точка $(3, 2)$ также принадлежит графику. Если в $x_0$ у нечетной функции минимум, то в $-x_0$ будет максимум. Следовательно, $x=3$ — точка локального максимума.

• Так как $f(-1) = 3$ и функция нечетная, то $f(1) = -f(-1) = -3$. Значит, точка $(1, -3)$ также принадлежит графику. Если в $x_0$ у нечетной функции максимум, то в $-x_0$ будет минимум. Следовательно, $x=1$ — точка локального минимума.

• График нечетной функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Таким образом, у нас есть ключевые точки: локальные минимумы в $(-3, -2)$ и $(1, -3)$, локальные максимумы в $(-1, 3)$ и $(3, 2)$, и точка $(0, 0)$.

Эскиз графика можно построить следующим образом: нанесите на координатную плоскость все найденные точки. Соедините их плавной кривой, симметричной относительно начала координат. На интервале $(-3, -1)$ функция возрастает от $-2$ до $3$. На интервале $(-1, 1)$ функция убывает от $3$ до $-3$, проходя через начало координат. На интервале $(1, 3)$ функция возрастает от $-3$ до $2$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат. Ключевые точки: локальный минимум в $(-3, -2)$, локальный максимум в $(-1, 3)$, точка $(0, 0)$, локальный минимум в $(1, -3)$ и локальный максимум в $(3, 2)$.

9.13. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции и ее экстремумы:

1) $y = (x + 1)^4 + 1$;

2) $y = 2 - (x - 1)^4$;

3) $y = (x + 1)^3 - 2$.

1) Для функции $y = (x + 1)^4 + 1$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((x + 1)^4 + 1)' = 4(x + 1)^3 \cdot (x + 1)' + 0 = 4(x + 1)^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4(x + 1)^3 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

При $x < -1$, например $x = -2$, производная $y'(-2) = 4(-2 + 1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

При $x > -1$, например $x = 0$, производная $y'(0) = 4(0 + 1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Точка минимума: $x_{min} = -1$.

Точек максимума у функции нет.

Найдем значение функции в точке минимума, то есть минимум (экстремум) функции:

$y_{min} = y(-1) = (-1 + 1)^4 + 1 = 0^4 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, точка минимума $x_{min} = -1$, минимум функции $y_{min} = 1$, точек максимума нет.

2) Для функции $y = 2 - (x - 1)^4$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 - (x - 1)^4)' = 0 - 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = -4(x - 1)^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x < 1$, например $x = 0$, производная $y'(0) = -4(0 - 1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.

При $x > 1$, например $x = 2$, производная $y'(2) = -4(2 - 1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Точка максимума: $x_{max} = 1$.

Точек минимума у функции нет.

Найдем значение функции в точке максимума, то есть максимум (экстремум) функции:

$y_{max} = y(1) = 2 - (1 - 1)^4 = 2 - 0 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 1$, максимум функции $y_{max} = 2$, точек минимума нет.

3) Для функции $y = (x + 1)^3 - 2$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = ((x + 1)^3 - 2)' = 3(x + 1)^2 \cdot (x + 1)' - 0 = 3(x + 1)^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 3(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной.

Выражение $(x + 1)^2$ неотрицательно для любого действительного значения $x$. Оно равно нулю при $x = -1$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Следовательно, производная $y' = 3(x + 1)^2 \ge 0$ для всех $x$. Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=-1$, то эта точка не является точкой экстремума (это точка перегиба).

Функция является возрастающей на всей области определения.

У функции нет точек максимума и минимума, а следовательно, нет и экстремумов.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет, точек максимума и минимума и экстремумов нет.

9.14. Даны функции $f(x) = x^2 - 2$ и $g(x) = \frac{1}{x+2}$. Напишите формулу функции:

1) $y = f(2x)$;

2) $y = g(x^2)$;

3) $y = g(3x)$;

4) $y = f(x - 2)$.

Даны функции $f(x) = x^2 - 2$ и $g(x) = \frac{1}{x+2}$.

1) y = f(2x);

Чтобы найти формулу для $y = f(2x)$, нужно в формулу функции $f(x) = x^2 - 2$ вместо переменной $x$ подставить выражение $2x$.

$y = f(2x) = (2x)^2 - 2$

Упростим полученное выражение:

$y = 4x^2 - 2$

Ответ: $y = 4x^2 - 2$.

2) y = g(x²);

Чтобы найти формулу для $y = g(x^2)$, нужно в формулу функции $g(x) = \frac{1}{x+2}$ вместо переменной $x$ подставить выражение $x^2$.

$y = g(x^2) = \frac{1}{x^2 + 2}$

Это выражение является окончательным.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2 + 2}$.

3) y = g(3x);

Чтобы найти формулу для $y = g(3x)$, нужно в формулу функции $g(x) = \frac{1}{x+2}$ вместо переменной $x$ подставить выражение $3x$.

$y = g(3x) = \frac{1}{3x + 2}$

Это выражение является окончательным.

Ответ: $y = \frac{1}{3x + 2}$.

4) y = f(x - 2);

Чтобы найти формулу для $y = f(x-2)$, нужно в формулу функции $f(x) = x^2 - 2$ вместо переменной $x$ подставить выражение $(x-2)$.

$y = f(x-2) = (x-2)^2 - 2$

Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$y = x^2 - 4x + 2$

Ответ: $y = x^2 - 4x + 2$.

9.15. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x^4 + 4x$ возрастает на множестве $[0; +\infty)$;

2) $f(x) = -x^3 - 3x$ убывает на множестве $(-\infty; +\infty)$;

3) $f(x) = x^5 + 2x$ возрастает на множестве $R$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^4 + 4x$ возрастает на множестве $[0; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак этой производной на указанном промежутке. Если производная неотрицательна, функция возрастает.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 4x)' = 4x^3 + 4$.

Теперь определим знак производной на множестве $[0; +\infty)$. Для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x \ge 0$.

Следовательно:

$x^3 \ge 0$

$4x^3 \ge 0$

$4x^3 + 4 \ge 4$

Таким образом, $f'(x) \ge 4$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на множестве $[0; +\infty)$, функция $f(x)$ возрастает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^3 - 3x$ убывает на множестве $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и определим ее знак. Если производная неположительна, функция убывает.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^3 - 3x)' = -3x^2 - 3$.

Определим знак производной на множестве всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $x$ значение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

Отсюда следует:

$-3x^2 \le 0$

$-3x^2 - 3 \le -3$

Таким образом, $f'(x) \le -3$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго отрицательна на множестве $(-\infty; +\infty)$, функция $f(x)$ убывает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^5 + 2x$ возрастает на множестве $R$, найдем ее производную и определим ее знак.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 2x)' = 5x^4 + 2$.

Определим знак производной на множестве всех действительных чисел $R$. Для любого действительного числа $x$ значение $x^4$ является неотрицательным, поскольку показатель степени четный, то есть $x^4 \ge 0$.

Отсюда следует:

$5x^4 \ge 0$

$5x^4 + 2 \ge 2$

Таким образом, $f'(x) \ge 2$ для всех $x \in R$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на множестве $R$, функция $f(x)$ возрастает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

43.3. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$

в точках его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = 4 - x^2$;

2) $f(x) = x^2 - 9$;

3) $f(x) = 4x - x^2$;

4) $f(x) = 4x - x^2 - 3$.

1) $f(x) = 4 - x^2$

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Для этого приравняем функцию к нулю:$f(x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0$.$x^2 = 4$, откуда получаем два корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.Это абсциссы точек касания. В этих точках $y = 0$.Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Поскольку $f(x_0) = 0$, уравнение упрощается до $y = f'(x_0)(x - x_0)$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.Теперь напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = -2$:Найдем угловой коэффициент касательной: $k_1 = f'(-2) = -2(-2) = 4$.Уравнение касательной: $y = 4(x - (-2)) = 4(x + 2) = 4x + 8$.

Для точки $x_2 = 2$:Найдем угловой коэффициент касательной: $k_2 = f'(2) = -2(2) = -4$.Уравнение касательной: $y = -4(x - 2) = -4x + 8$.

Ответ: $y = 4x + 8$ и $y = -4x + 8$.

2) $f(x) = x^2 - 9$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies x^2 - 9 = 0$.$x^2 = 9$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 9)' = 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки, используя формулу $y = f'(x_0)(x - x_0)$.

Для точки $x_1 = -3$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(-3) = 2(-3) = -6$.Уравнение касательной: $y = -6(x - (-3)) = -6(x + 3) = -6x - 18$.

Для точки $x_2 = 3$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = 2(3) = 6$.Уравнение касательной: $y = 6(x - 3) = 6x - 18$.

Ответ: $y = -6x - 18$ и $y = 6x - 18$.

3) $f(x) = 4x - x^2$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies 4x - x^2 = 0$.$x(4 - x) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = 0$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(0) = 4 - 2(0) = 4$.Уравнение касательной: $y = 4(x - 0) = 4x$.

Для точки $x_2 = 4$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.Уравнение касательной: $y = -4(x - 4) = -4x + 16$.

Ответ: $y = 4x$ и $y = -4x + 16$.

4) $f(x) = 4x - x^2 - 3$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies 4x - x^2 - 3 = 0$.Умножим на -1: $x^2 - 4x + 3 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4x - x^2 - 3)' = 4 - 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = 1$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(1) = 4 - 2(1) = 2$.Уравнение касательной: $y = 2(x - 1) = 2x - 2$.

Для точки $x_2 = 3$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.Уравнение касательной: $y = -2(x - 3) = -2x + 6$.

Ответ: $y = 2x - 2$ и $y = -2x + 6$.

43.4. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$

в точках его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = 1 - x^2$;

2) $f(x) = x^2 - 3$;

3) $f(x) = 2 + 4x - x^2$;

4) $f(x) = 3x - x^2 - 2$.

Для того чтобы написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке его пересечения с осью ординат, необходимо найти эту точку и угловой коэффициент касательной в ней. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Точка пересечения с осью ординат всегда имеет абсциссу $x_0 = 0$.

1) $f(x) = 1 - x^2$

Находим ординату точки касания (значение функции при $x_0=0$):

$y_0 = f(0) = 1 - 0^2 = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$.

Находим угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=0$):

$k = f'(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = 1 + 0 \cdot (x - 0) \implies y = 1$.

Ответ: $y = 1$.

2) $f(x) = x^2 - 3$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 0^2 - 3 = -3$.

Точка касания: $(0; -3)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = -3 + 0 \cdot (x - 0) \implies y = -3$.

Ответ: $y = -3$.

3) $f(x) = 2 + 4x - x^2$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 2 + 4 \cdot 0 - 0^2 = 2$.

Точка касания: $(0; 2)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (2 + 4x - x^2)' = 4 - 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 4 - 2 \cdot 0 = 4$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = 2 + 4(x - 0) \implies y = 4x + 2$.

Ответ: $y = 4x + 2$.

4) $f(x) = 3x - x^2 - 2$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 - 2 = -2$.

Точка касания: $(0; -2)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (3x - x^2 - 2)' = 3 - 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = -2 + 3(x - 0) \implies y = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

43.5. Запишите координаты точек, в которых касательная к графику функции (рис. 43.4):

1) параллельна оси $Ox$;

2) не существует;

3) составляет с положительным направлением оси $Ox$ угол в $45^{\circ}$.

Рис 43.4

1) параллельна оси Ox;

Касательная к графику функции параллельна оси Ox в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), так как в этих точках ее угловой коэффициент, равный значению производной, равен нулю. На представленном графике это точки, в которых касательная горизонтальна. Такими точками являются две "впадины" (локальные минимумы).

Их координаты, согласно графику, следующие:

Первая точка: $(-3, -2)$.

Вторая точка: $(3, -2)$.

Ответ: $(-3, -2)$, $(3, -2)$.

2) не существует;

Касательная к графику функции не существует в точках, где функция не является дифференцируемой. На графике это проявляется в виде "изломов" или "острых пиков", где невозможно однозначно провести касательную.

На данном графике есть одна такая точка — это острый пик в центре.

Координаты этой точки: $(0, 2)$.

Ответ: $(0, 2)$.

3) составляет с положительным направлением оси Ox угол в 45°.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

По условию, угол $\alpha = 45^\circ$. Следовательно, угловой коэффициент касательной должен быть равен:

$k = \tan(45^\circ) = 1$.

Нам нужно найти точки на графике, в которых производная функции равна 1. Это точки, где функция возрастает.

Рассмотрим правую параболическую ветвь, проходящую через точки $(3, -2)$ и $(5, 0)$. По теореме Лагранжа о среднем значении, на интервале $(3, 5)$ найдется точка $c$, в которой производная равна среднему изменению функции на этом отрезке: $f'(c) = \frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} = \frac{0 - (-2)}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1$. Для параболы такая точка является серединой отрезка по оси абсцисс: $x = \frac{3+5}{2} = 4$. Чтобы найти ординату, можно предположить, что уравнение этой части параболы $y=a(x-3)^2-2$. Подставив точку $(5,0)$, найдем $a$: $0=a(5-3)^2-2 \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=0.5$. Тогда при $x=4$, $y = 0.5(4-3)^2 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$.

Аналогично, для левой параболической ветви, проходящей через точки $(-3, -2)$ и $(-1, 0)$, на интервале $(-3, -1)$ найдется точка, где производная равна $f'(c) = \frac{f(-1) - f(-3)}{-1 - (-3)} = \frac{0 - (-2)}{-1 + 3} = \frac{2}{2} = 1$. Абсцисса этой точки: $x = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2$. В силу симметрии графика, ордината этой точки также будет $y = -1.5$.

Таким образом, есть две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: $(-2, -1.5)$, $(4, -1.5)$.

43.6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = x_0$:

Рис 43.4

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$, $x_0 = -1$;

3) $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$, $x_0 = -2$.

Угловой коэффициент $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент:

$k = f'(1) = \frac{3}{(1+2)^2} = \frac{3}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x-2) - (2x-1)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2(x-2) - (2x-1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x-4-2x+1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = \frac{-3}{(-1-2)^2} = \frac{-3}{(-3)^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$ и точка $x_0 = -2$.

Производная этой функции была найдена в предыдущем пункте: $f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = \frac{-3}{(-2-2)^2} = \frac{-3}{(-4)^2} = \frac{-3}{16}$.

Ответ: $-\frac{3}{16}$.

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ (43.7–43.8):

43.7. 1) $y = 3x^2 - 2x - 2$, $x_0 = -1;$ 2) $y = 2\sqrt{x} - 10$, $x_0 = 16;$
3) $y = 2x + \frac{1}{x}$, $x_0 = 1;$ 4) $y = x + \sqrt{x}$, $x_0 = 1.$

1) $y = 3x^2 - 2x - 2$, $x_0 = -1$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 2 = 3 \cdot 1 + 2 - 2 = 3$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 - 2x - 2)' = 6x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = 6(-1) - 2 = -6 - 2 = -8$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 3$, $f'(x_0) = -8$ и $x_0 = -1$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-8)(x - (-1))$

$y = 3 - 8(x + 1)$

$y = 3 - 8x - 8$

$y = -8x - 5$.

Ответ: $y = -8x - 5$.

2) $y = 2\sqrt{x} - 10$, $x_0 = 16$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(16) = 2\sqrt{16} - 10 = 2 \cdot 4 - 10 = 8 - 10 = -2$.

Точка касания: $(16; -2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$f'(x) = (2x^{1/2} - 10)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(16) = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = -2 + \frac{1}{4}(x - 16)$

$y = -2 + \frac{1}{4}x - \frac{16}{4}$

$y = -2 + \frac{1}{4}x - 4$

$y = \frac{1}{4}x - 6$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - 6$.

3) $y = 2x + \frac{1}{x}$, $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 2(1) + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3$.

Точка касания: $(1; 3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$:

$f'(x) = (2x + x^{-1})' = 2 - 1 \cdot x^{-2} = 2 - \frac{1}{x^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 2 - \frac{1}{1^2} = 2 - 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 3 + 1 \cdot (x - 1)$

$y = 3 + x - 1$

$y = x + 2$.

Ответ: $y = x + 2$.

4) $y = x + \sqrt{x}$, $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Точка касания: $(1; 2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \sqrt{x})' = (x + x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{4}{2} - \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

43.8. 1) $y = 2\sqrt{x} - 2, x_0 = 1;$

2) $y = 4\sqrt{x} - 3x, x_0 = 4;$

3) $y = 3 - 2\sqrt{x}, x_0 = 1;$

4) $y = 8\sqrt{x} - 2x^2, x_0 = 4.$

1) Рассмотрим функцию $y = 2\sqrt{x-2}$ и точку $x_0=1$.

Область определения данной функции (ОДЗ) находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, что означает $x \ge 2$.

Точка $x_0=1$ не входит в область определения функции, так как $1 < 2$.

Поскольку функция не определена в точке $x_0=1$, то и ее производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная в точке $x_0=1$ не существует.

2) Дана функция $y = 4\sqrt{x} - 3x$ и точка $x_0=4$.

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$y' = (4x^{1/2} - 3x)' = (4x^{1/2})' - (3x)' = 4 \cdot (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}) - 3 = 2x^{-1/2} - 3 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0=4$:

$y'(4) = \frac{2}{\sqrt{4}} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: -2.

3) Дана функция $y = 3 - 2\sqrt{x}$ и точка $x_0=1$.

Найдем производную функции, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$y' = (3 - 2x^{1/2})' = (3)' - (2x^{1/2})' = 0 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}) = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0=1$:

$y'(1) = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -\frac{1}{1} = -1$.

Ответ: -1.

4) Дана функция $y = 8\sqrt{x} - 2x^2$ и точка $x_0=4$.

Найдем производную функции, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$y' = (8x^{1/2} - 2x^2)' = (8x^{1/2})' - (2x^2)' = 8 \cdot (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}) - 2 \cdot (2x) = 4x^{-1/2} - 4x = \frac{4}{\sqrt{x}} - 4x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0=4$:

$y'(4) = \frac{4}{\sqrt{4}} - 4 \cdot 4 = \frac{4}{2} - 16 = 2 - 16 = -14$.

Ответ: -14.

43.9. Напишите уравнения касательных к графику функции:

1) $y = x^2 - 3x$ в точках графика функции с ординатой 4;

2) $y = -x^2 + 5x$ в точках графика функции с ординатой 6.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$ и ордината точек касания $y_0 = 4$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем абсциссы $x_0$ точек касания, решив уравнение $f(x_0) = y_0$:

$x_0^2 - 3x_0 = 4$

$x_0^2 - 3x_0 - 4 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $x_{0,1} = -1$ и $x_{0,2} = 4$. Таким образом, существуют две точки касания: $(-1, 4)$ и $(4, 4)$.

Далее найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$

Теперь найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки касания $(-1, 4)$:

Абсцисса $x_0 = -1$. Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке) равен:

$k_1 = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -5$

Уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1)) = 4 - 5(x + 1) = 4 - 5x - 5 = -5x - 1$

Для точки касания $(4, 4)$:

Абсцисса $x_0 = 4$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_2 = f'(4) = 2(4) - 3 = 5$

Уравнение касательной:

$y = f(4) + f'(4)(x - 4) = 4 + 5(x - 4) = 4 + 5x - 20 = 5x - 16$

Ответ: $y = -5x - 1$ и $y = 5x - 16$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 + 5x$ и ордината точек касания $y_0 = 6$.

Сначала найдем абсциссы $x_0$ точек касания, решив уравнение $f(x_0) = y_0$:

$-x_0^2 + 5x_0 = 6$

$x_0^2 - 5x_0 + 6 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = 3$. Таким образом, существуют две точки касания: $(2, 6)$ и $(3, 6)$.

Далее найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 5x)' = -2x + 5$

Теперь найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки касания $(2, 6)$:

Абсцисса $x_0 = 2$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_1 = f'(2) = -2(2) + 5 = 1$

Уравнение касательной:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 6 + 1(x - 2) = 6 + x - 2 = x + 4$

Для точки касания $(3, 6)$:

Абсцисса $x_0 = 3$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_2 = f'(3) = -2(3) + 5 = -1$

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3) = 6 - 1(x - 3) = 6 - x + 3 = -x + 9$

Ответ: $y = x + 4$ и $y = -x + 9$.

43.10. Найдите координаты точки графика функции $y = x^2$, в которых касательная к графику параллельна заданной прямой:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = 0,75x - 2;$

3) $y = -0,5x - 6;$

4) $y = -x - 16.$

Для нахождения координат точки графика функции $y = x^2$, в которой касательная параллельна заданной прямой, воспользуемся геометрическим смыслом производной. Условие параллельности двух прямых — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$. Угловой коэффициент $k$ для заданной прямой вида $y = kx + b$ — это коэффициент при $x$.

Сначала найдем производную функции $y = x^2$:

$y' = (x^2)' = 2x$.

Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0, y_0)$ равен $2x_0$. Приравняем его к угловому коэффициенту заданной прямой, чтобы найти $x_0$, а затем найдем $y_0 = x_0^2$.

1) Дана прямая $y = 2x - 1$.

Угловой коэффициент этой прямой $k=2$.

Приравниваем угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту прямой:

$2x_0 = 2$

Отсюда находим абсциссу точки касания:

$x_0 = 1$

Теперь находим ординату точки, подставляя $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = x_0^2 = 1^2 = 1$

Координаты искомой точки — $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

2) Дана прямая $y = 0,75x - 2$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = 0,75$. Представим его в виде обыкновенной дроби: $k = \frac{3}{4}$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = \frac{3}{4}$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{8}$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$

Координаты искомой точки — $(\frac{3}{8}; \frac{9}{64})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}; \frac{9}{64})$.

3) Дана прямая $y = -0,5x - 6$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = -0,5$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = -0,5$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = \frac{-0,5}{2} = -0,25$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (-0,25)^2 = 0,0625$

Координаты искомой точки — $(-0,25; 0,0625)$.

Ответ: $(-0,25; 0,0625)$.

4) Дана прямая $y = -x - 16$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = -1$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = -\frac{1}{2} = -0,5$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (-0,5)^2 = 0,25$

Координаты искомой точки — $(-0,5; 0,25)$.

Ответ: $(-0,5; 0,25)$.