Страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

9.2. Найдите область определения и множество значений функции:

1) $f(x) = |x-1| \cdot \frac{1}{x-1}$;

2) $f(x) = |x+2| \cdot \frac{1}{2+x}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}};

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-2}-1}$.

1) $f(x) = |x - 1| \cdot \frac{1}{x - 1}$

Область определения $D(f)$:

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Раскроем модуль $|x-1|$ в зависимости от знака выражения под ним:

Если $x > 1$, то $x-1 > 0$ и $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $f(x) = (x-1) \cdot \frac{1}{x-1} = 1$.

Если $x < 1$, то $x-1 < 0$ и $|x-1| = -(x-1)$. Функция принимает вид: $f(x) = -(x-1) \cdot \frac{1}{x-1} = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1.

Множество значений функции: $E(f) = \{-1, 1\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; множество значений $E(f) = \{-1, 1\}$.

2) $f(x) = |x + 2| \cdot \frac{1}{2 + x}$

Область определения $D(f)$:

Функция определена, когда знаменатель $2+x$ не равен нулю.

$2 + x \neq 0 \implies x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Заметим, что $2+x = x+2$. Раскроем модуль $|x+2|$:

Если $x > -2$, то $x+2 > 0$ и $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид: $f(x) = (x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = 1$.

Если $x < -2$, то $x+2 < 0$ и $|x+2| = -(x+2)$. Функция принимает вид: $f(x) = -(x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1.

Множество значений функции: $E(f) = \{-1, 1\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; множество значений $E(f) = \{-1, 1\}$.

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Область определения $D(f)$:

Для того чтобы функция была определена, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x-2} \neq 0 \implies x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Объединяя эти условия, получаем строгое неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (2; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

В области определения $x > 2$, выражение $\sqrt{x-2}$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.

Когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), знаменатель $\sqrt{x-2}$ стремится к $0^+$, а значение функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$ стремится к $+\infty$.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, знаменатель $\sqrt{x-2}$ также стремится к $+\infty$, а значение функции $f(x)$ стремится к $0^+$.

Поскольку квадратный корень в знаменателе всегда положителен в области определения, то и сама функция $f(x)$ всегда положительна.

Следовательно, множество значений функции: $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (2; +\infty)$; множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2} - 1}$

Область определения $D(f)$:

Для определения функции необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x - 2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt{x-2} \neq 1 \implies x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом, большим или равным 2, за исключением 3.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = [2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Проанализируем поведение знаменателя $g(x)=\sqrt{x-2}-1$ на области определения.

Когда $x$ принадлежит интервалу $[2, 3)$, $x-2$ изменяется от $0$ до $1$. Тогда $\sqrt{x-2}$ изменяется от $0$ до $1$, а знаменатель $g(x)$ изменяется от $-1$ до $0$. В этом случае $f(x) = \frac{2}{g(x)}$ принимает значения от $\frac{2}{-1} = -2$ (включительно, при $x=2$) до $-\infty$ (когда $x$ стремится к 3 слева). Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат $(-\infty, -2]$.

Когда $x$ принадлежит интервалу $(3, +\infty)$, $x-2$ изменяется от $1$ до $+\infty$. Тогда $\sqrt{x-2}$ изменяется от $1$ до $+\infty$, а знаменатель $g(x)$ изменяется от $0$ до $+\infty$. В этом случае $f(x) = \frac{2}{g(x)}$ принимает значения от $+\infty$ (когда $x$ стремится к 3 справа) до $0$ (когда $x$ стремится к $+\infty$). Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат $(0, +\infty)$.

Объединив оба случая, получаем полное множество значений функции.

Множество значений функции: $E(f) = (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [2; 3) \cup (3; +\infty)$; множество значений $E(f) = (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

9.3. Докажите, что функция:

1) $f(x) = 3x - 5$ возрастает на $R$;

2) $f(x) = 4 - 2x$ убывает на $R$;

3) $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на $[0; +\infty)$;

4) $f(x) = 1 - x^2$ убывает на $[0; +\infty)$.

1) Для доказательства того, что функция $f(x) = 3x - 5$ возрастает на $R$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей на множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Пусть $x_1 \in R$ и $x_2 \in R$, причем $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 5) - (3x_1 - 5) = 3x_2 - 5 - 3x_1 + 5 = 3x_2 - 3x_1 = 3(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1$ является положительным числом, то есть $x_2 - x_1 > 0$.

Произведение положительного числа 3 на положительное число $(x_2 - x_1)$ также положительно: $3(x_2 - x_1) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Так как это неравенство выполняется для любых $x_1, x_2$ из $R$ при $x_2 > x_1$, то функция $f(x) = 3x - 5$ является возрастающей на $R$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства того, что функция $f(x) = 4 - 2x$ убывает на $R$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей на множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Пусть $x_1 \in R$ и $x_2 \in R$, причем $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (4 - 2x_2) - (4 - 2x_1) = 4 - 2x_2 - 4 + 2x_1 = 2x_1 - 2x_2 = -2(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1$ является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Произведение отрицательного числа -2 на положительное число $(x_2 - x_1)$ является отрицательным числом: $-2(x_2 - x_1) < 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Это доказывает, что функция $f(x) = 4 - 2x$ является убывающей на $R$.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Для доказательства того, что функция $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $x_1 \ge 0$ и $x_2 \ge 0$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2^2 - 5) - (3x_1^2 - 5) = 3x_2^2 - 3x_1^2 = 3(x_2^2 - x_1^2)$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$3(x_2^2 - x_1^2) = 3(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в полученном выражении:

1. $3 > 0$.

2. Так как $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

3. Так как $x_1 \ge 0$, $x_2 > x_1$, то $x_2 > 0$. Сумма двух неотрицательных чисел, из которых хотя бы одно положительно, является положительным числом: $x_2 + x_1 > 0$.

Произведение трех положительных множителей положительно, значит $3(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) > 0$.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$.

Следовательно, функция $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) Для доказательства того, что функция $f(x) = 1 - x^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$, возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $x_1 \ge 0$ и $x_2 \ge 0$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (1 - x_2^2) - (1 - x_1^2) = 1 - x_2^2 - 1 + x_1^2 = x_1^2 - x_2^2 = -(x_2^2 - x_1^2)$.

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$-(x_2^2 - x_1^2) = -(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в полученном выражении:

1. Так как $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

2. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$, то их сумма $x_2 + x_1 > 0$.

Произведение двух положительных множителей $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ положительно.

Следовательно, выражение $-(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ будет отрицательным.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$.

Это доказывает, что функция $f(x) = 1 - x^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: что и требовалось доказать.

9.4. Используя определение возрастания и убывания функции на множестве, докажите, что функция:

1) $y = \frac{3}{x-2}$ убывает на множестве $(-\infty 2)$;

2) $y = \frac{1}{x+3}$ возрастает на множестве $(-3; +\infty)$;

3) $y = \frac{2x}{x-1}$ убывает на множестве $(-\infty 1)$;

4) $y = \frac{3x}{3-x}$ возрастает на множестве $(3; +\infty)$.

Постройте график этой функции.

1) $y = \frac{3}{x-2}$ убывает на множестве $(-\infty; 2)$;

Согласно определению, функция $y(x)$ является убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-\infty; 2)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек выполняются неравенства: $x_1 < 2$ и $x_2 < 2$. Рассмотрим разность значений функции в точках $x_2$ и $x_1$:

$y(x_2) - y(x_1) = \frac{3}{x_2 - 2} - \frac{3}{x_1 - 2} = \frac{3(x_1 - 2) - 3(x_2 - 2)}{(x_2 - 2)(x_1 - 2)} = \frac{3x_1 - 6 - 3x_2 + 6}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, $3(x_1 - x_2) < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 2$, то $x_1 - 2 < 0$. Так как $x_2 < 2$, то $x_2 - 2 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $(x_1 - 2)(x_2 - 2) > 0$.

Таким образом, вся дробь представляет собой отношение отрицательного числа к положительному, то есть является отрицательной: $y(x_2) - y(x_1) < 0$. Отсюда следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция убывает на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

2) $y = \frac{1}{x+3}$ возрастает на множестве $(-3; +\infty)$;

Согласно определению, функция $y(x)$ является возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-3; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек выполняются неравенства: $x_1 > -3$ и $x_2 > -3$. Рассмотрим разность значений функции в точках $x_2$ и $x_1$:

$y(x_2) - y(x_1) = \frac{1}{x_2 + 3} - \frac{1}{x_1 + 3} = \frac{(x_1 + 3) - (x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{x_1 - x_2}{(x_1 + 3)(x_2 + 3)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 > -3$, то $x_1 + 3 > 0$. Так как $x_2 > -3$, то $x_2 + 3 > 0$. Произведение двух положительных чисел является положительным: $(x_1 + 3)(x_2 + 3) > 0$.

Таким образом, вся дробь представляет собой отношение отрицательного числа к положительному, то есть является отрицательной: $y(x_2) - y(x_1) < 0$. Отсюда следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Поскольку для любых $x_1, x_2 \in (-3; +\infty)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на данном множестве, а не возрастающей, как указано в условии.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Функция $y = \frac{1}{x+3}$ убывает на множестве $(-3; +\infty)$.

3) $y = \frac{2x}{x-1}$ убывает на множестве $(-\infty; 1)$;

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{2x}{x-1} = \frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-\infty; 1)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек $x_1 - 1 < 0$ и $x_2 - 1 < 0$. Рассмотрим разность значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (2 + \frac{2}{x_2 - 1}) - (2 + \frac{2}{x_1 - 1}) = \frac{2}{x_2 - 1} - \frac{2}{x_1 - 1} = \frac{2(x_1 - 1) - 2(x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} = \frac{2(x_1 - x_2)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, $2(x_1 - x_2) < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 1$ и $x_2 < 1$, то $x_1 - 1 < 0$ и $x_2 - 1 < 0$. Их произведение положительно: $(x_1 - 1)(x_2 - 1) > 0$.

Вся дробь отрицательна: $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что означает $y(x_2) < y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 1)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция убывает на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

4) $y = \frac{3x}{3-x}$ возрастает на множестве $(3; +\infty)$. Постройте график этой функции.

Доказательство возрастания:

Преобразуем функцию: $y = \frac{3x}{3-x} = \frac{-3(-x)}{3-x} = \frac{-3(3-x-3)}{3-x} = \frac{-3(3-x)+9}{3-x} = -3 + \frac{9}{3-x} = -3 - \frac{9}{x-3}$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(3; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек $x_1 - 3 > 0$ и $x_2 - 3 > 0$. Рассмотрим разность значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (-3 - \frac{9}{x_2 - 3}) - (-3 - \frac{9}{x_1 - 3}) = \frac{9}{x_1 - 3} - \frac{9}{x_2 - 3} = \frac{9(x_2 - 3) - 9(x_1 - 3)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)} = \frac{9(x_2 - x_1)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, $9(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 > 3$ и $x_2 > 3$, то $x_1 - 3 > 0$ и $x_2 - 3 > 0$. Их произведение положительно: $(x_1 - 3)(x_2 - 3) > 0$.

Вся дробь положительна: $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что означает $y(x_2) > y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (3; +\infty)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) < y(x_2)$, функция возрастает на данном множестве. Утверждение доказано.

Построение графика функции $y = \frac{3x}{3-x}$:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Функция представляет собой гиперболу. Из преобразованного вида $y = -3 - \frac{9}{x-3}$ видно, что ее асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x = 3$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = \frac{3 \cdot 0}{3-0} = 0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью OX (y=0): $0 = \frac{3x}{3-x} \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0; 0)$.

4. Вычислим несколько дополнительных точек:

- при $x=2, y = \frac{3 \cdot 2}{3-2} = 6$. Точка $(2; 6)$.

- при $x=4, y = \frac{3 \cdot 4}{3-4} = -12$. Точка $(4; -12)$.

- при $x=6, y = \frac{3 \cdot 6}{3-6} = \frac{18}{-3} = -6$. Точка $(6; -6)$.

- при $x=-3, y = \frac{3 \cdot (-3)}{3-(-3)} = \frac{-9}{6} = -1.5$. Точка $(-3; -1.5)$.

График функции:

Ответ: Возрастание функции на множестве $(3; +\infty)$ доказано. График функции построен.

9.5. Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента, при котором оно достигается:

1) $y = 3 - |x + 5|;$

2) $y = 4 - |x - 2|;$

3) $y = 3 - \sqrt{x - 2};$

4) $y = 1 - \sqrt{x + 1}.$

1) Дана функция $y = 3 - |x + 5|$. Выражение $|x + 5|$ по определению модуля является неотрицательной величиной, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$. Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, необходимо из числа 3 вычесть наименьшее возможное значение выражения $|x + 5|$. Наименьшее значение модуля равно 0. Оно достигается в том случае, когда выражение под знаком модуля равно нулю: $x + 5 = 0$, что дает $x = -5$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 3 - 0 = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3 при $x = -5$.

2) Дана функция $y = 4 - |x - 2|$. Аналогично первому пункту, выражение $|x - 2|$ всегда неотрицательно: $|x - 2| \ge 0$. Функция $y$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $|x - 2|$ принимает свое наименьшее значение. Наименьшее значение $|x - 2|$ равно 0. Это происходит, когда $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$. В этой точке наибольшее значение функции составляет $y_{max} = 4 - 0 = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4 при $x = 2$.

3) Дана функция $y = 3 - \sqrt{x - 2}$. Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x - 2}$ также всегда принимает неотрицательные значения: $\sqrt{x - 2} \ge 0$. Чтобы значение функции $y$ было наибольшим, нужно из 3 вычесть наименьшее возможное значение выражения $\sqrt{x - 2}$. Наименьшее значение корня равно 0 и достигается при наименьшем возможном значении $x$ из области определения, то есть при $x = 2$. При $x = 2$ имеем $\sqrt{2 - 2} = 0$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 3 - 0 = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3 при $x = 2$.

4) Дана функция $y = 1 - \sqrt{x + 1}$. Область определения функции задается условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Значение выражения $\sqrt{x + 1}$ всегда неотрицательно: $\sqrt{x + 1} \ge 0$. Функция $y$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{x + 1}$ имеет наименьшее значение. Наименьшее значение корня равно 0. Оно достигается при $x + 1 = 0$, то есть при $x = -1$. В этой точке наибольшее значение функции составляет $y_{max} = 1 - 0 = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1 при $x = -1$.

9.6. По графику функции (рис. 9.4) найдите промежутки ее возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-5; 5]$.

Рис. 9.4

Промежутки ее возрастания и убывания

Анализируя график функции на отрезке $[-5; 5]$, мы определяем, где он идет вверх (возрастание) и где вниз (убывание) при движении слева направо.

Функция возрастает на промежутках, где ее график поднимается. Это происходит на $x \in [-3, 0]$ и $x \in [3, 5]$.

Функция убывает на промежутках, где ее график опускается. Это происходит на $x \in [-5, -3]$ и $x \in [0, 3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-3; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-5; -3]$ и $[0; 3]$.

Точки экстремума и экстремумы

Точки экстремума — это значения аргумента $x$, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Экстремумы — это сами эти максимальные и минимальные значения функции $y$.

Из графика находим:

- Точки минимума (впадины на графике): $x_{min} = -3$ и $x_{min} = 3$.

- Точка максимума (вершина на графике): $x_{max} = 0$.

Значения функции в этих точках (экстремумы):

- Минимум функции: $y_{min} = f(-3) = f(3) = -2$.

- Максимум функции: $y_{max} = f(0) = 2$.

Ответ: точки минимума: $x=-3, x=3$; точка максимума: $x=0$. Минимум функции равен -2; максимум функции равен 2.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-5; 5]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо сравнить значения функции в точках экстремума внутри этого отрезка и на его концах.

Кандидаты на наибольшее и наименьшее значения — это значения функции в точках $x=-5$, $x=-3$, $x=0$, $x=3$ и $x=5$.

Найдем эти значения по графику:

- Значения на концах отрезка: $f(-5) = 4$ и $f(5) = 4$.

- Значения в точках экстремума: $f(-3) = -2$, $f(3) = -2$ и $f(0) = 2$.

Сравнивая полученный набор значений $\{4, -2, 2\}$, делаем вывод:

- Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно 4 (достигается в точках $x=-5$ и $x=5$).

- Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно -2 (достигается в точках $x=-3$ и $x=3$).

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно 4, а наименьшее значение равно -2.

43.1. Запишите уравнение касательной к функции $y = f(x)$ при $x = x_0$:

1) $y = 2x^2 - 5,5$ при $x_0 = -0,5$;

2) $y = 0,2x^2 - 4$ при $x_0 = 2$;

3) $y = -3x^2 - x$ при $x_0 = -2$;

4) $y = x^2 - \frac{1}{x}$, при $x_0 = 3.

1) Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5,5$ и точка $x_0 = -0,5$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:

$f(x_0) = f(-0,5) = 2(-0,5)^2 - 5,5 = 2 \cdot 0,25 - 5,5 = 0,5 - 5,5 = -5$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5,5)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = 4 \cdot (-0,5) = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = -5 + (-2)(x - (-0,5))$

$y = -5 - 2(x + 0,5)$

$y = -5 - 2x - 1$

$y = -2x - 6$.

Ответ: $y = -2x - 6$.

2) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 0,2x^2 - 4$ и точка $x_0 = -2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = 0,2(-2)^2 - 4 = 0,2 \cdot 4 - 4 = 0,8 - 4 = -3,2$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (0,2x^2 - 4)' = 0,2 \cdot 2x - 0 = 0,4x$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = 0,4 \cdot (-2) = -0,8$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = -3,2 + (-0,8)(x - (-2))$

$y = -3,2 - 0,8(x + 2)$

$y = -3,2 - 0,8x - 1,6$

$y = -0,8x - 4,8$.

Ответ: $y = -0,8x - 4,8$.

3) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = -3x^2 - x$ и точка $x_0 = -2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = -3(-2)^2 - (-2) = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (-3x^2 - x)' = -3 \cdot 2x - 1 = -6x - 1$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = -6(-2) - 1 = 12 - 1 = 11$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = -10 + 11(x - (-2))$

$y = -10 + 11(x + 2)$

$y = -10 + 11x + 22$

$y = 11x + 12$.

Ответ: $y = 11x + 12$.

4) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(3) = 3^2 - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

2. Производная функции (представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$):

$f'(x) = (x^2 - x^{-1})' = 2x - (-1)x^{-2} = 2x + x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(3) = 2 \cdot 3 + \frac{1}{3^2} = 6 + \frac{1}{9} = \frac{54}{9} + \frac{1}{9} = \frac{55}{9}$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}(x - 3)$

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}x - \frac{55 \cdot 3}{9}$

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}x - \frac{55}{3}$

$y = \frac{55}{9}x + \frac{26-55}{3}$

$y = \frac{55}{9}x - \frac{29}{3}$.

Ответ: $y = \frac{55}{9}x - \frac{29}{3}$.

43.2. Найдите значения $x$, при которых касательная к графику функции параллельна оси $Ox$:

1) $y = 2x^2 - 8x;$

2) $y = x^2 + 8x - 5;$

3) $y = 2x^2 - 8x + 5;$

4) $y = x - x^2.$

1) Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ в тех точках, где производная функции равна нулю. Для функции $y = 2x^2 - 8x$ найдем производную:

$y' = (2x^2 - 8x)' = 2 \cdot 2x - 8 = 4x - 8$.

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = 2$.

Ответ: 2.

2) Для функции $y = x^2 + 8x - 5$ найдем производную:

$y' = (x^2 + 8x - 5)' = 2x + 8$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти значение $x$, при котором касательная параллельна оси $Ox$:

$2x + 8 = 0$

$2x = -8$

$x = -4$.

Ответ: -4.

3) Для функции $y = 2x^2 - 8x + 5$ найдем производную:

$y' = (2x^2 - 8x + 5)' = 4x - 8$.

Приравняем производную к нулю:

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = 2$.

Ответ: 2.

4) Для функции $y = x - x^2$ найдем производную:

$y' = (x - x^2)' = 1 - 2x$.

Приравняем производную к нулю:

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5.