Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Убедитесь, что решением неравенства $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $ является множество $ (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $.

Для того чтобы убедиться, что указанное множество является решением, необходимо решить данное неравенство.

Исходное неравенство: $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x+5| \neq 0$, что означает $x+5 \neq 0$, и следовательно $x \neq -5$.

Теперь приступим к решению неравенства. Перенесем $-3$ в правую часть неравенства, изменив знак: $ \frac{4}{|x+5|} < 3 $

Так как по определению модуля $|x+5| \ge 0$, а из ОДЗ мы знаем, что $|x+5| \neq 0$, то знаменатель $|x+5|$ всегда является положительным числом. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $|x+5|$, не меняя при этом знака неравенства: $ 4 < 3|x+5| $

Разделим обе части на 3: $ \frac{4}{3} < |x+5| $

Это неравенство можно переписать в более привычном виде: $ |x+5| > \frac{4}{3} $

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$. В нашем случае $a = x+5$ и $b = \frac{4}{3}$. Получаем совокупность: $ x+5 > \frac{4}{3} $ или $ x+5 < -\frac{4}{3} $.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $ x+5 > \frac{4}{3} $ $ x > \frac{4}{3} - 5 $ $ x > \frac{4}{3} - \frac{15}{3} $ $ x > -\frac{11}{3} $ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x > -3\frac{2}{3}$.

2) $ x+5 < -\frac{4}{3} $ $ x < -\frac{4}{3} - 5 $ $ x < -\frac{4}{3} - \frac{15}{3} $ $ x < -\frac{19}{3} $ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x < -6\frac{1}{3}$.

Объединяя полученные решения, мы получаем множество $ x \in (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $. Это решение не включает точку $x=-5$, так как $-5$ не входит ни в один из этих интервалов, что соответствует ОДЗ.

Таким образом, мы убедились, что решение исходного неравенства полностью совпадает с множеством, указанным в условии задачи.

Ответ: Решение неравенства $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $ действительно является множество $ (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $.

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

42.17. Знак дифференциала $dx$ в 1675 г. ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ, математик, физик, языковед.

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716)

42.17. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — выдающийся немецкий учёный-энциклопедист, философ, математик, физик и языковед, чьи труды оказали огромное влияние на развитие европейской науки и культуры. Он является одной из центральных фигур в истории Нового времени.

Одним из наиболее значительных достижений Лейбница является создание, параллельно и независимо от Исаака Ньютона, математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления. Как указано в задании, в 1675 году Лейбниц ввёл обозначение для дифференциала — бесконечно малого изменения величины — в виде $dx$. Это обозначение, наряду с другими его символами, легло в основу современного математического языка.

Система обозначений, предложенная Лейбницем, оказалась настолько удачной и удобной для вычислений, что быстро вытеснила альтернативные варианты и используется по всему миру до сих пор. Ключевые элементы его нотации включают:

1. Знак дифференциала $dx$, обозначающий бесконечно малое приращение переменной $x$.

2. Знак интеграла $\int$, представляющий собой вытянутую букву S (от латинского summa — сумма). Он символизирует операцию интегрирования как процесс суммирования бесконечно малых величин (дифференциалов).

3. Обозначение производной в виде дроби $\frac{dy}{dx}$, которое наглядно показывает производную как отношение дифференциала функции $y$ к дифференциалу её аргумента $x$. Эта форма записи упрощает понимание и применение многих правил дифференцирования, например, правила дифференцирования сложной функции.

Вклад Лейбница не ограничивается математикой. Он также сделал фундаментальные открытия в других областях:

• Философия: Разработал учение о монадах (простых, неделимых субстанциях, лежащих в основе бытия) и сформулировал важные метафизические принципы, включая принцип достаточного основания. Его тезис о том, что наш мир является «наилучшим из всех возможных миров», стал знаменитым.

• Информатика: Лейбниц описал и развил двоичную систему счисления, которая является фундаментом для всей современной вычислительной техники. Он также сконструировал механический калькулятор (арифмометр), способный выполнять все четыре арифметических действия.

• Физика: Ввёл понятие «живой силы» (vis viva), определяемой как $mv^2$, что стало важным шагом на пути к формулировке закона сохранения энергии.

Таким образом, Готфрид Вильгельм Лейбниц был настоящим универсальным гением, а введение им знака дифференциала $dx$ — это лишь одна из граней его обширного и многостороннего вклада в мировую науку и мысль.

Ответ: Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году ввёл обозначение для дифференциала $dx$ как часть созданной им системы дифференциального и интегрального исчисления. Его нотация, включающая также знак интеграла $\int$ и обозначение производной $\frac{dy}{dx}$, оказалась чрезвычайно удобной и стала общепринятой в математике. Помимо этого, Лейбниц был выдающимся философом, логиком, физиком и изобретателем, внёсшим вклад в создание двоичной системы счисления и механических вычислительных устройств.

42.18. Постройте график функции:

1) $y = 1 + \sqrt{x + 3}$;$

2) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;$

3) $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$;$

4) $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$.$

1) $y = 1 + \sqrt{x + 3}$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

1. Сначала выполним сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево по оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x+3$. Получим график функции $y = \sqrt{x + 3}$. Его начальная точка теперь находится в $(-3, 0)$.

2. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вверх по оси ординат. Это преобразование соответствует прибавлению 1 ко всей функции. Получим искомый график $y = 1 + \sqrt{x + 3}$.

Область определения функции: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Найдем координаты нескольких точек для точности построения:

- Начальная точка: при $x = -3$, $y = 1 + \sqrt{-3 + 3} = 1 + 0 = 1$. Точка $(-3, 1)$.

- При $x = -2$, $y = 1 + \sqrt{-2 + 3} = 1 + 1 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

- При $x = 1$, $y = 1 + \sqrt{1 + 3} = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

- При $x = 6$, $y = 1 + \sqrt{6 + 3} = 1 + 3 = 4$. Точка $(6, 4)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх. Это кривая, выходящая из точки $(-3, 1)$ и возрастающая на всей области определения $x \ge -3$.

2) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$

Построение этого графика также выполним путем преобразования графика функции $y = \sqrt{x}$.

1. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс, заменяя $x$ на $x-1$. Получаем график $y = \sqrt{x - 1}$. Его начальная точка — $(1, 0)$.

2. Отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс. Это соответствует умножению функции на -1. Получаем график $y = -\sqrt{x - 1}$. Теперь кривая идет вниз из точки $(1, 0)$.

3. Сдвигаем график $y = -\sqrt{x - 1}$ на 2 единицы вверх по оси ординат, прибавляя 2 ко всей функции. Получаем искомый график $y = 2 - \sqrt{x - 1}$.

Область определения функции: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Найдем координаты нескольких точек:

- Начальная точка: при $x = 1$, $y = 2 - \sqrt{1 - 1} = 2 - 0 = 2$. Точка $(1, 2)$.

- При $x = 2$, $y = 2 - \sqrt{2 - 1} = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

- При $x = 5$, $y = 2 - \sqrt{5 - 1} = 2 - 2 = 0$. Точка $(5, 0)$ (пересечение с осью Ox).

- При $x = 10$, $y = 2 - \sqrt{10 - 1} = 2 - 3 = -1$. Точка $(10, -1)$.

Соединив точки плавной кривой, получим график.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ — это график $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вправо, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Это кривая, выходящая из точки $(1, 2)$ и убывающая на всей области определения $x \ge 1$.

3) $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$

Для построения графика функции с модулем $y = |f(x)|$ сначала строят график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, расположенную ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражают относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.

1. Построим график вспомогательной функции $f(x) = 1 - \sqrt{x + 3}$. Это преобразование графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 3 единицы влево ($y=\sqrt{x+3}$), симметричное отражение относительно оси Ox ($y=-\sqrt{x+3}$) и сдвиг на 1 единицу вверх ($y=1-\sqrt{x+3}$).

- Область определения: $x \ge -3$.- Начальная точка графика $f(x)$: $(-3, 1)$.- Точка пересечения с осью Ox: $1 - \sqrt{x + 3} = 0 \implies \sqrt{x + 3} = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.- График $f(x)$ начинается в точке $(-3, 1)$ и убывает, проходя через точку $(-2, 0)$.2. Применим операцию модуля. На интервале $[-3, -2]$ функция $f(x)$ неотрицательна, поэтому ее график совпадает с искомым. При $x > -2$ функция $f(x)$ отрицательна, поэтому эту часть графика нужно отразить относительно оси Ox. Отраженная функция будет иметь вид $y = -(1 - \sqrt{x+3}) = \sqrt{x+3} - 1$.

В итоге, искомый график состоит из двух частей:

- $y = 1 - \sqrt{x + 3}$ при $-3 \le x \le -2$.

- $y = \sqrt{x + 3} - 1$ при $x > -2$.

Точка $(-2, 0)$ является точкой излома (касп).

Ключевые точки итогового графика: $(-3, 1)$, $(-2, 0)$, $(1, 1)$, $(6, 2)$.

Ответ: График функции $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$ получается из графика $f(x) = 1 - \sqrt{x+3}$ отражением его отрицательной части ($x>-2$) относительно оси Ox. График начинается в точке $(-3, 1)$, убывает до точки $(-2, 0)$, а затем возрастает.

4) $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$

Используем тот же алгоритм, что и в предыдущем пункте.

1. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{x - 1} - 2$. Это преобразование графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 1 единицу вправо ($y=\sqrt{x-1}$) и сдвиг на 2 единицы вниз ($y=\sqrt{x-1}-2$).

- Область определения: $x \ge 1$.- Начальная точка графика $f(x)$: при $x=1$, $y=\sqrt{1-1}-2 = -2$. Точка $(1, -2)$.- Точка пересечения с осью Ox: $\sqrt{x - 1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x - 1} = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5$. Точка $(5, 0)$.- График $f(x)$ начинается в точке $(1, -2)$ и возрастает, проходя через точку $(5, 0)$.2. Применим операцию модуля. На интервале $[1, 5)$ функция $f(x)$ отрицательна, поэтому эту часть графика нужно отразить относительно оси Ox. Отраженная функция будет иметь вид $y = -(\sqrt{x-1}-2) = 2 - \sqrt{x-1}$. На промежутке $[5, +\infty)$ функция $f(x)$ неотрицательна, поэтому ее график остается без изменений.

Искомый график состоит из двух частей:

- $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ при $1 \le x < 5$.

- $y = \sqrt{x - 1} - 2$ при $x \ge 5$.

Точка $(5, 0)$ является точкой излома.

Ключевые точки итогового графика: $(1, 2)$ (отражение точки $(1, -2)$), $(2, 1)$, $(5, 0)$, $(10, 1)$.

Ответ: График функции $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$ получается из графика $f(x) = \sqrt{x-1}-2$ отражением его отрицательной части ($1 \le x < 5$) относительно оси Ox. График начинается в точке $(1, 2)$, убывает до точки $(5, 0)$, а затем возрастает.