Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

8.7. Запишите аналитическую формулу по графику функции $f(x)$ (рис. 8.2):

Рис. 8.2

1) График функции является гиперболой, которая представляет собой смещенный график стандартной функции $y = \frac{k}{x}$. Общая формула для такой функции имеет вид $y = f(x) = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ — это уравнение вертикальной асимптоты, а $y=b$ — уравнение горизонтальной асимптоты.

По графику определяем положение асимптот:

- Вертикальная асимптота — это прямая, к которой стремится график по вертикали. На рисунке это прямая $x=1$. Следовательно, $a=1$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой стремится график при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. На рисунке это ось абсцисс, то есть прямая $y=0$. Следовательно, $b=0$.

Таким образом, формула функции принимает вид $f(x) = \frac{k}{x-1}$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(0, -1)$. Подставим ее координаты в полученное уравнение:

$-1 = \frac{k}{0-1}$

$-1 = \frac{k}{-1}$

$k = 1$

Итак, искомая аналитическая формула функции: $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Для проверки можно взять еще одну точку, например, $(2, 1)$. Подставим в формулу: $f(2) = \frac{1}{2-1} = 1$. Значение совпадает с графиком.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x-1}$

2) Данный график также является гиперболой, описываемой уравнением $y = f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Определяем асимптоты по графику:

- Вертикальная асимптота — это ось ординат, то есть прямая $x=0$. Отсюда $a=0$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая $y=-1$. Отсюда $b=-1$.

Следовательно, формула функции принимает вид $f(x) = \frac{k}{x} - 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ используем точку на графике с известными координатами, например, точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{1} - 1$

$1 = k$

Итак, искомая аналитическая формула функции: $f(x) = \frac{1}{x} - 1$.

Для проверки возьмем точку $(-1, -2)$. Подставим в формулу: $f(-1) = \frac{1}{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Значение совпадает с графиком.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x} - 1$

8.8.Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{|x-2|}$; 2) $y = \frac{1}{|x-3|}$; 3) $y = |\frac{1}{x+2}|$; 4) $y = |\frac{1}{2x-3}|$.

1) Для построения графика функции $y=\frac{1}{|x-2|}$ воспользуемся методом преобразования графиков. Заметим, что поскольку числитель $1 > 0$, а знаменатель $|x-2| \ge 0$, то вся функция принимает только положительные значения ($y>0$). Также можно записать функцию как $y=|\frac{1}{x-2}|$, так как $\frac{1}{|a|} = |\frac{1}{a}|$.

Построение графика будет происходить в несколько шагов:

1. Сначала построим график базовой функции — гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Затем построим график функции $y=\frac{1}{x-2}$. Он получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ветви гиперболы будут располагаться относительно новых асимптот так же, как и у исходной функции, то есть в "новых" I и III четвертях.

3. На последнем шаге построим график искомой функции $y=|\frac{1}{x-2}|$. Для этого необходимо ту часть графика $y=\frac{1}{x-2}$, которая лежит ниже оси абсцисс (где $y<0$), отразить симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая ниже оси Ox, соответствует значениям $x<2$. Часть графика, где $x>2$, уже находится выше оси Ox, поэтому она останется без изменений.

В результате получим график, состоящий из двух ветвей. Обе ветви расположены в верхней полуплоскости ($y>0$). Они симметричны относительно вертикальной асимптоты $x=2$. При $x \to 2$ с любой стороны, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Контрольные точки: при $x=3$, $y=1$; при $x=1$, $y=1$. При $x=0$, $y=0.5$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, расположенные в верхней полуплоскости. График имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=2$.

2) Построение графика функции $y=\frac{1}{|x-3|}$ аналогично предыдущему пункту. Эта функция также может быть записана как $y=|\frac{1}{x-3}|$. Область значений функции — $y>0$.

Построение графика выполним поэтапно:

1. Строим график гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

2. Сдвигаем график $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y=\frac{1}{x-3}$. Вертикальной асимптотой этого графика будет прямая $x=3$, а горизонтальной — прямая $y=0$.

3. Для получения графика $y=|\frac{1}{x-3}|$ отражаем часть графика $y=\frac{1}{x-3}$, расположенную под осью Ox (при $x<3$), симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x>3$ остается на месте, так как там $y>0$.

Итоговый график состоит из двух ветвей, которые находятся над осью Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x=3$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Он симметричен относительно прямой $x=3$. Контрольные точки: при $x=4$, $y=1$; при $x=2$, $y=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных выше оси абсцисс. Вертикальная асимптота — прямая $x=3$, горизонтальная асимптота — прямая $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=3$.

3) Построим график функции $y=|\frac{1}{x+2}|$. Данное выражение эквивалентно $y=\frac{1}{|x+2|}$. Построение также проведем с помощью преобразований.

1. Начинаем с графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

2. Строим график функции $y=\frac{1}{x+2}$. Он получается из графика $y=\frac{1}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота теперь $x=-2$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

3. Далее строим график $y=|\frac{1}{x+2}|$. Для этого часть графика $y=\frac{1}{x+2}$, находящуюся под осью Ox (что соответствует $x<-2$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x>-2$ не изменяется.

Полученный график состоит из двух ветвей, обе находятся в верхней полуплоскости. Вертикальная асимптота — $x=-2$, горизонтальная — $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=-2$. Контрольные точки: при $x=-1$, $y=1$; при $x=-3$, $y=1$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, лежащие над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=-2$.

4) Построим график функции $y=|\frac{1}{2x-3}|$. Сначала проанализируем функцию внутри модуля: $y_1 = \frac{1}{2x-3}$.

Построение будет следующим:

1. Возьмем за основу график $y=\frac{1}{x}$.

2. Преобразуем выражение $y_1 = \frac{1}{2x-3}$ к виду $y_1 = \frac{1}{2(x-1.5)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1.5}$. Это означает, что для построения графика $y_1$ нужно график $y=\frac{1}{x}$ сдвинуть на 1.5 единицы вправо (получим $y=\frac{1}{x-1.5}$), а затем сжать его по вертикали в 2 раза (умножить все ординаты на $1/2$). Вертикальной асимптотой для $y_1$ будет прямая $x=1.5$, а горизонтальной — $y=0$.

3. Теперь строим итоговый график $y=|\frac{1}{2x-3}|$. Для этого часть графика $y_1 = \frac{1}{2x-3}$, которая лежит ниже оси Ox (при $2x-3<0$, то есть $x<1.5$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, где $x>1.5$, останется без изменений.

Итоговый график состоит из двух ветвей, обе расположены выше оси Ox. Вертикальная асимптота — $x=1.5$, горизонтальная — $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1.5$. Контрольные точки: при $x=2$, $y=|\frac{1}{4-3}|=1$; при $x=1$, $y=|\frac{1}{2-3}|=|-1|=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости, с вертикальной асимптотой $x=1.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1.5$.

8.9.Постройте график функции:

1) $y=\frac{1}{|2x-1|}$;

2) $y=\frac{1}{|2x+3|}$;

3) $y=\left|1+\frac{1}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|1+\frac{1}{2x-3}\right|$.

1) $y=\frac{1}{|2x-1|}$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Начнем с построения графика функции $y_1 = \frac{1}{2x-1}$. Это стандартная гипербола. Найдем ее асимптоты:

- Вертикальная асимптота: находится из условия, что знаменатель равен нулю. $2x-1=0$, откуда $x=\frac{1}{2}$.

- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, значение $y_1 \to 0$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это ось Ox ($y=0$).

График $y_1$ имеет две ветви: одна в первой четверти относительно асимптот (при $x > \frac{1}{2}$) и одна в третьей четверти (при $x < \frac{1}{2}$).

2. Теперь применим преобразование модуля к знаменателю: $y = \frac{1}{|2x-1|}$. Это эквивалентно построению графика функции $y = |y_1(x)| = |\frac{1}{2x-1}|$, так как $y = \frac{1}{|2x-1|} = |\frac{1}{2x-1}|$.

- Поскольку выражение $|2x-1|$ всегда неотрицательно (и не равно нулю в области определения), то и вся функция $y$ будет принимать только положительные значения ($y>0$).

- Это означает, что часть графика $y_1$, которая находится выше оси Ox (правая ветвь при $x > \frac{1}{2}$), останется без изменений.

- Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (левая ветвь при $x < \frac{1}{2}$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox.

В результате обе ветви гиперболы окажутся в верхней полуплоскости, симметрично относительно вертикальной асимптоты $x=\frac{1}{2}$.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq \frac{1}{2}$, то есть $D(y) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

- Область значений: $y > 0$, то есть $E(y) = (0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=\frac{1}{2}$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Ветви симметричны относительно прямой $x=0.5$. График неограниченно приближается к вертикальной асимптоте $x=0.5$ и к горизонтальной асимптоте $y=0$ (ось Ox).

2) $y=\frac{1}{|2x+3|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала строим график вспомогательной функции $y_1 = \frac{1}{2x+3}$. Это гипербола.

- Вертикальная асимптота: $2x+3=0$, откуда $x=-\frac{3}{2}$ или $x=-1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

2. Далее применяем преобразование модуля: $y = \frac{1}{|2x+3|}$. Так же, как и в первом случае, это означает, что все значения $y$ будут положительными.

- Часть графика $y_1$, расположенная над осью Ox (при $x > -1.5$), сохраняется.

- Часть графика $y_1$, расположенная под осью Ox (при $x < -1.5$), отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате получаем две ветви гиперболы, обе расположенные выше оси Ox.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq -1.5$, то есть $D(y) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

- Область значений: $y > 0$, то есть $E(y) = (0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=-1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-1.5$ и расположенных выше оси Ox. Ветви неограниченно приближаются к вертикальной асимптоте $x=-1.5$ и горизонтальной асимптоте $y=0$.

3) $y=|1+\frac{1}{x+2}|$

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Построим график функции без модуля: $g(x) = 1+\frac{1}{x+2}$. Приведем к общему знаменателю: $g(x) = \frac{x+2+1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2}$. Это дробно-рациональная функция, ее график — гипербола.

- Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$ (отношение коэффициентов при старших степенях $x$).

- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $g(x)=0$): $\frac{x+3}{x+2}=0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Точка пересечения: $(-3, 0)$.

- Найдем точку пересечения с осью Oy (где $x=0$): $g(0) = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Точка пересечения: $(0, \frac{3}{2})$.

2. Теперь применим преобразование модуля: $y = |g(x)| = |1+\frac{1}{x+2}|$.

- Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox ($g(x) \ge 0$).

- Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox ($g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

- Выясним, где $g(x) < 0$: $\frac{x+3}{x+2} < 0$. Решая методом интервалов, получаем, что это неравенство выполняется при $x \in (-3, -2)$.

- Таким образом, участок графика $g(x)$ на интервале $(-3, -2)$ отражается вверх.

Итоговый график будет иметь "излом" в точке $(-3, 0).

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq -2$, то есть $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

- Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ: График получается из гиперболы $y=1+\frac{1}{x+2}$ (с асимптотами $x=-2$ и $y=1$) путем отражения ее части, лежащей под осью Ox, в верхнюю полуплоскость. Эта часть соответствует интервалу $x \in (-3, -2)$. В точке $(-3, 0)$ график имеет угловой излом. Правая ветвь ($x>-2$) полностью лежит выше асимптоты $y=1$. Левая ветвь ($x<-2$) приближается к $y=1$ слева, доходит до точки $(-3,0)$, а затем уходит вверх к вертикальной асимптоте $x=-2$.

4) $y=|1+\frac{1}{2x-3}|$

Построение аналогично предыдущему пункту.

1. Строим график функции $g(x) = 1+\frac{1}{2x-3}$. Приведем к общему знаменателю: $g(x) = \frac{2x-3+1}{2x-3} = \frac{2x-2}{2x-3}$. График — гипербола.

- Вертикальная асимптота: $2x-3=0 \implies x=\frac{3}{2}$ или $x=1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$ (отношение коэффициентов при $x$, то есть $\frac{2}{2}$).

- Точка пересечения с осью Ox ($g(x)=0$): $2x-2=0 \implies x=1$. Точка: $(1, 0)$.

- Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $g(0) = 1+\frac{1}{-3} = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.

2. Применяем преобразование модуля: $y = |g(x)|$. Часть графика $g(x)$, лежащая под осью Ox, отражается наверх.

- Определим, где $g(x) < 0$: $\frac{2x-2}{2x-3} < 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (1, 1.5)$.

- Участок графика на интервале $(1, 1.5)$ отражается симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график имеет угловую точку в $(1, 0)$.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq 1.5$, то есть $D(y) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

- Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ: График получается из гиперболы $y=1+\frac{1}{2x-3}$ (с асимптотами $x=1.5$ и $y=1$) путем отражения ее части с интервала $x \in (1, 1.5)$ относительно оси Ox. В точке $(1, 0)$ график имеет излом. Правая ветвь ($x>1.5$) целиком лежит выше горизонтальной асимптоты $y=1$. Левая ветвь ($x<1.5$) идет от асимптоты $y=1$ до точки $(1,0)$, а затем отражается вверх, уходя к вертикальной асимптоте $x=1.5$.

8.10.Постройте график функции:

1) $y=\frac{2x}{x-2}$;

2) $y=\frac{3x-1}{x-3}$;

3) $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$.

1) Для построения графика функции $y=\frac{2x}{x-2}$ преобразуем данное выражение, выделив целую часть:

$y=\frac{2x}{x-2} = \frac{2x-4+4}{x-2} = \frac{2(x-2)+4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = 2+\frac{4}{x-2}$.

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{4}{x-2}+2$.

График этой функции является гиперболой, полученной из графика функции $y=\frac{4}{x}$ путем следующих преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\frac{4}{x-2}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем график функции $y=\frac{4}{x-2}+2$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{2 \cdot 0}{0-2} = 0$. Точка (0; 0).

• С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{2x}{x-2} = 0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$. Точка (0; 0).

График проходит через начало координат. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах относительно новых осей (асимптот).

Ответ: График функции $y=\frac{2x}{x-2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График можно получить, сдвинув график функции $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Он проходит через точку (0; 0).

2) Преобразуем функцию $y=\frac{3x-1}{x-3}$, выделив целую часть:

$y=\frac{3x-1}{x-3} = \frac{3x-9+8}{x-3} = \frac{3(x-3)+8}{x-3} = \frac{3(x-3)}{x-3} + \frac{8}{x-3} = 3+\frac{8}{x-3}$.

График функции $y = \frac{8}{x-3}+3$ — это гипербола, полученная из графика $y=\frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.

• Горизонтальная асимптота: $y=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$. Точка $(0; \frac{1}{3})$.

• С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3x-1}{x-3} = 0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах относительно системы координат, образованной асимптотами.

Ответ: График функции $y=\frac{3x-1}{x-3}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. График получается сдвигом графика $y=\frac{8}{x}$ на 3 единицы вправо и 3 единицы вверх. Он пересекает ось Oy в точке $(0; \frac{1}{3})$ и ось Ox в точке $(\frac{1}{3}; 0)$.

3) Для построения графика функции $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$ сначала построим график функции $f(x)=\frac{4x}{x+2}$, а затем отразим ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

1. Построим график $f(x)=\frac{4x}{x+2}$. Выделим целую часть:

$f(x) = \frac{4x+8-8}{x+2} = \frac{4(x+2)-8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$.

Это гипербола, полученная из графика $y=-\frac{8}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 4 единицы вверх. Асимптоты: $x=-2$ (вертикальная) и $y=4$ (горизонтальная). Поскольку коэффициент при дроби отрицательный (–8), ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах относительно асимптот.

2. Теперь построим график $y = |f(x)| = \left|\frac{4x}{x+2}\right|$.

Часть графика $f(x)$, где $f(x) \geq 0$, остается без изменений. Это происходит при $\frac{4x}{x+2} \geq 0$, то есть при $x \in (-\infty; -2) \cup [0; +\infty)$.

Часть графика $f(x)$, где $f(x) < 0$, отражается симметрично относительно оси Ox. Это происходит при $\frac{4x}{x+2} < 0$, то есть при $x \in (-2; 0)$.

В результате преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=-2$ сохраняется.

• Горизонтальная асимптота $y=4$ сохраняется для $x \to \pm\infty$.

• Нижняя ветвь графика (в интервале $x \in (-2; 0)$) отражается вверх.

• График не имеет отрицательных значений по оси Oy.

Ответ: График функции $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$ получается из графика гиперболы $f(x)=\frac{4x}{x+2}$ (с асимптотами $x=-2$, $y=4$) путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox (на интервале $x \in (-2; 0)$), симметрично относительно оси Ox. Весь график лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

4) Для построения графика функции $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$ воспользуемся тем же методом, что и в пункте 3. Заметим, что $\left|\frac{-2x}{2x-3}\right| = \left|\frac{2x}{2x-3}\right|$. Построим график функции $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$.

1. Преобразуем $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{-(2x-3)-3}{2x-3} = \frac{-(2x-3)}{2x-3} - \frac{3}{2x-3} = -1 - \frac{3}{2x-3}$.

Это гипербола с асимптотами: $2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная). График получается из $y=-\frac{3/2}{x}$ сдвигом на $\frac{3}{2}$ вправо и на 1 вниз. Ветви расположены во втором и четвертом координатных углах относительно асимптот.

2. Построим график $y = |f(x)| = \left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$.

Определим знаки $f(x)$: $f(x) \geq 0$ при $\frac{-2x}{2x-3} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{2x}{2x-3} \leq 0$. Это выполняется для $x \in [0; \frac{3}{2})$. На этом интервале график $y=|f(x)|$ совпадает с графиком $f(x)$.

На интервалах $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$ функция $f(x) < 0$, поэтому на этих участках ее график отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=\frac{3}{2}$ сохраняется.

• Горизонтальная асимптота $y=-1$ для графика $f(x)$ преобразуется в горизонтальную асимптоту $y=1$ для графика $y=|f(x)|$ при $x \to \pm\infty$.

• График целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$) и проходит через точку (0; 0).

Ответ: График функции $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$ получается из графика гиперболы $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$ (с асимптотами $x=3/2$, $y=-1$) путем отражения частей графика, лежащих ниже оси Ox (на интервалах $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (\frac{3}{2}; +\infty)$), симметрично относительно оси Ox. Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=\frac{3}{2}$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.

8.11. На рисунке 8.3 построен график функции $f(x)$. Запишите аналитическую формулу этой функции, если ее график проходит через точку $A(2; 1)$.

Рис. 8.3

Для того чтобы записать аналитическую формулу функции $f(x)$, изображенной на рисунке, необходимо проанализировать ее график.

1. Определение типа функции и ее асимптот.

График функции является гиперболой, которая смещена относительно начала координат. Общий вид такой функции: $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Из графика видно, что:

- Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график приближается, но не пересекает. В данном случае это ось ординат ($y$), ее уравнение $x=0$. Следовательно, параметр сдвига по горизонтали $a=0$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой график стремится при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. На рисунке видно, что это прямая $y=1$. Следовательно, параметр сдвига по вертикали $b=1$.

Таким образом, формула функции имеет вид $f(x) = \frac{k}{x} + 1$.

2. Нахождение коэффициента $k$.

Для нахождения коэффициента $k$ нужно использовать координаты точки, принадлежащей графику. В условии задачи указано, что график проходит через точку $A(2; 1)$. Однако, если мы подставим эти координаты в нашу формулу, получим:

$1 = \frac{k}{2} + 1$

$\frac{k}{2} = 0$

$k=0$

При $k=0$ функция принимает вид $f(x) = 1$, что является уравнением прямой линии и не соответствует графику на рисунке. Это означает, что в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, так как точка $A(2; 1)$ лежит на горизонтальной асимптоте, а не на самом графике.

Поэтому найдем $k$, используя другую точку, которая хорошо видна на графике. Например, график явно проходит через точку $(1; 0)$. Подставим ее координаты в формулу:

$0 = \frac{k}{1} + 1$

$k = -1$

3. Запись итоговой формулы и проверка.

Подставив найденные значения $a=0$, $b=1$ и $k=-1$ в общую формулу, получаем:

$f(x) = \frac{-1}{x} + 1$, что можно записать как $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

Для проверки можно взять еще одну точку с графика, например, $(-1; 2)$.

$f(-1) = 1 - \frac{1}{-1} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Значение совпадает с точкой на графике, следовательно, формула найдена верно.

Ответ: $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$

8.12. Постройте график функции (8.12—8.14):

1) $y=\left|\frac{2x}{x-2}\right|$;

2) $y=\left|\frac{3x-1}{x-1}\right|$;

3) $y=\left|\frac{4x+2}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|\frac{2x-1}{2x-3}\right|$.

1) Для построения графика функции $y=|\frac{2x}{x-2}|$ сначала построим график вспомогательной функции $g(x)=\frac{2x}{x-2}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $g(x) = \frac{2(x-2)+4}{x-2} = 2 + \frac{4}{x-2}$.

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=2$.

Точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=0$. Если $y=0$, то $2x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

Чтобы построить график функции $y = |g(x)|$, нужно ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox ($g(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Остальную часть графика ($g(x) \ge 0$) оставить без изменений.

Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{2x}{x-2} < 0$ справедливо при $x \in (0, 2)$.

Следовательно, часть графика на интервале $(0, 2)$ отражается вверх. В точке $(0,0)$, где график пересекает ось Ox, будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{2x}{x-2}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x > 2$, она приближается к асимптоте $x=2$ справа и к асимптоте $y=2$ сверху. Вторая ветвь находится в области $x < 2$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=2$ снизу, затем проходит через точку $(0,0)$, где образуется излом, и уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=2$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

2) Построим график функции $y=|\frac{3x-1}{x-1}|$. Для этого сначала проанализируем функцию без модуля: $g(x)=\frac{3x-1}{x-1}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{3(x-1)+2}{x-1} = 3 + \frac{2}{x-1}$.

График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=3$.

Точки пересечения с осями: - С осью Ox ($y=0$): $3x-1=0 \implies x=1/3$. Точка $(1/3, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{-1}{-1}=1$. Точка $(0, 1)$.

График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ отражением той части, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{3x-1}{x-1} < 0$ выполняется при $x \in (1/3, 1)$.

Таким образом, часть графика на интервале $(1/3, 1)$ отражается относительно оси Ox. В точке $(1/3, 0)$ будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{3x-1}{x-1}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x > 1$ и приближается к асимптотам $x=1$ и $y=3$. Вторая ветвь находится в области $x < 1$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=3$ снизу, проходит через точку $(0,1)$, достигает точки $(1/3, 0)$, где образует излом, и затем уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=1$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

3) Рассмотрим функцию $y=|\frac{4x+2}{x+2}|$. Сначала построим график функции $g(x)=\frac{4x+2}{x+2}$.

Преобразуем выражение: $g(x) = \frac{4(x+2)-8+2}{x+2} = 4 - \frac{6}{x+2}$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=4$.

Точки пересечения с осями: - С осью Ox ($y=0$): $4x+2=0 \implies x=-1/2$. Точка $(-1/2, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{2}{2}=1$. Точка $(0, 1)$.

Чтобы получить график $y=|g(x)|$, необходимо часть графика $g(x)$, расположенную под осью Ox, отразить симметрично относительно этой оси.

Определим, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{4x+2}{x+2} < 0$ справедливо при $x \in (-2, -1/2)$.

Следовательно, ветвь гиперболы на интервале $(-2, -1/2)$ отражается вверх. В точке $(-1/2, 0)$ образуется излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{4x+2}{x+2}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=4$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x < -2$, приближаясь к асимптотам $x=-2$ и $y=4$. Вторая ветвь находится в области $x > -2$. Она начинается от асимптоты $x=-2$ сверху, спускается до точки $(-1/2, 0)$, где имеет излом, затем поднимается, проходя через точку $(0,1)$, и приближается к асимптоте $y=4$ снизу при $x \to \infty$. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

4) Построим график функции $y=|\frac{2x-1}{2x-3}|$. Начнем с графика функции без модуля $g(x)=\frac{2x-1}{2x-3}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{(2x-3)+2}{2x-3} = 1 + \frac{2}{2x-3}$.

График этой функции — гипербола. Асимптоты: вертикальная $2x-3=0 \implies x=3/2$ и горизонтальная $y=1$.

Найдем точки пересечения с осями координат: - С осью Ox ($y=0$): $2x-1=0 \implies x=1/2$. Точка $(1/2, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{-1}{-3}=1/3$. Точка $(0, 1/3)$.

График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси.

Найдем промежутки, где $g(x)<0$: неравенство $\frac{2x-1}{2x-3}<0$ выполняется при $x \in (1/2, 3/2)$.

Таким образом, часть графика $g(x)$ на интервале $(1/2, 3/2)$ отражается вверх. В точке $(1/2, 0)$ будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{2x-1}{2x-3}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=3/2$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Состоит из двух ветвей. Первая ветвь расположена в области $x > 3/2$ и приближается к своим асимптотам. Вторая ветвь находится в области $x < 3/2$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=1$ снизу, проходит через точку $(0, 1/3)$, достигает точки $(1/2, 0)$, где образует излом, после чего уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=3/2$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

8.13.1) $y=\left|\frac{2x+5}{2x-2}\right|$;

2) $y=\left|\frac{4x-1}{2x-1}\right|$;

3) $y=\left|\frac{4x-3}{2x+1}\right|$;

4) $y=\left|\frac{2x-5}{2x+3}\right|$.

1) Область определения функции $y=|\frac{2x+5}{2x-2}|$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение в правой части имеет смысл. Данное выражение является дробью, находящейся под знаком модуля. Модуль определён для любого действительного числа, поэтому ограничение накладывается только знаменателем дроби, который не должен быть равен нулю.

Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их:

$2x - 2 \neq 0$

$2x \neq 2$

$x \neq 1$

Следовательно, областью определения функции являются все действительные числа, кроме $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

2) Область определения функции $y=|\frac{4x-1}{2x-1}|$ находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение $x$:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, за исключением $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$

3) Для функции $y=|\frac{4x-3}{2x+1}|$ область определения — это все значения $x$, для которых знаменатель дроби $2x+1$ отличен от нуля.

Найдём значение $x$, которое необходимо исключить из области определения:

$2x + 1 \neq 0$

$2x \neq -1$

$x \neq -\frac{1}{2}$

Значит, область определения функции — это объединение интервалов, не включающее точку $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$

4) Область определения функции $y=|\frac{2x-5}{2x+3}|$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель $2x+3$ не равен нулю.

Решим уравнение, чтобы найти точку, в которой функция не определена:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

Исключив это значение из множества действительных чисел, получим область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; +\infty)$

1. Где применяют производную?

2. Каков физический и геометрический смысл производной?

3. Как находится мгновенная скорость?

4. Как найти среднюю скорость движения в указанный промежуток времени?

5. Как связаны дифференциал функции с ее производной?

6. При каком условии формула для вычислений приближенных значений функций дает более точный результат?

1. Где применяют производную?

Производная — одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое находит широкое применение в различных областях науки и техники для изучения скорости изменения величин. Вот некоторые ключевые сферы ее использования:

• Физика: для нахождения мгновенной скорости и ускорения тела (производная от координаты по времени — скорость, производная от скорости — ускорение), для расчета плотности неоднородного стержня, силы тока (производная от заряда по времени), мощности (производная от работы по времени), а также в термодинамике, оптике и электромагнетизме.

• Геометрия: для нахождения угла наклона касательной к графику функции, для исследования функций на монотонность (возрастание и убывание) и для нахождения точек экстремума (максимумов и минимумов).

• Экономика: в так называемом маржинальном анализе для нахождения предельных (маржинальных) величин, таких как предельные издержки, предельный доход и предельная прибыль. Это помогает компаниям принимать решения по оптимизации производства и ценообразования.

• Техника и инженерия: при решении задач на оптимизацию, например, для нахождения наилучших конструктивных параметров, обеспечивающих максимальную прочность при минимальном весе, или для проектирования траекторий движения.

• Информатика и машинное обучение: производные являются основой методов оптимизации, таких как градиентный спуск, который используется для обучения нейронных сетей путем минимизации функции потерь.

• Биология и химия: для моделирования скорости роста популяций, скорости химических реакций и процессов распада веществ.

Ответ: Производную применяют для исследования скорости протекания различных процессов в физике, экономике, технике и других науках, а также для нахождения оптимальных решений и анализа поведения функций.

2. Каков физический и геометрический смысл производной?

Производная имеет два основных толкования: физическое (или механическое) и геометрическое.

Физический смысл производной заключается в том, что она описывает мгновенную скорость изменения некоторого процесса. Если функция $s(t)$ описывает зависимость пути $s$, пройденного материальной точкой, от времени $t$, то ее производная по времени $s'(t)$ равна мгновенной скорости $v(t)$ этой точки в момент времени $t$. То есть, $v(t) = s'(t)$. В общем случае, если функция $y = f(x)$ описывает некоторый физический процесс, то ее производная $f'(x)$ — это скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол между касательной и положительным направлением оси Ox, то угловой коэффициент $k$ этой касательной равен $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$. Это позволяет находить уравнение касательной и анализировать "крутизну" графика функции в любой его точке.

Ответ: Физический смысл производной — это мгновенная скорость изменения функции. Геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

3. Как находится мгновенная скорость?

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный конкретный момент времени или в данной точке траектории. Для ее нахождения необходимо знать закон движения тела, то есть функцию зависимости его координаты (или пройденного пути) от времени $s(t)$.

Мгновенная скорость $v(t)$ в любой момент времени $t$ находится как первая производная от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Математически это записывается так:

$v(t) = s'(t)$

С точки зрения определения, мгновенная скорость является пределом, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени $\Delta t$:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, нужно:

1. Иметь уравнение движения $s(t)$.

2. Найти производную этой функции по переменной $t$.

3. Если требуется найти скорость в конкретный момент времени $t_0$, нужно подставить это значение в полученное выражение для производной.

Ответ: Мгновенная скорость находится как первая производная от функции, описывающей зависимость пути от времени, $v(t) = s'(t)$.

4. Как найти среднюю скорость движения в указанный промежуток времени?

Средняя скорость движения на некотором участке пути (или за некоторый промежуток времени) — это скалярная физическая величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения. Если речь идет о средней векторной скорости (скорости перемещения), то это отношение вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Пусть движение тела описывается функцией $s(t)$, где $s$ — координата, а $t$ — время. Чтобы найти среднюю скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо:

1. Найти перемещение тела $\Delta s$ за этот промежуток. Оно равно разности координат в конечный и начальный моменты времени: $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$.

2. Найти длительность промежутка времени $\Delta t$: $\Delta t = t_2 - t_1$.

3. Разделить перемещение на промежуток времени. Формула для вычисления средней скорости выглядит так:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Важно не путать среднюю скорость со средним арифметическим скоростей, это разные понятия.

Ответ: Средняя скорость движения в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ находится по формуле $v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$, где $s(t)$ — закон движения.

5. Как связаны дифференциал функции с ее производной?

Дифференциал функции и ее производная — тесно связанные понятия. Дифференциал функции $y = f(x)$ в точке $x$ представляет собой главную линейную часть приращения функции.

Приращение функции $\Delta y$ при изменении аргумента на $\Delta x$ равно: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Дифференциал функции $dy$ (или $df(x)$) по определению равен произведению ее производной $f'(x)$ на дифференциал независимой переменной $dx$. Дифференциал независимой переменной $dx$ по определению равен ее приращению $\Delta x$, то есть $dx = \Delta x$.

Таким образом, связь между дифференциалом функции и ее производной выражается формулой:

$dy = f'(x) \cdot dx$

Эта формула показывает, что дифференциал функции прямо пропорционален ее производной. Геометрически дифференциал $dy$ — это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке $(x, f(x))$, когда абсцисса изменяется на $\Delta x$. При малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением для реального приращения функции $\Delta y$, то есть $\Delta y \approx dy$.

Ответ: Дифференциал функции $dy$ равен произведению ее производной $f'(x)$ на дифференциал независимой переменной $dx$: $dy = f'(x) \cdot dx$.

6. При каком условии формула для вычислений приближенных значений функций дает более точный результат?

Формула для приближенных вычислений значений функции основана на замене приращения функции ее дифференциалом. Она имеет вид:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

Здесь $f(x_0)$ — известное значение функции в "удобной" точке $x_0$, близкой к той, в которой мы хотим найти значение. Величина $\Delta x$ — это малое приращение аргумента, такое что $x = x_0 + \Delta x$.

Точность этой формулы зависит от того, насколько хорошо касательная к графику функции в точке $x_0$ аппроксимирует саму функцию в окрестности этой точки. Погрешность приближения равна разности между истинным приращением функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ и ее дифференциалом $dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$.

Основное условие, при котором формула дает более точный результат, — это малость приращения аргумента $\Delta x$. Чем меньше абсолютное значение $|\Delta x|$, тем меньше погрешность и тем точнее результат приближения. Математически, погрешность $\Delta y - dy$ является величиной более высокого порядка малости по сравнению с $\Delta x$, то есть она стремится к нулю быстрее, чем $\Delta x$.

Ответ: Формула для приближенных вычислений значений функций дает более точный результат при условии, что приращение аргумента $\Delta x$ является бесконечно малой величиной (то есть чем ближе $\Delta x$ к нулю, тем точнее приближение).

42.1. Найдите производную функции в указанной точке, используя определение. Дайте геометрическое и физическое истолкование полученного результата:

1) $y = 2 + \frac{3x+1}{5x+1}$ при $x = 4$;

2) $y = \frac{x^2+2}{2x+3} - 3$ при $x = 1$;

3) $y = \frac{x-2}{x+4}$ при $x = 7$;

4) $y = \frac{x^2+1}{2x^2+3x}$ при $x = 3$;

5) $y = x^3 - 7$ при $x = 3$;

6) $y = \frac{x^3}{3(x+1)^2} - 5,2$ при $x = 1$.

1) Найдем производную функции $y = 2 + \frac{3x+1}{5x+1}$ в точке $x_0 = 4$, используя определение.

Определение производной в точке $x_0$: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x}$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$y(4) = 2 + \frac{3 \cdot 4 + 1}{5 \cdot 4 + 1} = 2 + \frac{13}{21} = \frac{42}{21} + \frac{13}{21} = \frac{55}{21}$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 4 + \Delta x$:

$y(4 + \Delta x) = 2 + \frac{3(4 + \Delta x) + 1}{5(4 + \Delta x) + 1} = 2 + \frac{12 + 3\Delta x + 1}{20 + 5\Delta x + 1} = 2 + \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x}$.

Найдем приращение функции $\Delta y = y(4 + \Delta x) - y(4)$:

$\Delta y = \left(2 + \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x}\right) - \left(2 + \frac{55}{21}\right) = \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x} - \frac{13}{21}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta y = \frac{21(13 + 3\Delta x) - 13(21 + 5\Delta x)}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{273 + 63\Delta x - 273 - 65\Delta x}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{21(21 + 5\Delta x)}$.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x \cdot 21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2}{21(21 + 5\Delta x)}$.

Теперь найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$y'(4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2}{21(21 + 5 \cdot 0)} = \frac{-2}{21 \cdot 21} = -\frac{2}{441}$.

Геометрическое истолкование: значение производной функции в точке $x_0 = 4$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 4$. Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $-\frac{2}{441}$.

Физическое истолкование: если $y(x)$ описывает закон прямолинейного движения точки (где $y$ - координата, а $x$ - время), то производная $y'(4)$ представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени $x=4$. Мгновенная скорость равна $-\frac{2}{441}$.

Ответ: $y'(4) = -\frac{2}{441}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{x^2+2}{2x+3} - 3$ в точке $x_0 = 1$, используя определение.

$y(1) = \frac{1^2+2}{2 \cdot 1+3} - 3 = \frac{3}{5} - 3 = \frac{3-15}{5} = -\frac{12}{5}$.

$y(1 + \Delta x) = \frac{(1+\Delta x)^2+2}{2(1+\Delta x)+3} - 3 = \frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2+2}{2+2\Delta x+3} - 3 = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3$.

$\Delta y = y(1 + \Delta x) - y(1) = \left(\frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3\right) - \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3 + \frac{12}{5} = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - \frac{3}{5}$.

$\Delta y = \frac{5((\Delta x)^2+2\Delta x+3) - 3(2\Delta x+5)}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5(\Delta x)^2+10\Delta x+15 - 6\Delta x-15}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5(\Delta x)^2+4\Delta x}{5(2\Delta x+5)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(5\Delta x+4)}{\Delta x \cdot 5(2\Delta x+5)} = \frac{5\Delta x+4}{5(2\Delta x+5)}$.

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{5\Delta x+4}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5 \cdot 0+4}{5(2 \cdot 0+5)} = \frac{4}{25}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$ равен $\frac{4}{25}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=1$ равна $\frac{4}{25}$.

Ответ: $y'(1) = \frac{4}{25}$.

3) Найдем производную функции $y = \frac{x-2}{x+4}$ в точке $x_0 = 7$, используя определение.

$y(7) = \frac{7-2}{7+4} = \frac{5}{11}$.

$y(7 + \Delta x) = \frac{(7+\Delta x)-2}{(7+\Delta x)+4} = \frac{5+\Delta x}{11+\Delta x}$.

$\Delta y = y(7 + \Delta x) - y(7) = \frac{5+\Delta x}{11+\Delta x} - \frac{5}{11}$.

$\Delta y = \frac{11(5+\Delta x) - 5(11+\Delta x)}{11(11+\Delta x)} = \frac{55+11\Delta x - 55-5\Delta x}{11(11+\Delta x)} = \frac{6\Delta x}{11(11+\Delta x)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6\Delta x}{\Delta x \cdot 11(11+\Delta x)} = \frac{6}{11(11+\Delta x)}$.

$y'(7) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6}{11(11+\Delta x)} = \frac{6}{11(11+0)} = \frac{6}{121}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 7$ равен $\frac{6}{121}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=7$ равна $\frac{6}{121}$.

Ответ: $y'(7) = \frac{6}{121}$.

4) Найдем производную функции $y = \frac{x^2+1}{2x^2+3x}$ в точке $x_0 = 3$, используя определение.

$y(3) = \frac{3^2+1}{2 \cdot 3^2+3 \cdot 3} = \frac{10}{18+9} = \frac{10}{27}$.

$y(3 + \Delta x) = \frac{(3+\Delta x)^2+1}{2(3+\Delta x)^2+3(3+\Delta x)} = \frac{9+6\Delta x+(\Delta x)^2+1}{2(9+6\Delta x+(\Delta x)^2)+9+3\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{18+12\Delta x+2(\Delta x)^2+9+3\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{2(\Delta x)^2+15\Delta x+27}$.

$\Delta y = y(3 + \Delta x) - y(3) = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{2(\Delta x)^2+15\Delta x+27} - \frac{10}{27}$.

$\Delta y = \frac{27((\Delta x)^2+6\Delta x+10) - 10(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{27(\Delta x)^2+162\Delta x+270 - 20(\Delta x)^2-150\Delta x-270}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7(\Delta x)^2+12\Delta x}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(7\Delta x+12)}{\Delta x \cdot 27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7\Delta x+12}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}$.

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{7\Delta x+12}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7 \cdot 0+12}{27(2 \cdot 0^2+15 \cdot 0+27)} = \frac{12}{27 \cdot 27} = \frac{12}{729} = \frac{4}{243}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен $\frac{4}{243}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=3$ равна $\frac{4}{243}$.

Ответ: $y'(3) = \frac{4}{243}$.

5) Найдем производную функции $y = x^3 - 7$ в точке $x_0 = 3$, используя определение.

$y(3) = 3^3 - 7 = 27 - 7 = 20$.

$y(3 + \Delta x) = (3+\Delta x)^3 - 7 = (3^3 + 3 \cdot 3^2 \Delta x + 3 \cdot 3 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 7 = (27 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 7 = 20 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

$\Delta y = y(3 + \Delta x) - y(3) = (20 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 20 = 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 27 + 9\Delta x + (\Delta x)^2$.

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} (27 + 9\Delta x + (\Delta x)^2) = 27 + 9 \cdot 0 + 0^2 = 27$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен $27$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=3$ равна $27$.

Ответ: $y'(3) = 27$.

6) Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{3(x+1)^2} - 5,2$ в точке $x_0 = 1$, используя определение.

Производная константы равна нулю, поэтому $y'(x) = \left(\frac{x^3}{3(x+1)^2}\right)'$. Обозначим $f(x) = \frac{x^3}{3(x+1)^2}$.

$f(1) = \frac{1^3}{3(1+1)^2} = \frac{1}{3 \cdot 2^2} = \frac{1}{12}$.

$f(1 + \Delta x) = \frac{(1+\Delta x)^3}{3((1+\Delta x)+1)^2} = \frac{(1+\Delta x)^3}{3(2+\Delta x)^2}$.

$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = \frac{(1+\Delta x)^3}{3(2+\Delta x)^2} - \frac{1}{12} = \frac{4(1+\Delta x)^3 - (2+\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$4(1+3\Delta x+3(\Delta x)^2+(\Delta x)^3) - (4+4\Delta x+(\Delta x)^2) = 4+12\Delta x+12(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3 - 4-4\Delta x-(\Delta x)^2 = 8\Delta x+11(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3$.

$\Delta f = \frac{8\Delta x+11(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3}{12(2+\Delta x)^2}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(8+11\Delta x+4(\Delta x)^2)}{\Delta x \cdot 12(2+\Delta x)^2} = \frac{8+11\Delta x+4(\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2}$.

$y'(1) = f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{8+11\Delta x+4(\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2} = \frac{8+11 \cdot 0+4 \cdot 0^2}{12(2+0)^2} = \frac{8}{12 \cdot 4} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$ равен $\frac{1}{6}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=1$ равна $\frac{1}{6}$.

Ответ: $y'(1) = \frac{1}{6}$.

42.2. 1) Точка движется по прямой по закону $s = 5t^2 - 4t + 4$, где $s$ — длина пути, измеряемая в метрах, $t$ — время в секундах. Найдите мгновенную скорость при $t = 2$ с и среднюю скорость точки за время от $t = 2$с до $t_1 = 2 + \Delta t$, считая $\Delta t = 0,5$.

2) Закон движения точки по прямой задан формулой $s = t^3 - 3t^2 + 3t + 5$ ($s$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах). В какие моменты времени скорость точки равна нулю?

1) Закон движения точки задан формулой $s(t) = 5t^2 - 4t + 4$, где $s$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах.

Нахождение мгновенной скорости при $t = 2$ с:

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (5t^2 - 4t + 4)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 5 \cdot (t^2)' - 4 \cdot (t)' + (4)' = 5 \cdot 2t - 4 \cdot 1 + 0 = 10t - 4$.

Теперь подставим значение времени $t = 2$ с в формулу для мгновенной скорости:

$v(2) = 10 \cdot 2 - 4 = 20 - 4 = 16$ м/с.

Нахождение средней скорости за время от $t = 2$ с до $t_1 = 2 + \Delta t$, где $\Delta t = 0,5$ с:

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t$ до $t_1$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_1) - s(t)}{t_1 - t}$

Начальный момент времени $t = 2$ с.

Конечный момент времени $t_1 = 2 + \Delta t = 2 + 0,5 = 2,5$ с.

Изменение времени $\Delta t = t_1 - t = 2,5 - 2 = 0,5$ с.

Найдем положения точки в эти моменты времени:

$s(2) = 5(2)^2 - 4(2) + 4 = 5 \cdot 4 - 8 + 4 = 20 - 8 + 4 = 16$ м.

$s(2,5) = 5(2,5)^2 - 4(2,5) + 4 = 5 \cdot 6,25 - 10 + 4 = 31,25 - 10 + 4 = 25,25$ м.

Изменение пути $\Delta s = s(2,5) - s(2) = 25,25 - 16 = 9,25$ м.

Теперь вычислим среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{9,25}{0,5} = 18,5$ м/с.

Ответ: мгновенная скорость при $t = 2$ с равна 16 м/с; средняя скорость за время от $t=2$ с до $t=2,5$ с равна 18,5 м/с.

2) Закон движения точки задан формулой $s(t) = t^3 - 3t^2 + 3t + 5$.

Чтобы найти моменты времени, когда скорость точки равна нулю, необходимо сначала найти функцию скорости $v(t)$, которая является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 3t^2 + 3t + 5)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 3t^2 - 3 \cdot 2t + 3 \cdot 1 + 0 = 3t^2 - 6t + 3$.

Теперь приравняем функцию скорости к нулю, чтобы найти искомые моменты времени:

$v(t) = 0$

$3t^2 - 6t + 3 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 1)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем:

$t - 1 = 0$

$t = 1$ с.

Таким образом, скорость точки равна нулю в момент времени $t = 1$ с.

Ответ: скорость точки равна нулю при $t = 1$ с.

42.3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y(x)$, проходящей через точку A:

1) $y = 2x^2 - x - 5$, $A(-1; -2);$

2) $y = 0,2x^2 + 2x - 4$, $A(2; 0,8);$

3) $y = -3x^2 - x + 5$, $A(-2; -5);$

4) $y = x^2 - \frac{1}{x} - 5$, $A(3; 3\frac{2}{3}).$

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ (также известный как угловой коэффициент касательной) равен значению производной функции в этой точке: $k = \tan \alpha = y'(x_0)$. Поскольку в условии сказано, что касательная проходит через точку A, сначала нужно проверить, лежит ли эта точка на графике функции. Если да, то A является точкой касания, и ее абсциссу $x_0$ можно использовать для нахождения производной.

1) Дана функция $y = 2x^2 - x - 5$ и точка A(-1; -2).

Сначала проверим, принадлежит ли точка A графику функции, подставив ее координаты в уравнение: $y(-1) = 2(-1)^2 - (-1) - 5 = 2 \cdot 1 + 1 - 5 = 3 - 5 = -2$. Полученное значение совпадает с ординатой точки A, следовательно, точка A является точкой касания, и $x_0 = -1$.

Теперь найдем производную функции: $y'(x) = (2x^2 - x - 5)' = 2 \cdot 2x - 1 - 0 = 4x - 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $\tan \alpha = y'(-1) = 4(-1) - 1 = -4 - 1 = -5$.

Ответ: -5.

2) Дана функция $y = 0,2x^2 + 2x - 4$ и точка A(2; 0,8).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции: $y(2) = 0,2(2)^2 + 2(2) - 4 = 0,2 \cdot 4 + 4 - 4 = 0,8 + 0 = 0,8$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = 2$.

Найдем производную функции: $y'(x) = (0,2x^2 + 2x - 4)' = 0,2 \cdot 2x + 2 - 0 = 0,4x + 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $\tan \alpha = y'(2) = 0,4(2) + 2 = 0,8 + 2 = 2,8$.

Ответ: 2,8.

3) Дана функция $y = -3x^2 - x + 5$ и точка A(-2; -5).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции: $y(-2) = -3(-2)^2 - (-2) + 5 = -3 \cdot 4 + 2 + 5 = -12 + 7 = -5$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = -2$.

Найдем производную функции: $y'(x) = (-3x^2 - x + 5)' = -3 \cdot 2x - 1 + 0 = -6x - 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$: $\tan \alpha = y'(-2) = -6(-2) - 1 = 12 - 1 = 11$.

Ответ: 11.

4) Дана функция $y = x^2 - \frac{1}{x} - 5$ и точка A($3; 3\frac{2}{3}$).

Проверим, принадлежит ли точка A графику функции. Ордината точки A: $y_A = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Подставим абсциссу точки A в уравнение функции: $y(3) = 3^2 - \frac{1}{3} - 5 = 9 - \frac{1}{3} - 5 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$. Значение совпадает, значит, A — точка касания, и $x_0 = 3$.

Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $y = x^2 - x^{-1} - 5$: $y'(x) = (x^2 - x^{-1} - 5)' = 2x - (-1)x^{-2} - 0 = 2x + x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$: $\tan \alpha = y'(3) = 2(3) + \frac{1}{3^2} = 6 + \frac{1}{9} = \frac{54}{9} + \frac{1}{9} = \frac{55}{9}$.

Ответ: $\frac{55}{9}$.

42.4. Используя производную функции $f(x)$, найдите $d(f(x))$:

1) $f(x) = x^3 - 1$;

2) $f(x) = 4x^2 - x$;

3) $f(x) = 3\sqrt{x} - 2x$.

1) Дифференциал функции $d(f(x))$ определяется по формуле $d(f(x)) = f'(x)dx$, где $f'(x)$ — производная функции $f(x)$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 1$.

Найдем её производную, используя правила дифференцирования: правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю $(C)'=0$.

$f'(x) = (x^3 - 1)' = (x^3)' - (1)' = 3x^{3-1} - 0 = 3x^2$.

Теперь, зная производную, мы можем найти дифференциал функции:

$d(f(x)) = f'(x)dx = 3x^2 dx$.

Ответ: $d(f(x)) = 3x^2 dx$.

2) Дана функция $f(x) = 4x^2 - x$.

Сначала найдем производную $f'(x)$. Используем правила дифференцирования: правило для степенной функции, правило для произведения константы на функцию и правило для разности функций.

$f'(x) = (4x^2 - x)' = (4x^2)' - (x)' = 4 \cdot (x^2)' - 1 = 4 \cdot 2x - 1 = 8x - 1$.

Теперь подставим найденную производную в формулу дифференциала $d(f(x)) = f'(x)dx$:

$d(f(x)) = (8x - 1)dx$.

Ответ: $d(f(x)) = (8x - 1)dx$.

3) Дана функция $f(x) = 3\sqrt{x} - 2x$.

Для нахождения производной представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Таким образом, функция имеет вид $f(x) = 3x^{1/2} - 2x$.

Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3x^{1/2} - 2x)' = (3x^{1/2})' - (2x)'$.

Применим правило дифференцирования степенной функции:

$(3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Производная от $2x$ равна $2$.

Таким образом, $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 2$.

Найдем дифференциал функции, подставив производную в формулу $d(f(x)) = f'(x)dx$:

$d(f(x)) = (\frac{3}{2\sqrt{x}} - 2)dx$.

Ответ: $d(f(x)) = (\frac{3}{2\sqrt{x}} - 2)dx$.

42.5. Используя формулу $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$, вычислите приближенные значения функции $f(x)$ при значениях аргумента $x_1$ и $x_2$:

1) $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2$ при $x_1 = 1,03$, $x_2 = 4,98;$

2) $f(x) = x^3 - x^2 + 3$ при $x_1 = 2,02$, $x_2 = 5,995$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2$. Формула для приближенного вычисления: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$, где $\Delta x = x - x_0$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 4x^2 - 2)' = 3x^2 - 8x$.

Вычислим приближенное значение для $x_1 = 1.03$.

В качестве $x_0$ выберем ближайшее целое число, $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 1.03 - 1 = 0.03$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 2 = 1 - 4 - 2 = -5$.

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = 3 - 8 = -5$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(1.03) \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.03 = -5 + (-5) \cdot 0.03 = -5 - 0.15 = -5.15$.

Теперь вычислим приближенное значение для $x_2 = 4.98$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 5$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 4.98 - 5 = -0.02$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=5$:

$f(x_0) = f(5) = 5^3 - 4 \cdot 5^2 - 2 = 125 - 4 \cdot 25 - 2 = 125 - 100 - 2 = 23$.

$f'(x_0) = f'(5) = 3 \cdot 5^2 - 8 \cdot 5 = 3 \cdot 25 - 40 = 75 - 40 = 35$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(4.98) \approx f(5) + f'(5) \cdot (-0.02) = 23 + 35 \cdot (-0.02) = 23 - 0.7 = 22.3$.

Ответ: $f(1.03) \approx -5.15$; $f(4.98) \approx 22.3$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 3$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 - x^2 + 3)' = 3x^2 - 2x$.

Вычислим приближенное значение для $x_1 = 2.02$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 2$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 2.02 - 2 = 0.02$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^3 - 2^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$.

$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(2.02) \approx f(2) + f'(2) \cdot 0.02 = 7 + 8 \cdot 0.02 = 7 + 0.16 = 7.16$.

Теперь вычислим приближенное значение для $x_2 = 5.995$.

В качестве $x_0$ выберем $x_0 = 6$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 5.995 - 6 = -0.005$.

Найдем значения функции и ее производной в точке $x_0=6$:

$f(x_0) = f(6) = 6^3 - 6^2 + 3 = 216 - 36 + 3 = 183$.

$f'(x_0) = f'(6) = 3 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6 = 3 \cdot 36 - 12 = 108 - 12 = 96$.

Подставим найденные значения в формулу:

$f(5.995) \approx f(6) + f'(6) \cdot (-0.005) = 183 + 96 \cdot (-0.005) = 183 - 0.48 = 182.52$.

Ответ: $f(2.02) \approx 7.16$; $f(5.995) \approx 182.52$.