Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

42.12. Найдите координаты точки кривой $y = \frac{1}{x^2 + 1}$, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Условие, что касательная к кривой в некоторой точке параллельна оси абсцисс (оси Ox), означает, что угловой коэффициент касательной в этой точке равен нулю. Геометрический смысл производной функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в том, что ее значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Следовательно, для нахождения искомой точки нам необходимо найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и найти соответствующую абсциссу $x$.

Дана функция: $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

Найдем ее производную $y'$. Удобно представить функцию в виде $y = (x^2 + 1)^{-1}$ и использовать правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((x^2 + 1)^{-1})' = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-1-1} \cdot (x^2 + 1)' = -(x^2 + 1)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$y' = 0$

$-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Числитель: $-2x = 0$, откуда $x = 0$.

Знаменатель: $(x^2 + 1)^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и $(x^2 + 1)^2$ никогда не обращается в ноль.

Таким образом, единственная точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет абсциссу $x=0$.

Чтобы найти координаты этой точки, подставим найденное значение $x = 0$ в исходное уравнение кривой:

$y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, искомые координаты точки — $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.

42.13. Найдите абсциссу точки графика функции $y = x^2 - 3x - 3$, в которой касательная к графику параллельна прямой $y - 2x + 3 = 0$.

Для решения задачи необходимо использовать геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Сначала найдем угловой коэффициент прямой, заданной уравнением $y - 2x + 3 = 0$. Для этого выразим $y$, приведя уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент:

$y = 2x - 3$

Из этого уравнения следует, что угловой коэффициент данной прямой $k = 2$.

Далее найдем производную функции $y = x^2 - 3x - 3$:

$y' = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3$.

Так как касательная к графику функции параллельна прямой $y = 2x - 3$, их угловые коэффициенты должны быть равны. Приравняем значение производной в искомой точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:

$y'(x_0) = k$

$2x_0 - 3 = 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x_0$, чтобы найти абсциссу точки касания:

$2x_0 = 2 + 3$

$2x_0 = 5$

$x_0 = \frac{5}{2} = 2.5$

Следовательно, абсцисса точки графика функции, в которой касательная параллельна заданной прямой, равна 2.5.

Ответ: 2.5

42.14. 1) В каких точках графика функции $y = x^3 + x - 3$ касательная к ней параллельна прямой, заданной уравнением $y - 4x - 2 = 0$?

2) Является ли прямая, заданная уравнением $y = 2x - 1$, касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 3}$? Если да, то укажите координаты точки касания.

1) Чтобы найти точки, в которых касательная к графику функции $y = x^3 + x - 3$ параллельна прямой $y - 4x - 2 = 0$, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Сначала определим угловой коэффициент данной прямой. Для этого приведем ее уравнение к виду $y = kx + b$:

$y = 4x + 2$

Угловой коэффициент этой прямой $k = 4$.

Далее найдем производную функции $y(x)$, так как ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке:

$y'(x) = (x^3 + x - 3)' = 3x^2 + 1$

Теперь приравняем угловой коэффициент касательной $y'(x_0)$ к угловому коэффициенту прямой:

$3x_0^2 + 1 = 4$

Решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:

$3x_0^2 = 3$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем два значения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Найдем соответствующие ординаты (y-координаты) этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение функции $y = x^3 + x - 3$:

Если $x_0 = 1$, то $y_0 = (1)^3 + 1 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. Первая точка: $(1, -1)$.

Если $x_0 = -1$, то $y_0 = (-1)^3 + (-1) - 3 = -1 - 1 - 3 = -5$. Вторая точка: $(-1, -5)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, -5)$.

2) Чтобы определить, является ли прямая $y = 2x - 1$ касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 3}$, нужно проверить выполнение двух условий в предполагаемой точке касания $(x_0, y_0)$:

1. Угловой коэффициент прямой должен быть равен значению производной функции в точке $x_0$.

2. Координаты точки касания $(x_0, y_0)$ должны удовлетворять как уравнению функции, так и уравнению прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 1$ равен $k = 2$.

Найдем производную функции $y(x) = \sqrt{4x - 3}$:

$y'(x) = (\sqrt{4x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \cdot (4x-3)' = \frac{4}{2\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ возможной точки касания:

$\frac{2}{\sqrt{4x_0 - 3}} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{\sqrt{4x_0 - 3}} = 1$

$\sqrt{4x_0 - 3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$4x_0 - 3 = 1$

$4x_0 = 4$

$x_0 = 1$

Теперь проверим второе условие. Найдем значение функции и прямой в точке $x_0 = 1$.

Значение функции: $y(1) = \sqrt{4(1) - 3} = \sqrt{1} = 1$.

Значение на прямой: $y = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$.

Так как значения совпали, точка $(1, 1)$ принадлежит и графику функции, и прямой. Оба условия выполнены.

Ответ: Да, является. Координаты точки касания: $(1, 1)$.

42.15. Точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 0.25t^2 + 2t - 3$ (длина пути $s$ измеряется в метрах, время $x$ — в секундах). Найдите среднюю скорость движения точки в промежутке от $t = 4$ с до $t = 8$ с и мгновенную скорость при $t = 4$ с и $t = 8$ с.

Задача состоит из двух частей: нахождение средней скорости на временном интервале и нахождение мгновенной скорости в конкретные моменты времени.

Найдем среднюю скорость движения точки в промежутке от t = 4 с до t = 8 с

Закон движения точки задан формулой $s(t) = 0,25t^2 + 2t - 3$, где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах.

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

В нашем случае $t_1 = 4$ с и $t_2 = 8$ с.

Сначала найдем положение точки в эти моменты времени, подставив значения $t$ в заданную формулу:

При $t_1 = 4$ с:

$s(4) = 0,25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 3 = 0,25 \cdot 16 + 8 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$ м.

При $t_2 = 8$ с:

$s(8) = 0,25 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8 - 3 = 0,25 \cdot 64 + 16 - 3 = 16 + 16 - 3 = 29$ м.

Теперь можем вычислить среднюю скорость на промежутке от 4 с до 8 с:

$v_{ср} = \frac{s(8) - s(4)}{8 - 4} = \frac{29 - 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$ м/с.

Ответ: средняя скорость движения точки в промежутке от t = 4 с до t = 8 с равна 5 м/с.

Найдем мгновенную скорость при t = 4 с и t = 8 с

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. С физической точки зрения, это скорость точки в каждый конкретный момент времени.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t) = 0,25t^2 + 2t - 3$:

$v(t) = s'(t) = (0,25t^2 + 2t - 3)' = 0,25 \cdot (t^2)' + (2t)' - (3)' = 0,25 \cdot 2t + 2 - 0 = 0,5t + 2$.

Итак, формула для мгновенной скорости: $v(t) = 0,5t + 2$.

Теперь вычислим мгновенную скорость в заданные моменты времени.

При $t = 4$ с:

$v(4) = 0,5 \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$ м/с.

При $t = 8$ с:

$v(8) = 0,5 \cdot 8 + 2 = 4 + 2 = 6$ м/с.

Ответ: мгновенная скорость при $t=4$ с равна 4 м/с, а при $t=8$ с равна 6 м/с.

42.16. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки изменяется по закону $S(t) = \frac{t^2}{2} - \frac{2}{\sqrt{t}}$ (t – время движения в секундах). Найдите скорость (в метрах в секунду) тела через 4 с после начала движения.

Скорость тела в любой момент времени $t$ является производной от функции расстояния $S(t)$ по времени $t$. То есть, $v(t) = S'(t)$.

Дана функция, описывающая расстояние тела от начальной точки: $S(t) = \frac{t^2}{2} - \frac{2}{\sqrt{t}}$

Чтобы найти производную, удобно представить функцию в виде степеней: $S(t) = \frac{1}{2}t^2 - 2t^{-\frac{1}{2}}$

Теперь найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $v(t) = S'(t) = (\frac{1}{2}t^2 - 2t^{-\frac{1}{2}})' = (\frac{1}{2}t^2)' - (2t^{-\frac{1}{2}})'$ $v(t) = \frac{1}{2} \cdot 2t^{2-1} - 2 \cdot (-\frac{1}{2})t^{-\frac{1}{2}-1}$ $v(t) = t^1 + t^{-\frac{3}{2}}$ $v(t) = t + \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$

Мы получили функцию зависимости скорости от времени. Теперь найдем скорость тела в момент времени $t = 4$ с, подставив это значение в полученную функцию: $v(4) = 4 + \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}$

Вычислим значение знаменателя $4^{\frac{3}{2}}$: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

Теперь подставим вычисленное значение обратно в выражение для скорости: $v(4) = 4 + \frac{1}{8} = 4,125$

Таким образом, скорость тела через 4 секунды после начала движения составляет 4,125 м/с.

Ответ: 4,125.