Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Как связаны область определения и множество значений данной функции и ей обратной функции?

Между областью определения и множеством значений данной функции и ей обратной существует прямая и очень важная взаимосвязь. Если у нас есть обратимая функция $y = f(x)$, то для нее можно определить обратную функцию, которую обычно обозначают как $y = f^{-1}(x)$ (или, что то же самое, $x = f^{-1}(y)$).

Связь заключается в том, что область определения и множество значений исходной и обратной функций "меняются местами":

- Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной (прямой) функции.

- Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной (прямой) функции.

Математически это можно записать так:

Пусть $D(f)$ — область определения функции $f$, а $E(f)$ — множество ее значений.

Тогда для обратной функции $f^{-1}$ будут справедливы следующие равенства:

$D(f^{-1}) = E(f)$

$E(f^{-1}) = D(f)$

Это происходит потому, что обратная функция, по своей сути, "разворачивает" действие исходной функции. Если функция $f$ преобразует значение $x$ из своей области определения в значение $y$ из своего множества значений, то обратная функция $f^{-1}$ берёт это значение $y$ (которое теперь для неё является входным, то есть принадлежит её области определения) и преобразует его обратно в исходное значение $x$ (которое является для неё выходным, то есть принадлежит её множеству значений).

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x - 3}$.

1. Найдем область определения и множество значений для $f(x)$.

- Область определения $D(f)$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Таким образом, $D(f) = [3, +\infty)$.

- Множество значений $E(f)$: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию $f^{-1}(x)$.

- Запишем исходное уравнение: $y = \sqrt{x - 3}$.

- Выразим $x$ через $y$: возведем обе части в квадрат, получим $y^2 = x - 3$, откуда $x = y^2 + 3$.

- Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартную запись функции: $y = x^2 + 3$.

- Итак, обратная функция $f^{-1}(x) = x^2 + 3$.

3. Найдем область определения и множество значений для $f^{-1}(x)$.

- Область определения $D(f^{-1})$ должна совпадать с множеством значений исходной функции $E(f)$. Значит, $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

- Множество значений $E(f^{-1})$ должно совпадать с областью определения исходной функции $D(f)$. Значит, $E(f^{-1}) = D(f) = [3, +\infty)$.

Мы можем проверить это: для функции $y = x^2 + 3$ с областью определения $x \in [0, +\infty)$, наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $y = 0^2 + 3 = 3$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, множество значений действительно $[3, +\infty)$. Все сходится.

Ответ: Область определения данной функции является множеством значений для ей обратной функции, а множество значений данной функции является областью определения для ей обратной.

43.22. Является ли прямая, заданная формулой $y = 2x - 1$, касательной к графику функции $y = 4\sqrt{x} - 3$?

43.22. Для того чтобы прямая была касательной к графику функции, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия в некоторой точке $x_0$:

1. Значение производной функции в этой точке должно быть равно угловому коэффициенту прямой.

2. Значения функции и прямой в этой точке должны совпадать.

Дана функция $y = 4\sqrt{x} - 3$ и прямая $y = 2x - 1$.

1. Найдем производную функции $f(x) = 4\sqrt{x} - 3$.

$f'(x) = (4x^{1/2} - 3)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 0 = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x - 1$ равен $k=2$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу $x_0$ предполагаемой точки касания:

$f'(x_0) = 2$

$\frac{2}{\sqrt{x_0}} = 2$

$\sqrt{x_0} = 1$

$x_0 = 1$.

2. Теперь проверим, совпадают ли значения функции и прямой в точке $x_0 = 1$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(1) = 4\sqrt{1} - 3 = 4 - 3 = 1$.

Найдем значение для прямой в этой точке:

$y(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Значения совпали. Оба условия выполняются в точке $(1, 1)$. Следовательно, прямая $y = 2x - 1$ является касательной к графику функции $y = 4\sqrt{x} - 3$ в точке $(1, 1)$.

Ответ: да, является.

43.23. Запишите уравнение касательной к графику функции $y = -x^2 - 7x + 8$, проходящей через точку:

1) M(1; 1);

2) M(0; 9).

Дана функция $y = f(x) = -x^2 - 7x + 8$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

Теперь запишем уравнение касательной в общем виде, подставив выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$f(x_0) = -x_0^2 - 7x_0 + 8$

$f'(x_0) = -2x_0 - 7$

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0x + 2x_0^2 - 7x + 7x_0$

$y = (-2x_0 - 7)x + (2x_0^2 - x_0^2) + (-7x_0 + 7x_0) + 8$

$y = (-2x_0 - 7)x + x_0^2 + 8$.

Это общее уравнение для любой касательной к графику данной функции, где $x_0$ – абсцисса точки касания.

1) M(1; 1)

По условию, касательная проходит через точку M(1; 1). Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=1$ и $y=1$ в общее уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-2x_0 - 7) \cdot 1 + x_0^2 + 8$

$1 = -2x_0 - 7 + x_0^2 + 8$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$. Следовательно, через точку M(1; 1) можно провести две касательные к графику функции.

Найдем уравнение для каждого случая.

Если $x_0 = 0$:

$y = (-2 \cdot 0 - 7)x + 0^2 + 8 = -7x + 8$.

Если $x_0 = 2$:

$y = (-2 \cdot 2 - 7)x + 2^2 + 8 = (-4 - 7)x + 4 + 8 = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

2) M(0; 9)

Касательная проходит через точку M(0; 9). Подставим ее координаты $x=0$ и $y=9$ в общее уравнение касательной для нахождения $x_0$:

$9 = (-2x_0 - 7) \cdot 0 + x_0^2 + 8$

$9 = 0 + x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 9 - 8$

$x_0^2 = 1$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Следовательно, через точку M(0; 9) также проходят две касательные.

Найдем уравнение для каждого случая.

Если $x_0 = 1$:

$y = (-2 \cdot 1 - 7)x + 1^2 + 8 = (-2 - 7)x + 1 + 8 = -9x + 9$.

Если $x_0 = -1$:

$y = (-2 \cdot (-1) - 7)x + (-1)^2 + 8 = (2 - 7)x + 1 + 8 = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.

43.24. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3}$;

2) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x}$;

3) $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3}$;

4) $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x}$.

1) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3}$.

При $x \to \infty$ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень переменной, то есть на $x$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x}{x} - \frac{5}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$, значения выражений $\frac{5}{x}$ и $\frac{3}{x}$ стремятся к нулю, мы можем подставить их предельные значения:

$\frac{2 - 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

2) Найдем предел функции $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x}$.

При подстановке $x = 0$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{\operatorname{arctg} 0}{0} = \frac{0}{0}$. Для решения воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций: при $y \to 0$, $\operatorname{arctg} y \sim y$. Это означает, что $\lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{arctg} y}{y} = 1$.

Преобразуем исходное выражение, чтобы привести его к данному виду. Сделаем замену $y = 2x$. Когда $x \to 0$, $y$ также стремится к 0.

$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2 \cdot 2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}$

Теперь, выполнив замену $y = 2x$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{arctg} y}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3}$.

Это предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$, что приводит к неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, в данном случае на $x^2$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}$

При $x \to \infty$ выражения $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{3}{x^2}$ стремятся к 0. Подставляем их предельные значения:

$\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

4) Найдем предел функции $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x}$.

При прямой подстановке $x = 0$ получаем неопределенность $\frac{\arcsin 0}{0} = \frac{0}{0}$. Для решения задачи воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых: при $y \to 0$, $\arcsin y \sim y$. Соответствующий предел: $\lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}{y} = 1$.

Чтобы привести наш предел к этому виду, умножим и разделим знаменатель на 2:

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x\to 0} \left( \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot 2 \right) = 2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x}$

Произведем замену переменной $y = 2x$. При $x \to 0$, $y$ также стремится к 0.

$2 \cdot \lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}{y} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2.

43.25. Найдите производную функции:

1) $y = (x - 3) \cdot x^3$;

2) $y = (x^3 - 2x) \sqrt{2x}$.

1) Дана функция $y = (x - 3) \cdot x^3$.

Для нахождения производной этой функции можно пойти двумя путями: использовать правило производной произведения или сначала упростить выражение. Второй способ в данном случае проще.

Сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$y = x \cdot x^3 - 3 \cdot x^3 = x^4 - 3x^3$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило разности $(u-v)' = u' - v'$:

$y' = (x^4 - 3x^3)' = (x^4)' - (3x^3)'$.

Применяем правило для каждого слагаемого:

$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2$.

Подставляем найденные производные обратно в выражение:

$y' = 4x^3 - 9x^2$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^2$.

2) Дана функция $y = (x^3 - 2x) \sqrt{2x}$.

Для нахождения производной этой функции, как и в предыдущем случае, сначала упростим исходное выражение. Представим $\sqrt{2x}$ в виде степени: $\sqrt{2x} = (2x)^{1/2} = \sqrt{2} \cdot x^{1/2}$.

Теперь умножим многочлен в скобках на этот множитель:

$y = (x^3 - 2x) \cdot \sqrt{2}x^{1/2} = \sqrt{2}(x^3 \cdot x^{1/2} - 2x \cdot x^{1/2})$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$y = \sqrt{2}(x^{3 + 1/2} - 2x^{1 + 1/2}) = \sqrt{2}(x^{7/2} - 2x^{3/2})$.

Теперь находим производную полученной функции. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = \left(\sqrt{2}(x^{7/2} - 2x^{3/2})\right)' = \sqrt{2} \left( (x^{7/2})' - 2(x^{3/2})' \right)$.

$y' = \sqrt{2} \left( \frac{7}{2}x^{7/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{7}{2}x^{5/2} - 3x^{1/2} \right)$.

Упростим полученное выражение. Вынесем за скобки общий множитель $x^{1/2}$:

$y' = \sqrt{2} \cdot x^{1/2} \left( \frac{7}{2}x^{5/2-1/2} - 3 \right) = \sqrt{2x} \left( \frac{7}{2}x^2 - 3 \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$y' = \sqrt{2x} \left( \frac{7x^2 - 6}{2} \right) = \frac{(7x^2 - 6)\sqrt{2x}}{2}$.

Ответ: $y' = \frac{(7x^2 - 6)\sqrt{2x}}{2}$.

43.26. Найдите корни уравнения:

1) $\sin2x = 1$;

2) $2\cos^22x = 1$.

1) Дано уравнение $\sin(2x) = 1$.

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения вида $\sin(t) = 1$ записывается как $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В данном уравнении в качестве аргумента синуса выступает $2x$, поэтому $t = 2x$.

Подставим $2x$ в общую формулу решения:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части полученного равенства на 2:

$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $2\cos^2(2x) = 1$.

В первую очередь, разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\cos^2(2x)$:

$\cos^2(2x) = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения удобно применить формулу понижения степени для косинуса, которая имеет вид: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$. Применим формулу к левой части уравнения:

$\frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

$1 + \cos(4x) = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\cos(4x) = 0$

Мы получили частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = 0$ записывается как $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$. Подставим это в общую формулу:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 4:

$x = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right)$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

43.27. Найдите область определения функции:

1) $y(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}$

2) $y(x) = \sqrt{\frac{1}{x+5}} + \sqrt{49 - x^2} + \sqrt{\frac{x}{x-6}}$

1)Область определения функции $y(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это приводит к системе условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3} \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ne 0\end{cases}$Решим данное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 12. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Корни знаменателя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Следовательно, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = -1$.

Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x \ne 3$ и $x \ne -1$.

Перепишем неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Так как $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$, получив неравенство, равносильное исходному (с учетом ограничений):$\frac{x-4}{x+1} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=4$ и $x=-1$. Точка $x=4$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (знаменатель).

Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 4]$ и $[4, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-4}{-2+1} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1, 4]$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{0+1} = -4 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [4, \infty)$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{5+1} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [4, \infty)$.

2)Область определения функции $y(x) = \sqrt{\frac{1}{x+5}} + \sqrt{49 - x^2} + \sqrt{\frac{x}{x-6}}$ является пересечением областей определения каждого из трех слагаемых. Это означает, что все три подкоренных выражения должны быть одновременно неотрицательными, а знаменатели - отличными от нуля. Составим систему неравенств:$\begin{cases} \frac{1}{x+5} \ge 0 \\ 49 - x^2 \ge 0 \\ \frac{x}{x-6} \ge 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $\frac{1}{x+5} \ge 0$. Так как числитель $1$ всегда положителен, то для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

2) $49 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 49$, что означает $|x| \le 7$, или $-7 \le x \le 7$.

3) $\frac{x}{x-6} \ge 0$. Решим методом интервалов. Корни числителя $x=0$ (включается) и знаменателя $x=6$ (исключается). На числовой прямой получаем интервалы $(-\infty, 0]$, $[0, 6)$, $(6, \infty)$. Выражение положительно на краях и отрицательно в середине. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (6, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех полученных множеств решений:$\begin{cases} x \in (-5, \infty) \\ x \in [-7, 7] \\ x \in (-\infty, 0] \cup (6, \infty)\end{cases}$

Пересечение первого и второго условий дает: $x \in (-5, 7]$.

Теперь пересечем этот результат с третьим условием: $(-5, 7] \cap \big( (-\infty, 0] \cup (6, \infty) \big)$.

Это пересечение удобно найти как объединение двух частей:

а) $(-5, 7] \cap (-\infty, 0] = (-5, 0]$

б) $(-5, 7] \cap (6, \infty) = (6, 7]$

Итоговая область определения является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $x \in (-5, 0] \cup (6, 7]$.