Страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10.10. Может ли функция иметь обратную, если она:

1) линейная;

2) квадратичная;

3) дробно-линейная;

4) функция вида $y = \sqrt{x+a}$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно однозначной (биективной). Для непрерывной функции это означает, что она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (либо строго возрастать, либо строго убывать).

1) линейная

Линейная функция задается формулой $y = kx + b$.

Её область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если коэффициент $k \neq 0$, то функция является строго монотонной. При $k > 0$ она строго возрастает, а при $k < 0$ — строго убывает. В этом случае для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$, такое что $y = kx + b$. Выразим $x$ через $y$:

$kx = y - b \implies x = \frac{y-b}{k}$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = \frac{x-b}{k}$, что также является линейной функцией.

2. Если коэффициент $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция. Она не является строго монотонной и не является взаимно однозначной, так как для разных значений $x$ значение функции одинаково. Следовательно, в этом случае обратной функции не существует.

Так как вопрос "Может ли...", а для $k \neq 0$ может, то ответ — да.

Ответ: Да, может, если она не является постоянной (т.е. если её угловой коэффициент $k \neq 0$).

2) квадратичная

Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Её естественная область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Графиком является парабола, которая не является монотонной на всей своей области определения. Например, для функции $y = x^2$ имеем $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$. Так как разным значениям аргумента ($x = -2$ и $x = 2$) соответствует одно и то же значение функции ($y=4$), функция не является взаимно однозначной. Следовательно, на всей своей естественной области определения квадратичная функция не имеет обратной.

Стоит отметить, что если рассмотреть квадратичную функцию на промежутке, где она строго монотонна (например, для $y=ax^2+bx+c$ на луче $[ -b/(2a), +\infty)$ или $(-\infty, -b/(2a)]$), то на этом суженном домене она будет иметь обратную. Однако, как правило, под "квадратичной функцией" понимают функцию, определенную на всей числовой оси.

Ответ: Нет, не может, так как она не является строго монотонной на всей своей естественной области определения ($\mathbb{R}$).

3) дробно-линейная

Дробно-линейная функция задается формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Будем считать, что она не является ни линейной ($c \neq 0$), ни постоянной ($ad - bc \neq 0$).

Область определения этой функции: $D(y) = (-\infty, -d/c) \cup (-d/c, +\infty)$.

Чтобы исследовать монотонность, найдем производную:

$y' = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

Так как знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен (в области определения), знак производной зависит только от знака числителя $ad-bc$. Поскольку мы предположили, что $ad-bc \neq 0$, производная $y'$ сохраняет свой знак на всей области определения. Это означает, что функция является строго монотонной на каждом из интервалов своей области определения и, следовательно, является взаимно однозначной.

Выразим $x$ через $y$, чтобы найти обратную функцию:

$y(cx+d) = ax+b \implies cxy + dy = ax+b \implies x(cy-a) = b-dy \implies x = \frac{-dy+b}{cy-a}$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Ответ: Да, может, если она не является постоянной ($ad-bc \neq 0$).

4) функция вида $y = \sqrt{x+a}$

Функция вида $y = \sqrt{x+a}$ определена при условии $x+a \ge 0$, то есть её область определения $D(y) = [-a, +\infty)$.

На всей своей области определения эта функция является строго возрастающей. Для любых $x_1$ и $x_2$ из $D(y)$ таких, что $x_1 < x_2$, следует, что $x_1+a < x_2+a$, и так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ возрастающая, то $\sqrt{x_1+a} < \sqrt{x_2+a}$.

Поскольку функция строго монотонна, она имеет обратную. Найдем ее. Область значений исходной функции $E(y) = [0, +\infty)$ будет областью определения для обратной.

$y = \sqrt{x+a} \implies y^2 = x+a$ (при $y \ge 0$) $\implies x = y^2 - a$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = x^2 - a$, её область определения $x \ge 0$.

Ответ: Да, может.

10.11. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке 10.3. Запишите несколько промежутков, на которых данная функция имеет обратную функцию и несколько промежутков, на которых она не имеет обратной функции.

1)

2)

Рис. 10.3

Функция имеет обратную на некотором промежутке, если на этом промежутке она является строго монотонной, то есть либо строго возрастает, либо строго убывает. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции на этом промежутке не более чем в одной точке. Если на промежутке функция имеет хотя бы один локальный экстремум (точку максимума или минимума), то она не является строго монотонной и, следовательно, не имеет обратной функции на этом промежутке.

1) Для функции, изображенной на графике 1, можно выделить следующие промежутки монотонности:

1. Функция строго возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.

2. Функция строго убывает на промежутке $[-1, 1]$.

3. Функция строго возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Следовательно, на любом из этих промежутков (или их подмножеств) функция имеет обратную. Например:

Промежутки, на которых функция имеет обратную функцию:

$x \in (-\infty, -1]$, $x \in [-1, 1]$, $x \in [1, \infty)$, $x \in [2, 5]$, $x \in [-0.5, 0.5]$.

Промежутки, на которых функция не имеет обратной функции (поскольку на них она не является монотонной):

$x \in [-2, 2]$ (включает точку максимума и точку минимума), $x \in [-1.5, 0]$ (включает точку максимума), $x \in [0, 2]$ (включает точку минимума).

Ответ: Имеет обратную функцию, например, на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1, 1]$ и $[1, \infty)$. Не имеет обратной функции, например, на промежутках $[-2, 2]$, $[-2, 0]$ и $[0, 3]$.

2) Для функции, изображенной на графике 2, можно выделить следующие промежутки монотонности:

1. Функция строго убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

2. Функция строго возрастает на промежутке $[-1, 1]$.

3. Функция строго убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Таким образом, на любом из этих промежутков (или их подмножеств) функция имеет обратную.

Промежутки, на которых функция имеет обратную функцию:

$x \in (-\infty, -1]$, $x \in [-1, 1]$, $x \in [1, \infty)$, $x \in [-3, -2]$, $x \in [0, 1]$.

Промежутки, на которых функция не имеет обратной функции (поскольку на них она не является монотонной):

$x \in [-2, 2]$ (включает точку минимума и точку максимума), $x \in [-1.5, 0.5]$ (включает точку минимума), $x \in [0, 2]$ (включает точку максимума).

Ответ: Имеет обратную функцию, например, на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1, 1]$ и $[1, \infty)$. Не имеет обратной функции, например, на промежутках $[-2, 2]$, $[-2, 0]$ и $[0, 3]$.

10.12. Может ли функция иметь обратную, если она:

1) четная;

2) нечетная;

3) периодическая;

4) убывающая?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно однозначной (биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений соответствует единственное значение аргумента $x$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (строго возрастающие или строго убывающие) всегда имеют обратную функцию.

1) четная

Четная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из ее области определения, которая должна быть симметричной относительно нуля. Если область определения функции содержит хотя бы одну точку $x_0 \ne 0$, то она содержит и точку $-x_0$. При этом $x_0 \ne -x_0$, но $f(x_0) = f(-x_0)$. Это означает, что двум разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не может иметь обратную.

Исключением является тривиальный случай, когда область определения функции состоит только из одного числа: $D(f) = \{0\}$. В этом случае функция $f(x)$ (например, $f(0)=c$) является и четной ($f(-0)=f(0)$), и взаимно однозначной, а значит, имеет обратную. Однако, как правило, под четными функциями понимают функции, определенные на более широких множествах, не состоящих из одной точки.

Ответ: Нет, за исключением тривиального случая, когда область определения функции состоит из точки $x=0$.

2) нечетная

Нечетная функция может иметь обратную. Для этого она должна быть строго монотонной.

Например, функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, поэтому она взаимно однозначна и имеет обратную функцию $g(y) = \sqrt[3]{y}$.

Другой пример: $f(x) = \sin x$ на отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$. На этом отрезке функция является нечетной, строго возрастающей и имеет обратную функцию $g(y) = \arcsin y$.

Однако не всякая нечетная функция имеет обратную. Например, $f(x) = x^3 - 2x$ является нечетной, но не монотонной, а значит, не имеет обратной на всей числовой прямой.

Ответ: Да, может.

3) периодическая

Периодическая функция по определению удовлетворяет равенству $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения и некоторого числа $T \ne 0$, называемого периодом.

Поскольку для разных аргументов $x$ и $x+T$ значения функции совпадают, функция не является взаимно однозначной. Следовательно, периодическая функция не может иметь обратную.

Например, для функции $f(x) = \cos x$ имеем $\cos(0) = 1$ и $\cos(2\pi) = 1$. Разным значениям аргумента $0$ и $2\pi$ соответствует одно и то же значение функции, равное 1.

Ответ: Нет, не может.

4) убывающая

Да, может. Функция имеет обратную, если она является строго монотонной. Строго убывающая функция является частным случаем убывающей функции.

Любая строго убывающая функция является взаимно однозначной. Докажем это. Пусть функция $f(x)$ строго убывает, и пусть $x_1 \ne x_2$. Если $x_1 < x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Если же $x_1 > x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. В обоих случаях $f(x_1) \ne f(x_2)$. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, и, следовательно, она имеет обратную.

Например, линейная функция $f(x) = -2x + 1$ является строго убывающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $g(y) = -\frac{1}{2}(y-1)$.

Важно отметить, что если функция является убывающей, но не строго (то есть на некоторых промежутках она может быть постоянной), то она не будет иметь обратной. Но поскольку вопрос "может ли", а среди убывающих функций есть и строго убывающие, то ответ положительный.

Ответ: Да, может.

10.13. Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

1) $f(x) = x^2, g(x) = \sqrt{x};$

2) $f(x) = x^2, g(x) = \sqrt{-x}.$

1) Чтобы построить график сложной функции $y = f(g(x))$, сначала найдем ее аналитическое выражение. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$.

Составим сложную функцию:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$.

Теперь найдем область определения функции $y = f(g(x))$. Она определяется областью определения внутренней функции $g(x)$.

Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$.

Следовательно, область определения для $y = f(g(x))$ - это все $x$ из промежутка $[0, +\infty)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции представляет собой луч $y = x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный в первой координатной четверти.

2) Аналогично предыдущему пункту, найдем аналитическое выражение для $y = f(g(x))$.

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{-x}$.

Составим сложную функцию:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{-x}) = (\sqrt{-x})^2 = -x$.

Теперь найдем область определения функции $y = f(g(x))$, которая совпадает с областью определения внутренней функции $g(x) = \sqrt{-x}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x \le 0$.

Следовательно, область определения для $y = f(g(x))$ - это все $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -x$ при условии $x \le 0$. Это луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой второго координатного угла.

Ответ: График функции представляет собой луч $y = -x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный во второй координатной четверти.

10.14. Для функции найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$;

2) $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$;

3) $y = x^2 - 2x + 1$ при $x \ge 1$;

4) $y = x^2 - 4x + 4$ при $x \le 2$.

1) Исходная функция: $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$. В получившемся выражении $x = g(y)$ мы затем меняем переменные местами, чтобы получить $y = g(x)$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = x^2 + 1$ выразим $x^2$: $x^2 = y - 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{y-1}$.

Согласно условию, $x \ge 0$, поэтому мы выбираем неотрицательный корень: $x = \sqrt{y-1}$.

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде: $y = \sqrt{x-1}$.

Определим область определения и область значений. Для исходной функции $y = x^2 + 1$: область определения $D(f) = [0, +\infty)$; область значений $E(f) = [1, +\infty)$.

Для обратной функции $y = \sqrt{x-1}$: область определения $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 1$. Область значений $E(f^{-1})$ совпадает с областью определения исходной функции, то есть $y \ge 0$.

2. Построение графиков.

График функции $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх.

График обратной функции $y = \sqrt{x-1}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, с вершиной в точке $(1, 0)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x-1}$ при $x \ge 1$.

2) Исходная функция: $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x + 1)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x+1|$.

Так как по условию $x \le -1$, то $x+1 \le 0$, и, следовательно, $|x+1| = -(x+1)$.

Получаем $\sqrt{y} = -(x+1)$. Отсюда $x+1 = -\sqrt{y}$ и $x = -1 - \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = -1 - \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x+1)^2$: область определения $D(f) = (-\infty, -1]$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = -1 - \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, -1]$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = -1 - \sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, смещённая на 1 единицу вниз, с вершиной в точке $(0, -1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = -1 - \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

3) Исходная функция: $y = x^2 - 2x + 1$ при $x \ge 1$.

Сначала преобразуем выражение: $y = (x-1)^2$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x-1)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x-1|$.

По условию $x \ge 1$, значит $x-1 \ge 0$, и $|x-1| = x-1$.

Получаем $\sqrt{y} = x-1$. Отсюда $x = 1 + \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = 1 + \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x-1)^2$: область определения $D(f) = [1, +\infty)$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = 1 + \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = [1, +\infty)$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = 1 + \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, смещённая на 1 единицу вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

4) Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 4$ при $x \le 2$.

Сначала преобразуем выражение: $y = (x-2)^2$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x-2)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x-2|$.

По условию $x \le 2$, значит $x-2 \le 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

Получаем $\sqrt{y} = 2-x$. Отсюда $x = 2 - \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = 2 - \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x-2)^2$: область определения $D(f) = (-\infty, 2]$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = (-\infty, 2]$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x-2)^2$ при $x \le 2$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = 2 - \sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, отраженная относительно оси $OX$ и смещенная на 2 единицы вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 2 - \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

10.15. Для функции найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1;$

2) $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1;$

3) $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5;$

4) $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2.$

1) Дана функция $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \ge 1$, она является строго возрастающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 - 2x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 2y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 - 2y - x = 0$.

Дополним до полного квадрата:

$(y^2 - 2y + 1) - 1 - x = 0$

$(y - 1)^2 = x + 1$

$y - 1 = \pm\sqrt{x + 1}$

$y = 1 \pm\sqrt{x + 1}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \ge 1$, область значений обратной функции должна быть $y \ge 1$. Этому условию удовлетворяет только знак «+».

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = 1 + \sqrt{x+1}$. Область ее определения — $x \ge -1$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, -1)$. Ключевые точки: $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(3, 3)$.

Обратная функция $y = 1 + \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$ — это график функции квадратного корня, смещенный на 1 влево и на 1 вверх. Ключевые точки: $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 + \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$.

2) Дана функция $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \le -1$, она является строго убывающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 + 2x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 + 2y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 + 2y - x = 0$.

Дополним до полного квадрата:

$(y^2 + 2y + 1) - 1 - x = 0$

$(y + 1)^2 = x + 1$

$y + 1 = \pm\sqrt{x + 1}$

$y = -1 \pm\sqrt{x + 1}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \le -1$, область значений обратной функции должна быть $y \le -1$. Этому условию удовлетворяет только знак «−».

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = -1 - \sqrt{x+1}$. Область ее определения — $x \ge -1$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, -1)$. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-3, 3)$.

Обратная функция $y = -1 - \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$ — это ветвь параболы, симметричная оси OY, сдвинутая на 1 влево и на 1 вниз. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(3, -3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = -1 - \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$.

3) Дана функция $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \le 1,5$, она является строго убывающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(1,5) = (1,5)^2 - 3(1,5) = 2,25 - 4,5 = -2,25$. Таким образом, область значений $E(y) = [-2,25; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 - 3x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 3y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 - 3y - x = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-x)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+4x}}{2}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \le 1,5$, область значений обратной функции должна быть $y \le 1,5$. Этому условию удовлетворяет только знак «−», так как $\frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2} \le \frac{3}{2} = 1,5$.

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$. Область ее определения — $x \ge -2,25$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(1,5; -2,25)$. Ключевые точки: $(1,5; -2,25)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$.

Обратная функция $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$ при $x \ge -2,25$ — это ветвь параболы, симметричная оси OY, с началом в точке $(-2,25; 1,5)$. Ключевые точки: $(-2,25; 1,5)$, $(0, 0)$, $(-2, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$ при $x \ge -2,25$.

4) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2$.

Функция является строго возрастающей на всей области определения $x \ge 2$, так как является суммой константы и возрастающей функции $\sqrt{x-2}$. Следовательно, она обратима.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается при $x=2$: $y(2) = 2 + \sqrt{2-2} = 2$. Таким образом, область значений $E(y) = [2; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = 2 + \sqrt{x-2}$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = 2 + \sqrt{y-2}$

Решим это уравнение относительно $y$:

$x - 2 = \sqrt{y-2}$

Так как корень арифметический, должно выполняться условие $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, что совпадает с найденной областью определения обратной функции.

Возведем обе части в квадрат:

$(x - 2)^2 = y - 2$

$y = (x - 2)^2 + 2$

Область определения обратной функции — $x \ge 2$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2$ — это стандартный график $\sqrt{x}$, смещенный на 2 вправо и на 2 вверх. Ключевые точки: $(2, 2)$, $(3, 3)$, $(6, 4)$.

Обратная функция $y = (x-2)^2+2$ при $x \ge 2$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 2)$. Ключевые точки: $(2, 2)$, $(3, 3)$, $(4, 6)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 + 2$ при $x \ge 2$.

10.16. Докажите тождество:

1) $\cot\alpha - \cos(2\alpha) \cdot \cot\alpha = \sin(2\alpha);$

2) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cot(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)} = 1;$

86

3) $\tan^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha;$

4) $\cot(2\alpha) - \sin(4\alpha) = \cos(4\alpha) \cdot \cot(2\alpha).$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$ctg\alpha - \cos(2\alpha) \cdot ctg\alpha$

Вынесем общий множитель $ctg\alpha$ за скобки:

$ctg\alpha (1 - \cos(2\alpha))$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Отсюда $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

Подставим это выражение в нашу формулу:

$ctg\alpha \cdot 2\sin^2\alpha$

Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot 2\sin^2\alpha$

Сократим $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $ctg\alpha$):

$2\sin\alpha\cos\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Полученное выражение равно правой части исходного тождества:

$\sin(2\alpha) = \sin(2\alpha)$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулу приведения для котангенса $ctg(\frac{\pi}{2} - x) = tg(x)$, но здесь удобнее использовать формулы сложения или другие соотношения. Воспользуемся тем, что $ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$ и формулой тангенса разности. Также можно использовать формулу приведения для синуса и косинуса: $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$ и $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

Заметим, что $(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

И $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Тогда $ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставим это в знаменатель:

$2tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Знаменатель равен $\sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$.

По формуле приведения, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Таким образом, вся дробь принимает вид:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$tg^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1)$

Сначала упростим выражение в скобках. Используем формулы приведения:

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, следовательно $\cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.

$\cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha)$.

Подставим эти выражения в скобки:

$8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1 = 8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла для $\cos(4\alpha)$, выразив его через $\cos\alpha$:

$\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1$

$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

$\cos(4\alpha) = 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 2 - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1$.

Подставим полученное выражение для $\cos(4\alpha)$ обратно в скобки:

$8\cos^2\alpha + (8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^2\alpha + 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1 - 1 = 8\cos^4\alpha$.

Теперь вернемся к исходному выражению левой части:

$tg^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha)$

Запишем тангенс как отношение синуса к косинусу: $tg^4\alpha = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha}$.

$\frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha$

Сократим $\cos^4\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $tg\alpha$):

$8\sin^4\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество. Преобразуем его, перенеся слагаемое $cos(4\alpha) \cdot ctg(2\alpha)$ в левую часть:

$ctg(2\alpha) - \cos(4\alpha) \cdot ctg(2\alpha) = \sin(4\alpha)$

Теперь будем доказывать это эквивалентное тождество. Вынесем в левой части общий множитель $ctg(2\alpha)$ за скобки:

$ctg(2\alpha)(1 - \cos(4\alpha))$

Используем формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$. Применим ее для $x = 2\alpha$:

$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$

Подставим это в левую часть нашего выражения:

$ctg(2\alpha) \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$.

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Сократим $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$, что необходимо для существования $ctg(2\alpha)$):

$2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ для $x = 2\alpha$:

$2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha)$

Мы преобразовали левую часть к $\sin(4\alpha)$, что равно правой части преобразованного тождества. Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

44.5. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$;

2) $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}$;

3) $f(x) = x - \cos x$.

1) Дана функция $f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$.

Таким образом, $f(x) = \cos(x)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Нам нужно решить неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin x > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin x < 0$.

Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях. Решением этого неравенства являются интервалы, где $x$ находится между $\pi$ и $2\pi$, с учетом периодичности синуса $2\pi$.

Общее решение: $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}$.

Упростим выражение для функции. Вынесем -2 за скобки:

$f(x) = -2(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2})$.

Снова используем формулу косинуса двойного угла $\cos(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$:

$f(x) = -2\cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-2\cos x)' = -2(-\sin x) = 2\sin x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2\sin x > 0$.

$\sin x > 0$.

Синус положителен в I и II координатных четвертях. Решением этого неравенства являются интервалы, где $x$ находится между $0$ и $\pi$, с учетом периодичности синуса $2\pi$.

Общее решение: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$1 + \sin x > 0$.

$\sin x > -1$.

Область значений функции синус: $E(\sin x) = [-1, 1]$. Это означает, что значение $\sin x$ всегда больше или равно -1. Неравенство $\sin x > -1$ является строгим, поэтому оно выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых $\sin x = -1$.

Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решением неравенства $f'(x) > 0$ являются все действительные числа, за исключением точек $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

44.6. Решите неравенство $f'(x) \leq 0$:

1) $f(x) = 2x - 4\sin x$;

2) $f(x) = \text{tg}x$;

3) $f(x) = \text{ctg}x$;

4) $f(x) = x - 2\cos x$.

1) Дана функция $f(x) = 2x - 4\sin x$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (2x - 4\sin x)' = 2 - 4\cos x$.

Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \le 0$:

$2 - 4\cos x \le 0$

$2 \le 4\cos x$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, которые на единичной окружности находятся в промежутке от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \tan x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} \le 0$

В области определения $\cos x \ne 0$, поэтому знаменатель $\cos^2 x$ всегда строго положителен. Числитель дроби равен 1 (также положителен).

Следовательно, выражение $\frac{1}{\cos^2 x}$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, неравенство $\frac{1}{\cos^2 x} \le 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) Дана функция $f(x) = \cot x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$-\frac{1}{\sin^2 x} \le 0$

В области определения $\sin x \ne 0$, поэтому знаменатель $\sin^2 x$ всегда строго положителен. Дробь $\frac{1}{\sin^2 x}$ также всегда строго положительна.

Следовательно, выражение $-\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда строго меньше нуля.

Неравенство $-\frac{1}{\sin^2 x} \le 0$ (что эквивалентно $-\frac{1}{\sin^2 x} < 0$) выполняется для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = x - 2\cos x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x - 2\cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2\sin x$.

Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \le 0$:

$1 + 2\sin x \le 0$

$2\sin x \le -1$

$\sin x \le -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ являются $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin x \le -\frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, которые на единичной окружности находятся в промежутке от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

44.7. Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

1) $f'(x) = \cos x + 1;$

2) $f'(x) = 2\cos x + \sin x;$

3) $f'(x) = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x};$

4) $f'(x) = -2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x};$

Задача состоит в нахождении первообразной функции $y = f(x)$ по ее известной производной $y = f'(x)$. Нахождение первообразной — это операция, обратная дифференцированию, то есть интегрирование. Общий вид первообразной для функции $f'(x)$ есть $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

1) Дана производная $f'(x) = \cos x + 1$. Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти ее первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл: $f(x) = \int (\cos x + 1) dx$. Используя свойство интеграла суммы, получаем: $f(x) = \int \cos x \,dx + \int 1 \,dx$. Согласно таблице основных интегралов, первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а первообразная для $1$ есть $x$. Таким образом, получаем: $f(x) = \sin x + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \sin x + x + C$.

2) Дана производная $f'(x) = 2\cos x + \sin x$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (2\cos x + \sin x) dx$. Используя свойства интегралов (интеграл суммы и вынесение константы за знак интеграла): $f(x) = 2\int \cos x \,dx + \int \sin x \,dx$. Из таблицы интегралов известно, что первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а для $\sin x$ есть $-\cos x$. Подставляя, получаем: $f(x) = 2\sin x - \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = 2\sin x - \cos x + C$.

3) Дана производная $f'(x) = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (\cos x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx$. Используя свойство интеграла суммы: $f(x) = \int \cos x \,dx + \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx$. Из таблицы интегралов: первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\tan x$. Следовательно: $f(x) = \sin x + \tan x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \sin x + \tan x + C$.

4) Дана производная $f'(x) = -2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x}$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (-2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x}) dx$. Используя свойства интегралов: $f(x) = -2\int \sin x \,dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx$. Из таблицы интегралов: первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$, а первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ есть $-\cot x$. Подставляя, получаем: $f(x) = -2(-\cos x) + (-\cot x) + C = 2\cos x - \cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = 2\cos x - \cot x + C$.

44.8. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2\sin x \cdot \cos x$;

2) $f(x) = 2\sin x (\cos x + 1)$;

3) $f(x) = \sin x \cdot \operatorname{ctg} x$;

4) $f(x) = 2\sin x (2x^2 - 1)$;

5) $f(x) = 2\operatorname{tg} x \cdot \cos x$;

6) $f(x) = 2\sin x (x + \cos x)$.

1) Для функции $f(x) = 2\sin x \cos x$ удобно сначала применить тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Таким образом, функция упрощается до $f(x) = \sin(2x)$. Далее найдем производную этой сложной функции по правилу дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, где $g(u) = \sin u$ и $h(x) = 2x$. Производная $(\sin(2x))'$ равна $\cos(2x) \cdot (2x)'$, что дает $2\cos(2x)$.

Ответ: $2\cos(2x)$

2) Для функции $f(x) = 2\sin x (\cos x + 1)$ сначала раскроем скобки, получив $f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sin x$. Затем применим формулу синуса двойного угла к первому слагаемому: $f(x) = \sin(2x) + 2\sin x$. Теперь найдем производную как сумму производных: $f'(x) = (\sin(2x))' + (2\sin x)'$. Производная первого слагаемого равна $2\cos(2x)$, а второго — $2\cos x$. Таким образом, итоговая производная равна $f'(x) = 2\cos(2x) + 2\cos x$.

Ответ: $2\cos(2x) + 2\cos x$

3) Для функции $f(x) = \sin x \cdot \ctg x$ сначала упростим выражение, используя определение котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, и на этой области мы можем сократить $\sin x$, получив $f(x) = \cos x$. Производная этой функции находится элементарно: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $-\sin x$

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\sin x (2x^2 - 1)$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Обозначим $u(x) = 2\sin x$ и $v(x) = 2x^2 - 1$. Их производные равны $u'(x) = 2\cos x$ и $v'(x) = 4x$. Подставляя в формулу, получаем: $f'(x) = (2\cos x)(2x^2 - 1) + (2\sin x)(4x)$. После раскрытия скобок имеем: $f'(x) = 4x^2\cos x - 2\cos x + 8x\sin x$.

Ответ: $4x^2\cos x - 2\cos x + 8x\sin x$

5) Для функции $f(x) = 2\tg x \cdot \cos x$ сначала упростим выражение, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, и на этой области мы можем сократить $\cos x$, получив $f(x) = 2\sin x$. Производная этой простой функции равна $f'(x) = (2\sin x)' = 2\cos x$.

Ответ: $2\cos x$

6) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\sin x (x + \cos x)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Обозначим $u(x) = 2\sin x$ и $v(x) = x + \cos x$. Их производные равны $u'(x) = 2\cos x$ и $v'(x) = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$. Подставляя в формулу, получаем: $f'(x) = (2\cos x)(x + \cos x) + (2\sin x)(1 - \sin x)$. Раскроем скобки: $f'(x) = 2x\cos x + 2\cos^2 x + 2\sin x - 2\sin^2 x$. Далее сгруппируем слагаемые: $f'(x) = 2x\cos x + 2\sin x + 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, окончательно получаем $f'(x) = 2x\cos x + 2\sin x + 2\cos(2x)$.

Ответ: $2x\cos x + 2\sin x + 2\cos(2x)$

44.9. Вычислите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \text{ctg}x \cdot \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \text{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \sin x, x_0 = \frac{3\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} \cdot \text{ctg}x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = \text{ctg}x \cdot \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Для начала упростим данную функцию. Используем определение котангенса $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x$.

При условии, что $\sin x \neq 0$ (а для $x_0 = \frac{\pi}{6}$ это условие выполняется), мы можем сократить $\sin x$.

Таким образом, функция принимает вид $f(x) = \cos x$.

Теперь найдем производную этой функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \text{tg}x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Упростим функцию. Известно, что $\text{ctg}x \cdot \text{tg}x = 1$ для всех $x$ из области определения (где $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$). Точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$ принадлежит области определения.

Следовательно, функция упрощается до $f(x) = x^2 - 1$.

Находим производную: $f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \sin x$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Как и в первом пункте, упростим выражение $\text{ctg}x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$ (условие $\sin x \neq 0$ для $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ выполняется).

Функция принимает вид $f(x) = x^2 - \cos x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - \cos x)' = 2x - (-\sin x) = 2x + \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} \cdot \text{ctg}x$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{2}{x}$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Находим их производные: $u'(x) = (\frac{2}{x})' = -\frac{2}{x^2}$ и $v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (-\frac{2}{x^2}) \cdot \text{ctg}x + \frac{2}{x} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2\text{ctg}x}{x^2} - \frac{2}{x\sin^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем значения тригонометрических функций для $x_0$: $\text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{(\frac{2\pi}{3})^2} - \frac{2}{\frac{2\pi}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4\pi^2}{9}} - \frac{2}{\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3}{4}}$.

Упрощаем выражение:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{4\pi^2} - \frac{2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2\pi^2\sqrt{3}} - \frac{4}{\pi}$.

Избавляемся от иррациональности в знаменателе первого слагаемого: $\frac{9}{2\pi^2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2\pi^2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2}$.

Таким образом, окончательный результат:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2} - \frac{4}{\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2} - \frac{4}{\pi}$.

44.10. Найдите скорость изменения функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

1) $f(x) = \sin x \cdot (x + 1)$;

2) $f(x) = \operatorname{ctg} x \cdot (x^2 - 1)$;

3) $f(x) = \sin x \cdot (\operatorname{ctg} x + 3).

Скорость изменения функции в точке — это значение производной функции в этой точке. Для решения задачи необходимо найти производную каждой функции $f'(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot (x + 1)$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u = \sin x$ и $v = x + 1$.

Производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (x + 1)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\sin x)' \cdot (x + 1) + \sin x \cdot (x + 1)' = \cos x \cdot (x + 1) + \sin x \cdot 1 = (x + 1)\cos x + \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2} + 1)\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2} + 1) \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

2) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}x \cdot (x^2 - 1)$.

Используем правило дифференцирования произведения, где $u = \operatorname{ctg}x$ и $v = x^2 - 1$.

Производные этих функций: $u' = (\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $v' = (x^2 - 1)' = 2x$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\operatorname{ctg}x)' \cdot (x^2 - 1) + \operatorname{ctg}x \cdot (x^2 - 1)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot (x^2 - 1) + \operatorname{ctg}x \cdot 2x = -\frac{x^2 - 1}{\sin^2 x} + 2x \operatorname{ctg}x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{(\frac{\pi}{2})^2 - 1}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\frac{\pi^2}{4} - 1}{1^2} + \pi \cdot 0 = -(\frac{\pi^2}{4} - 1) = 1 - \frac{\pi^2}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi^2}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot (\operatorname{ctg}x + 3)$.

Перед дифференцированием упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ (при $\sin x \neq 0$, что выполняется в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$):

$f(x) = \sin x \cdot (\frac{\cos x}{\sin x} + 3) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 3\sin x = \cos x + 3\sin x$.

Теперь найдем производную упрощенной функции:

$f'(x) = (\cos x + 3\sin x)' = (\cos x)' + (3\sin x)' = -\sin x + 3\cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) + 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -1 + 3 \cdot 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

44.11. Решите уравнение:

1) $x|x|+7x+12=0$;

2) $x^2-5|x+3|+4=0$;

3) $x^2-5(\sqrt{x-2})^2-5=0$;

4) $|x-2|x^2=10-5x$;

5) $\sqrt{x^2-2x}=3x+1$;

6) $2\sqrt{x^2-2x}=x^2-2x-3$;

7) $\sqrt{x^2-2x-3}=x^2-2x-15$;

8) $\sqrt{x^2+2x-3}=x^2+2x-15$.

1) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:$x \cdot x + 7x + 12 = 0$$x^2 + 7x + 12 = 0$По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:$x \cdot (-x) + 7x + 12 = 0$$-x^2 + 7x + 12 = 0$$x^2 - 7x - 12 = 0$Найдем корни с помощью дискриминанта:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$Получаем два корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.Проверим условие $x < 0$.$x_1 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2} > 0$, так как $\sqrt{97} > 0$. Этот корень не подходит.Так как $\sqrt{81} < \sqrt{97} < \sqrt{100}$, то $9 < \sqrt{97} < 10$.$x_2 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > 7$, то числитель $7 - \sqrt{97} < 0$, следовательно, $x_2 < 0$. Этот корень подходит.Единственным решением уравнения является $x = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.

2) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Тогда $|x+3| = x+3$.$x^2 - 5(x + 3) + 4 = 0$$x^2 - 5x - 15 + 4 = 0$$x^2 - 5x - 11 = 0$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 25 + 44 = 69$$x = \frac{5 \pm \sqrt{69}}{2}$Проверим условие $x \ge -3$.$x_1 = \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$. Так как $\sqrt{69} > \sqrt{9}=3$, то $5 + \sqrt{69} > 8$, и $x_1 > 4$. Условие $x \ge -3$ выполнено.$x_2 = \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$. Так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то $5 - 9 < 5 - \sqrt{69} < 5 - 8$, то есть $-4 < 5 - \sqrt{69} < -3$. Значит $-2 < x_2 < -1.5$. Условие $x_2 \ge -3$ выполнено.Оба корня подходят.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$. Тогда $|x+3| = -(x+3)$.$x^2 - 5(-(x + 3)) + 4 = 0$$x^2 + 5x + 15 + 4 = 0$$x^2 + 5x + 19 = 0$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 25 - 76 = -51 < 0$.В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{69}}{2}; \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$.

3) Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Тогда $x = t^2$, и условие ОДЗ означает $t \ge 0$.Уравнение принимает вид:$(t^2)^2 - 5(t - 2)^2 - 5 = 0$$t^4 - 5(t^2 - 4t + 4) - 5 = 0$$t^4 - 5t^2 + 20t - 20 - 5 = 0$$t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$Это полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-25): $\pm1, \pm5, \pm25$. Проверка показывает, что ни один из них не является корнем.Рассмотрим функцию $f(t) = t^4 - 5t^2 + 20t - 25$ на промежутке $t \ge 0$.Найдем ее производную: $f'(t) = 4t^3 - 10t + 20$.Исследуем знак производной при $t \ge 0$. $f'(0) = 20$. $f'(t)$ положительна для всех $t \ge 0$, значит, функция $f(t)$ строго возрастает на этом промежутке.Так как $f(1) = 1-5+20-25 = -9$ и $f(2) = 16-20+40-25 = 11$, а функция непрерывна и возрастает, то существует единственный корень $t_0$ на интервале $(1, 2)$.Этот корень иррационален и не может быть выражен простым образом через радикалы.Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = t_0^2$, где $t_0$ — единственный положительный корень уравнения $t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$.Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы уравнение имело вид $x^2 - 5(x-2) - 5 = 0$, оно бы имело более простое решение.

Ответ: Уравнение имеет единственный корень, который является квадратом единственного положительного корня уравнения $t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$.

4) Перепишем уравнение: $|x - 2|x^2 = 5(2 - x)$, что равносильно $|x - 2|x^2 = -5(x - 2)$.Рассмотрим три случая.

Случай 1: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.Подставим в исходное уравнение: $|2 - 2| \cdot 2^2 = 10 - 5 \cdot 2 \Rightarrow 0 \cdot 4 = 10 - 10 \Rightarrow 0 = 0$.Равенство верное, значит $x = 2$ является корнем.

Случай 2: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$.$(x - 2)x^2 = -5(x - 2)$Поскольку $x-2 \neq 0$, разделим обе части на $(x - 2)$:$x^2 = -5$Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 3: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2)$.$-(x - 2)x^2 = -5(x - 2)$Разделим обе части на $-(x - 2)$:$x^2 = 5$$x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.Проверим условие $x < 2$.$x = \sqrt{5} \approx 2.236$, что не меньше 2. Этот корень не подходит.$x = -\sqrt{5} \approx -2.236$, что меньше 2. Этот корень подходит.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $-\sqrt{5}; 2$.

5) Уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе $\begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases}$.$\sqrt{x^2 - 2x} = 3x + 1$Система имеет вид:$\begin{cases} x^2 - 2x = (3x + 1)^2 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$Решим неравенство: $3x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/3$.Решим уравнение:$x^2 - 2x = 9x^2 + 6x + 1$$8x^2 + 8x + 1 = 0$$D = 8^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{4}$Получаем два корня: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{4}$.Проверим, удовлетворяют ли они условию $x \ge -1/3$.$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2 + 1.414}{4} = \frac{-0.586}{4} \approx -0.1465$. Так как $-0.1465 > -1/3 \approx -0.333$, этот корень подходит.$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2 - 1.414}{4} = \frac{-3.414}{4} \approx -0.8535$. Так как $-0.8535 < -1/3$, этот корень не подходит.

Ответ: $\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}$.

6) В уравнении $2\sqrt{x^2 - 2x} = x^2 - 2x - 3$ сделаем замену.Пусть $t = \sqrt{x^2 - 2x}$. По определению корня, $t \ge 0$.Тогда $x^2 - 2x = t^2$. Уравнение принимает вид:$2t = t^2 - 3$$t^2 - 2t - 3 = 0$По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.Так как $t \ge 0$, нам подходит только $t = 3$.Выполняем обратную замену:$\sqrt{x^2 - 2x} = 3$Возводим обе части в квадрат:$x^2 - 2x = 9$$x^2 - 2x - 9 = 0$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$.Оба найденных значения являются корнями, так как при возведении в квадрат обеих частей уравнения $\sqrt{A}=C$ (где C - положительное число) посторонние корни не появляются. Необходимо только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, что здесь выполняется: $x^2-2x = 9 \ge 0$.

Ответ: $1 - \sqrt{10}; 1 + \sqrt{10}$.

7) В уравнении $\sqrt{x^2 - 2x - 3} = x^2 - 2x - 15$ сделаем замену.Пусть $y = x^2 - 2x$. Уравнение примет вид:$\sqrt{y - 3} = y - 15$Это уравнение равносильно системе $\begin{cases} y - 3 = (y - 15)^2 \\ y - 15 \ge 0 \end{cases}$.Из неравенства получаем $y \ge 15$.Решим уравнение:$y - 3 = y^2 - 30y + 225$$y^2 - 31y + 228 = 0$$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 228 = 961 - 912 = 49 = 7^2$$y = \frac{31 \pm 7}{2}$$y_1 = \frac{31+7}{2} = 19$, $y_2 = \frac{31-7}{2} = 12$.Условию $y \ge 15$ удовлетворяет только $y_1 = 19$.Выполняем обратную замену:$x^2 - 2x = 19$$x^2 - 2x - 19 = 0$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$$x = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{5}$.Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Подставив $x^2-2x=19$, получим $19-3 \ge 0$, что верно. Значит, оба корня подходят.

Ответ: $1 - 2\sqrt{5}; 1 + 2\sqrt{5}$.

8) В уравнении $\sqrt{x^2 + 2x - 3} = x^2 + 2x - 15$ сделаем замену.Пусть $y = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:$\sqrt{y - 3} = y - 15$Это то же уравнение, что и в задаче 7. Его единственное решение, удовлетворяющее необходимым условиям, это $y = 19$.Выполняем обратную замену:$x^2 + 2x = 19$$x^2 + 2x - 19 = 0$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{5}$.Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Подставив $x^2+2x=19$, получим $19-3 \ge 0$, что верно. Значит, оба корня подходят.

Ответ: $-1 - 2\sqrt{5}; -1 + 2\sqrt{5}$.

44.12. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2}$;

2) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 - 4x}$;

3) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x})$;

4) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x})$;

5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{2\operatorname{tg}x}$;

6) $\lim_{x\to 0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x}$.

1) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2}$.

При $x \to \infty$ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, что является неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$.

Поскольку при $x \to \infty$, величины $\frac{3}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1+0}{1-0} = 1$.

Ответ: 1

2) Найдем предел функции $\lim_{x\to2} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 - 4x}$.

При подстановке $x=2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$.

Знаменатель: $2^3 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель $x^2 - x - 2$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Разложим знаменатель $x^3 - 4x$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 4)$. Применим формулу разности квадратов: $x(x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в предел:

$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)(x+2)}$.

Поскольку $x \to 2$, то $x \ne 2$, и мы можем сократить дробь на $(x-2)$:

$\lim_{x\to2} \frac{x+1}{x(x+2)}$.

Теперь подставим $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{2+1}{2(2+2)} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

3) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x})$.

При $x \to \infty$ имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{x+11} + \sqrt{x})$.

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+11} - \sqrt{x})(\sqrt{x+11} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}}$.

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+11})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x+11-x}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{11}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}}$.

При $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{x+11} + \sqrt{x}$ стремится к $\infty$. Следовательно, предел равен:

$\frac{11}{\infty} = 0$.

Ответ: 0

4) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x})$.

Это также неопределенность вида $\infty - \infty$. Решается аналогично предыдущему примеру, умножением на сопряженное выражение $(\sqrt{x+6} + \sqrt{x})$.

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+6} - \sqrt{x})(\sqrt{x+6} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}}$.

Применяем формулу разности квадратов в числителе:

$\lim_{x\to\infty} \frac{(x+6)-x}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{6}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}}$.

При $x \to \infty$ знаменатель стремится к $\infty$, поэтому предел равен нулю.

$\frac{6}{\infty} = 0$.

Ответ: 0

5) Найдем предел функции $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{2\tan x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Сначала заменим $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{2 \frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x \cos x}{2 \sin x}$.

Преобразуем выражение, чтобы использовать замечательный предел:

$\frac{1}{2} \lim_{x\to0} \cos x \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin x}{x}} \cdot \frac{3x}{x} \right)$.

Так как при $x \to 0$, $3x \to 0$, то $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

6) Найдем предел функции $\lim_{x\to0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x}$.

При $x=0$ имеем неопределенность $\frac{0}{0}$. Используем первый замечательный предел.

$\lim_{x\to0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x} = 4 \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$.

Разделим и умножим числитель на $3x$, а знаменатель на $2x$:

$4 \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} = 4 \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin 2x}{2x}} \cdot \frac{3x}{2x} \right)$.

При $x \to 0$, имеем $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$.

Тогда предел равен:

$4 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6