Страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Как найти область определения и множество значений функции, заданной: 1) аналитически (по формуле); 2) графически? Приведите пример.

2. Как установить промежутки знакопостоянства и монотонности функции, заданной: 1) аналитически (по формуле); 2) графически?

3. Каким свойством обладает функция, если ее график расположен симметрично относительно начала координат?

4. Приведите примеры известных вам функций, которые имеют: 1) наименьшее (наибольшее) значение; 2) максимум (минимум).

1. Как найти область определения и множество значений функции, заданной: 1) аналитически (по формуле); 2) графически? Приведите пример.

1) аналитически (по формуле)

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Для нахождения области определения аналитически необходимо выявить операции, имеющие ограничения:

- Знаменатель дроби не может быть равен нулю (например, в функции $y = \frac{1}{x-2}$, $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$).

- Выражение под корнем четной степени (например, квадратным) должно быть неотрицательным (например, в функции $y = \sqrt{x-5}$, $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$).

- Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным (например, в функции $y = \ln(x)$, $x > 0$).

Множество значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$ при всех $x$ из ее области определения. Нахождение множества значений аналитически часто является более сложной задачей. Основные методы:

- Использование известных свойств элементарных функций (например, $y=x^2$ принимает только неотрицательные значения, $E(f) = [0, +\infty)$; $y = \sin x$ принимает значения из отрезка $[-1, 1]$).

- Выражение аргумента $x$ через функцию $y$ и нахождение области определения для полученного выражения относительно $y$.

- Использование производной для нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) функции и анализ ее поведения на границах области определения.

2) графически

Область определения находится путем проецирования графика функции на ось абсцисс (ось $Ox$). Множество всех $x$, на которые спроецировался график, и является областью определения.

Множество значений находится путем проецирования графика функции на ось ординат (ось $Oy$). Множество всех $y$, на которые спроецировался график, и является множеством значений.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$.

Аналитически:

- Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Таким образом, $D(f) = [2, +\infty)$.

- Множество значений: Квадратный корень $\sqrt{x-2}$ принимает значения от 0 до $+\infty$. Тогда выражение $\sqrt{x-2} + 3$ будет принимать значения от $0+3 = 3$ до $+\infty$. Таким образом, $E(f) = [3, +\infty)$.

Графически:

График функции $f(x) = \sqrt{x-2} + 3$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. График начинается в точке $(2, 3)$ и идет вправо и вверх.

- Проекция графика на ось $Ox$ покрывает интервал от 2 до $+\infty$.

- Проекция графика на ось $Oy$ покрывает интервал от 3 до $+\infty$.

Результаты, полученные аналитически и графически, совпадают.

Ответ: Область определения ($D(f)$) — это все допустимые значения $x$; аналитически находится из ограничений на операции, графически — проекцией на ось $Ox$. Множество значений ($E(f)$) — это все возможные значения $y$; аналитически находится оценкой выражения или через производную, графически — проекцией на ось $Oy$.

2. Как установить промежутки знакопостоянства и монотонности функции, заданной: 1) аналитически (по формуле); 2) графически?

1) аналитически (по формуле)

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна). Для их нахождения:

1. Находят область определения функции.

2. Находят нули функции, решая уравнение $f(x)=0$.

3. Нули функции и точки разрыва разбивают область определения на промежутки.

4. Определяют знак функции на каждом из этих промежутков, подставив в функцию любое значение из этого промежутка (метод интервалов).

Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Для их нахождения с помощью производной:

1. Находят область определения функции.

2. Находят производную функции $f'(x)$.

3. Находят критические точки, в которых $f'(x)=0$ или не существует.

4. Критические точки разбивают область определения на промежутки.

5. Определяют знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает.

2) графически

Промежутки знакопостоянства:

- Функция положительна ($f(x)>0$) на тех интервалах оси $Ox$, где ее график расположен выше оси $Ox$.

- Функция отрицательна ($f(x)<0$) на тех интервалах оси $Ox$, где ее график расположен ниже оси $Ox$.

Промежутки монотонности:

- Функция возрастает на тех интервалах оси $Ox$, где ее график при движении слева направо идет вверх.

- Функция убывает на тех интервалах оси $Ox$, где ее график при движении слева направо идет вниз.

Ответ: Аналитически знакопостоянство находят методом интервалов, используя нули функции; монотонность — по знаку производной. Графически знакопостоянство определяют по расположению графика относительно оси $Ox$, а монотонность — по направлению графика (вверх или вниз).

3. Каким свойством обладает функция, если ее график расположен симметрично относительно начала координат?

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция называется нечетной. Свойство нечетности для функции $y = f(x)$ математически записывается в виде тождества: $f(-x) = -f(x)$. Это равенство должно выполняться для любого значения $x$ из области определения функции. Область определения нечетной функции также должна быть симметрична относительно нуля (если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ тоже ей принадлежит). Примерами нечетных функций являются $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: Такая функция является нечетной, для нее выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

4. Приведите примеры известных вам функций, которые имеют: 1) наименьшее (наибольшее) значение; 2) максимум (минимум).

Важно различать наименьшее/наибольшее значение функции (глобальный экстремум на всей области определения) и минимум/максимум функции (локальный экстремум, т.е. наименьшее/наибольшее значение в некоторой окрестности точки).

1) наименьшее (наибольшее) значение

- Функция $f(x) = x^2$ имеет наименьшее значение, равное 0, в точке $x=0$. Наибольшего значения у нее нет.

- Функция $f(x) = -x^2 + 5$ имеет наибольшее значение, равное 5, в точке $x=0$. Наименьшего значения у нее нет.

- Функция $f(x) = \cos(x)$ имеет наименьшее значение -1 и наибольшее значение 1.

2) максимум (минимум)

Примером функции, имеющей локальные максимум и минимум, но не имеющей наименьшего или наибольшего значения, является кубическая парабола.

- Функция $f(x) = x^3 - 3x$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

В точке $x = -1$ функция имеет локальный максимум, равный $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

В точке $x = 1$ функция имеет локальный минимум, равный $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

При этом функция не ограничена ни сверху, ни снизу, то есть не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: 1) Наименьшее значение: $f(x)=x^2$ (значение 0); наибольшее значение: $f(x)=-x^2$ (значение 0). 2) Локальный максимум и минимум: $f(x) = x^3-3x$ имеет максимум в точке $x=-1$ и минимум в точке $x=1$.

9.1. Исследуйте на четность функцию $y = f(x)$:

1) $f(x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3$;

2) $f(x) = (3x - 2)^4 - (3x + 2)^4$;

3) $f(x) = |2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)$;

4) $f(x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3)$.

1) Для исследования функции $f(x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3$ на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция).

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (1 - 2(-x))^3 + (1 + 2(-x))^3 = (1 + 2x)^3 + (1 - 2x)^3$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, получаем:

$f(-x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3 = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) Исследуем на четность функцию $f(x) = (3x - 2)^4 - (3x + 2)^4$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (3(-x) - 2)^4 - (3(-x) + 2)^4 = (-3x - 2)^4 - (-3x + 2)^4$.

Используем свойство четной степени: $(-a)^4 = a^4$.

$f(-x) = (-(3x + 2))^4 - (-(3x - 2))^4 = (3x + 2)^4 - (3x - 2)^4$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы сравнить с исходной функцией:

$f(-x) = -((3x - 2)^4 - (3x + 2)^4) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

3) Исследуем на четность функцию $f(x) = |2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |2(-x) - 1|(-x + 2) + |2(-x) + 1|(-x - 2)$.

$f(-x) = |-2x - 1|(2 - x) + |-2x + 1|(-x - 2)$.

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$ и вынесем минус из скобок:

$f(-x) = |-(2x + 1)|(-(x - 2)) + |-(2x - 1)|(-(x + 2))$.

$f(-x) = |2x + 1|(-(x - 2)) + |2x - 1|(-(x + 2))$.

$f(-x) = -|2x + 1|(x - 2) - |2x - 1|(x + 2)$.

Вынесем общий знак минус за скобки:

$f(-x) = -(|2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) Исследуем на четность функцию $f(x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3)$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |(-x) - 1|((-x) + 3) - |(-x) + 1|((-x) - 3)$.

$f(-x) = |-x - 1|(3 - x) - |-x + 1|(-x - 3)$.

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$ и вынесем минус из скобок:

$f(-x) = |-(x + 1)|(-(x - 3)) - |-(x - 1)|(-(x + 3))$.

$f(-x) = |x + 1|(-(x - 3)) - |x - 1|(-(x + 3))$.

$f(-x) = -|x + 1|(x - 3) + |x - 1|(x + 3)$.

Поменяем слагаемые местами:

$f(-x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3) = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.