Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.28. Постройте график и перечислите свойства функции:

1) $y = \begin{cases} x + 7, & \text{если } x < -2, \\ x^2 - 3, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ \sqrt{x+4}, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -3, \\ 5x + 14, & \text{если } -3 \le x < 0, \\ \sqrt{x+14}, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x+7, & \text{если } x < -2 \\ x^2-3, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ \sqrt{x+4}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:

• На интервале $(-\infty; -2)$ строим график прямой $y=x+7$. Это луч, который начинается в выколотой точке $(-2; 5)$ (значение $y$ в точке $x=-2$ равно $ -2+7=5$) и проходит, например, через точку $(-7; 0)$.

• На полуинтервале $[-2; 1)$ строим график параболы $y=x^2-3$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; -3)$. На границах промежутка имеем: закрашенную точку $(-2; 1)$, так как $y(-2)=(-2)^2-3=1$, и выколотую точку $(1; -2)$, так как $y(1)=1^2-3=-2$.

• На луче $[1; \infty)$ строим график функции $y=\sqrt{x+4}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в закрашенной точке $(1; \sqrt{5})$, так как $y(1)=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$), и проходящая, например, через точку $(5; 3)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$ при $x=-7$ и $x=-\sqrt{3}$.

4. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-7; -\sqrt{3}) \cup [1; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; -7) \cup (-\sqrt{3}; 1)$.

5. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $[0; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-2; 0]$.

6. Экстремумы: точка локального минимума $(0; -3)$, $y_{min}=-3$.

7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, за исключением точек $x=-2$ и $x=1$, в которых она имеет разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча, фрагмента параболы и ветви параболы. Функция имеет разрывы в точках $x=-2$ и $x=1$. Основные свойства функции, включая область определения и значений, нули, монотонность и экстремумы, перечислены выше.

2) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -3 \\ 5x+14, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ \sqrt{x+14}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

• На интервале $(-\infty; -3)$ строим график гиперболы $y = -6/x$. Это ветвь гиперболы во второй координатной четверти. Граничная точка $x=-3$ выколотая, $y(-3)=-6/(-3)=2$. Точка $(-3; 2)$ — выколотая. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Например, точка $(-6; 1)$ принадлежит графику.

• На полуинтервале $[-3; 0)$ строим график прямой $y=5x+14$. Это отрезок. На границах: $y(-3)=5(-3)+14=-1$, точка $(-3; -1)$ закрашенная. $y(0)=5(0)+14=14$, точка $(0; 14)$ выколотая.

• На луче $[0; \infty)$ строим график функции $y=\sqrt{x+14}$. Это ветвь параболы. Начальная точка $x=0$, $y(0)=\sqrt{0+14}=\sqrt{14}$ (где $\sqrt{14} \approx 3.74$), точка $(0; \sqrt{14})$ закрашенная. Например, точка $(2; 4)$ принадлежит графику.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=-2.8$ (из $5x+14=0$).

4. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (-2.8; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in [-3; -2.8)$.

5. Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; -3)$, $[-3; 0)$ и $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы: функция имеет две точки локального минимума: $x=-3$, $y_{min}=-1$ и $x=0$, $y_{min}=\sqrt{14}$.

7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, за исключением точек $x=-3$ и $x=0$, в которых она имеет разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: ветви гиперболы, отрезка прямой и ветви параболы. Функция имеет разрывы в точках $x=-3$ и $x=0$. Основные свойства функции, включая область определения и значений, нули, монотонность и экстремумы, перечислены выше.

7.29. Четной или нечетной является функция $f(x) + g(x)$, где:

1) $f(x) = -11x + x^2$ и $g(x) = -11x - 19$;

2) $f(x) = x^2 + x^3$ и $g(x) = -x^2 + 43x$;

3) $f(x) = |x| - x^3$ и $g(x) = x^3 - x^2$;

4) $f(x) = \frac{6}{x^4 + 1} - 15$ и $g(x) = \frac{x - 6}{x^4 + 1} + 15?

1) Для того чтобы определить, является ли функция $f(x) + g(x)$ четной или нечетной, сначала найдем эту сумму. Обозначим ее как $H(x)$.

$H(x) = f(x) + g(x) = (-11x + x^2) + (-11x - 19) = x^2 - 22x - 19$.

Область определения функции $H(x)$ — все действительные числа, что является симметричным множеством относительно нуля.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности. Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = (-x)^2 - 22(-x) - 19 = x^2 + 22x - 19$.

Сравним полученное выражение с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $x^2 + 22x - 19 = x^2 - 22x - 19$. Это равенство неверно (например, при $x=1$). Значит, функция не является четной.

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $x^2 + 22x - 19 = -(x^2 - 22x - 19) = -x^2 + 22x + 19$. Это равенство также неверно. Значит, функция не является нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

2) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (x^2 + x^3) + (-x^2 + 43x) = x^2 + x^3 - x^2 + 43x = x^3 + 43x$.

Область определения функции — все действительные числа (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = (-x)^3 + 43(-x) = -x^3 - 43x$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $-x^3 - 43x = x^3 + 43x$. Неверно.

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $-x^3 - 43x = -(x^3 + 43x) = -x^3 - 43x$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является нечетной.

3) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (|x| - x^3) + (x^3 - x^2) = |x| - x^3 + x^3 - x^2 = |x| - x^2$.

Область определения функции — все действительные числа (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = |-x| - (-x)^2$.

Так как $|-x| = |x|$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$H(-x) = |x| - x^2$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $|x| - x^2 = |x| - x^2$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является четной.

4) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (\frac{6}{x^4 + 1} - 15) + (\frac{x - 6}{x^4 + 1} + 15) = \frac{6}{x^4 + 1} + \frac{x - 6}{x^4 + 1} - 15 + 15$.

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$H(x) = \frac{6 + (x - 6)}{x^4 + 1} = \frac{x}{x^4 + 1}$.

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^4+1$ никогда не равен нулю (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = \frac{-x}{(-x)^4 + 1} = \frac{-x}{x^4 + 1} = -\frac{x}{x^4 + 1}$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $-\frac{x}{x^4 + 1} = \frac{x}{x^4 + 1}$. Неверно (кроме $x=0$).

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $-\frac{x}{x^4 + 1} = -(\frac{x}{x^4 + 1})$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является нечетной.

7.30. Постройте график и исследуйте на четность функцию:

1)

$y = \begin{cases} -x, \text{ если } -4 \le x < -2, \\ 6 - x^2, \text{ если } -2 \le x \le 2, \\ x, \text{ если } 2 < x \le 4; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} x - 2, \text{ если } -5 \le x \le -1, \\ -4 + x^2, \text{ если } -1 < x < 1, \\ -x - 2, \text{ если } 1 \le x \le 5. \end{cases}$

1) Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $-4 \le x < -2$ имеем функцию $y = -x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = -4$, то $y = -(-4) = 4$. Точка $(-4, 4)$ принадлежит графику.

Если $x$ стремится к $-2$ слева ($x \to -2^-$), то $y$ стремится к $-(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$ является граничной, но не включается в этот участок графика (обозначается выколотой точкой).

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$ имеем функцию $y = 6 - x^2$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = 0$, $y = 6 - 0^2 = 6$, то есть в точке $(0, 6)$. Найдем значения функции на концах промежутка:

Если $x = -2$, то $y = 6 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит графику.

Если $x = 2$, то $y = 6 - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.

3. На промежутке $2 < x \le 4$ имеем функцию $y = x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x$ стремится к $2$ справа ($x \to 2^+$), то $y$ стремится к $2$. Точка $(2, 2)$ является граничной, но не включается в этот участок графика (выколотая точка).

Если $x = 4$, то $y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Построив все три участка на одной координатной плоскости, получим график функции. Заметим, что в точках $x = -2$ и $x = 2$ функция непрерывна.

Исследуем функцию на четность.

Область определения функции $D(y) = [-4, 4]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Пусть $x \in (2, 4]$. Тогда $-x \in [-4, -2)$. Для этих значений имеем: $y(x) = x$

$y(-x) = -(-x) = x$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Пусть $x \in [-2, 2]$. Тогда $-x$ также принадлежит этому промежутку. $y(x) = 6 - x^2$

$y(-x) = 6 - (-x)^2 = 6 - x^2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Поскольку для любого $x \in D(y)$ выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функция является четной.

2) Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $-5 \le x \le -1$ имеем функцию $y = x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = -5$, то $y = -5 - 2 = -7$. Точка $(-5, -7)$ принадлежит графику.

Если $x = -1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1, -3)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ имеем функцию $y = -4 + x^2$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x = 0$, $y = -4 + 0^2 = -4$, то есть в точке $(0, -4)$. Найдем предельные значения на концах промежутка:

Если $x \to -1^+$, то $y \to -4 + (-1)^2 = -3$. Точка $(-1, -3)$ выколота.

Если $x \to 1^-$, то $y \to -4 + 1^2 = -3$. Точка $(1, -3)$ выколота.

3. На промежутке $1 \le x \le 5$ имеем функцию $y = -x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = 1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(1, -3)$ принадлежит графику.

Если $x = 5$, то $y = -5 - 2 = -7$. Точка $(5, -7)$ принадлежит графику.

Построив все три участка на одной координатной плоскости, получим график функции. Функция является непрерывной на всей области определения, так как в точках "стыковки" $x = -1$ и $x = 1$ значения совпадают.

Исследуем функцию на четность.

Область определения функции $D(y) = [-5, 5]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Пусть $x \in [1, 5]$. Тогда $-x \in [-5, -1]$. Для этих значений имеем: $y(x) = -x - 2$

$y(-x) = (-x) - 2 = -x - 2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Пусть $x \in (-1, 1)$. Тогда $-x$ также принадлежит этому промежутку. $y(x) = -4 + x^2$

$y(-x) = -4 + (-x)^2 = -4 + x^2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Поскольку для любого $x \in D(y)$ выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функция является четной.

7.31. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = -8x + x^2 + x^3$;

2) $y = 0,2x^2 |x| - x^3 |x|$;

3) $y = \sqrt{x^3 + x^2 - 31 |x^3|}$;

4) $y = -x^4 \sqrt{x - x^2} - x^2 |x^2|$.

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + \sqrt{x^3 - 1}$;

6) $y = \sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^3}{x^4 - 3}$;

7) $y = x + |x| - \frac{1 - x^2}{\sqrt{5 + x^3}}$;

8) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^3 - x} + x^2 |x|$.

1) $y = -8x + x^2 + x^3$

Обозначим функцию как $f(x) = -8x + x^2 + x^3$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = -8(-x) + (-x)^2 + (-x)^3 = 8x + x^2 - x^3$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -8x + x^2 + x^3$

$-f(x) = -(-8x + x^2 + x^3) = 8x - x^2 - x^3$

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

2) $y = 0,2x^2|x| - x^3|x|$

Обозначим функцию как $f(x) = 0,2x^2|x| - x^3|x|$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для $-x$, используя свойства $(-x)^2 = x^2$, $|-x| = |x|$, $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = 0,2(-x)^2|-x| - (-x)^3|-x| = 0,2x^2|x| - (-x^3)|x| = 0,2x^2|x| + x^3|x|$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = 0,2x^2|x| - x^3|x|$

$-f(x) = -0,2x^2|x| + x^3|x|$

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

3) $y = \sqrt{x^3 + x^2 - 31|x^3|}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x^3 + x^2 - 31|x^3|}$.

1. Найдем область определения функции $D(f)$, решив неравенство $x^3 + x^2 - 31|x^3| \ge 0$.

а) При $x \ge 0$, имеем $|x^3|=x^3$. Неравенство: $x^3 + x^2 - 31x^3 \ge 0 \implies x^2(1 - 30x) \ge 0$. Отсюда $0 \le x \le \frac{1}{30}$.

б) При $x < 0$, имеем $|x^3|=-x^3$. Неравенство: $x^3 + x^2 - 31(-x^3) \ge 0 \implies x^2(32x + 1) \ge 0$. Отсюда $-\frac{1}{32} \le x < 0$.

Объединяя результаты, получаем $D(f) = [-\frac{1}{32}, \frac{1}{30}]$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $\frac{1}{30} \in D(f)$, а $-\frac{1}{30} \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

4) $y = -x^4\sqrt{x-x^2} - x^2|x^2|$

Обозначим функцию как $f(x) = -x^4\sqrt{x-x^2} - x^2|x^2|$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-x^2 \ge 0 \implies x(1-x) \ge 0$. Решением является отрезок $x \in [0, 1]$.

2. Область определения $D(f) = [0, 1]$ не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(f)$, а $-1 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

5) $y = -\frac{1}{x^2-5} + \sqrt{x^3-1}$

Обозначим функцию как $f(x) = -\frac{1}{x^2-5} + \sqrt{x^3-1}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Должны выполняться условия:

а) $x^2-5 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{5}$.

б) $x^3-1 \ge 0 \implies x^3 \ge 1 \implies x \ge 1$.

Объединяя условия, получаем $D(f) = [1, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $2 \in D(f)$, а $-2 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

6) $y = \sqrt{x^2-1} - \frac{x^3}{x^4-3}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x^2-1} - \frac{x^3}{x^4-3}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Условия: $x^2-1 \ge 0 \implies |x| \ge 1$ и $x^4-3 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt[4]{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty, -\sqrt[4]{3}) \cup (-\sqrt[4]{3}, -1] \cup [1, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2-1} - \frac{(-x)^3}{(-x)^4-3} = \sqrt{x^2-1} - \frac{-x^3}{x^4-3} = \sqrt{x^2-1} + \frac{x^3}{x^4-3}$.

3. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

7) $y = x + |x| - \frac{1-x^2}{\sqrt{5+x^3}}$

Обозначим функцию как $f(x) = x + |x| - \frac{1-x^2}{\sqrt{5+x^3}}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $5+x^3 > 0 \implies x^3 > -5 \implies x > -\sqrt[3]{5}$.

Область определения $D(f) = (-\sqrt[3]{5}, +\infty)$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(f)$, а $-3 < -\sqrt[3]{5}$, поэтому $-3 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

8) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Условия: $4-x^2 \ge 0 \implies |x| \le 2$ и $x^3-x \neq 0 \implies x(x^2-1) \neq 0 \implies x \notin \{0, -1, 1\}$.

Область определения $D(f) = [-2, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2]$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sqrt{4-(-x)^2}}{(-x)^3-(-x)} + (-x)^2|-x| = \frac{\sqrt{4-x^2}}{-x^3+x} + x^2|x| = -\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$.

3. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (она является суммой нечетной и четной функций).

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

7.32. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = |x^2 - 4|;$

2) $y = |-x^2 - 2x|;$

3) $y = |2x^2 - 4|;$

4) $y = |3x^2 - 6x|.$

1) y = |x² - 4|

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$, сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4$.

1. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy. Ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_в = -\frac{b}{2a} = 0$ и $y_в = 0^2 - 4 = -4$. Точка вершины: $(0, -4)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

4. График функции $f(x) = x^2 - 4$ — это парабола с вершиной в $(0, -4)$, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Чтобы получить график функции $y = |x^2 - 4|$, мы оставляем без изменений ту часть графика $f(x)$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \le -2$ и $x \ge 2$), и симметрично отражаем относительно оси Ox ту часть, которая находится ниже оси Ox (при $-2 < x < 2$). При этом вершина параболы $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Точки экстремума — это точки локального максимума или минимума. Из графика видно:

- В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум, равный 4.

- В точках $x=-2$ и $x=2$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} = \pm 2$; $x_{max} = 0$.

2) y = |-x² - 2x|

Сначала построим график параболы $f(x) = -x^2 - 2x$.

1. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (a=-1), ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. $y_в = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$. Точка вершины: $(-1, 1)$.

3. Нули функции: $-x^2 - 2x = 0 \implies -x(x + 2) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. График функции $f(x) = -x^2 - 2x$ — это парабола с вершиной в $(-1, 1)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

Для построения графика $y = |-x^2 - 2x|$ часть графика $f(x)$, которая находится ниже оси Ox (при $x < -2$ и $x > 0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (при $-2 \le x \le 0$), остается без изменений.

Точки экстремума:

- Вершина параболы $(-1, 1)$ находится выше оси Ox, поэтому она является точкой локального максимума. В точке $x=-1$ максимум равен 1.

- Точки пересечения с осью Ox, $x=-2$ и $x=0$, становятся точками локального минимума, равного 0.

Ответ: $x_{min} \in \{-2, 0\}$; $x_{max} = -1$.

3) y = |2x² - 4|

Построим график, начав с параболы $f(x) = 2x^2 - 4$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. $y_в = 2(0)^2 - 4 = -4$. Точка вершины: $(0, -4)$.

3. Нули функции: $2x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 2$. Отсюда $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

4. График $f(x) = 2x^2 - 4$ — парабола с вершиной в $(0, -4)$ и ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Для построения графика $y = |2x^2 - 4|$ часть параболы, расположенную ниже оси Ox (на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$), отражаем симметрично относительно этой оси. Вершина $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Точки экстремума:

- В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум, равный 4.

- В точках $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} = \pm \sqrt{2}$; $x_{max} = 0$.

4) y = |3x² - 6x|

Сначала построим параболу $f(x) = 3x^2 - 6x$.

1. Ветви параболы направлены вверх (a=3).

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$. $y_в = 3(1)^2 - 6(1) = -3$. Точка вершины: $(1, -3)$.

3. Нули функции: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. График $f(x) = 3x^2 - 6x$ — парабола с вершиной в $(1, -3)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для получения графика $y = |3x^2 - 6x|$ отражаем часть параболы, находящуюся под осью Ox (на интервале $(0, 2)$), относительно этой оси. Вершина $(1, -3)$ переходит в точку $(1, 3)$.

Точки экстремума:

- В точке $x=1$ функция имеет локальный максимум, равный 3.

- В точках $x=0$ и $x=2$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} \in \{0, 2\}$; $x_{max} = 1$.

7.33. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = |x^2-4x-1|;$

2) $y = |x^2-2x+3|;$

3) $y = |2x^2-6x+3|;$

4) $y = |3x^2-6x-1|.$

1) y = |x² - 4x - 1|

Чтобы построить график функции $y = |x^2 - 4x - 1|$, сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4x - 1$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 ($1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

$x_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

$y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Вершина находится в точке $(2, -5)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{20}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{5}) / 2 = 2 \pm \sqrt{5}$.

График функции $y = |x^2 - 4x - 1|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4x - 1$ следующим образом: часть параболы, расположенная ниже оси Ox (где $y < 0$, то есть для $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$), симметрично отражается относительно оси Ox. Часть параболы, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

В результате этого преобразования вершина параболы $(2, -5)$ переходит в точку $(2, 5)$, которая становится точкой локального максимума. Точки пересечения с осью Ox, $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$, становятся точками локального минимума, в которых значение функции равно 0.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Точки минимума: $x_{min1} = 2 - \sqrt{5}$, $x_{min2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: точки минимума $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$; точка максимума $x = 2$.

2) y = |x² - 2x + 3|

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 2x + 3|$. Сначала проанализируем параболу, стоящую под знаком модуля: $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

Это парабола с ветвями вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем координаты ее вершины:

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

$y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Найдем нули функции: $x^2 - 2x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку $D < 0$, у параболы нет точек пересечения с осью Ox. Так как ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 2)$ (выше оси Ox), вся парабола лежит в верхней полуплоскости, то есть $x^2 - 2x + 3 > 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, $|x^2 - 2x + 3| = x^2 - 2x + 3$.

График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x + 3$.

Эта парабола имеет одну точку экстремума — точку минимума в своей вершине.

Точка экстремума:

Точка минимума: $x_{min} = 1$.

Ответ: точка минимума $x = 1$.

3) y = |2x² - 6x + 3|

Чтобы построить график функции $y = |2x^2 - 6x + 3|$, построим сначала параболу $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 2 > 0$).

Найдем координаты вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6 / 4 = 1.5$.

$y_v = f(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5$.

Вершина находится в точке $(1.5, -1.5)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{12}) / (2 \cdot 2) = (6 \pm 2\sqrt{3}) / 4 = (3 \pm \sqrt{3}) / 2$.

Для построения графика $y = |2x^2 - 6x + 3|$ часть параболы $y = 2x^2 - 6x + 3$, лежащую ниже оси Ox (при $x \in ((3 - \sqrt{3}) / 2, (3 + \sqrt{3}) / 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Остальная часть графика не меняется.

Вершина параболы $(1.5, -1.5)$ переходит в точку $(1.5, 1.5)$, которая становится точкой локального максимума. Нули функции $x = (3 - \sqrt{3}) / 2$ и $x = (3 + \sqrt{3}) / 2$ становятся точками локального минимума.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 1.5$.

Точки минимума: $x_{min1} = (3 - \sqrt{3}) / 2$, $x_{min2} = (3 + \sqrt{3}) / 2$.

Ответ: точки минимума $x = (3 - \sqrt{3}) / 2$ и $x = (3 + \sqrt{3}) / 2$; точка максимума $x = 1.5$.

4) y = |3x² - 6x - 1|

Построение графика функции $y = |3x^2 - 6x - 1|$ начнем с построения параболы $f(x) = 3x^2 - 6x - 1$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 3 > 0$).

Найдем координаты вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 3) = 6 / 6 = 1$.

$y_v = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 1 = 3 - 6 - 1 = -4$.

Вершина находится в точке $(1, -4)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - 6x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 + 12 = 48$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{48}) / (2 \cdot 3) = (6 \pm 4\sqrt{3}) / 6 = 1 \pm (2\sqrt{3}) / 3$.

График функции $y = |3x^2 - 6x - 1|$ получается из графика параболы $y = 3x^2 - 6x - 1$ отражением части, находящейся под осью Ox, относительно этой оси. Эта часть соответствует значениям $x$ в интервале $(1 - (2\sqrt{3}) / 3, 1 + (2\sqrt{3}) / 3)$.

Вершина параболы $(1, -4)$ после отражения становится точкой $(1, 4)$ и является точкой локального максимума. Точки пересечения с осью Ox $x = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$ и $x = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$ становятся точками локального минимума.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 1$.

Точки минимума: $x_{min1} = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$, $x_{min2} = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$.

Ответ: точки минимума $x = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$ и $x = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$; точка максимума $x = 1$.

7.34. Найдите точки минимума и максимума, построив график функции:

1) $y = |\sqrt{x-2}-1|;$

2) $y = |\sqrt{3-x}-2|;$

3) $y = |4-\sqrt{2x-3}|.$

1) $y = |\sqrt{x-2}-1|$

Для нахождения точек минимума и максимума, а также для построения графика функции, выполним последовательность преобразований.

1. Найдём область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, следовательно, $x \ge 2$. Область определения $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{x-2}-1$. Это стандартный график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Начало графика находится в точке $(2, -1)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $\sqrt{x-2}-1 = 0 \implies \sqrt{x-2} = 1 \implies x-2 = 1 \implies x=3$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$.

4. График исходной функции $y = |\sqrt{x-2}-1|$ получается из графика $f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси.

- На промежутке $[2, 3)$ значения $f(x)$ отрицательны, поэтому эта часть графика отражается вверх. Точка $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

- На промежутке $[3, +\infty)$ значения $f(x)$ неотрицательны, поэтому эта часть графика остается без изменений.

5. Из полученного графика видно, что:

- В точке $x=3$ функция достигает своего наименьшего значения, равного 0. Это точка минимума.

- В точке $x=2$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, значение которого равно $y(2) = |\sqrt{2-2}-1| = |-1| = 1$.

График функции начинается в точке $(2,1)$, убывает до точки $(3,0)$, а затем возрастает.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=3$, точка максимума $x_{max}=2$.

2) $y = |\sqrt{3-x}-2|$

1. Область определения: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. $D(y) = (-\infty; 3]$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{3-x}-2$. Это график функции $y=\sqrt{-x}$ (симметричный $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), смещенный на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Конечная точка графика - $(3, -2)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $\sqrt{3-x}-2 = 0 \implies \sqrt{3-x} = 2 \implies 3-x = 4 \implies x=-1$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$.

4. Чтобы получить график $y = |\sqrt{3-x}-2|$, отражаем часть графика $f(x)$, лежащую ниже оси Ox (на промежутке $(-1, 3]$), симметрично относительно этой оси.

- Точка $(3, -2)$ переходит в точку $(3, 2)$.

- Часть графика на промежутке $(-\infty, -1]$ остается без изменений.

5. Анализируя полученный график, заключаем:

- В точке $x=-1$ функция достигает минимума, равного 0.

- В точке $x=3$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, равный $y(3) = |\sqrt{3-3}-2| = |-2| = 2$.

График функции убывает из бесконечности до точки $(-1,0)$, а затем возрастает до точки $(3,2)$.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=-1$, точка максимума $x_{max}=3$.

3) $y = |4-\sqrt{2x-3}|$

1. Область определения: $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$. $D(y) = [1.5; +\infty)$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = 4-\sqrt{2x-3}$. Это график функции $y=-\sqrt{2x}$ (сжатый к оси Oy и отраженный относительно оси Ox), смещенный на 1.5 единицы вправо и на 4 единицы вверх. Начальная точка графика - $(1.5, 4)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $4-\sqrt{2x-3} = 0 \implies \sqrt{2x-3} = 4 \implies 2x-3 = 16 \implies 2x=19 \implies x=9.5$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(9.5, 0)$.

4. Применяем модуль. Часть графика $f(x)$ на промежутке $[1.5, 9.5]$ лежит выше оси Ox и остается без изменений. Часть графика на промежутке $(9.5, +\infty)$, где $f(x)$ отрицательна, отражается симметрично относительно оси Ox.

5. Из графика функции $y=|4-\sqrt{2x-3}|$ видно:

- В точке $x=1.5$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, значение которого $y(1.5) = |4-\sqrt{2 \cdot 1.5 - 3}| = |4-0|=4$.

- В точке $x=9.5$ функция достигает минимума, равного 0.

График функции начинается в точке $(1.5, 4)$, убывает до точки $(9.5, 0)$, а затем возрастает.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=9.5$, точка максимума $x_{max}=1.5$.

41.4. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 2$:

1) $f(x) = \frac{3}{x - 1};$

2) $f(x) = \frac{5x}{x - 3};$

3) $f(x) = \frac{\sqrt{5x} + 7x^3}{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{5(x - 5)(x + 1)}{x + 3} - 4x.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x-1}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = 3$ и $v(x) = x-1$.

Производные этих функций: $u'(x) = 0$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1^2} = -3$.

Ответ: -3

2) Дана функция $f(x) = \frac{5x}{x-3}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 5x$ и $v(x) = x-3$.

Находим производные: $u'(x) = 5$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{5 \cdot (x-3) - 5x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{5x - 15 - 5x}{(x-3)^2} = \frac{-15}{(x-3)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{-15}{(2-3)^2} = \frac{-15}{(-1)^2} = \frac{-15}{1} = -15$.

Ответ: -15

3) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{5x+7x^3}}{x+2}$.

Применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{5x+7x^3}$ и $v(x) = x+2$.

Производная знаменателя: $v'(x) = 1$.

Для нахождения производной числителя $u'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $g(x) = 5x+7x^3$, тогда $u(x) = \sqrt{g(x)}$.

$g'(x) = 5 + 21x^2$.

$u'(x) = (\sqrt{g(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) = \frac{5+21x^2}{2\sqrt{5x+7x^3}}$.

Теперь найдем значения функций и их производных в точке $x_0 = 2$:

$u(2) = \sqrt{5(2) + 7(2)^3} = \sqrt{10 + 7 \cdot 8} = \sqrt{10+56} = \sqrt{66}$.

$v(2) = 2+2 = 4$.

$u'(2) = \frac{5+21(2)^2}{2\sqrt{5(2)+7(2)^3}} = \frac{5+84}{2\sqrt{66}} = \frac{89}{2\sqrt{66}}$.

$v'(2) = 1$.

Подставляем найденные значения в формулу производной частного в точке $x_0=2$:

$f'(2) = \frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{(v(2))^2} = \frac{\frac{89}{2\sqrt{66}} \cdot 4 - \sqrt{66} \cdot 1}{4^2} = \frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \sqrt{66}}{16}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:

$\frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \frac{66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{\frac{178-66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{\frac{112}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{112}{16\sqrt{66}} = \frac{7}{\sqrt{66}}$.

Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{7\sqrt{66}}{66}$.

Ответ: $\frac{7}{\sqrt{66}}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{5(x-5)(x+1)}{x+3} - 4x$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки в числителе дроби:

$(x-5)(x+1) = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$.

$f(x) = \frac{5(x^2-4x-5)}{x+3} - 4x = \frac{5x^2 - 20x - 25}{x+3} - 4x$.

Производная разности равна разности производных:

$f'(x) = \left(\frac{5x^2 - 20x - 25}{x+3}\right)' - (4x)'$.

Производная второго слагаемого: $(4x)' = 4$.

Для нахождения производной первого слагаемого используем правило дифференцирования частного, где $u(x) = 5x^2 - 20x - 25$ и $v(x) = x+3$.

$u'(x) = 10x - 20$ и $v'(x) = 1$.

Найдем значения этих выражений в точке $x_0 = 2$:

$u(2) = 5(2)^2 - 20(2) - 25 = 20 - 40 - 25 = -45$.

$v(2) = 2+3 = 5$.

$u'(2) = 10(2) - 20 = 20 - 20 = 0$.

$v'(2) = 1$.

Значение производной дроби в точке $x_0=2$:

$\left(\frac{u}{v}\right)'(2) = \frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{(v(2))^2} = \frac{0 \cdot 5 - (-45) \cdot 1}{5^2} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$.

Теперь находим значение производной исходной функции $f'(x)$ в точке $x_0=2$:

$f'(2) = \frac{9}{5} - 4 = \frac{9}{5} - \frac{20}{5} = -\frac{11}{5}$.

Ответ: $-\frac{11}{5}$

41.5. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = \frac{5x^2 - 3x - 1}{x - 3}$;

2) $f(x) = \frac{2 - 5x^2}{x^2 + 3x}$;

3) $f(x) = \frac{5x}{x + 5} - x$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x + 3} - \frac{2x}{x + 3}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{5x^2 - 3x - 1}{x - 3}$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 5x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x - 3$.

Тогда $u'(x) = 10x - 3$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу производной:

$f'(x) = \frac{(10x - 3)(x - 3) - (5x^2 - 3x - 1) \cdot 1}{(x - 3)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{10x^2 - 30x - 3x + 9 - 5x^2 + 3x + 1}{(x - 3)^2} = \frac{5x^2 - 30x + 10}{(x - 3)^2}$

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{5x^2 - 30x + 10}{(x - 3)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Область определения функции $x \neq 3$.

$5x^2 - 30x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$x^2 - 6x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.

Полученные корни $x_1 = 3 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{7}$ не равны 3, следовательно, они являются решениями.

Ответ: $3 - \sqrt{7}; 3 + \sqrt{7}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2 - 5x^2}{x^2 + 3x}$.

Найдем производную функции, используя правило производной частного. Область определения функции: $x^2+3x \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Пусть $u(x) = 2 - 5x^2$ и $v(x) = x^2 + 3x$.

Тогда $u'(x) = -10x$ и $v'(x) = 2x + 3$.

$f'(x) = \frac{(-10x)(x^2 + 3x) - (2 - 5x^2)(2x + 3)}{(x^2 + 3x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{-10x^3 - 30x^2 - (4x + 6 - 10x^3 - 15x^2)}{(x^2 + 3x)^2} = \frac{-10x^3 - 30x^2 - 4x - 6 + 10x^3 + 15x^2}{(x^2 + 3x)^2}$

$f'(x) = \frac{-15x^2 - 4x - 6}{(x^2 + 3x)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-15x^2 - 4x - 6}{(x^2 + 3x)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$-15x^2 - 4x - 6 = 0$

$15x^2 + 4x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 15 \cdot 6 = 16 - 360 = -344$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

3) Дана функция $f(x) = \frac{5x}{x+5} - x$.

Сначала упростим выражение для функции, приведя к общему знаменателю. Область определения: $x \neq -5$.

$f(x) = \frac{5x - x(x+5)}{x+5} = \frac{5x - x^2 - 5x}{x+5} = \frac{-x^2}{x+5}$

Теперь найдем производную функции $f(x) = \frac{-x^2}{x+5}$ по правилу производной частного.

Пусть $u(x) = -x^2$ и $v(x) = x+5$.

Тогда $u'(x) = -2x$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(-2x)(x+5) - (-x^2) \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{-2x^2 - 10x + x^2}{(x+5)^2} = \frac{-x^2 - 10x}{(x+5)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-x^2 - 10x}{(x+5)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$-x^2 - 10x = 0$

$-x(x + 10) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$. Оба корня входят в область определения функции ($x \neq -5$).

Ответ: $-10; 0$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x+3} - \frac{2x}{x+3}$.

Упростим выражение для функции, так как знаменатели дробей одинаковы. Область определения: $x \neq -3$.

$f(x) = \frac{x^2 + 7x - 2x}{x+3} = \frac{x^2 + 5x}{x+3}$

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x+3}$ по правилу производной частного.

Пусть $u(x) = x^2 + 5x$ и $v(x) = x+3$.

Тогда $u'(x) = 2x+5$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2x+5)(x+3) - (x^2 + 5x) \cdot 1}{(x+3)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 6x + 5x + 15 - x^2 - 5x}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 15}{(x+3)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{x^2 + 6x + 15}{(x+3)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 + 6x + 15 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

41.6. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$:
1) $f(x) = x^2 + 1,2x - 2\sqrt{3}$;
2) $f(x) = x^3 + 6x^2 - \sqrt{3}$;
3) $f(x) = x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7}$;
4) $f(x) = x^3 + 3x^4 - 3x^2 + 1.

1) Дана функция $f(x) = x^2 + 1.2x - 2\sqrt{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 1.2x - 2\sqrt{3})' = 2x^{2-1} + 1.2x^{1-1} - 0 = 2x + 1.2$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$2x + 1.2 \ge 0$

$2x \ge -1.2$

$x \ge \frac{-1.2}{2}$

$x \ge -0.6$

Решение неравенства в виде промежутка: $x \in [-0.6, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-0.6, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 + 6x^2 - \sqrt{3}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 6x^2 - \sqrt{3})' = 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 3x^2 + 12x$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$3x^2 + 12x \ge 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 4) \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x(x + 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 12x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс, то есть при $x \le -4$ и $x \ge 0$.

Решение неравенства в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 + 111x^3 - 21\sqrt{7})' = 5x^4 + 111 \cdot 3x^2 - 0 = 5x^4 + 333x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$5x^4 + 333x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(5x^2 + 333) \ge 0$

Рассмотрим множители. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Выражение $5x^2 + 333$ всегда положительно, так как $5x^2 \ge 0$, и следовательно $5x^2 + 333 \ge 333 > 0$.

Произведение неотрицательного выражения ($x^2$) и строго положительного выражения ($5x^2 + 333$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = x^5 + \frac{5}{2}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 + \frac{5}{2}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + 1)' = 5x^4 + \frac{5}{2} \cdot 4x^3 - \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 0 = 5x^4 + 10x^3 - 10x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$5x^4 + 10x^3 - 10x^2 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x^4 + 2x^3 - 2x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 2x - 2) \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, неравенство будет выполняться в двух случаях:

1. Когда $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. При $x=0$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$.

2. Когда $x^2 > 0$ (то есть $x \neq 0$), неравенство эквивалентно $x^2 + 2x - 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.

Объединяя решение из пункта 1 ($x=0$) и пункта 2, получаем окончательное решение. Заметим, что точка $x=0$ не входит в промежутки из пункта 2, так как $-1-\sqrt{3} < 0 < -1+\sqrt{3}$, поэтому ее нужно включить в ответ отдельно.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$.

41.7. Напишите формулу какой-либо функции $f(x)$, производная которой равна:

1) $4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}$;

2) $\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x$;

3) $5x^3 - 0.6x^2 + \sqrt{7}x - 4$;

4) $-\frac{5}{x^3} + x^4 - 7$;

5) $-\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1$;

6) $\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6 - 7x$.

1) Чтобы найти функцию $f(x)$, производная которой равна $f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}$, необходимо найти ее первообразную (неопределенный интеграл). Операция нахождения первообразной обратна дифференцированию. Используем основное правило интегрирования степенной функции $\int kx^n dx = k \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$f(x) = \int (4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}) dx = \int 4x^3 dx + \int 6x^2 dx - \int 2\sqrt{3} dx$

$f(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\sqrt{3} \cdot x + C = 4 \frac{x^4}{4} + 6 \frac{x^3}{3} - 2\sqrt{3}x + C = x^4 + 2x^3 - 2\sqrt{3}x + C$.

По условию задачи требуется найти любую такую функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Пусть $C=0$.

Ответ: $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2\sqrt{3}x$.

2) Дана производная $f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x$. Находим первообразную, интегрируя каждый член выражения по отдельности.

$f(x) = \int (\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x) dx = \int \frac{1}{2}x^3 dx - \int 3x^2 dx - \int \sqrt{3}x dx$

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - \sqrt{3} \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{1}{2} \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} - \sqrt{3} \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{8}x^4 - x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + C$.

Полагая константу интегрирования $C=0$, получаем одну из возможных функций.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$.

3) Дана производная $f'(x) = 5x^3 - 0,6x^2 + \sqrt{7}x - 4$. Находим первообразную.

$f(x) = \int (5x^3 - 0,6x^2 + \sqrt{7}x - 4) dx = 5\frac{x^4}{4} - 0,6\frac{x^3}{3} + \sqrt{7}\frac{x^2}{2} - 4x + C = \frac{5}{4}x^4 - 0,2x^3 + \frac{\sqrt{7}}{2}x^2 - 4x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - 0,2x^3 + \frac{\sqrt{7}}{2}x^2 - 4x$.

4) Дана производная $f'(x) = -\frac{5}{x^3} + x^4 - 7$. Для интегрирования представим первый член в виде степени: $-\frac{5}{x^3} = -5x^{-3}$.

$f(x) = \int (-5x^{-3} + x^4 - 7) dx = -5 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + \frac{x^{4+1}}{4+1} - 7x + C = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C = \frac{5}{2}x^{-2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C = \frac{5}{2x^2} + \frac{1}{5}x^5 - 7x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{2x^2} + \frac{1}{5}x^5 - 7x$.

5) Дана производная $f'(x) = -\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1$. Перепишем первый член как $-5x^{-4}$ и найдем первообразную.

$f(x) = \int (-5x^{-4} + 3x^4 - 7x + 1) dx = -5 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + 3\frac{x^{4+1}}{4+1} - 7\frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C = -5 \frac{x^{-3}}{-3} + 3\frac{x^5}{5} - 7\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{5}{3}x^{-3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x + C = \frac{5}{3x^3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{3x^3} + \frac{3}{5}x^5 - \frac{7}{2}x^2 + x$.

6) Дана производная $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6 - 7x$. Представим член $\frac{5}{x^3}$ как $5x^{-3}$ и проинтегрируем выражение.

$f(x) = \int (\frac{\sqrt{5}}{3} + 5x^{-3} - x^6 - 7x) dx = \frac{\sqrt{5}}{3}x + 5 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - \frac{x^{6+1}}{6+1} - 7\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{\sqrt{5}}{3}x + 5 \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{x^7}{7} - 7\frac{x^2}{2} + C = \frac{\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{2x^2} - \frac{1}{7}x^7 - \frac{7}{2}x^2 + C$.

Выберем $C=0$.

Ответ: $f(x) = \frac{\sqrt{5}}{3}x - \frac{5}{2x^2} - \frac{1}{7}x^7 - \frac{7}{2}x^2$.

41.8. Найдите значение производной функции в точке $x = -1$:

1) $f(x) = x^2 + \sqrt{x+2} - \sqrt{3}$;

2) $f(x) = x^3 - \sqrt{x+5} - 1$;

3) $f(x) = \sqrt{2x^2} + \sqrt{x+2} - \sqrt{2x}$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x+2} - \sqrt{3}$.

Для нахождения значения производной в точке $x = -1$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования.

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $f'(x) = (x^2)' + (\sqrt{x+2})' - (\sqrt{3})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная степенной функции $(x^2)' = 2x$.

• Производная константы $(\sqrt{3})' = 0$.

• Производная сложной функции $(\sqrt{x+2})'$ находится по формуле $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Здесь $u = x+2$, и $u' = 1$. Следовательно, $(\sqrt{x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Собираем производные вместе:

$f'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - 0 = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = 2(-1) + \frac{1}{2\sqrt{-1+2}} = -2 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = -2 + \frac{1}{2} = -1.5$.

Ответ: $-1.5$

2) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{x+5} - 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{x+5} - 1)' = (x^3)' - (\sqrt{x+5})' - (1)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная степенной функции $(x^3)' = 3x^2$.

• Производная сложной функции $(\sqrt{x+5})' = \frac{(x+5)'}{2\sqrt{x+5}} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.

• Производная константы $(1)' = 0$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.

Вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = 3(-1)^2 - \frac{1}{2\sqrt{-1+5}} = 3(1) - \frac{1}{2\sqrt{4}} = 3 - \frac{1}{2 \cdot 2} = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12-1}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$.

Ответ: $2.75$

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x^2} + \sqrt{x+2} - \sqrt{2x}$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо проверить, определена ли функция в этой точке. Для этого найдем область определения функции $f(x)$.

Функция является суммой трех слагаемых, поэтому она определена только для тех $x$, для которых определено каждое слагаемое.

1. Для слагаемого $\sqrt{2x^2}$ подкоренное выражение $2x^2 \ge 0$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется для любого действительного $x$.

2. Для слагаемого $\sqrt{x+2}$ должно выполняться условие $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

3. Для слагаемого $\sqrt{2x}$ должно выполняться условие $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Область определения функции $f(x)$ является пересечением этих условий, то есть $x \ge 0$. Это промежуток $[0; +\infty)$.

Точка $x = -1$, в которой требуется найти производную, не принадлежит области определения функции, так как $-1 < 0$.

Поскольку функция не определена в точке $x = -1$, то и ее производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная в точке $x = -1$ не существует.

Найдите производные функций (41.9—41.11):

41.9. 1) $f(x) = 3x^{-4} + x\sqrt{x} - 2\sqrt{x};$

2) $f(x) = x^{-5} + x^2\sqrt{x} - 4;$

3) $f(x) = x^{-10} + \sqrt{x} - \frac{2}{x}.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = 3x^{-4} + x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$, сначала преобразуем ее, представив все слагаемые в виде степеней переменной $x$.

$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$.

$\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 3x^{-4} + x^{3/2} - 2x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (3x^{-4})' + (x^{3/2})' - (2x^{1/2})' = 3 \cdot (-4)x^{-4-1} + \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$.

Выполним вычисления:

$f'(x) = -12x^{-5} + \frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2}$.

Для удобства можно переписать результат, используя дроби и корни:

$f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = -12x^{-5} + \frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2}$ или $f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-5} + x^2\sqrt{x} - 4$.

Преобразуем слагаемое $x^2\sqrt{x}$ в степенной вид:

$x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2+1/2} = x^{5/2}$.

Функция примет вид: $f(x) = x^{-5} + x^{5/2} - 4$.

Находим производную как сумму производных слагаемых. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

$f'(x) = (x^{-5})' + (x^{5/2})' - (4)'$.

Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = -5x^{-5-1} + \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} - 0$.

$f'(x) = -5x^{-6} + \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Перепишем результат в виде выражения с дробями и корнями:

$f'(x) = -\frac{5}{x^6} + \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = -5x^{-6} + \frac{5}{2}x^{3/2}$ или $f'(x) = -\frac{5}{x^6} + \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-10} + \sqrt{x} - \frac{2}{x}$.

Представим все слагаемые в виде степеней $x$:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$\frac{2}{x} = 2x^{-1}$.

Функция имеет вид: $f(x) = x^{-10} + x^{1/2} - 2x^{-1}$.

Дифференцируем функцию по слагаемым, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-10})' + (x^{1/2})' - (2x^{-1})'$.

$f'(x) = -10x^{-10-1} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot (-1)x^{-1-1}$.

$f'(x) = -10x^{-11} + \frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{-2}$.

Запишем ответ с использованием дробей и корней:

$f'(x) = -\frac{10}{x^{11}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -10x^{-11} + \frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{-2}$ или $f'(x) = -\frac{10}{x^{11}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}$.

41.10. 1) $f(x) = (1 - x^2)\sqrt{x}$;

2) $f(x) = (x^2 - 2x)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = x^2 \cdot (\sqrt{x} - 1)$.

1) Дана функция $f(x) = (1 - x^2)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной этой функции, сначала упростим выражение, раскрыв скобки и представив корень как степень. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = 1 \cdot \sqrt{x} - x^2 \cdot \sqrt{x} = x^{1/2} - x^2 \cdot x^{1/2} = x^{1/2} - x^{2 + 1/2} = x^{1/2} - x^{5/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого.

$f'(x) = (x^{1/2} - x^{5/2})' = (x^{1/2})' - (x^{5/2})'$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Преобразуем полученное выражение обратно к виду с корнями и приведем к общему знаменателю, чтобы упростить.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{5x\sqrt{x}}{2} = \frac{1 - 5x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 5x^2}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1 - 5x^2}{2\sqrt{x}}$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 2x)\sqrt{x}$.

Упростим функцию, раскрыв скобки. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} - 2x^1 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} - 2x^{3/2}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции.

$f'(x) = (x^{5/2} - 2x^{3/2})' = (x^{5/2})' - (2x^{3/2})'$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2} - 3x^{1/2}$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки и приведя к общему знаменателю.

$f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = \sqrt{x} (\frac{5}{2}x - 3) = \frac{\sqrt{x}(5x - 6)}{2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sqrt{x}(5x - 6)}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2(\sqrt{x} - 1)$.

Сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x} - x^2 \cdot 1 = x^2 \cdot x^{1/2} - x^2 = x^{5/2} - x^2$.

Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции.

$f'(x) = (x^{5/2} - x^2)' = (x^{5/2})' - (x^2)'$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - 2x^{2-1} = \frac{5}{2}x^{3/2} - 2x$.

Упростим выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки.

$f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x} - 2x = x(\frac{5}{2}\sqrt{x} - 2) = \frac{x(5\sqrt{x} - 4)}{2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x(5\sqrt{x} - 4)}{2}$.

41.11. 1) $f(x) = 2 - \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

2) $f(x) = \frac{2-\sqrt{x}}{x-2} + 3$;

3) $f(x) = \frac{3\sqrt{x}}{9+2x} - \sqrt{x}$.

1)Для функции $f(x) = 2 - \frac{\sqrt{x}}{x+1}$ найдем ее производную $f'(x)$.

Производная константы равна нулю, а производная разности равна разности производных, поэтому:

$f'(x) = (2)' - (\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = -(\frac{\sqrt{x}}{x+1})'$.

Для нахождения производной дроби $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = \sqrt{x}$ и $v = x+1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (x+1)' = 1$

Подставляем найденные производные в формулу частного:

$(\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} = \frac{x+1 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной дроби:

$(\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = \frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Теперь найдем производную исходной функции, не забывая про знак минуса:

$f'(x) = - \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} = \frac{-(1-x)}{2\sqrt{x}(x+1)^2} = \frac{x-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

2)Для функции $f(x) = \frac{2-\sqrt{x}}{x-2} + 3$ найдем ее производную $f'(x)$.

Производная константы равна нулю, а производная суммы равна сумме производных, поэтому:

$f'(x) = (\frac{2-\sqrt{x}}{x-2})' + (3)' = (\frac{2-\sqrt{x}}{x-2})'$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 2-\sqrt{x}$ и $v = x-2$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (2-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (x-2)' = 1$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(-\frac{1}{2\sqrt{x}})(x-2) - (2-\sqrt{x}) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-\frac{x-2}{2\sqrt{x}} - (2-\sqrt{x})}{(x-2)^2}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$-\frac{x-2}{2\sqrt{x}} - (2-\sqrt{x}) = \frac{-(x-2) - (2-\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{-x+2 - (4\sqrt{x}-2x)}{2\sqrt{x}} = \frac{-x+2-4\sqrt{x}+2x}{2\sqrt{x}} = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}$.

Подставим полученное выражение в производную:

$f'(x) = \frac{\frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}}{(x-2)^2} = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}$.

3)Для функции $f(x) = \frac{3\sqrt{x}}{9+2x} - \sqrt{x}$ найдем ее производную $f'(x)$.

Используем правило производной разности: $f'(x) = (\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})' - (\sqrt{x})'$.

1. Найдем производную первого слагаемого $(\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})'$ по правилу частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u=3\sqrt{x}$, $v=9+2x$.

$u' = (3\sqrt{x})' = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

$v' = (9+2x)' = 2$

$(\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})' = \frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(9+2x) - 3\sqrt{x} \cdot 2}{(9+2x)^2} = \frac{\frac{27+6x}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}}{(9+2x)^2} = \frac{\frac{27+6x - 12x}{2\sqrt{x}}}{(9+2x)^2} = \frac{27-6x}{2\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

2. Найдем производную второго слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Вычтем вторую производную из первой:

$f'(x) = \frac{27-6x}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x}(9+2x)^2$:

$f'(x) = \frac{27-6x - 1 \cdot (9+2x)^2}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} = \frac{27-6x - (81+36x+4x^2)}{2\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$27-6x - 81-36x-4x^2 = -4x^2 - 42x - 54 = -2(2x^2 + 21x + 27)$.

Подставим в производную:

$f'(x) = \frac{-2(2x^2 + 21x + 27)}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} = -\frac{2x^2 + 21x + 27}{\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2x^2 + 21x + 27}{\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

41.12. Докажите, что при всех допустимых значениях x производная функции $y = f(x)$ принимает отрицательные значения:

1) $f(x) = -2x + \frac{2}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^5}$;

3) $f(x) = -3\sqrt{x} + \frac{2}{x}$.

1) Дана функция $f(x) = -2x + \frac{2}{x^3}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Чтобы найти производную, представим функцию в виде со степенными членами: $f(x) = -2x + 2x^{-3}$. Теперь воспользуемся правилами дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot u)' = c \cdot u'$. $f'(x) = (-2x + 2x^{-3})' = (-2x)' + (2x^{-3})' = -2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = -2 - 6x^{-4}$. Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Для любого допустимого значения $x$ (то есть $x \neq 0$), выражение $x^4$ всегда будет положительным, так как четная степень любого ненулевого действительного числа положительна. Следовательно, $x^4 > 0$. Тогда дробь $\frac{6}{x^4}$ также всегда будет положительной. Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел: $-2$ и $-\frac{6}{x^4}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Значит, $f'(x) < 0$ при всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ при всех $x \neq 0$, то слагаемое $-\frac{6}{x^4}$ всегда отрицательно. Сумма двух отрицательных слагаемых ($-2$ и $-\frac{6}{x^4}$) всегда отрицательна.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^5}$. Область допустимых значений определяется условиями $x \neq 0$ и $x^5 \neq 0$, что сводится к одному условию $x \neq 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{-1} + 5x^{-5}$. Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-1} + 5x^{-5})' = (x^{-1})' + (5x^{-5})' = -1 \cdot x^{-1-1} + 5 \cdot (-5)x^{-5-1} = -x^{-2} - 25x^{-6}$. Запишем производную в виде дробей: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Для любого $x \neq 0$, выражения $x^2$ и $x^6$ всегда положительны, так как это степени с четными показателями. Следовательно, $x^2 > 0$ и $x^6 > 0$. Тогда дроби $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{25}{x^6}$ также всегда положительны. Производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел: $-\frac{1}{x^2}$ и $-\frac{25}{x^6}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех допустимых значениях $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Так как $x^2 > 0$ и $x^6 > 0$ при всех $x \neq 0$, оба слагаемых $-\frac{1}{x^2}$ и $-\frac{25}{x^6}$ отрицательны, и их сумма всегда отрицательна.

3) Дана функция $f(x) = -3\sqrt{x} + \frac{2}{x}$. Область допустимых значений определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \geq 0$), а знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$, или $x \in (0; +\infty)$. Представим функцию в виде $f(x) = -3x^{1/2} + 2x^{-1}$. Найдем производную: $f'(x) = (-3x^{1/2} + 2x^{-1})' = (-3x^{1/2})' + (2x^{-1})' = -3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -\frac{3}{2}x^{-1/2} - 2x^{-2}$. Запишем производную в более привычном виде: $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x > 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. В области определения функции $x > 0$. При $x > 0$, корень $\sqrt{x}$ является положительным числом, следовательно, дробь $\frac{3}{2\sqrt{x}}$ также положительна. При $x > 0$, $x^2$ также является положительным числом, следовательно, дробь $\frac{2}{x^2}$ положительна. Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных слагаемых: $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$ и $-\frac{2}{x^2}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех $x > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. В области определения $x > 0$, оба слагаемых $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$ и $-\frac{2}{x^2}$ отрицательны, следовательно, их сумма всегда отрицательна.