Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.1. На рисунке 7.19 изображен график функции $y = f(x)$. Используя график данной функции, перечислите ее свойства.

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что возрастают функции (7.2—7.3):

Рис. 7.19

Свойства функции y = f(x) на основе предоставленного графика:

1. Область определения функции

Это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. График функции построен на отрезке от -4 до 4, включая концы отрезка.

Ответ: $D(f) = [-4; 4]$.

2. Область значений функции

Это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение, достигаемое функцией, равно -2, а наибольшее равно 3.

Ответ: $E(f) = [-2; 3]$.

3. Нули функции

Это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). График пересекает ось абсцисс в трех точках.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x=0$, $x \approx -3.5$ и $x \approx 3.2$.

4. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-3.5; 0) \cup (3.2; 4]$.

Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-4; -3.5) \cup (0; 3.2)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3.5; 0) \cup (3.2; 4]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3.5) \cup (0; 3.2)$ (значения -3.5 и 3.2 являются приблизительными).

5. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.

Функция возрастает, когда ее график идет вверх (слева направо), на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$.

Функция убывает, когда ее график идет вниз, на промежутке $[-2; 2]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$; убывает на промежутке $[-2; 2]$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции

Точка максимума — это точка, в которой возрастание сменяется убыванием. Точка минимума — где убывание сменяется возрастанием.

Точка максимума: $x_{max} = -2$. Максимум функции: $y_{max} = f(-2) = 3$.

Точка минимума: $x_{min} = 2$. Минимум функции: $y_{min} = f(2) = -2$.

Ответ: Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум $y_{max} = 3$. Точка минимума $x_{min} = 2$, минимум $y_{min} = -2$.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции

Это глобальные максимальное и минимальное значения функции на всей области определения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 4]$: $\max_{[-4;4]} f(x) = f(-2) = 3$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 4]$: $\min_{[-4;4]} f(x) = f(2) = -2$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее равно -2.

8. Четность функции

Функция является четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.

График не симметричен относительно оси $y$ (например, $f(-2) = 3$, а $f(2) = -2$), значит, функция не является четной.

График не симметричен относительно начала координат (например, $f(-2) = 3$, а $-f(2) = -(-2) = 2$), значит, функция не является нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что возрастают функции (7.2–7.3):

Данное предложение, вероятнее всего, является общей инструкцией для задач 7.2 и 7.3, которые не представлены на изображении. Оно формулирует задание доказать, что некоторые (другие) функции являются возрастающими.

Доказательство возрастания функции $f(x)$ на некотором промежутке по определению заключается в том, чтобы показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Для такого доказательства необходимо знать аналитическое задание функции (ее формулу).

Функция $y=f(x)$, график которой приведен на рисунке, не является возрастающей на всей области определения. Как было установлено выше, она возрастает только на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$. Доказать этот факт строго, пользуясь определением, невозможно без формулы функции.

Ответ: Данное задание не может быть выполнено для функции, представленной на графике, так как она не является монотонно возрастающей на всей области определения, и ее аналитическая формула неизвестна. Это инструкция для других задач.

1) $y = 9 + 2x$;

2) $y = 6x + 1$;

3) $y = -8 + 4x$;

4) $y = 0.5x - 3$;

5) $y = x^3 + 3$;

6) $y = 0.2x^3$;

7) $y = -5 + x^3$;

8) $y = x^3 - 1$.

1) Чтобы найти производную функции $y = 9 + 2x$, воспользуемся правилами дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных: $y' = (9 + 2x)' = (9)' + (2x)'$. Производная константы (числа 9) равна нулю: $(9)' = 0$. Производная функции $kx$ равна $k$, поэтому $(2x)' = 2$. Таким образом, $y' = 0 + 2 = 2$.

Ответ: $y' = 2$.

2) Найдём производную функции $y = 6x + 1$. Используем правило производной суммы: $y' = (6x + 1)' = (6x)' + (1)'$. Производная от $6x$ равна 6, а производная от константы 1 равна 0. Следовательно, $y' = 6 + 0 = 6$.

Ответ: $y' = 6$.

3) Найдём производную функции $y = -8 + 4x$. Применим правило производной суммы: $y' = (-8 + 4x)' = (-8)' + (4x)'$. Производная константы -8 равна 0, а производная от $4x$ равна 4. В результате получаем $y' = 0 + 4 = 4$.

Ответ: $y' = 4$.

4) Для функции $y = 0,5x - 3$ производная находится по правилу производной разности: $y' = (0,5x - 3)' = (0,5x)' - (3)'$. Производная от $0,5x$ равна 0,5, а производная от константы 3 равна 0. Таким образом, $y' = 0,5 - 0 = 0,5$.

Ответ: $y' = 0,5$.

5) Найдём производную функции $y = x^3 + 3$. Используем правило производной суммы и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Получаем: $y' = (x^3 + 3)' = (x^3)' + (3)'$. Производная от $x^3$ равна $3x^{3-1} = 3x^2$. Производная константы 3 равна 0. Следовательно, $y' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$.

6) Для функции $y = 0,2x^3$ применим правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для степенной функции: $y' = (0,2x^3)' = 0,2 \cdot (x^3)'$. Производная от $x^3$ равна $3x^2$. Таким образом, $y' = 0,2 \cdot 3x^2 = 0,6x^2$.

Ответ: $y' = 0,6x^2$.

7) Найдём производную функции $y = -5 + x^3$. По правилу производной суммы: $y' = (-5 + x^3)' = (-5)' + (x^3)'$. Производная константы -5 равна 0, а производная от $x^3$ равна $3x^2$. В результате $y' = 0 + 3x^2 = 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$.

8) Для функции $y = x^3 - 1$ производная находится по правилу производной разности: $y' = (x^3 - 1)' = (x^3)' - (1)'$. Производная от $x^3$ по степенному правилу равна $3x^2$. Производная константы 1 равна 0. Таким образом, $y' = 3x^2 - 0 = 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$.

7.3.1) $y = x^2 - 4$ при $x \ge 2$; 2) $y = -x^2 + 2$ при $x \le -3;

3) $y = -\frac{4}{x}$ при $x \le -4$; 4) $y = -\frac{3}{x}$ при $x \ge 3.$

1) Чтобы найти множество значений функции $y = x^2 - 4$ на промежутке $x \ge 2$, проанализируем ее поведение. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -4)$. На промежутке $x \ge 2$ функция является строго возрастающей, так как этот промежуток находится правее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой граничной точке, то есть при $x=2$. Вычислим это значение: $y(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение $y$ также стремится к $+\infty$, верхнего предела у функции нет. Таким образом, множество значений функции на данном промежутке — это все числа от 0 включительно и до бесконечности.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2$ на промежутке $x \le -3$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$. На промежутке $x \le -3$, который находится левее вершины, функция является строго убывающей. Это значит, что наибольшее значение на этом промежутке функция примет в его правой граничной точке, то есть при $x=-3$. Вычислим это значение: $y(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$. При $x \to -\infty$ значение $y$ будет стремиться к $-\infty$. Таким образом, множество значений функции — это все числа от минус бесконечности до -7 включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -7]$.

3) Функция $y = -\frac{4}{x}$ является гиперболой с ветвями во II и IV координатных четвертях. Мы рассматриваем промежуток $x \le -4$, который является частью ветви во II четверти. На этом промежутке функция является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает в правой граничной точке, при $x=-4$: $y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$. Чтобы найти нижнюю границу множества значений, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$. Предел функции равен $\lim_{x \to -\infty} (-\frac{4}{x}) = 0$. Поскольку $x$ в данном промежутке отрицателен, дробь $-\frac{4}{x}$ всегда положительна, то есть $y>0$. Значит, функция стремится к 0 снизу, не достигая этого значения. Таким образом, множество значений — это полуинтервал от 0 до 1.

Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

4) Функция $y = -\frac{3}{x}$ является гиперболой с ветвями во II и IV координатных четвертях. Нас интересует промежуток $x \ge 3$, который является частью ветви в IV четверти. На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке, при $x=3$: $y(3) = -\frac{3}{3} = -1$. Чтобы найти верхнюю границу, рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$. Предел функции равен $\lim_{x \to +\infty} (-\frac{3}{x}) = 0$. Поскольку $x$ в данном промежутке положителен, дробь $-\frac{3}{x}$ всегда отрицательна, то есть $y<0$. Значит, функция стремится к 0 снизу, не достигая этого значения. Таким образом, множество значений — это полуинтервал от -1 до 0.

Ответ: $E(y) = [-1; 0)$.

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что убывают функции (7.4–7.5):

7.4.1)

1) $y = 2.5 - 4x$; 2) $y = -3x + 2$; 3) $y = -7 - x$; 4) $y = -3.5x + 8$; 5) $y = -x^3 + 2$; 6) $y = -2x^3$; 7) $y = -6 - x^3$; 8) $y = -x^3 - 4$.

Для доказательства того, что функция является убывающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Мы будем использовать свойства числовых неравенств.

1) Рассмотрим функцию $y = 2,5 - 4x$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа, такие, что $x_1 < x_2$.

1. Умножим обе части верного неравенства $x_1 < x_2$ на -4. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный: $-4x_1 > -4x_2$.

2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число 2,5. Знак неравенства при этом не изменится: $2,5 - 4x_1 > 2,5 - 4x_2$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_1) > y(x_2)$. Поскольку из $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, данная функция является убывающей. Ответ: Доказано, что функция убывает.

2) Рассмотрим функцию $y = -3x + 2$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -3, изменив его знак: $-3x_1 > -3x_2$.

2. Прибавим 2 к обеим частям: $-3x_1 + 2 > -3x_2 + 2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

3) Рассмотрим функцию $y = -7 - x$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1 > -x_2$.

2. Вычтем 7 из обеих частей (что равносильно прибавлению -7): $-7 - x_1 > -7 - x_2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

4) Рассмотрим функцию $y = -3,5x + 8$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -3,5, изменив его знак: $-3,5x_1 > -3,5x_2$.

2. Прибавим 8 к обеим частям: $-3,5x_1 + 8 > -3,5x_2 + 8$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

5) Рассмотрим функцию $y = -x^3 + 2$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Функция $g(x) = x^3$ является возрастающей, поэтому из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство $x_1^3 < x_2^3$ на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Прибавим 2 к обеим частям: $-x_1^3 + 2 > -x_2^3 + 2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

6) Рассмотрим функцию $y = -2x^3$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -2, изменив его знак: $-2x_1^3 > -2x_2^3$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

7) Рассмотрим функцию $y = -6 - x^3$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Вычтем 6 из обеих частей: $-x_1^3 - 6 > -x_2^3 - 6$, или $ -6 - x_1^3 > -6 - x_2^3$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

8) Рассмотрим функцию $y = -x^3 - 4$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Вычтем 4 из обеих частей: $-x_1^3 - 4 > -x_2^3 - 4$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

7.5.1) $y = x^2 - 9$ при $x \le -2$;

2) $y = -x^2 + 4$ при $x \ge 3$;

3) $y = \frac{5}{x}$ при $x \ge 5$;

4) $y = \frac{2}{x}$ при $x \le -4$.

7.5.1) 1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 9$ на промежутке $x \le -2$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -9)$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является убывающей. Заданный промежуток $x \in (-\infty, -2]$ является частью промежутка $(-\infty, 0]$, следовательно, на нем функция $y = x^2 - 9$ также является убывающей.

Поскольку функция убывает, свое наименьшее значение на этом промежутке она примет на его правой границе, то есть при $x = -2$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(-2) = (-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, $x^2$ стремится к $+\infty$, и, соответственно, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от $-5$ включительно и больше.

Ответ: $y \in [-5, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4$ на промежутке $x \ge 3$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 4)$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = -x^2$ является убывающей. Заданный промежуток $x \in [3, +\infty)$ является частью промежутка $[0, +\infty]$, следовательно, на нем функция $y = -x^2 + 4$ также является убывающей.

Поскольку функция убывает, свое наибольшее значение на этом промежутке она примет на его левой границе, то есть при $x = 3$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(3) = -(3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5$.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, $-x^2$ стремится к $-\infty$, и, соответственно, значение $y$ также стремится к $-\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от $-5$ включительно и меньше.

Ответ: $y \in (-\infty, -5]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{5}{x}$ на промежутке $x > 5$.

График этой функции — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. На промежутке $(0, +\infty)$ эта функция является убывающей.

Заданный промежуток $x \in (5, +\infty)$ является частью промежутка $(0, +\infty)$, следовательно, на нем функция также убывает. Это означает, что с ростом $x$ значение $y$ уменьшается.

Найдем предельные значения функции на границах этого промежутка. Когда $x$ стремится к 5 (справа), значение $y$ стремится к $\frac{5}{5} = 1$. Поскольку точка $x=5$ не входит в область определения, значение $y=1$ не достигается.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, значение дроби $y = \frac{5}{x}$ стремится к 0.

Так как функция на промежутке $(5, +\infty)$ непрерывна и строго убывает, она принимает все значения между ее предельными значениями, то есть между 0 и 1, не включая концы.

Ответ: $y \in (0, 1)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x}$ на промежутке $x \le -4$.

График этой функции — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. На промежутке $(-\infty, 0)$ эта функция является убывающей.

Заданный промежуток $x \in (-\infty, -4]$ является частью промежутка $(-\infty, 0)$, следовательно, на нем функция также убывает. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.

Наименьшее значение функция будет принимать в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -4$. Вычислим это значение: $y(-4) = \frac{2}{-4} = -0.5$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение дроби $y = \frac{2}{x}$ стремится к 0 (оставаясь отрицательным). Таким образом, 0 является верхней границей для значений $y$, но это значение не достигается.

Следовательно, функция принимает все значения от $-0.5$ включительно до 0 не включительно.

Ответ: $y \in [-0.5, 0)$.

1. Что означает производная для функции $y = f(x)$?

2. Всякая ли функция дифференцируема?

1. Что означает производная для функции y = f(x)?

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ – это одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое описывает скорость изменения функции в данной точке. Формально производная определяется как предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда последнее стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Это определение имеет несколько важных интерпретаций:

Геометрический смысл:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если $k$ – угловой коэффициент касательной, а $\alpha$ – угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, то:

$k = \tan \alpha = f'(x_0)$

Таким образом, производная показывает, насколько "круто" идет вверх или вниз график функции в данной точке. Положительная производная означает, что функция возрастает, отрицательная – что функция убывает, а нулевая производная может указывать на точку экстремума (максимум или минимум).

Физический (механический) смысл:

Если функция $s(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки (т.е. зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$), то её производная $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

В более общем смысле, производная функции $y = f(x)$ характеризует скорость протекания любого процесса, описываемого этой функцией. Например, это может быть скорость химической реакции, скорость изменения температуры, плотность тока и т.д.

Ответ: Производная функции в точке – это скорость изменения функции в этой точке. Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику функции, а физически – мгновенная скорость процесса, описываемого функцией.

2. Всякая ли функция дифференцируема?

Нет, не всякая функция является дифференцируемой. Чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в некоторой точке $x_0$, необходимо, чтобы она была непрерывна в этой точке. Однако непрерывность является необходимым, но не достаточным условием. Существует несколько причин, по которым функция может не иметь производной в точке:

1. Разрыв функции. Если функция имеет разрыв в точке $x_0$, она не может быть в ней дифференцируема. В точке разрыва невозможно провести единственную касательную к графику.

2. Наличие "излома" или "угла". Функция может быть непрерывной, но иметь в точке "острый угол", где невозможно провести однозначную касательную. Классическим примером является функция модуль: $f(x) = |x|$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси, но недифференцируема в точке $x=0$. В этой точке левосторонняя и правосторонняя производные не равны:

Предел слева: $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$

Предел справа: $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

Поскольку пределы не совпадают ($-1 \neq 1$), производная в точке $x=0$ не существует.

3. Наличие вертикальной касательной. Если в некоторой точке касательная к графику функции становится вертикальной, то её угловой коэффициент (тангенс угла наклона) не определён (стремится к бесконечности). Следовательно, производная в этой точке не существует. Примером служит функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$. Касательной к её графику в этой точке является ось Oy.

Более того, существуют функции, которые непрерывны на всей числовой оси, но недифференцируемы ни в одной её точке. Таким примером является функция Вейерштрасса.

Ответ: Нет, не всякая функция дифференцируема. Функция недифференцируема в точках разрыва, в точках "излома" графика или в точках с вертикальной касательной.

40.1. Для функции $y = f(x)$ найдите отношение $\Delta f$ к $\Delta x$ при переходе от точки с абсциссой $x$ к точке с абсциссой $x + \Delta x$, если:

1) $f(x) = 3x^2 + 1$;

2) $f(x) = x^2 - 2x$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \sqrt{3x}$;

5) $f(x) = \cos x$;

6) $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$ (так называемое разностное отношение) для функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ находится по формуле: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$

1) Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$

Сначала находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x)^2 + 1) - (3x^2 + 1)$

$= 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 1 - 3x^2 - 1$

$= 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 3x^2$

$= 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$

Теперь находим искомое отношение, разделив $\Delta f$ на $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x$

Ответ: $6x + 3\Delta x$

2) Для функции $f(x) = x^2 - 2x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 - 2(x + \Delta x)) - (x^2 - 2x)$

$= (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - 2\Delta x) - x^2 + 2x$

$= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2\Delta x$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 2)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 2$

Ответ: $2x + \Delta x - 2$

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$

Приводим к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x) \cdot \Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $-\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

4) Для функции $f(x) = \sqrt{3x}$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x} = \sqrt{3x + 3\Delta x} - \sqrt{3x}$

Для нахождения отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{3x + 3\Delta x} - \sqrt{3x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

$= \frac{(\sqrt{3x + 3\Delta x})^2 - (\sqrt{3x})^2}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})} = \frac{(3x + 3\Delta x) - 3x}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})}$

$= \frac{3\Delta x}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})} = \frac{3}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

5) Для функции $f(x) = \cos x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \cos(x + \Delta x) - \cos x$

Применим тригонометрическую формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\Delta f = -2\sin\frac{(x+\Delta x)+x}{2}\sin\frac{(x+\Delta x)-x}{2} = -2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

Ответ: $\frac{-2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

6) Для функции $f(x) = \operatorname{tg}x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \operatorname{tg}(x + \Delta x) - \operatorname{tg}x$

Применим формулу разности тангенсов, предварительно выразив тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$:

$\Delta f = \frac{\sin((x + \Delta x) - x)}{\cos(x + \Delta x)\cos x} = \frac{\sin(\Delta x)}{\cos(x + \Delta x)\cos x}$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x \cos(x + \Delta x)\cos x}$

Ответ: $\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x \cos(x + \Delta x)\cos x}$

40.2. Найдите $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке с абсциссой $x_0$ и отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

1) $f(x) = 5x - x^2$, $x_0 = 5,2$, $x = 5,3$;

2) $f(x) = x + 2x^2 - 1$, $x_0 = -6,4$, $x = -6,5$;

3) $f(x) = \sin3x - 2$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = \cos2x + 2$, $x_0 = -\frac{\pi}{3}$, $x = -\frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = 5x - x^2$, точка $x_0 = 5,2$ и $x = 5,3$.

Приращение аргумента $\Delta x$ равно разности между новым и начальным значением аргумента:

$\Delta x = x - x_0 = 5,3 - 5,2 = 0,1$.

Приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(5,3) - f(5,2)$.

Вычислим значения функции:

$f(5,3) = 5 \cdot 5,3 - (5,3)^2 = 26,5 - 28,09 = -1,59$.

$f(5,2) = 5 \cdot 5,2 - (5,2)^2 = 26 - 27,04 = -1,04$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = -1,59 - (-1,04) = -1,59 + 1,04 = -0,55$.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-0,55}{0,1} = -5,5$.

Ответ: $\Delta x = 0,1$; $\Delta f = -0,55$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -5,5$.

2) Дана функция $f(x) = x + 2x^2 - 1$, точка $x_0 = -6,4$ и $x = -6,5$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = -6,5 - (-6,4) = -6,5 + 6,4 = -0,1$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(-6,5) - f(-6,4)$.

Вычислим значения функции:

$f(-6,5) = -6,5 + 2(-6,5)^2 - 1 = -6,5 + 2 \cdot 42,25 - 1 = -6,5 + 84,5 - 1 = 77$.

$f(-6,4) = -6,4 + 2(-6,4)^2 - 1 = -6,4 + 2 \cdot 40,96 - 1 = -6,4 + 81,92 - 1 = 74,52$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = 77 - 74,52 = 2,48$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2,48}{-0,1} = -24,8$.

Ответ: $\Delta x = -0,1$; $\Delta f = 2,48$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -24,8$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(3x) - 2$, точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) - f(\frac{\pi}{3})$.

Вычислим значения функции:

$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = \sin(\frac{3\pi}{4}) - 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$.

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - 2 = \sin(\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = (\frac{\sqrt{2}}{2} - 2) - (-2) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\pi}{12}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12}{\pi} = -\frac{12\sqrt{2}}{2\pi} = -\frac{6\sqrt{2}}{\pi}$.

Ответ: $\Delta x = -\frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{6\sqrt{2}}{\pi}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos(2x) + 2$, точка $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = -\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(-\frac{\pi}{4}) - f(-\frac{\pi}{3})$.

Вычислим значения функции:

$f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + 2 = \cos(-\frac{\pi}{2}) + 2 = 0 + 2 = 2$.

$f(-\frac{\pi}{3}) = \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{3})) + 2 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{12}{2\pi} = \frac{6}{\pi}$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{1}{2}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6}{\pi}$.

40.3. Найдите $y'(x_0)$ по определению производной в указанной точке:

1) $y = \frac{x-1}{x+1}$ при $x_0 = 2$;

2) $y = \frac{x^2+1}{x-2}$ при $x_0 = 1$;

3) $y = \frac{x+2}{x-4}$ при $x_0 = 5$;

4) $y = \frac{x^2+1}{x^2+5x}$ при $x_0 = -1$;

5) $y = 2x^3$ при $x_0 = 3$;

6) $y = \frac{x^3}{(x+1)^2}$ при $x_0 = -2$.

1) Для функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0 = 2$ находим производную по определению.

Определение производной: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x}$.

Сначала вычислим значения функции:

$y(x_0) = y(2) = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(2 + \Delta x) = \frac{(2 + \Delta x) - 1}{(2 + \Delta x) + 1} = \frac{1 + \Delta x}{3 + \Delta x}$.

Теперь подставим в определение производной и вычислим предел:

$y'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1 + \Delta x}{3 + \Delta x} - \frac{1}{3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{3(1 + \Delta x) - 1(3 + \Delta x)}{3(3 + \Delta x)} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3 + 3\Delta x - 3 - \Delta x}{3\Delta x(3 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{3\Delta x(3 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{3(3 + \Delta x)} = \frac{2}{3(3+0)} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2+1}{x-2}$ в точке $x_0 = 1$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(1) = \frac{1^2+1}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(1 + \Delta x) = \frac{(1 + \Delta x)^2 + 1}{(1 + \Delta x) - 2} = \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1}{\Delta x - 1} = \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x - 1}$.

Вычисляем предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x - 1} - (-2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 2(\Delta x - 1)}{\Delta x - 1} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x - 2}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(4 + \Delta x)}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 + \Delta x}{\Delta x - 1} = \frac{4+0}{0-1} = -4$.

Ответ: $-4$.

3) Для функции $y = \frac{x+2}{x-4}$ в точке $x_0 = 5$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(5) = \frac{5+2}{5-4} = \frac{7}{1} = 7$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(5 + \Delta x) = \frac{(5 + \Delta x) + 2}{(5 + \Delta x) - 4} = \frac{7 + \Delta x}{1 + \Delta x}$.

Вычисляем предел:

$y'(5) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{7 + \Delta x}{1 + \Delta x} - 7}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{7 + \Delta x - 7(1 + \Delta x)}{1 + \Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{7 + \Delta x - 7 - 7\Delta x}{\Delta x(1 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-6\Delta x}{\Delta x(1 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-6}{1 + \Delta x} = \frac{-6}{1+0} = -6$.

Ответ: $-6$.

4) Для функции $y = \frac{x^2+1}{x^2+5x}$ в точке $x_0 = -1$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(-1) = \frac{(-1)^2+1}{(-1)^2+5(-1)} = \frac{1+1}{1-5} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(-1 + \Delta x) = \frac{(-1+\Delta x)^2+1}{(-1+\Delta x)^2+5(-1+\Delta x)} = \frac{1-2\Delta x+(\Delta x)^2+1}{1-2\Delta x+(\Delta x)^2-5+5\Delta x} = \frac{2-2\Delta x+(\Delta x)^2}{-4+3\Delta x+(\Delta x)^2}$.

Вычисляем предел:

$y'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2-2\Delta x+(\Delta x)^2}{-4+3\Delta x+(\Delta x)^2} - (-\frac{1}{2})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{2(2-2\Delta x+(\Delta x)^2) + 1(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)}{2(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4-4\Delta x+2(\Delta x)^2 - 4+3\Delta x+(\Delta x)^2}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x+3(\Delta x)^2}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-1+3\Delta x)}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1+3\Delta x}{2(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \frac{-1+0}{2(-4+0+0)} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

5) Для функции $y = 2x^3$ в точке $x_0 = 3$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(3) = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(3 + \Delta x) = 2(3 + \Delta x)^3 = 2(27 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 54 + 54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3$.

Вычисляем предел:

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(54 + 54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3) - 54}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(54 + 18\Delta x + 2(\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (54 + 18\Delta x + 2(\Delta x)^2) = 54+0+0 = 54$.

Ответ: $54$.

6) Для функции $y = \frac{x^3}{(x+1)^2}$ в точке $x_0 = -2$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(-2) = \frac{(-2)^3}{(-2+1)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = -8$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(-2 + \Delta x) = \frac{(-2+\Delta x)^3}{(-2+\Delta x+1)^2} = \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{(-1+\Delta x)^2} = \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2}$.

Вычисляем предел:

$y'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} - (-8)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 8(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 8 - 16\Delta x + 8(\Delta x)^2}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4\Delta x + 2(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-4 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} = \frac{-4+0+0}{1-0+0} = -4$.

Ответ: $-4$.

40.4. Точка движется по прямой по закону $s = t^3 + 2t^2 + 3$, где длина пути $s$ измеряется в сантиметрах, время $t$ — в секундах. Найдите среднюю скорость за промежуток времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 1 + \Delta t$, считая $\Delta t = 0,5; 0,2; 0,1$.

Средняя скорость $v_{ср}$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Закон движения точки задан уравнением $s(t) = t^3 + 2t^2 + 3$. Нам нужно найти среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 1 + \Delta t$ с.

Найдем сначала общее выражение для средней скорости на этом промежутке. Приращение времени равно $\Delta t = t_2 - t_1 = (1 + \Delta t) - 1 = \Delta t$.

Теперь найдем приращение пути $\Delta s$.

Значение пути в начальный момент времени $t_1 = 1$:

$s(t_1) = s(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$ см.

Значение пути в конечный момент времени $t_2 = 1 + \Delta t$:

$s(t_2) = s(1 + \Delta t) = (1 + \Delta t)^3 + 2(1 + \Delta t)^2 + 3$

Раскроем скобки в выражении для $s(1 + \Delta t)$:

$(1 + \Delta t)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \Delta t + 3 \cdot 1 \cdot (\Delta t)^2 + (\Delta t)^3 = 1 + 3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3$

$2(1 + \Delta t)^2 = 2(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \Delta t + (\Delta t)^2) = 2(1 + 2\Delta t + (\Delta t)^2) = 2 + 4\Delta t + 2(\Delta t)^2$

Подставим раскрытые выражения обратно в формулу для $s(1 + \Delta t)$:

$s(1 + \Delta t) = (1 + 3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + (2 + 4\Delta t + 2(\Delta t)^2) + 3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$s(1 + \Delta t) = (\Delta t)^3 + (3(\Delta t)^2 + 2(\Delta t)^2) + (3\Delta t + 4\Delta t) + (1 + 2 + 3) = (\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t + 6$ см.

Теперь найдем приращение пути $\Delta s$:

$\Delta s = s(1 + \Delta t) - s(1) = ((\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t + 6) - 6 = (\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t$ см.

Формула для средней скорости принимает вид:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{(\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t}{\Delta t} = (\Delta t)^2 + 5\Delta t + 7$ см/с.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим среднюю скорость для каждого заданного значения $\Delta t$.

При $\Delta t = 0,5$ с:

$v_{ср} = (0,5)^2 + 5 \cdot 0,5 + 7 = 0,25 + 2,5 + 7 = 9,75$ см/с.

Ответ: 9,75 см/с.

При $\Delta t = 0,2$ с:

$v_{ср} = (0,2)^2 + 5 \cdot 0,2 + 7 = 0,04 + 1 + 7 = 8,04$ см/с.

Ответ: 8,04 см/с.

При $\Delta t = 0,1$ с:

$v_{ср} = (0,1)^2 + 5 \cdot 0,1 + 7 = 0,01 + 0,5 + 7 = 7,51$ см/с.

Ответ: 7,51 см/с.

40.5. Пользуясь определением производной, найдите значение $y'(x)$ в точке $x_0 = 1$:

1) $y = \frac{2}{x^2}$;

2) $y = \frac{1}{x^3}$;

3) $y = \sqrt{1 + 2x}$;

4) $y = \sqrt{4 - 3x}$.

Для нахождения значения производной $y'(x)$ в точке $x_0=1$ воспользуемся определением производной: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

1) Для функции $y = f(x) = \frac{2}{x^2}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \frac{2}{1^2} = 2$.

Найдём предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2}{(1 + \Delta x)^2} - 2}{\Delta x}$.

Упростим выражение под знаком предела:

$\frac{\frac{2 - 2(1 + \Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^2}}{\Delta x} = \frac{2 - 2(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{2 - 2 - 4\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{\Delta x(-4 - 2\Delta x)}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4 - 2\Delta x}{(1 + \Delta x)^2}$.

Вычислим предел, подставив $\Delta x = 0$:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4 - 2\Delta x}{(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4 - 0}{(1+0)^2} = -4$.

Ответ: -4.

2) Для функции $y = f(x) = \frac{1}{x^3}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \Delta x)^3} - 1}{\Delta x}$.

Упростим выражение:

$\frac{\frac{1 - (1 + \Delta x)^3}{(1 + \Delta x)^3}}{\Delta x} = \frac{1 - (1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3)}{\Delta x(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3\Delta x - 3(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3}{\Delta x(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3 - 3\Delta x - (\Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^3}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3 - 3\Delta x - (\Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3 - 0 - 0}{(1+0)^3} = -3$.

Ответ: -3.

3) Для функции $y = f(x) = \sqrt{1 + 2x}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \sqrt{1 + 2(1)} = \sqrt{3}$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2(1 + \Delta x)} - \sqrt{3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{3 + 2\Delta x} - \sqrt{3}}{\Delta x}$.

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{3 + 2\Delta x} - \sqrt{3})(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(3 + 2\Delta x) - 3}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3}}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \frac{2}{\sqrt{3 + 0} + \sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

4) Для функции $y = f(x) = \sqrt{4 - 3x}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \sqrt{4 - 3(1)} = \sqrt{1} = 1$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{4 - 3(1 + \Delta x)} - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 - 3\Delta x} - 1}{\Delta x}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - 3\Delta x} - 1)(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 - 3\Delta x) - 1}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \frac{-3}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-3}{1 + 1} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.