Страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

1) Почему функции $y = x^5$; $y = x^7$; $y = x^9$; $y = x^{11}$; $y = x^{2n+1}$, где $n$ — натуральное число, являются нечетными функциями?

2) Почему график нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия) (рис. 7.11)?

3) На каком из графиков изображена четная функция, на каком — нечетная (рис. 7.12, 7.13)?

4) Может ли функция быть четной; нечетной, если известно, что точки $A(-3; -2)$, $B(1; 5)$, $C(3; 2)$, $D(-1; -5)$ принадлежат одному и тому же графику функции?

Рис. 7.11

1) По определению, функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения для всех указанных степенных функций ($y = x^5$, $y = x^7$, $y = x^9$, $y = x^{11}$, $y = x^{2n+1}$) — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), которое симметрично относительно нуля.Проверим выполнение условия нечетности для обобщенной функции $f(x) = x^{2n+1}$, где $n$ — натуральное число. Показатель степени $k = 2n+1$ при любом натуральном $n$ является нечетным целым числом.Найдем значение функции от аргумента $-x$:$f(-x) = (-x)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} \cdot x^{2n+1}$.Поскольку нечетная степень отрицательного числа равна отрицательному числу, $(-1)^{2n+1} = -1$.Следовательно, $f(-x) = -1 \cdot x^{2n+1} = -x^{2n+1}$.Теперь сравним это с выражением $-f(x)$:$-f(x) = -(x^{2n+1}) = -x^{2n+1}$.Так как мы получили, что $f(-x) = -f(x)$, функция $y = x^{2n+1}$ является нечетной. Функции $y=x^5$, $y=x^7$, $y=x^9$ и $y=x^{11}$ являются частными случаями этой формулы при $n=2, 3, 4, 5$ соответственно, а значит, они также являются нечетными.

Ответ: Данные функции являются нечетными, потому что это степенные функции с нечетным показателем, для которых всегда выполняется условие нечетности $f(-x) = -f(x)$.

2) График функции называется симметричным относительно начала координат (точки $O(0,0)$), если для каждой точки $M(x, y)$, принадлежащей графику, точка $M'(-x, -y)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этому графику.Пусть точка $M(x_0, y_0)$ лежит на графике нечетной функции $f(x)$. По определению, это означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.Из определения нечетной функции следует, что для любого $x_0$ из ее области определения должно выполняться равенство $f(-x_0) = -f(x_0)$.Подставив $y_0$ вместо $f(x_0)$, получаем: $f(-x_0) = -y_0$.Это равенство означает, что точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ также удовлетворяет уравнению функции, то есть принадлежит ее графику.Таким образом, для любой точки $(x, f(x))$ на графике нечетной функции, точка $(-x, -f(x))$, симметричная ей относительно начала координат, также лежит на этом графике. Это и доказывает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия), как показано на рис. 7.11.

Ответ: График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как если точка $(x, y)$ принадлежит графику ($y=f(x)$), то из свойства нечетности $f(-x) = -f(x) = -y$ следует, что симметричная точка $(-x, -y)$ также принадлежит графику.

3) Для ответа на данный вопрос необходимо видеть графики на рисунках 7.12 и 7.13, которые не предоставлены. Однако, определить четность или нечетность функции по ее графику можно, используя следующие свойства симметрии:

- График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике, точка $(-x, y)$ также лежит на этом графике.

- График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$). Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике, точка $(-x, -y)$ также лежит на этом графике.

Следовательно, чтобы ответить на вопрос, нужно было бы посмотреть на рисунки 7.12 и 7.13 и определить, какой из них обладает симметрией относительно оси $Oy$ (это будет четная функция), а какой — симметрией относительно начала координат (это будет нечетная функция).

Ответ: График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, а график нечетной функции — относительно начала координат. Для точного ответа необходимо видеть рисунки 7.12 и 7.13.

4) Проверим, может ли функция $f(x)$, графику которой принадлежат точки A(-3; -2), B(1; 5), C(3; 2), D(-1; -5), быть четной или нечетной.

Проверка на четность:

Функция является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Это означает, что если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, y)$ также ему принадлежит.

Нам дана точка C(3; 2), из которой следует, что $f(3) = 2$. Для четности функции должно выполняться $f(-3) = f(3)$, то есть $f(-3) = 2$. Однако, по условию, графику принадлежит точка A(-3; -2), то есть $f(-3) = -2$. Так как $2 \neq -2$, условие четности не выполняется. Следовательно, функция не является четной.

Проверка на нечетность:

Функция является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, -y)$ также ему принадлежит.

- Проверим для пары точек C(3; 2) и A(-3; -2). Из точки C(3; 2) имеем $f(3) = 2$. Для нечетной функции должно выполняться $f(-3) = -f(3)$, то есть $f(-3) = -2$. Это соответствует координатам точки A(-3; -2). Эта пара точек удовлетворяет условию нечетности.

- Проверим для пары точек B(1; 5) и D(-1; -5). Из точки B(1; 5) имеем $f(1) = 5$. Для нечетной функции должно выполняться $f(-1) = -f(1)$, то есть $f(-1) = -5$. Это соответствует координатам точки D(-1; -5). Эта пара точек также удовлетворяет условию нечетности.

Так как все предоставленные пары точек $(x, f(x))$ и $(-x, f(-x))$ удовлетворяют условию $f(-x) = -f(x)$, функция может быть нечетной.

Ответ: Функция не может быть четной, но может быть нечетной.