Страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.12.1) $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15;$

2) $y = \sqrt{x^4 - 6} + 22;$

3) $y = |x| + 54;$

4) $y = 31 - |x|.$

1) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15$ найдем ее область значений. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение под корнем $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1: $x^2 + 1 \ge 1$. Так как функция квадратного корня является возрастающей, то $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Теперь рассмотрим всю функцию. Вычитая 15 из обеих частей неравенства, получаем $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15 \ge 1 - 15$, то есть $y \ge -14$. Наименьшее значение, равное -14, функция принимает при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это промежуток от -14, включая -14, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-14; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{x^4 - 6} + 22$ найдем ее область значений. В первую очередь, определим область допустимых значений переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^4 - 6 \ge 0$, откуда $x^4 \ge 6$. Это условие определяет область определения функции. Наименьшее значение подкоренного выражения $x^4 - 6$ равно 0, и оно достигается, когда $x^4 = 6$. Следовательно, наименьшее значение радикала $\sqrt{x^4 - 6}$ равно $\sqrt{0} = 0$. Тогда наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 22 = 22$. При увеличении $|x|$ от значения $\sqrt[4]{6}$, значение $x^4$ неограниченно возрастает, а значит и значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 22.

Ответ: $E(y) = [22; +\infty)$.

3) Для функции $y = |x| + 54$ найдем ее область значений. По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Наименьшее значение $|x|$ равно 0 и достигается при $x=0$. Поскольку к $|x|$ прибавляется константа 54, мы можем прибавить 54 к обеим частям неравенства $|x| \ge 0$, получая $|x| + 54 \ge 54$. Таким образом, $y \ge 54$. Наименьшее значение функции, равное 54, достигается при $x=0$. При увеличении $|x|$, значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это промежуток от 54, включая 54, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [54; +\infty)$.

4) Для функции $y = 31 - |x|$ найдем ее область значений. Значение $|x|$ всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$. Если умножить обе части этого неравенства на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-|x| \le 0$. Теперь прибавим 31 к обеим частям: $31 - |x| \le 31$. Таким образом, $y \le 31$. Наибольшее значение функции, равное 31, достигается, когда $|x|$ принимает свое наименьшее значение, то есть при $x=0$. При увеличении $|x|$, значение $-|x|$ неограниченно уменьшается (стремится к $-\infty$), а значит и значение $y$ также неограниченно уменьшается. Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 31.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 31]$.

7.13.1) $y = |x| + x^2;$

2) $y = x^4 - |x|;$

3) $y = \sqrt{x^2 + 9} - x^2;$

4) $y = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x}.$

1) Для того чтобы определить, является ли функция $y = f(x) = |x| + x^2$ четной или нечетной, необходимо проверить ее область определения на симметричность и выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для четной) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной).

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как выражения $|x|$ и $x^2$ определены для любого $x$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = |-x| + (-x)^2$.

Используя свойства модуля $|-a| = |a|$ и свойства степени $(-a)^{2n} = a^{2n}$, получаем:

$f(-x) = |x| + x^2$.

Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

2) Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^4 - |x|$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как выражения $x^4$ и $|x|$ определены для любого $x$. Область определения симметрична.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - |-x|$.

Так как степень четная, $(-x)^4 = x^4$, и по свойству модуля, $|-x| = |x|$.

Тогда, $f(-x) = x^4 - |x|$.

Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, получаем $f(-x) = f(x)$. Таким образом, функция является четной.

Ответ: четная.

3) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x^2+9} - x^2$.

Найдем область определения. Выражение под корнем $x^2+9$ должно быть неотрицательным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+9 \ge 9 > 0$. Следовательно, область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

Проверим выполнение условия четности:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2+9} - (-x)^2$.

Так как $(-x)^2 = x^2$, то:

$f(-x) = \sqrt{x^2+9} - x^2$.

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, значит, функция является четной.

Ответ: четная.

4) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x}$.

Найдем область определения функции. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9 \\ x \le 9 \end{cases}$

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)+9} + \sqrt{9-(-x)} = \sqrt{9-x} + \sqrt{9+x}$.

Поскольку сложение коммутативно, $\sqrt{9-x} + \sqrt{9+x} = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

Докажите, что являются нечетными функции (7.14–7.16):

7.14.1) 1) $y = 23x;$ 2) $y = 5x^3;$ 3) $y = -9x^3;$

4) $y = -x^3 + 2x;$ 5) $y = \frac{7}{x} + x;$ 6) $y = -\frac{16}{x} - x.$

Для доказательства того, что функция является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) Дана функция $y = 23x$. Обозначим ее как $f(x) = 23x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 23(-x) = -23x$.

Теперь найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(23x) = -23x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

2) Дана функция $y = 5x^3$. Обозначим ее как $f(x) = 5x^3$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5(-x)^3 = 5(-x^3) = -5x^3$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(5x^3) = -5x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

3) Дана функция $y = -9x^3$. Обозначим ее как $f(x) = -9x^3$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -9(-x)^3 = -9(-x^3) = 9x^3$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-9x^3) = 9x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

4) Дана функция $y = -x^3 + 2x$. Обозначим ее как $f(x) = -x^3 + 2x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x) = -(-x^3) - 2x = x^3 - 2x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-x^3 + 2x) = x^3 - 2x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

5) Дана функция $y = \frac{7}{x} + x$. Обозначим ее как $f(x) = \frac{7}{x} + x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{7}{-x} + (-x) = -\frac{7}{x} - x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{7}{x} + x) = -\frac{7}{x} - x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

6) Дана функция $y = -\frac{16}{x} - x$. Обозначим ее как $f(x) = -\frac{16}{x} - x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{16}{-x} - (-x) = \frac{16}{x} + x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-\frac{16}{x} - x) = \frac{16}{x} + x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

7.15.1) $y = x\sqrt{x^4 + 1};$

2) $y = x\sqrt{x^2 - 2} + 44x;$

3) $y = x^3|x|;$

4) $y = -\frac{1}{x}|x|.$

1) Дана функция $y = x\sqrt{x^4 + 1}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x^4 + 1}$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Производная $v(x)$ находится по цепному правилу: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$v'(x) = (\sqrt{x^4 + 1})' = \frac{(x^4 + 1)'}{2\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x^4 + 1} + x \cdot \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

$y' = \sqrt{x^4 + 1} + \frac{2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{(\sqrt{x^4 + 1})^2 + 2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{x^4 + 1 + 2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{3x^4 + 1}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^4 + 1}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

2) Дана функция $y = x\sqrt{x^2 - 2} + 44x$.

Область определения функции: $x^2 - 2 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Используем правило дифференцирования суммы $(f+g)' = f' + g'$.

Найдем производную первого слагаемого $f(x) = x\sqrt{x^2 - 2}$. Это произведение функций $u(x)=x$ и $v(x)=\sqrt{x^2 - 2}$.

$u'(x) = 1$.

$v'(x) = (\sqrt{x^2 - 2})' = \frac{(x^2 - 2)'}{2\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

По правилу произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x^2 - 2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}} = \sqrt{x^2 - 2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x^2 - 2})^2 + x^2}{\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{x^2 - 2 + x^2}{\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

Теперь найдем производную второго слагаемого $g(x) = 44x$.

$g'(x) = (44x)' = 44$.

Складываем производные:

$y' = f'(x) + g'(x) = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}} + 44$.

Ответ: $y' = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}} + 44$.

3) Дана функция $y = x^3|x|$.

Для нахождения производной раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^3 \cdot x = x^4$. Ее производная $y' = (x^4)' = 4x^3$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x^3 \cdot (-x) = -x^4$. Ее производная $y' = (-x^4)' = -4x^3$.

3. Рассмотрим точку $x = 0$. Сначала проверим непрерывность функции. $y(0) = 0^3|0| = 0$. Пределы слева и справа: $\lim_{x\to 0^-} (-x^4) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (x^4) = 0$. Так как пределы равны значению функции, она непрерывна в точке $x=0$.

Теперь проверим дифференцируемость в точке $x = 0$, используя определение производной.

Правосторонняя производная: $y'_+(0) = \lim_{h\to 0^+} \frac{y(0+h) - y(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{(0+h)^4 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^4}{h} = \lim_{h\to 0^+} h^3 = 0$.

Левосторонняя производная: $y'_-(0) = \lim_{h\to 0^-} \frac{y(0+h) - y(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-(0+h)^4 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h^4}{h} = \lim_{h\to 0^-} (-h^3) = 0$.

Поскольку односторонние производные равны, функция дифференцируема в точке $x = 0$ и $y'(0) = 0$.

Объединяя результаты, получаем производную:

$y' = \begin{cases} 4x^3, & \text{если } x \ge 0 \\ -4x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это выражение можно записать в компактной форме. Заметим, что при $x \ge 0$, $4x^3 = 4x^2 \cdot x = 4x^2|x|$, а при $x < 0$, $-4x^3 = 4x^2 \cdot (-x) = 4x^2|x|$. Таким образом, для любого действительного $x$ производная равна $y' = 4x^2|x|$.

Ответ: $y' = 4x^2|x|$.

4) Дана функция $y = -\frac{1}{x}|x|$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$.

В этом случае $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = -\frac{1}{x} \cdot x = -1$.

Производная константы равна нулю: $y' = (-1)' = 0$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -\frac{1}{x} \cdot (-x) = 1$.

Производная константы равна нулю: $y' = (1)' = 0$.

Таким образом, для всех $x$ из области определения функции ($x \neq 0$) производная равна 0.

Ответ: $y' = 0$ (при $x \neq 0$).

7.16.1) $y = -x|x| + x^3;$

2) $y = -x|x^3|;$

3) $y = \frac{x}{x^2 + 4} - x;$

4) $y = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}.$

1) $y = -x|x| + x^3$

Для исследования функции на четность/нечетность необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная). Обозначим данную функцию как $f(x) = -x|x| + x^3$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -(-x)|-x| + (-x)^3$.

3. Упростим полученное выражение, используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и нечетной степени $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = x|x| - x^3$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -x|x| + x^3$.

$-f(x) = -(-x|x| + x^3) = x|x| - x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

2) $y = -x|x^3|$

Обозначим функцию как $f(x) = -x|x^3|$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -(-x)|(-x)^3|$.

3. Упростим выражение, используя свойства: $(-x)^3 = -x^3$ и $|-a| = |a|$.

$|(-x)^3| = |-x^3| = |x^3|$.

Следовательно, $f(-x) = -(-x)|x^3| = x|x^3|$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -x|x^3|$.

$-f(x) = -(-x|x^3|) = x|x^3|$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

3) $y = \frac{x}{x^2 + 4} - x$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} - x$.

1. Знаменатель дроби $x^2 + 4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 4 \ge 4$. Поэтому область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 4} - (-x)$.

3. Упростим выражение:

$f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 4} + x = -(\frac{x}{x^2 + 4} - x)$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} - x$.

$-f(x) = -(\frac{x}{x^2 + 4} - x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) $y = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \le 8 \end{cases}$.

Таким образом, область определения $D(f) = [-8; 8]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)+8} - \sqrt{8-(-x)} = \sqrt{8-x} - \sqrt{x+8}$.

3. Преобразуем выражение, вынеся знак минус за скобки:

$f(-x) = -(\sqrt{x+8} - \sqrt{8-x})$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$.

$-f(x) = -(\sqrt{x+8} - \sqrt{8-x})$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

7.17.На рисунке 7.21 построена часть графика функции $y = f(x)$. Постройте график функции на $R$, если известно, что она:

1) четная;

2) нечетная;

3) ни четная, ни нечетная.

Рис. 7.21

1) четная

По определению, четная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

Чтобы достроить заданный график до графика четной функции, необходимо для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике (где $x \ge 0$) построить симметричную ей точку $(-x, y)$ относительно оси $y$.

Исходный график проходит через ключевые точки: $(0, 4)$, $(3, 0)$, $(6, 3)$, $(10, 0)$.

Выполним симметричное отражение для $x > 0$:

• Точка $(3, 0)$ перейдет в точку $(-3, 0)$.
• Точка $(6, 3)$ перейдет в точку $(-6, 3)$.
• Точка $(10, 0)$ перейдет в точку $(-10, 0)$.

Ответ: График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$ относительно оси $y$. Он будет проходить через точки $(-3, 0)$, $(-6, 3)$ и $(-10, 0)$, соединяя их отрезками, симметричными исходным.

2) нечетная

По определению, нечетная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Важное свойство нечетной функции: если $0$ входит в область определения, то $f(0)=0$. В нашем случае на исходном графике $f(0)=4$. Чтобы функция была нечетной, мы должны изменить ее значение в этой точке: $f(0)=0$.

Чтобы достроить график для $x < 0$, необходимо для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике (где $x > 0$) построить симметричную ей точку $(-x, -y)$ относительно начала координат.

Выполним симметричное отражение для ключевых точек (кроме точки $(0,4)$, которая заменяется на $(0,0)$):

• Точка $(3, 0)$ перейдет в точку $(-3, -0)$, то есть $(-3, 0)$.
• Точка $(6, 3)$ перейдет в точку $(-6, -3)$.
• Точка $(10, 0)$ перейдет в точку $(-10, -0)$, то есть $(-10, 0)$.

Ответ: Для построения графика нечетной функции необходимо изменить значение в точке $x=0$ на $f(0)=0$. Часть графика для $x < 0$ строится путем симметричного отражения части графика для $x > 0$ относительно начала координат. Ключевые точки на достроенной части: $(-3, 0)$, $(-6, -3)$, $(-10, 0)$.

3) ни четная, ни нечетная

Функция не является ни четной, ни нечетной, если ее график не симметричен ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат. Это означает, что не выполняется ни условие $f(-x) = f(x)$, ни условие $f(-x) = -f(x)$.

Существует бесконечно много способов достроить график так, чтобы он не обладал указанными видами симметрии. Мы можем выбрать любой произвольный способ построения для $x < 0$, который не является зеркальным отражением относительно оси $y$ или центральным отражением относительно начала координат.

Например, в качестве простейшего варианта можно продолжить график для $x < 0$ в виде горизонтального луча, лежащего на оси абсцисс. То есть, зададим $f(x) = 0$ для всех $x < 0$.

В этом случае исходная часть графика для $x \ge 0$ остается без изменений, а для $x < 0$ график совпадает с отрицательной полуосью $Ox$.

Проверим, что функция не является четной или нечетной. Возьмем, к примеру, $x=6$. Имеем $f(6) = 3$. Тогда $f(-6) = 0$. Так как $f(-6) \ne f(6)$ (то есть $0 \ne 3$) и $f(-6) \ne -f(6)$ (то есть $0 \ne -3$), функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Существует бесконечное множество решений. Один из возможных вариантов: оставить исходную часть графика для $x \ge 0$ без изменений, а для $x < 0$ положить $f(x) = 0$. То есть, достроить график лучом, совпадающим с отрицательной полуосью $Ox$.

40.11. Среди прямых, заданных формулой, найдите пары параллельных и ортогональных прямых:

1) $y = x - 3$;

2) $y = -2x + 3$;

3) $y = 1 - x$;

4) $y = \frac{1}{3}x - 1$;

5) $y = 5 + \frac{1}{3}x$;

6) $y = 3 - x$.

Для того чтобы найти пары параллельных и ортогональных прямых, необходимо определить угловые коэффициенты $k$ для каждой из заданных прямых вида $y = kx + b$.

Найдем угловые коэффициенты для каждой прямой:

1) $y = x - 3$. Угловой коэффициент $k_1 = 1$.

2) $y = -2x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -2$.

3) $y = 1 - x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = -x + 1$. Угловой коэффициент $k_3 = -1$.

4) $y = \frac{1}{3}x - 1$. Угловой коэффициент $k_4 = \frac{1}{3}$.

5) $y = 5 + \frac{1}{3}x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = \frac{1}{3}x + 5$. Угловой коэффициент $k_5 = \frac{1}{3}$.

6) $y = 3 - x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = -x + 3$. Угловой коэффициент $k_6 = -1$.

Пары параллельных прямых

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются параллельными, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет, то есть $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Сравним найденные угловые коэффициенты:

- У прямых 3) и 6) угловые коэффициенты совпадают: $k_3 = k_6 = -1$. Свободные члены различны ($1 \neq 3$), следовательно, прямые 3) и 6) параллельны.

- У прямых 4) и 5) угловые коэффициенты также совпадают: $k_4 = k_5 = \frac{1}{3}$. Свободные члены различны ($-1 \neq 5$), следовательно, прямые 4) и 5) параллельны.

Ответ: Пары параллельных прямых: 3) и 6); 4) и 5).

Пары ортогональных прямых

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются ортогональными (перпендикулярными), если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. Проверим это условие для пар прямых, перебирая их угловые коэффициенты.

1. Для прямой 1) с $k_1 = 1$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{1} = -1$. Этому условию удовлетворяют прямые 3) ($k_3 = -1$) и 6) ($k_6 = -1$). Проверим произведение: $k_1 \cdot k_3 = 1 \cdot (-1) = -1$ и $k_1 \cdot k_6 = 1 \cdot (-1) = -1$. Следовательно, пары (1, 3) и (1, 6) — ортогональны.

2. Для прямой 2) с $k_2 = -2$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$. Такой прямой среди заданных нет.

3. Для прямых 4) и 5) с $k_{4,5} = \frac{1}{3}$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{1/3} = -3$. Такой прямой среди заданных нет.

Таким образом, мы нашли все пары ортогональных прямых.

Ответ: Пары ортогональных прямых: 1) и 3); 1) и 6).

40.12. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27 \cdot 125 \cdot 240}$;

2) $\sqrt{64 \cdot 12 \cdot 27}$;

3) $\sqrt{\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{27 \cdot 125 \cdot 240}$, разложим подкоренные числа на множители, выделяя полные квадраты:

$27 = 9 \cdot 3$

$125 = 25 \cdot 5$

$240 = 16 \cdot 15 = 16 \cdot 3 \cdot 5$

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители:

$\sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 3 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 900$

Ответ: $900$

2) Найдем значение выражения $\sqrt{64 \cdot 12 \cdot 27}$. Разложим числа 12 и 27 на множители, чтобы выделить полные квадраты:

$12 = 4 \cdot 3$

$27 = 9 \cdot 3$

Подставим разложения в выражение:

$\sqrt{64 \cdot (4 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)}$

Сгруппируем множители:

$\sqrt{64 \cdot 4 \cdot 9 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{64 \cdot 4 \cdot 9^2}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{64} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9^2} = 8 \cdot 2 \cdot 9 = 144$

Ответ: $144$

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49}}$, сначала упростим подкоренное выражение. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

$\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49} = \frac{25 \cdot (3 \cdot 9)}{(4 \cdot 3) \cdot 49}$

Сократив на 3, получаем:

$\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 49}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 9}}{\sqrt{4 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{49}} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{15}{14}$

Ответ: $\frac{15}{14}$

40.13. Найдите область определения функции:

1) $y(x) = \sqrt{\sin(2x + 5)};$

2) $y(x) = \sqrt{1 - \cos(2x - 1)}.$

1) $y(x) = \sqrt{\sin(2x + 5)}$

Область определения функции задается условием неотрицательности выражения под знаком квадратного корня:

$\sin(2x + 5) \ge 0$

Функция синус неотрицательна, когда ее аргумент находится в промежутке от $0$ до $\pi$, с учетом периодичности $2\pi$. Следовательно, для аргумента $(2x + 5)$ должно выполняться следующее двойное неравенство:

$2\pi k \le 2x + 5 \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

Теперь решим это неравенство относительно $x$.

Сначала вычтем 5 из всех трех частей неравенства:

$2\pi k - 5 \le 2x \le \pi + 2\pi k - 5$

Затем разделим все части неравенства на 2:

$\frac{2\pi k - 5}{2} \le x \le \frac{\pi + 2\pi k - 5}{2}$

Упростим выражение:

$\pi k - \frac{5}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k - \frac{5}{2}$

Таким образом, область определения функции представляет собой бесконечное объединение отрезков.

Ответ: $x \in \left[ \pi k - 2.5; \frac{\pi}{2} + \pi k - 2.5 \right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y(x) = \sqrt{1 - \cos(2x - 1)}$

Область определения этой функции также находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$1 - \cos(2x - 1) \ge 0$

Преобразуем это неравенство:

$1 \ge \cos(2x - 1)$

или

$\cos(2x - 1) \le 1$

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $\alpha$, значение $\cos(\alpha)$ всегда будет меньше или равно 1. Следовательно, неравенство $\cos(2x - 1) \le 1$ справедливо для любого действительного значения $x$.

Поскольку условие неотрицательности подкоренного выражения выполняется для всех $x$, никаких ограничений на переменную не накладывается.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа).