Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.35. Исследуйте на ограниченность функцию:

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x + 8}$;

2) $y = \sqrt{8 - 2x - x^2}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{8 - 2x - x^2}}$.

1) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 9x + 8}$.

Для исследования функции на ограниченность необходимо найти ее область значений. Сначала определим область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 - 9x + 8 \geq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.Графиком функции $f(x) = x^2 - 9x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(x) \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [8, \infty)$. Это и есть область определения функции.

Теперь найдем множество значений функции.По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $y \geq 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0.

Проверим, ограничена ли функция сверху. Для этого рассмотрим ее поведение на бесконечности.При $x \to \infty$, выражение $x^2 - 9x + 8$ также стремится к бесконечности. Следовательно, $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 - 9x + 8} = +\infty$.Так как функция может принимать сколь угодно большие значения, она не является ограниченной сверху.

Функция, которая ограничена снизу, но не ограничена сверху, является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.

2) Дана функция $y = \sqrt{8 - 2x - x^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$8 - 2x - x^2 \geq 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак:$x^2 + 2x - 8 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ выполняется между корнями: $x \in [-4, 2]$.

Область определения функции — замкнутый отрезок. Непрерывная на отрезке функция всегда ограничена.

Найдем ее множество значений.Функция ограничена снизу, так как $y \geq 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $x=-4$ и $x=2$.

Для нахождения максимального значения найдем максимум подкоренного выражения $f(x) = -x^2 - 2x + 8$. Это парабола с ветвями вниз, ее максимум находится в вершине.Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$.Это значение принадлежит области определения $[-4, 2]$.Максимальное значение подкоренного выражения: $f(-1) = 8 - 2(-1) - (-1)^2 = 8 + 2 - 1 = 9$.Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $\sqrt{9} = 3$.

Множество значений функции есть отрезок $[0, 3]$. Так как функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом 3), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена.

3) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}}$.

Найдем область определения. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 9x + 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45$.Корни: $x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Парабола $f(x) = x^2 - 9x + 9$ имеет ветви вверх, поэтому $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Найдем множество значений. Знаменатель $\sqrt{x^2 - 9x + 9}$ всегда положителен, значит и $y > 0$. Функция ограничена снизу числом 0.

Проверим на ограниченность сверху. Значение функции $y$ тем больше, чем ближе к нулю значение знаменателя. Знаменатель стремится к нулю, когда $x$ стремится к одному из корней $\frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Например, $\lim_{x \to (\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2})^-} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.Функция может принимать сколь угодно большие значения, поэтому она не ограничена сверху.

Так как функция не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.

4) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{8 - 2x - x^2}}$.

Найдем область определения. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$8 - 2x - x^2 > 0$, что эквивалентно $x^2 + 2x - 8 < 0$.

Как было найдено в пункте 2), корнями уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале $x \in (-4, 2)$.

Найдем множество значений. Рассмотрим знаменатель $f(x) = \sqrt{8 - 2x - x^2}$. Как было показано в пункте 2), на интервале $(-4, 2)$ подкоренное выражение $g(x) = 8 - 2x - x^2$ принимает значения из полуинтервала $(0, 9]$.Соответственно, знаменатель $f(x)$ принимает значения из $(0, \sqrt{9}]$, то есть $(0, 3]$.

Тогда для функции $y = \frac{1}{f(x)}$ множество значений будет $[\frac{1}{3}, +\infty)$.Минимальное значение функции равно $\frac{1}{3}$, следовательно, она ограничена снизу.

При $x \to -4^+$ или $x \to 2^-$, знаменатель $f(x) \to 0^+$, а значит $y \to +\infty$.Функция не ограничена сверху.

Так как функция не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.

7.36. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y=\frac{x+3}{x+2}+\sqrt{2+x}$;

2) $y=\frac{x+2}{x-2}+\sqrt{-2+x}$.

1) $y = \frac{x+3}{x+2} + \sqrt{2+x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2 + x \geq 0 \implies x \geq -2$

Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = (-2, +\infty)$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции. Упростим функцию для удобства дифференцирования:

$y = \frac{x+2+1}{x+2} + \sqrt{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2} + (x+2)^{1/2}$

Теперь найдем производную $y'$:

$y' = \left(1 + \frac{1}{x+2} + (x+2)^{1/2}\right)' = -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (производная определена на всей области определения функции):

$y' = 0 \implies -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{1}{(x+2)^2}$

$(x+2)^2 = 2\sqrt{x+2}$

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x+2}$. Так как $x > -2$, то $t > 0$.

$(t^2)^2 = 2t$

$t^4 = 2t$

Поскольку $t > 0$, мы можем разделить обе части на $t$:

$t^3 = 2 \implies t = \sqrt[3]{2}$

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x+2} = \sqrt[3]{2}$

$(x+2) = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$

$x = \sqrt[3]{4} - 2$

Эта критическая точка принадлежит области определения $D(y)$, так как $\sqrt[3]{4} > \sqrt[3]{1} = 1$, следовательно $x = \sqrt[3]{4} - 2 > 1 - 2 = -1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения: $(-2, \sqrt[3]{4} - 2)$ и $(\sqrt[3]{4} - 2, +\infty)$.

Знак $y' = -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{(x+2)^{3/2} - 2}{2(x+2)^2}$ зависит от знака числителя $(x+2)^{3/2} - 2$.

При $x \in (-2, \sqrt[3]{4} - 2)$, например при $x = -1$, имеем: $(-1+2)^{3/2} - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$. Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

При $x \in (\sqrt[3]{4} - 2, +\infty)$, например при $x = 2$, имеем: $(2+2)^{3/2} - 2 = 4^{3/2} - 2 = 8 - 2 = 6 > 0$. Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-2, \sqrt[3]{4}-2]$ и возрастает на промежутке $[\sqrt[3]{4}-2, +\infty)$.

2) $y = \frac{x+2}{x-2} + \sqrt{-2+x}$

Найдем область определения функции:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$-2 + x \geq 0 \implies x \geq 2$

Объединяя условия, получаем область определения: $D(y) = (2, +\infty)$.

Найдем производную функции. Преобразуем функцию:

$y = \frac{x-2+4}{x-2} + \sqrt{x-2} = 1 + \frac{4}{x-2} + (x-2)^{1/2}$

Производная $y'$:

$y' = \left(1 + 4(x-2)^{-1} + (x-2)^{1/2}\right)' = -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{4}{(x-2)^2}$

$(x-2)^2 = 8\sqrt{x-2}$

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x-2}$. Так как $x > 2$, то $t > 0$.

$(t^2)^2 = 8t$

$t^4 = 8t$

Так как $t>0$, делим на $t$:

$t^3 = 8 \implies t = 2$

Вернемся к $x$:

$\sqrt{x-2} = 2$

$x-2 = 4$

$x = 6$

Критическая точка $x=6$ принадлежит области определения $D(y)$.

Определим знаки производной на интервалах $(2, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Знак $y' = -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{(x-2)^{3/2} - 8}{2(x-2)^2}$ зависит от знака числителя $(x-2)^{3/2} - 8$.

При $x \in (2, 6)$, например при $x=3$: $(3-2)^{3/2} - 8 = 1 - 8 = -7 < 0$. Значит, $y' < 0$ и функция убывает.

При $x \in (6, +\infty)$, например при $x=11$: $(11-2)^{3/2} - 8 = 9^{3/2} - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Значит, $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(2, 6]$ и возрастает на промежутке $[6, +\infty)$.

7.37. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции с параметром a:

1) $y = x^2 + 5x + 6a$ на числовом отрезке $[-3; -1];

2) $y = -x^2 + 5x + 8a$ на числовом отрезке $[-1; 5];

3) $y = x^2 - ax + 7$ на числовом отрезке $[0; 4].

1) Дана функция $y = x^2 + 5x + 6a$ на числовом отрезке $[-3; -1]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Наименьшее значение на отрезке непрерывная функция достигает либо в точке локального минимума (вершине параболы), если она принадлежит отрезку, либо на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_q}$:

$x_в = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.

Поскольку значение $x_в = -2.5$ принадлежит отрезку $[-3; -1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в вершине параболы.

$y_{наим} = y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6a = 6.25 - 12.5 + 6a = 6a - 6.25$.

Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов, так как вершина является точкой минимума. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-3) = (-3)^2 + 5(-3) + 6a = 9 - 15 + 6a = 6a - 6$.

$y(-1) = (-1)^2 + 5(-1) + 6a = 1 - 5 + 6a = 6a - 4$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $6a - 4 > 6a - 6$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $6a - 4$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 6a - 6.25$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6a - 4$.

2) Дана функция $y = -x^2 + 5x + 8a$ на числовом отрезке $[-1; 5]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен, $-1 < 0$). Наибольшее значение на отрезке достигается либо в вершине параболы, если она принадлежит отрезку, либо на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_в = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$.

Значение $x_в = 2.5$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$, поэтому наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{наиб} = y(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + 8a = -6.25 + 12.5 + 8a = 8a + 6.25$.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = -(-1)^2 + 5(-1) + 8a = -1 - 5 + 8a = 8a - 6$.

$y(5) = -(5)^2 + 5(5) + 8a = -25 + 25 + 8a = 8a$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $8a - 6 < 8a$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $8a - 6$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 8a - 6$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 8a + 6.25$.

3) Дана функция $y = x^2 - ax + 7$ на числовом отрезке $[0; 4]$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины параболы зависит от параметра $a$: $x_в = -\frac{-a}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$. Для нахождения экстремумов необходимо рассмотреть различные случаи расположения вершины относительно отрезка $[0; 4]$.

Наименьшее значение функции $y_{наим}$

1. Если вершина находится левее отрезка, т.е. $x_в < 0 \implies \frac{a}{2} < 0 \implies a < 0$. В этом случае функция возрастает на отрезке $[0; 4]$, и наименьшее значение достигается в точке $x=0$:

$y_{наим} = y(0) = 7$.

2. Если вершина находится внутри отрезка, т.е. $0 \le x_в \le 4 \implies 0 \le \frac{a}{2} \le 4 \implies 0 \le a \le 8$. В этом случае наименьшее значение достигается в самой вершине:

$y_{наим} = y(\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) + 7 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + 7 = 7 - \frac{a^2}{4}$.

3. Если вершина находится правее отрезка, т.е. $x_в > 4 \implies \frac{a}{2} > 4 \implies a > 8$. В этом случае функция убывает на отрезке $[0; 4]$, и наименьшее значение достигается в точке $x=4$:

$y_{наим} = y(4) = 4^2 - 4a + 7 = 23 - 4a$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб}$

Наибольшее значение на отрезке для параболы с ветвями вверх всегда достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:

$y(0) = 7$

$y(4) = 23 - 4a$

1. Если $y(4) \ge y(0)$, т.е. $23 - 4a \ge 7 \implies 16 \ge 4a \implies a \le 4$. Наибольшее значение равно $y(4)$:

$y_{наиб} = 23 - 4a$.

2. Если $y(4) < y(0)$, т.е. $23 - 4a < 7 \implies 16 < 4a \implies a > 4$. Наибольшее значение равно $y(0)$:

$y_{наиб} = 7$.

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{наим} = 7$ при $a < 0$; $y_{наим} = 7 - \frac{a^2}{4}$ при $0 \le a \le 8$; $y_{наим} = 23 - 4a$ при $a > 8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 23 - 4a$ при $a \le 4$; $y_{наиб} = 7$ при $a > 4$.

7.38. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций функцию

$y = f(x):$

1) $f(x) = 5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30;$

2) $f(x) = -x^4 + x^3 - 11|x| + 30 x;$

3) $f(x) = x^3 - 27 x^2 + x^2|x| - x \sqrt{x}.$

Любую функцию $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной функции $g(x)$ и нечетной функции $h(x)$.

Четная составляющая $g(x)$ и нечетная составляющая $h(x)$ находятся по формулам:

$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ (четная часть)

$h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ (нечетная часть)

1) Дана функция $f(x) = 5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 5(-x)^4 + 7(-x)^3 - 4(-x)^2 - 11(-x) + 30 = 5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30$.

Теперь найдем четную и нечетную части функции.

Четная часть $g(x)$:

$g(x) = \frac{(5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30) + (5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30)}{2} = \frac{10x^4 - 8x^2 + 60}{2} = 5x^4 - 4x^2 + 30$.

Нечетная часть $h(x)$:

$h(x) = \frac{(5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30) - (5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30)}{2} = \frac{14x^3 - 22x}{2} = 7x^3 - 11x$.

Таким образом, $f(x) = g(x) + h(x) = (5x^4 - 4x^2 + 30) + (7x^3 - 11x)$.

Ответ: $f(x) = (5x^4 - 4x^2 + 30) + (7x^3 - 11x)$.

2) Дана функция $f(x) = -x^4 + x^3 - 11|x| + 30x$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$, учитывая, что $|-x| = |x|$:

$f(-x) = -(-x)^4 + (-x)^3 - 11|-x| + 30(-x) = -x^4 - x^3 - 11|x| - 30x$.

Найдем четную и нечетную части функции.

Четная часть $g(x)$:

$g(x) = \frac{(-x^4 + x^3 - 11|x| + 30x) + (-x^4 - x^3 - 11|x| - 30x)}{2} = \frac{-2x^4 - 22|x|}{2} = -x^4 - 11|x|$.

Нечетная часть $h(x)$:

$h(x) = \frac{(-x^4 + x^3 - 11|x| + 30x) - (-x^4 - x^3 - 11|x| - 30x)}{2} = \frac{2x^3 + 60x}{2} = x^3 + 30x$.

Таким образом, $f(x) = g(x) + h(x) = (-x^4 - 11|x|) + (x^3 + 30x)$.

Ответ: $f(x) = (-x^4 - 11|x|) + (x^3 + 30x)$.

3) Дана функция $f(x) = x^3 - 27x^2 + x^2|x| - x\sqrt{x}$.

Найдем область определения данной функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Представление функции в виде суммы четной и нечетной возможно только в том случае, если ее область определения симметрична относительно точки $x=0$. Это необходимое условие, так как для определения четности/нечетности требуется, чтобы для любого $x$ из области определения, $-x$ также принадлежало области определения.

Область определения $D(f) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=4$ входит в область определения, а точка $x=-4$ — нет.

Поэтому данную функцию невозможно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Ответ: Функцию $f(x) = x^3 - 27x^2 + x^2|x| - x\sqrt{x}$ невозможно представить в виде суммы четной и нечетной функций, так как ее область определения $D(f) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат.

7.39.Постройте схематический график и перечислите свойства функции:

1)

$y = \begin{cases} x^2 - 9, \text{ если } -5 \le x < -3, \\ 3 + x, \text{ если } -3 \le x < 0, \\ 3 - x, \text{ если } 0 \le x \le 3, \\ x^2 - 9, \text{ если } 3 < x \le 5; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} -x^2 - 2x - 2, \text{ если } -4 \le x < -1, \\ x, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ -x^2 - 2x + 2, \text{ если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

1) Для функции $y = \begin{cases} x^2 - 9, & \text{если } -5 \le x < -3 \\ 3 + x, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ 3 - x, & \text{если } 0 \le x \le 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } 3 < x \le 5 \end{cases}$

Построение схематического графика:

График функции состоит из четырех частей, симметричных относительно оси Oy.

- На промежутке $[-5, -3)$ — это часть параболы $y=x^2-9$ (ветви вверх), соединяющая точки $(-5, 16)$ (точка включена) и $(-3, 0)$ (точка выколота).

- На промежутке $[-3, 0)$ — это отрезок прямой $y=3+x$, соединяющий точки $(-3, 0)$ (точка включена) и $(0, 3)$ (точка выколота).

- На промежутке $[0, 3]$ — это отрезок прямой $y=3-x$, соединяющий точки $(0, 3)$ (точка включена) и $(3, 0)$ (точка включена).

- На промежутке $(3, 5]$ — это часть параболы $y=x^2-9$, соединяющая точки $(3, 0)$ (точка выколота) и $(5, 16)$ (точка включена).

Функция является непрерывной на всей области определения, так как значения в точках "стыковки" интервалов совпадают: $y(-3)=0$, $y(0)=3$, $y(3)=0$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-5, 5]$.

2. Область значений: $E(y) = [0, 16]$.

3. Четность: функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=-3$ и $x=3$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $[-5, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, 5]$. Функция не принимает отрицательных значений.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, 5]$; убывает на промежутках $[-5, -3]$ и $[0, 3]$.

7. Точки экстремума: точки локального минимума $x=\pm 3$ (значение в них $y=0$); точка локального максимума $x=0$ (значение в ней $y=3$).

8. Наибольшее и наименьшее значения: $y_{наим} = 0$ (достигается при $x=\pm 3$); $y_{наиб} = 16$ (достигается при $x=\pm 5$).

9. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $D(y) = [-5, 5]$.

Ответ: Схематический график построен, свойства функции перечислены выше.

2) Для функции $y = \begin{cases} -x^2 - 2x - 2, & \text{если } -4 \le x < -1 \\ x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ -x^2 - 2x + 2, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

Построение схематического графика:

График функции состоит из трех частей.

- На промежутке $[-4, -1)$ — это часть параболы $y=-x^2-2x-2$ (ветви вниз, вершина в точке $(-1, -1)$), которая идет от точки $(-4, -10)$ (точка включена) до точки $(-1, -1)$ (точка выколота).

- На промежутке $[-1, 1]$ — это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(-1, -1)$ (точка включена) и $(1, 1)$ (точка включена).

- На промежутке $(1, 4]$ — это часть параболы $y=-x^2-2x+2$ (ветви вниз, вершина в точке $(-1, 3)$), которая идет от точки $(1, -1)$ (точка выколота) до точки $(4, -22)$ (точка включена).

Функция непрерывна в точке $x=-1$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $y(1-0) = 1$, а предел справа $y(1+0) = -1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-4, 4]$.

2. Область значений: $E(y) = [-22, 1]$.

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, 1]$; $y < 0$ на $[-4, 0) \cup (1, 4]$.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $[-4, 1]$; убывает на промежутке $(1, 4]$.

7. Точки экстремума: точка локального максимума $x=1$ (значение $y=1$); локальные минимумы достигаются на концах области определения: $y(-4)=-10$ и $y(4)=-22$.

8. Наибольшее и наименьшее значения: $y_{наим} = -22$ (достигается при $x=4$); $y_{наиб} = 1$ (достигается при $x=1$).

9. Непрерывность: функция непрерывна на $[-4, 1) \cup (1, 4]$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода.

Ответ: Схематический график построен, свойства функции перечислены выше.

7.40. Дана функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = \begin{cases} 4 + x^2, \text{ если } x < 0, \\ g(x), \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Составьте выражение $g(x)$ так, чтобы $y = f(x)$ была четной.

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, \text{ если } x > 0, \\ g(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Составьте выражение $g(x)$ так, чтобы $y = f(x)$ была нечетной.

1) По определению, функция $y=f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. В данном случае функция определена на всей числовой оси, что удовлетворяет этому условию.

Функция задана как $f(x) = \begin{cases} 4 + x^2, & \text{если } x < 0 \\ g(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Чтобы функция была четной, для любого $x > 0$ должно выполняться равенство $f(x) = f(-x)$.

Для $x > 0$, значение функции равно $f(x) = g(x)$.

Для соответствующего ему отрицательного значения $-x$ (которое будет меньше нуля), значение функции равно $f(-x) = 4 + (-x)^2 = 4 + x^2$.

Приравнивая эти два выражения, получаем условие для $g(x)$:

$g(x) = 4 + x^2$.

Это выражение должно быть справедливо для всех $x \ge 0$, на которых определена функция $g(x)$. Проверим точку $x = 0$. Условие $f(0) = f(-0)$ выполняется всегда. Из нашего выражения $g(0) = 4 + 0^2 = 4$, что определяет значение функции в нуле.

Таким образом, чтобы функция $y=f(x)$ была четной, необходимо, чтобы $g(x) = 4 + x^2$ при $x \ge 0$.

Ответ: $g(x) = 4 + x^2$.

2) По определению, функция $y=f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. В данном случае функция определена для $x > 0$ и $x < 0$, что является симметричной областью.

Функция задана как $f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, & \text{если } x > 0 \\ g(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Чтобы функция была нечетной, для любого $x < 0$ должно выполняться равенство $f(x) = -f(-x)$.

Для $x < 0$, значение функции равно $f(x) = g(x)$.

Для соответствующего ему положительного значения $-x$ (которое будет больше нуля), значение функции равно $f(-x) = 5 - (-x)^2 = 5 - x^2$.

Тогда $-f(-x) = -(5 - x^2) = x^2 - 5$.

Приравнивая выражения для $f(x)$ и $-f(-x)$, получаем условие для $g(x)$:

$g(x) = x^2 - 5$.

Это выражение должно быть справедливо для всех $x < 0$, на которых определена функция $g(x)$.

Таким образом, чтобы функция $y=f(x)$ была нечетной, необходимо, чтобы $g(x) = x^2 - 5$ при $x < 0$.

Ответ: $g(x) = x^2 - 5$.

41.13. Найдите производную функции $f(x) = |2x|$ при:

1) $x > 0$;

2) $x < 0$;

3) $x = 0$.

Для нахождения производной функции $f(x) = |2x|$ необходимо сначала раскрыть модуль. Функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) x > 0;

На интервале $x > 0$ функция имеет вид $f(x) = 2x$. Это линейная функция. Ее производная находится по правилу дифференцирования: $f'(x) = (2x)' = 2$.

Ответ: $2$.

2) x < 0;

На интервале $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = -2x$, так как модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком. Находим производную этой функции: $f'(x) = (-2x)' = -2$.

Ответ: $-2$.

3) x = 0.

Производная в точке определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Чтобы найти производную в точке $x_0 = 0$, необходимо вычислить предел по определению: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$. Поскольку $f(h) = |2h|$ и $f(0) = |2 \cdot 0| = 0$, предел принимает вид: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|2h|}{h}$. Для существования этого предела необходимо, чтобы односторонние пределы (справа и слева) существовали и были равны.

Вычислим правосторонний предел (когда $h$ стремится к нулю справа, $h \to 0^+$): В этом случае $h > 0$, поэтому $|2h| = 2h$. $\lim_{h \to 0^+} \frac{|2h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 2 = 2$.

Вычислим левосторонний предел (когда $h$ стремится к нулю слева, $h \to 0^-$): В этом случае $h < 0$, поэтому $|2h| = -2h$. $\lim_{h \to 0^-} \frac{|2h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -2 = -2$.

Правосторонний предел ($2$) не равен левостороннему пределу ($-2$). Следовательно, общий предел не существует. Это означает, что функция $f(x) = |2x|$ не является дифференцируемой в точке $x = 0$.

Ответ: производная в точке $x=0$ не существует.

41.14. Найдите значение производной функции в указанных точках:

1) $f(x) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$, $x = 1;$

2) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^2}{2} - 5$, $x = -2;$

3) $f(x) = 3 + \frac{4}{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}$, $x = 4.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$ и точка $x = 1$.

Чтобы найти значение производной в указанной точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенных выражений: $f(x) = 2x^{-1} - \frac{1}{2}x$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правила дифференцирования суммы и разности функций.

$f'(x) = (2x^{-1} - \frac{1}{2}x)' = (2x^{-1})' - (\frac{1}{2}x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -2x^{-2} - \frac{1}{2}x^0 = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$.

$f'(1) = -\frac{2}{1^2} - \frac{1}{2} = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$.

Ответ: -2.5.

2) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^2}{2} - 5$ и точка $x = -2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде: $f(x) = 5x^{-1} - \frac{1}{2}x^2 - 5$.

Производная константы равна нулю, то есть $( -5 )' = 0$.

$f'(x) = (5x^{-1} - \frac{1}{2}x^2 - 5)' = (5x^{-1})' - (\frac{1}{2}x^2)' - (5)' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 0 = -5x^{-2} - x = -\frac{5}{x^2} - x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = -2$.

$f'(-2) = -\frac{5}{(-2)^2} - (-2) = -\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = 3 + \frac{4}{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}$ и точка $x = 4$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде: $f(x) = 3 + 4x^{-1} + \frac{1}{2}x^{1/2}$.

Производная константы $(3)' = 0$.

$f'(x) = (3 + 4x^{-1} + \frac{1}{2}x^{1/2})' = (3)' + (4x^{-1})' + (\frac{1}{2}x^{1/2})' = 0 + 4 \cdot (-1)x^{-1-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -4x^{-2} + \frac{1}{4}x^{-1/2} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4\sqrt{x}}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 4$.

$f'(4) = -\frac{4}{4^2} + \frac{1}{4\sqrt{4}} = -\frac{4}{16} + \frac{1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = -\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

41.15. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{2x-3}{x+1}$;

3) $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$;

4) $f(x) = \frac{3x^2-12}{x+2}$.

1) $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$

Данная функция является дробно-рациональной. Для построения графика преобразуем ее, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{3}{x}$ с помощью сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = 1$ (так как знаменатель обращается в ноль при $x=1$).

Горизонтальная асимптота: $y = 1$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{0+2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью Ox (при $y=0$): $\frac{x+2}{x-1} = 0 \implies x+2=0 \implies x=-2$. Точка $(-2, 0)$.

Для точности построения найдем еще несколько точек:

При $x=2, f(2) = 1 + \frac{3}{2-1} = 4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=4, f(4) = 1 + \frac{3}{4-1} = 2$. Точка $(4, 2)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах относительно асимптот. График проходит через точки $(-2, 0)$, $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

2) $f(x) = \frac{2x-3}{x+1}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{2x-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-2-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-5}{x+1} = 2 - \frac{5}{x+1} = \frac{-5}{x+1} + 2$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{-5}{x}$ с помощью сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{2(0)-3}{0+1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

С осью Ox (при $y=0$): $\frac{2x-3}{x+1} = 0 \implies 2x-3=0 \implies x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

Для точности построения найдем еще несколько точек:

При $x=-2, f(-2) = 2 - \frac{5}{-2+1} = 2 - (-5) = 7$. Точка $(-2, 7)$.

При $x=1, f(1) = 2 - \frac{5}{1+1} = 2 - 2.5 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных квадрантах относительно асимптот. График проходит через точки $(1.5, 0)$, $(0, -3)$ и $(-2, 7)$.

3) $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь:

$f(x) = x+2$

Таким образом, график функции $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ представляет собой прямую $y = x+2$ с "выколотой" точкой, так как функция не определена при $x=2$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса $x=2$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 2+2=4$.

Следовательно, точка разрыва имеет координаты $(2, 4)$.

Для построения прямой $y=x+2$ найдем две любые точки, например, точки пересечения с осями:

При $x=0, y=2$. Точка $(0,2)$.

При $y=0, x=-2$. Точка $(-2,0)$.

Ответ: График функции — прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

4) $f(x) = \frac{3x^2-12}{x+2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Упростим выражение для функции. Сначала вынесем общий множитель в числителе, а затем применим формулу разности квадратов:

$f(x) = \frac{3(x^2-4)}{x+2} = \frac{3(x-2)(x+2)}{x+2}$

При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь:

$f(x) = 3(x-2) = 3x-6$

График исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 3x-6$ за исключением точки, где $x=-2$.

Найдем координаты "выколотой" точки. Абсцисса $x=-2$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 3(-2)-6 = -6-6 = -12$.

Следовательно, точка разрыва имеет координаты $(-2, -12)$.

Для построения прямой $y=3x-6$ найдем две точки:

При $x=0, y = 3(0)-6 = -6$. Точка $(0, -6)$.

При $x=2, y = 3(2)-6 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Ответ: График функции — прямая $y=3x-6$ с выколотой точкой $(-2, -12)$.

41.16. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{x - 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 2}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{y - \sqrt{x + 2}}{x - 2} = 0.$

1) Исходное уравнение $\frac{y - x^2}{x - 1} = 0$ равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.

Из второго условия системы получаем $x \neq 1$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является парабола $y = x^2$, из которой удалена точка, абсцисса которой равна 1. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 1$ в уравнение параболы:

$y(1) = 1^2 = 1$.

Таким образом, точка с координатами $(1; 1)$ является "выколотой" точкой на графике.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1; 1)$.

2) Исходное уравнение $\frac{y - x^2 + 2}{x^2 - 4} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 2 = 0, \\ x^2 - 4 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2 - 2$. Это уравнение параболы, полученной сдвигом параболы $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина этой параболы находится в точке $(0; -2)$.

Из второго условия системы $x^2 - 4 \neq 0$ следует, что $(x-2)(x+2) \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является парабола $y = x^2 - 2$ с двумя "выколотыми" точками. Найдем ординаты этих точек:

При $x = 2$, $y = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

При $x = -2$, $y = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Таким образом, точки с координатами $(2; 2)$ и $(-2; 2)$ не принадлежат графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 2$ с выколотыми точками $(2; 2)$ и $(-2; 2)$.

3) Исходное уравнение $\frac{y - \sqrt{x} + 2}{x - 2} = 0$ равносильно системе, учитывая область определения квадратного корня ($x \ge 0$):

$\begin{cases} y - \sqrt{x} + 2 = 0, \\ x - 2 \neq 0, \\ x \ge 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = \sqrt{x} - 2$. Это график функции квадратного корня, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. График начинается в точке $(0; -2)$ и идет вправо вверх.

Второе условие дает ограничение $x \neq 2$.

Третье условие $x \ge 0$ является областью определения функции $y = \sqrt{x} - 2$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна 2. Найдем ординату этой точки:

$y(2) = \sqrt{2} - 2$.

Таким образом, точка с координатами $(2; \sqrt{2} - 2)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с выколотой точкой $(2; \sqrt{2} - 2)$.

41.17. Решите уравнение:

1) $3\sin^2 2x = 2 + \sin 2x \cos 2x;$

2) $2\sin^2 4x - 4 + 4\cos^2 4x = 3\sin 4x \cos 4x;$

3) $\cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0.$

1) Исходное уравнение: $3\sin^2{2x} = 2 + \sin{2x} \cos{2x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, представив число $2$ как $2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x})$.

$3\sin^2{2x} = 2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x}) + \sin{2x} \cos{2x}$

$3\sin^2{2x} = 2\sin^2{2x} + 2\cos^2{2x} + \sin{2x} \cos{2x}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$3\sin^2{2x} - 2\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

$\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos{2x}$ быть равным нулю. Если $\cos{2x} = 0$, то из уравнения следует, что $\sin^2{2x} = 0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$:

$\frac{\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{\sin{2x} \cos{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$\tan^2{2x} - \tan{2x} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan{2x}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

а) $\tan{2x} = 2 \implies 2x = \arctan(2) + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

б) $\tan{2x} = -1 \implies 2x = \arctan(-1) + \pi k, k \in Z \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in Z$.

2) Исходное уравнение: $2\sin^2{4x} - 4 + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $4$ на $4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x})$.

$2\sin^2{4x} - 4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x}) + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

$2\sin^2{4x} - 4\sin^2{4x} - 4\cos^2{4x} + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

$-2\sin^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

Перенесем все члены в одну часть:

$2\sin^2{4x} + 3\sin{4x} \cos{4x} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin{4x}$ за скобки:

$\sin{4x}(2\sin{4x} + 3\cos{4x}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $\sin{4x} = 0 \implies 4x = \pi n, n \in Z \implies x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

б) $2\sin{4x} + 3\cos{4x} = 0$. Это однородное уравнение первой степени. Разделим его на $\cos{4x}$ (мы можем это сделать, так как если $\cos{4x}=0$, то из уравнения следует, что и $\sin{4x}=0$, что невозможно).

$2\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}} + 3\frac{\cos{4x}}{\cos{4x}} = 0$

$2\tan{4x} + 3 = 0$

$\tan{4x} = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k, k \in Z \implies 4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi k$

$x = -\frac{\arctan(\frac{3}{2})}{4} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, n, k \in Z$.

3) Исходное уравнение: $\cos^2x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0$.

Сгруппируем слагаемые методом разложения на множители:

$(\cos^2x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$\cos x(\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$(\cos x + \sin x)(\cos x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $\cos x - 7 = 0 \implies \cos x = 7$. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$.

б) $\cos x + \sin x = 0$. Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству).

$1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$1 + \tan x = 0$

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.