Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Что означает: исследовать функцию на: 1) монотонность; 2) ограниченность?

2. Известно, что график некоторой функции $y = f(x)$ расположен выше оси $Ox$ для всех значений аргумента $x$ из открытого числового луча $(-\infty 7)$ и ниже оси $Ox$ для всех $x$ из открытого числового луча $(7; +\infty$ и при $x = 7$ пересекает ось $Ox$. Назовите нули и промежутки знакопостоянства этой функции.

3. Какова связь наличия наибольшего и наименьшего значения функции с ее ограниченностью?

4. Будет ли функция ограниченной, если она ограничена только сверху или только снизу?

5. Что означает исследовать функцию на четность?

6. Известно, что область определения функции не симметрична относительно нуля. Может ли эта функция быть четной или нечетной?

7. Известно, что некоторая функция четная (нечетная). Как это можно использовать при построении ее графика?

8. Может ли минимум функции быть больше максимума этой функции? Приведите пример.

9. Может ли максимум функции быть равен минимуму функции? Приведите пример.

10. Почему максимум функции не может быть наименьшим значением функции?

11. Почему минимум функции не может быть наибольшим значением функции?

1. 1) монотонность: Исследовать функцию на монотонность — это значит найти все промежутки из ее области определения, на которых функция является монотонной, то есть только возрастает или только убывает. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Функция называется убывающей, если при $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Эти промежутки называются промежутками монотонности.

2) ограниченность: Исследовать функцию на ограниченность — это значит определить, ограничено ли множество всех ее значений (область значений) сверху и/или снизу. Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le M$. Если функция ограничена и сверху, и снизу, то ее называют просто ограниченной.

Ответ: Исследовать функцию на монотонность — значит найти все промежутки, где она возрастает или убывает. Исследовать на ограниченность — значит выяснить, ограничены ли все значения функции каким-либо числом сверху и/или каким-либо числом снизу.

2. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. По условию, график функции пересекает ось $Ox$ при $x = 7$. Следовательно, у функции один нуль: $x=7$.

Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак. Из условия следует, что функция положительна ($f(x) > 0$), так как ее график расположен выше оси $Ox$, на открытом числовом луче $(-\infty, 7)$. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), так как ее график расположен ниже оси $Ox$, на открытом числовом луче $(7, +\infty)$.

Ответ: Нуль функции: $x=7$. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $x \in (-\infty, 7)$; $f(x)<0$ при $x \in (7, +\infty)$.

3. Если функция имеет наибольшее значение $y_{наиб}$ и наименьшее значение $y_{наим}$, это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняются неравенства $y_{наим} \le f(x) \le y_{наиб}$. Это в точности соответствует определению ограниченной функции, где $m = y_{наим}$ является нижней границей, а $M = y_{наиб}$ — верхней границей. Таким образом, наличие у функции наибольшего и наименьшего значений является достаточным условием ее ограниченности.

Ответ: Если функция имеет наибольшее и наименьшее значения, то она является ограниченной.

4. Нет, не будет. По определению, функция называется ограниченной, только если она ограничена одновременно и сверху, и снизу. Если функция ограничена только с одной стороны (например, $f(x) = x^2$ ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху), то она называется ограниченной снизу, но не является ограниченной в общем смысле.

Ответ: Нет, для того чтобы функция считалась ограниченной, она должна быть ограничена и сверху, и снизу.

5. Исследовать функцию на четность — значит проверить, является ли она четной, нечетной или ни той, ни другой (функцией общего вида). Проверка состоит из двух шагов:

1. Проверка области определения $D(f)$ на симметричность относительно нуля. То есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. Если область определения несимметрична, функция является функцией общего вида.

2. Если область определения симметрична, нужно проверить выполнение одного из тождеств для всех $x \in D(f)$:

- $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.

- $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является функцией общего вида.

Ответ: Это значит проверить, симметрична ли ее область определения, и если да, то какое из равенств, $f(-x) = f(x)$ (четная) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная), выполняется.

6. Нет, не может. Обязательным (необходимым) условием для того, чтобы функция была четной или нечетной, является симметричность ее области определения относительно нуля. Если для некоторого $x$ из области определения $-x$ в нее не входит, то невозможно проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$. Такая функция автоматически относится к функциям общего вида (ни четным, ни нечетным).

Ответ: Нет, не может. Это противоречит определению четной и нечетной функции.

7. Свойство четности или нечетности функции позволяет значительно упростить построение ее графика, так как оно указывает на наличие симметрии.

- Если функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Поэтому достаточно построить часть графика для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить ее относительно оси $Oy$ для получения полной картины.

- Если функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Поэтому достаточно построить часть графика для $x \ge 0$, а затем повернуть ее на 180° вокруг начала координат.

Ответ: Симметрия графика четной функции относительно оси $Oy$, а нечетной — относительно начала координат, позволяет строить только одну его часть (например, для $x \ge 0$), а вторую получать путем симметричного преобразования.

8. Да, может. В данном контексте под минимумом и максимумом, скорее всего, понимаются локальные экстремумы. Локальный минимум функции может быть больше, чем ее локальный максимум в другой точке. Это характерно для функций, имеющих несколько "холмов" и "впадин" разной высоты.

Пример: рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x}{2} + \cos(x)$.

Ее производная $f'(x) = \frac{1}{2} - \sin(x)$. Точки экстремума находятся там, где $f'(x)=0$, то есть $\sin(x) = 1/2$.

- Точка локального максимума: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Значение в ней $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.26 + 0.87 = 1.13$.

- Точка локального минимума: $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$. Значение в ней $f(\frac{17\pi}{6}) = \frac{17\pi}{12} + \cos(\frac{17\pi}{6}) = \frac{17\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.45 + 0.87 = 5.32$.

В этом примере локальный минимум $f(x_2) \approx 5.32$ больше, чем локальный максимум $f(x_1) \approx 1.13$.

Ответ: Да, может. Например, у функции $f(x) = \frac{x}{2} + \cos(x)$ один из локальных минимумов больше одного из локальных максимумов.

9. Да, может. Самый простой случай — это постоянная функция. У такой функции значение в любой точке является одновременно и локальным максимумом, и локальным минимумом.

Пример: $f(x) = 5$.

Для любой точки $x_0$ в ее окрестности выполняется и $f(x) \le f(x_0)$ (так как $5 \le 5$), и $f(x) \ge f(x_0)$ (так как $5 \ge 5$). Таким образом, любая точка является точкой и максимума, и минимума. Значение максимума равно 5, и значение минимума равно 5. Они равны.

Ответ: Да, может, например, для любой постоянной функции, такой как $f(x)=C$.

10. Максимум функции (локальный максимум) — это значение $f(x_0)$, которое не меньше значений функции в некоторой окрестности точки $x_0$. Наименьшее значение функции (глобальный минимум) — это значение, которое меньше или равно всем без исключения значениям функции.

Предположим, что в точке $x_{max}$ достигается локальный максимум, и это значение является наименьшим значением функции. Тогда $f(x) \le f(x_{max})$ в окрестности $x_{max}$ и $f(x) \ge f(x_{max})$ для всех $x$ из области определения. Если функция не является постоянной, то в любой окрестности точки максимума найдется точка $x_1$, где $f(x_1) < f(x_{max})$. Но это противоречит тому, что $f(x_{max})$ — наименьшее значение, так как $f(x_1)$ должно быть не меньше $f(x_{max})$. Противоречие. Единственный случай, когда это возможно — если функция постоянна, $f(x)=C$. Тогда ее максимум ($C$) равен ее наименьшему значению ($C$).

Ответ: Потому что по определению в окрестности максимума значения функции меньше или равны ему, а наименьшее значение должно быть меньше или равно любому значению функции. Эти два условия одновременно выполняются только для постоянной функции.

11. Минимум функции (локальный минимум) — это значение $f(x_0)$, которое не больше значений функции в некоторой окрестности точки $x_0$. Наибольшее значение функции (глобальный максимум) — это значение, которое больше или равно всем без исключения значениям функции.

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Предположим, что в точке $x_{min}$ достигается локальный минимум, и это значение является наибольшим значением функции. Тогда $f(x) \ge f(x_{min})$ в окрестности $x_{min}$ и $f(x) \le f(x_{min})$ для всех $x$ из области определения. Если функция не является постоянной, то в любой окрестности точки минимума найдется точка $x_1$, где $f(x_1) > f(x_{min})$. Но это противоречит тому, что $f(x_{min})$ — наибольшее значение. Единственный случай, когда это возможно — постоянная функция.

Ответ: Потому что по определению в окрестности минимума значения функции больше или равны ему, а наибольшее значение должно быть больше или равно любому значению функции. Эти два условия одновременно выполняются только для постоянной функции.

Докажите $(x)' = 1.$

Для доказательства равенства $(x)' = 1$ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим их последовательно.

Доказательство по определению производной

Производная функции $f(x)$ по определению — это предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

В нашем случае функция $f(x) = x$. Подставим её в определение. Сначала найдём приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x) - x = \Delta x$

Теперь подставим это в формулу для производной и вычислим предел:

$(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x}$

Поскольку $\Delta x$ стремится к нулю, но не равно ему, мы можем сократить дробь $\frac{\Delta x}{\Delta x}$ на $\Delta x$, получив 1.

$(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} 1$

Предел константы равен самой константе, следовательно:

$(x)' = 1$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $f(x)=x$ равна 1.

Доказательство через правило дифференцирования степенной функции

Существует общая формула для нахождения производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Функцию $f(x) = x$ можно представить в виде $x^1$. В этом случае показатель степени $n=1$.

Применим формулу:

$(x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0$

Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($x^0 = 1$ при $x \neq 0$), а производная является константой, получаем:

$(x)' = 1 \cdot 1 = 1$

Этот способ также доказывает требуемое равенство.

Геометрическая интерпретация

С геометрической точки зрения, производная функции в точке — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Графиком функции $y=x$ является прямая линия, которая проходит через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс. Касательная к прямой в любой её точке совпадает с самой этой прямой. Уравнение прямой в общем виде $y=kx+b$, где $k$ — угловой коэффициент. Для функции $y=x$ уравнение можно записать как $y=1 \cdot x + 0$. Отсюда видно, что угловой коэффициент $k=1$. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной, то $(x)'=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Основной способ — через определение производной: $(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.