Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Найдите на рисунках 38.2—38.4 точки разрыва II рода, I рода (скачок) и точки устранимого разрыва.

Поскольку сами рисунки 38.2–38.4 не предоставлены, дадим общее определение и описание каждого типа точек разрыва, чтобы вы могли найти их на своих графиках.

Точки разрыва II рода

Точка разрыва $x_0$ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. Математически это означает, что выполняется хотя бы одно из условий:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$.

На графике такие точки обычно соответствуют вертикальным асимптотам. График функции при приближении к точке $x_0$ устремляется вверх (к $+\infty$) или вниз (к $-\infty$).

Как найти на рисунке: Ищите вертикальные линии (явные или воображаемые), к которым график функции "прижимается", уходя в бесконечность. Абсцисса (координата по оси x) такой асимптоты и есть точка разрыва II рода.

Ответ: Точки разрыва II рода — это точки, в которых у функции есть вертикальные асимптоты (график уходит в бесконечность).

Точки разрыва I рода (скачок)

Точка разрыва $x_0$ называется точкой разрыва первого рода (или "скачком"), если оба односторонних предела в этой точке существуют и конечны, но не равны друг другу.

Математически:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1$ и $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2$, где $L_1$ и $L_2$ — конечные числа, и $L_1 \neq L_2$.

На графике это выглядит как резкий скачок. Когда вы двигаетесь по графику к точке $x_0$ слева, вы приходите в одну точку (с ординатой $y=L_1$), а когда двигаетесь справа — в другую (с ординатой $y=L_2$). Концы этих участков графика могут быть обозначены закрашенными или выколотыми (пустыми) кружками.

Как найти на рисунке: Ищите места, где график "рвется" и продолжается с другой высоты. Величина $|L_1 - L_2|$ называется скачком функции в точке $x_0$.

Ответ: Точки разрыва I рода (скачок) — это точки, где график функции делает "ступеньку" или "прыжок" с одного конечного значения на другое.

Точки устранимого разрыва

Точка разрыва $x_0$ называется точкой устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует и конечен, но либо функция в этой точке не определена, либо её значение не совпадает с этим пределом.

Математически:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, где $L$ — конечное число, но либо $f(x_0)$ не определено, либо $f(x_0) \neq L$.

На графике это выглядит как непрерывная линия, из которой "выколота" одна точка. В этом месте обычно рисуют пустой кружок. Само значение функции $f(x_0)$ может быть определено в другом месте и обозначено закрашенной точкой, находящейся над или под "дыркой". Если бы мы "заполнили" эту дырку, доопределив $f(x_0) = L$, разрыв бы "устранился", и функция стала бы непрерывной.

Как найти на рисунке: Ищите на плавной кривой графика маленькие пустые кружки ("дырки"). Координата $x$ этой "дырки" и есть точка устранимого разрыва.

Ответ: Точки устранимого разрыва — это "выколотые" точки на графике.

1. В какой точке функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет разрыв? Какого рода этот разрыв?

2. Какие элементарные функции имеют точки разрыва, а какие непрерывны?

1. В какой точке функция y = tgx имеет разрыв? Какого рода этот разрыв?

Функция $y = \operatorname{tg}x$ определяется как отношение $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Точки разрыва функции — это точки, в которых она не определена. Для тангенса это происходит, когда знаменатель дроби равен нулю.

Найдем точки, в которых $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет бесконечное множество точек разрыва.

Чтобы определить род разрыва, необходимо исследовать односторонние пределы в любой из точек разрыва, например, в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Предел слева: $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \operatorname{tg}x = \lim_{x \to (\pi/2)^-} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{+0} = +\infty$. Когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ слева, $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь положительным.

Предел справа: $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \operatorname{tg}x = \lim_{x \to (\pi/2)^+} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{-0} = -\infty$. Когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ справа, $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным.

Поскольку хотя бы один из односторонних пределов в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$ равен бесконечности, разрыв в этой точке является разрывом второго рода (или бесконечным разрывом). Это справедливо для всех точек разрыва функции $y = \operatorname{tg}x$.

Ответ: Функция $y = \operatorname{tg}x$ имеет разрывы в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Все эти точки являются точками разрыва второго рода.

2. Какие элементарные функции имеют точки разрыва, а какие непрерывны?

Важнейшее свойство элементарных функций заключается в том, что они непрерывны на всей своей области определения. Таким образом, точки разрыва у элементарной функции могут быть только в тех точках, где она не определена (в граничных точках области определения).

Элементарные функции, непрерывные на всей числовой оси ($\mathbb{R}$):

• Многочлены (полиномы), например, $y = x^2 - 7x + 3$.

• Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$).

• Тригонометрические функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$.

• Обратные тригонометрические функции $y = \operatorname{arctg}x$ и $y = \operatorname{arcctg}x$.

Элементарные функции, которые могут иметь точки разрыва:

• Дробно-рациональные функции вида $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$. Они имеют разрывы в точках, где знаменатель $Q(x)=0$. Например, $y = \frac{1}{x-5}$ имеет разрыв в точке $x=5$.

• Тригонометрические функции $y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x, y=\sec x, y = \csc x$. Они имеют разрывы в точках, где их знаменатель в определении ($\cos x$ или $\sin x$) равен нулю.

• Логарифмическая функция $y = \log_a x$. Она определена и непрерывна только при $x > 0$. В точке $x=0$ имеет бесконечный разрыв.

• Степенная функция $y = x^{\alpha}$. При $\alpha < 0$ (например, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$) имеет разрыв в $x=0$.

• Обратные тригонометрические функции $y = \arcsin x$ и $y = \arccos x$. Они определены и непрерывны только на отрезке $[-1, 1]$.

Ответ: Непрерывными на всей числовой прямой являются многочлены, показательные функции, синус, косинус, арктангенс и арккотангенс. Точки разрыва имеют дробно-рациональные функции (в нулях знаменателя), тангенс, котангенс и другие производные от них тригонометрические функции, а также логарифмические и степенные функции в граничных точках их областей определения.

38.1. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 38.5, имеют точки разрыва?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Рис. 38.5

Точка разрыва функции – это точка из области определения или её граница, в которой функция не является непрерывной. Визуально на графике это проявляется как "разрыв", который не позволяет нарисовать кривую, не отрывая карандаш от бумаги. Такими разрывами могут быть скачки, "выколотые" точки или вертикальные асимптоты, вблизи которых значения функции уходят в бесконечность. Проанализируем каждый из представленных графиков.

1) На рисунке изображен график квадратичной функции (парабола), например, $y = x^2$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Её график является сплошной линией без каких-либо разрывов.

2) На рисунке изображен график кубической функции, например, $y = x^3$. Эта функция, как и любая полиномиальная функция, определена и непрерывна для всех действительных чисел. График представляет собой сплошную линию.

3) На рисунке изображен график показательной функции, например, $y = a^x$ при $a > 1$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График является сплошной линией.

4) На рисунке изображен график функции, похожей на квадратный корень, например, $y = \sqrt{x-1}$. Область определения этой функции — $x \ge 1$. На всей своей области определения эта функция непрерывна. График на промежутке $[1; +\infty)$ является сплошной линией.

5) На данном графике видно, что при приближении аргумента $x$ к нулю с правой стороны ($x \to 0+$), значение функции $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Это указывает на наличие вертикальной асимптоты $x=0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв (разрыв второго рода).

6) На этом графике также присутствует вертикальная асимптота $x=0$. При приближении $x$ к нулю как слева ($x \to 0-$), так и справа ($x \to 0+$), значение функции $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$). Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет разрыв.

7) Этот график также имеет вертикальную асимптоту при $x=0$. Однако здесь односторонние пределы различны: при $x \to 0-$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to 0+$ значение $y \to -\infty$. Это также является разрывом второго рода в точке $x=0$.

Таким образом, функции, имеющие точки разрыва, — это те, чьи графики имеют вертикальные асимптоты. В данном случае это графики под номерами 5, 6 и 7.

Ответ: 5, 6, 7.

38.2. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 0$:

1) $y = \begin{cases} 1 - x \text{ при } x \ge 0, \\ 1 + x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2 + x \text{ при } x \ge 0, \\ 1 + x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 2 - x \text{ при } x \ge 0, \\ 2x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} 1 - x & \text{при } x \ge 0, \\ 1 + x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из двух частей, являющихся лучами.

- При $x \ge 0$ строим график функции $y = 1 - x$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: при $x=0$ значение $y=1-0=1$ (точка $(0, 1)$); при $x=1$ значение $y=1-1=0$ (точка $(1, 0)$). Таким образом, эта часть графика – луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 0)$.

- При $x < 0$ строим график функции $y = 1 + x$. Это также прямая линия. Найдем две точки: при $x=-1$ значение $y=1+(-1)=0$ (точка $(-1, 0)$); при $x=-2$ значение $y=1+(-2)=-1$ (точка $(-2, -1)$). Эта часть графика – луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$ (но сама точка не включается, так как $x < 0$), проходя через точку $(-1, 0)$.

Объединяя обе части, получаем график, который выглядит как перевернутая буква 'V' с вершиной в точке $(0, 1)$. Это график функции $y = 1 - |x|$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это означает, что должны быть выполнены три условия: 1) функция определена в точке $x_0$; 2) существует предел функции в этой точке (односторонние пределы равны); 3) значение функции в точке равно ее пределу.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=1-x$.

$f(0) = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа (когда $x$ стремится к $0$, оставаясь положительным): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1 - 0 = 1$.

Предел слева (когда $x$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1 + 0 = 1$.

3. Так как предел слева равен пределу справа, общий предел существует и равен 1: $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

Сравниваем значение функции и ее предел в точке $x_0=0$: $f(0) = 1$ и $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

Поскольку все условия выполнены, функция непрерывна в точке $x_0=0$.

Ответ: Функция непрерывна в точке $x_0 = 0$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 2 + x & \text{при } x \ge 0, \\ 1 + x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

- При $x \ge 0$ строим график $y = 2 + x$. Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ (при $x=0, y=2+0=2$, точка закрашена) и проходящий, например, через точку $(1, 3)$.

- При $x < 0$ строим график $y = 1 + x$. Это луч, который "подходит" к точке $(0, 1)$ (при $x \to 0^-, y \to 1+0=1$, точка выколота) и проходит, например, через точку $(-1, 0)$.

График состоит из двух не соединенных между собой лучей. В точке $x=0$ наблюдается скачок (разрыв).

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=2+x$.

$f(0) = 2 + 0 = 2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 + x) = 2 + 0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1 + 0 = 1$.

3. Так как предел слева ($1$) не равен пределу справа ($2$), общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Поскольку не выполняется условие существования предела, функция не является непрерывной в точке $x_0=0$. Она имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.

3) Дана функция $y = \begin{cases} 2 - x & \text{при } x \ge 0, \\ 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построение графика:

- При $x \ge 0$ строим график $y = 2 - x$. Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ (при $x=0, y=2-0=2$, точка закрашена) и проходящий, например, через точку $(2, 0)$.

- При $x < 0$ строим график $y = 2x$. Это луч, который "подходит" к точке $(0, 0)$ (при $x \to 0^-, y \to 2 \cdot 0=0$, точка выколота) и проходит, например, через точку $(-1, -2)$.

График состоит из двух не соединенных между собой лучей. В точке $x=0$ наблюдается скачок (разрыв).

Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. При $x=0$ используется формула $y=2-x$.

$f(0) = 2 - 0 = 2$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 - x) = 2 - 0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Так как предел слева ($0$) не равен пределу справа ($2$), общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x_0=0$. Она имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.