Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.2. На координатной плоскости постройте точки:

1) $A(-1; 3)$ и $A_1(-1; 1);$

2) $B(1; 4)$ и $B_1(1; 2);$

3) $P(-2; 4,5)$ и $P_1(-2; 3);$

4) $C(2; -2,4)$ и $C_1(2; -0,8);$

5) $K(-3; -4,4)$ и $K_1(-3; -1,1);$

6) $M(4; 9)$ и $M_1(4; 1,5).$

Укажите коэффициент сжатия вдоль оси $Oy$ при перемещении точек $A, B, P, C, K$ и $M$, соответственно, в точки $A_1, B_1, P_1, C_1, K_1$ и $M_1$.

Первая часть задачи заключается в построении заданных точек на координатной плоскости. После построения мы можем приступить ко второй части — нахождению коэффициента сжатия.

Сжатие вдоль оси Oy означает, что для любой точки с координатами $(x; y)$, ее новая координата $(x'; y')$ после сжатия будет $(x; k \cdot y)$, где $k$ — это коэффициент сжатия. При этом абсцисса (координата $x$) точки не изменяется, а ордината (координата $y$) умножается на коэффициент $k$.

Из формулы преобразования $y' = k \cdot y$ можно выразить коэффициент сжатия: $k = \frac{y'}{y}$. Мы будем использовать эту формулу для каждого случая.

1) A(-1; 3) и A₁(-1; 1)

Точка $A(-1; 3)$ перемещается в точку $A_1(-1; 1)$. Абсцисса $-1$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$, разделив новую ординату на исходную:

$k = \frac{y_{A_1}}{y_A} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) B(1; 4) и B₁(1; 2)

Точка $B(1; 4)$ перемещается в точку $B_1(1; 2)$. Абсцисса $1$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{B_1}}{y_B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) P(-2; 4,5) и P₁(-2; 3)

Точка $P(-2; 4,5)$ перемещается в точку $P_1(-2; 3)$. Абсцисса $-2$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{P_1}}{y_P} = \frac{3}{4,5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) C(2; -2,4) и C₁(2; -0,8)

Точка $C(2; -2,4)$ перемещается в точку $C_1(2; -0,8)$. Абсцисса $2$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{C_1}}{y_C} = \frac{-0,8}{-2,4} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

5) K(-3; -4,4) и K₁(-3; -1,1)

Точка $K(-3; -4,4)$ перемещается в точку $K_1(-3; -1,1)$. Абсцисса $-3$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{K_1}}{y_K} = \frac{-1,1}{-4,4} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

6) M(4; 9) и M₁(4; 1,5)

Точка $M(4; 9)$ перемещается в точку $M_1(4; 1,5)$. Абсцисса $4$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{M_1}}{y_M} = \frac{1,5}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4.3. На одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $y = x$; $y = 2x$ и $y = 0.5x$;

2) $y = x^2$; $y = 3x^2$ и $y = 0.5x^2$;

3) $y = \frac{1}{x}$; $y = \frac{3}{x}$ и $y = \frac{0.5}{x^2}$.

1) y = x; y = 2x и y = 0,5x;

Все три функции вида $y = kx$ являются линейными. Их графиками являются прямые линии, проходящие через начало координат, точку $(0,0)$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

Для построения каждой прямой достаточно найти еще одну точку, кроме начала координат.

Для функции $y=x$: угловой коэффициент $k=1$. Возьмем $x=2$, тогда $y=2$. Таким образом, график проходит через точки $(0,0)$ и $(2,2)$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Для функции $y=2x$: угловой коэффициент $k=2$. Возьмем $x=1$, тогда $y=2$. График проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$. Так как $k=2 > 1$, эта прямая расположена "круче" (ближе к оси Oy), чем прямая $y=x$.

Для функции $y=0,5x$: угловой коэффициент $k=0,5$. Возьмем $x=2$, тогда $y=1$. График проходит через точки $(0,0)$ и $(2,1)$. Так как $k=0,5 < 1$, эта прямая более "пологая" (ближе к оси Ox), чем прямая $y=x$.

Ответ: Все три графика — это прямые, проходящие через начало координат. Прямая $y=2x$ имеет самый большой угол наклона к оси Ox, прямая $y=0,5x$ — самый маленький. Прямая $y=x$ проходит между ними.

2) y = x²; y = 3x² и y = 0,5x²;

Все три функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными. Их графиками являются параболы, вершина которых находится в начале координат $(0,0)$, а ветви направлены вверх, так как во всех случаях коэффициент $a>0$. Ось симметрии для всех трех парабол — ось Oy. Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы: чем больше $|a|$, тем "уже" парабола (сильнее вытянута вдоль оси Oy).

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

Для функции $y=x^2$ (основная парабола):

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=1$, точка $(1,1)$.

При $x=-1, y=1$, точка $(-1,1)$.

При $x=2, y=4$, точка $(2,4)$.

При $x=-2, y=4$, точка $(-2,4)$.

Для функции $y=3x^2$:

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=3$, точка $(1,3)$.

При $x=-1, y=3$, точка $(-1,3)$.

График этой параболы получается из графика $y=x^2$ растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Она является самой "узкой" из трех.

Для функции $y=0,5x^2$:

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=0,5$, точка $(1; 0,5)$.

При $x=-1, y=0,5$, точка $(-1; 0,5)$.

При $x=2, y=2$, точка $(2,2)$.

При $x=-2, y=2$, точка $(-2,2)$.

График этой параболы получается из графика $y=x^2$ сжатием в 2 раза (или растяжением в 0,5 раз) вдоль оси Oy. Она является самой "широкой" из трех.

Ответ: Все три графика — это параболы с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=3x^2$ самая узкая, парабола $y=0,5x^2$ — самая широкая, а парабола $y=x^2$ расположена между ними.

3) y = 1/x; y = 3/x и y = 0,5/x².

В этом пункте представлены графики различных рациональных функций. Область определения для всех трех функций - все действительные числа, кроме $x=0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой для всех трех графиков.

Функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{3}{x}$ являются обратными пропорциональностями вида $y=\frac{k}{x}$. Их графики — гиперболы. Поскольку для обеих функций $k > 0$, их ветви расположены в I и III координатных четвертях. Горизонтальной асимптотой является ось Ox ($y=0$).

Для $y = \frac{1}{x}$: найдем точки. При $x=1, y=1$; при $x=2, y=0,5$; при $x=0,5, y=2$. В третьей четверти симметричные точки: при $x=-1, y=-1$; при $x=-2, y=-0,5$; при $x=-0,5, y=-2$.

Для $y = \frac{3}{x}$: найдем точки. При $x=1, y=3$; при $x=3, y=1$. В третьей четверти: при $x=-1, y=-3$; при $x=-3, y=-1$. График этой гиперболы получен из графика $y = \frac{1}{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 3 раза, поэтому его ветви лежат дальше от осей координат.

Функция $y = \frac{0,5}{x^2}$ является четной, так как $y(-x) = \frac{0,5}{(-x)^2} = \frac{0,5}{x^2} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Поскольку $x^2 \ge 0$ (при $x \ne 0$) и числитель $0,5 > 0$, то $y$ всегда будет положительным. Следовательно, обе ветви графика лежат в верхней полуплоскости (в I и II четвертях). Ось Ox ($y=0$) также является горизонтальной асимптотой.

Для $y = \frac{0,5}{x^2}$: найдем точки. При $x=1, y=0,5$; при $x=-1, y=0,5$. При $x=0,5, y=2$; при $x=-0,5, y=2$. При $x=2, y=\frac{0,5}{4}=0,125$; при $x=-2, y=0,125$.

Ответ: На одной координатной плоскости будут построены три графика. Два из них — гиперболы ($y=1/x$ и $y=3/x$) с ветвями в I и III четвертях, причем ветви графика $y=3/x$ расположены дальше от осей, чем у $y=1/x$. Третий график ($y=0,5/x^2$) имеет две симметричные относительно оси Oy ветви в I и II четвертях, приближающиеся к осям координат.

4.4. Постройте на одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2$; $y = -1.5x^2$; $y = x^2 - 2$; $y = (x - 2)^2$; $y = -2x^2 + 3$;

2) $y = \sqrt{x}$; $y = \sqrt{x - 2}$; $y = \sqrt{x + 3}$; $y = 2\sqrt{x}$; $y = -3\sqrt{x}$.

Какие преобразования были выполнены с графиками функций: $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$?

1) Все графики в этом пункте являются преобразованиями графика базовой функции $y=x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0;0)$ и ветвями, направленными вверх.

Для функции $y = -1,5x^2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем двух преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 1,5 раза. Это означает, что каждая ордината ($y$) точки графика умножается на 1,5.

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Это преобразование выполняется из-за знака «минус» перед коэффициентом. Ветви параболы теперь направлены вниз.

Вершина параболы остается в точке $(0;0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ отражается относительно оси $Ox$ и растягивается от оси $Ox$ в 1,5 раза.

Для функции $y = x^2 - 2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(0;-2)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Для функции $y = (x - 2)^2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(2;0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = -2x^2 + 3$:

График получается из графика $y = x^2$ путем последовательного выполнения трех преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 2 раза (коэффициент 2).

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$ (знак «минус»). Ветви параболы становятся направленными вниз.

3. Параллельный перенос на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$ (слагаемое +3).

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(0;3)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ растягивается от оси $Ox$ в 2 раза, затем отражается относительно оси $Ox$ и сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) Все графики в этом пункте являются преобразованиями графика базовой функции $y=\sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, начинающаяся в точке $(0;0)$. Область определения $x \ge 0$.

Для функции $y = \sqrt{x-2}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Начальная точка графика смещается из $(0;0)$ в $(2;0)$. Область определения функции становится $x \ge 2$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = \sqrt{x+3}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Начальная точка графика смещается из $(0;0)$ в $(-3;0)$. Область определения функции становится $x \ge -3$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = 2\sqrt{x}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем растяжения от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 2 раза.

Каждая ордината ($y$) точки графика умножается на 2. Начальная точка $(0;0)$ остается на месте.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ растягивается от оси $Ox$ в 2 раза.

Для функции $y = -3\sqrt{x}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем двух преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 3 раза.

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$ (из-за знака «минус»). График теперь расположен в четвертой координатной четверти.

Начальная точка $(0;0)$ остается на месте.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ отражается относительно оси $Ox$ и растягивается от оси $Ox$ в 3 раза.

4.5. Используя преобразования, постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3$;

2) $y = 0,5x^2 + 2$;

3) $y = 2(x-2)^2$;

4) $y = -2x^2 - 1,5$.

1) $y = 2x^2 - 3$

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 3$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Растяжение. Сначала построим график функции $y_1 = 2x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Y) в 2 раза. Это значит, что каждая ордината (y-координата) точки на графике $y = x^2$ умножается на 2, а абсцисса (x-координата) остается без изменений. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$ на базовой параболе преобразуются в точки $(1, 2)$ и $(2, 8)$. Вершина параболы $(0, 0)$ остается на месте.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Далее, чтобы получить график функции $y = 2x^2 - 3$, нужно сдвинуть график $y_1 = 2x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси Y. Это преобразование соответствует вычитанию 3 из каждой ординаты. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

В итоге мы получаем параболу, идентичную параболе $y = 2x^2$, но с вершиной в точке $(0, -3)$. Ветви параболы направлены вверх.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3$ получается из графика $y = x^2$ путем его растяжения вдоль оси Y в 2 раза с последующим сдвигом на 3 единицы вниз.

2) $y = 0,5x^2 + 2$

Для построения графика функции $y = 0,5x^2 + 2$ также используем преобразования графика параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Сжатие. Сначала строим график функции $y_1 = 0,5x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем сжатия вдоль оси Y в 2 раза (или растяжения с коэффициентом 0,5). Каждая ордината точки на графике $y = x^2$ умножается на 0,5. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$ преобразуются в точки $(1, 0.5)$ и $(2, 2)$. Парабола становится "шире". Вершина $(0, 0)$ не изменяет своего положения.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Чтобы получить график функции $y = 0,5x^2 + 2$, нужно сдвинуть график $y_1 = 0,5x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси Y. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

В результате получаем параболу, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 0,5x^2 + 2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сжатия вдоль оси Y в 2 раза с последующим сдвигом на 2 единицы вверх.

3) $y = 2(x-2)^2$

Для построения графика функции $y = 2(x-2)^2$ выполним преобразования над графиком параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Сдвиг по горизонтали. Сначала построим график функции $y_1 = (x-2)^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси X). Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Шаг 2: Растяжение. Теперь построим график функции $y = 2(x-2)^2$. Он получается из графика $y_1 = (x-2)^2$ путем растяжения вдоль оси Y в 2 раза. Ордината каждой точки умножается на 2. Вершина $(2, 0)$ остается на месте, так как ее y-координата равна нулю. Другие точки, например, $(3, 1)$ и $(1, 1)$ на графике $y_1$, преобразуются в точки $(3, 2)$ и $(1, 2)$.

Полученный график — это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Ответ: График функции $y = 2(x-2)^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сдвига на 2 единицы вправо с последующим растяжением вдоль оси Y в 2 раза.

4) $y = -2x^2 - 1,5$

Для построения графика функции $y = -2x^2 - 1,5$ выполним несколько преобразований над графиком $y = x^2$.

Шаг 1: Растяжение и отражение. Сначала построим график функции $y_1 = -2x^2$. Это преобразование можно разбить на два:

а) Растяжение графика $y = x^2$ вдоль оси Y в 2 раза, получаем $y = 2x^2$.

б) Симметричное отражение графика $y = 2x^2$ относительно оси X. Ветви параболы теперь будут направлены вниз. Вершина остается в точке $(0, 0)$.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Чтобы получить искомый график $y = -2x^2 - 1,5$, сдвигаем график $y_1 = -2x^2$ на 1,5 единицы вниз вдоль оси Y. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -1,5)$.

Итоговый график — это парабола с вершиной в точке $(0, -1,5)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 - 1,5$ получается из графика $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси Y в 2 раза, отражения относительно оси X и последующего сдвига на 1,5 единицы вниз.

4.6. Используя преобразования, постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{x-3}$;

2) $y = \sqrt{x+1} - 2$;

3) $y = -\sqrt{x+3} + 2$;

4) $y = 2\sqrt{4-x}$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x-3}$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$. Это стандартная кривая (ветвь параболы), выходящая из начала координат $(0,0)$ и проходящая через точки $(1,1)$ и $(4,2)$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В результате получается график функции $y=\sqrt{x-3}$. Начальная точка графика теперь находится в $(3,0)$.

3. Выполнить растяжение графика $y=\sqrt{x-3}$ от оси Ox в 2 раза (вдоль оси ординат Oy). В результате получается искомый график $y=2\sqrt{x-3}$. Координата $y$ каждой точки умножается на 2. Начальная точка $(3,0)$ остается на месте. Точка $(4,1)$ переходит в $(4,2)$, точка $(7,2)$ переходит в $(7,4)$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{x-3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо по оси Ox и последующим растяжением в 2 раза вдоль оси Oy.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{x+1}-2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. В результате получается график функции $y=\sqrt{x+1}$. Начало графика смещается в точку $(-1,0)$.

3. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=\sqrt{x+1}-2$. Начальная точка графика смещается в $(-1,-2)$. Точка $(0,1)$ на промежуточном графике переходит в $(0,-1)$, а точка $(3,2)$ — в $(3,0)$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+1}-2$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

3) Для построения графика функции $y = -\sqrt{x+3}+2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. В результате получается график $y=\sqrt{x+3}$. Начало графика смещается в точку $(-3,0)$.

3. Выполнить симметричное отражение графика $y=\sqrt{x+3}$ относительно оси Ox. В результате получается график $y=-\sqrt{x+3}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.

4. Выполнить сдвиг графика $y=-\sqrt{x+3}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=-\sqrt{x+3}+2$. Начальная точка графика смещается в $(-3,2)$. Точка $(-2,1)$ на промежуточном графике $y=\sqrt{x+3}$ после отражения становится $(-2,-1)$, а после сдвига вверх — $(-2,1)$.

Ответ: График функции $y=-\sqrt{x+3}+2$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Ox, затем симметричного отражения относительно оси Ox, и последующего сдвига на 2 единицы вверх по оси Oy.

4) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{4-x}$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$. Функцию можно записать в виде $y=2\sqrt{-(x-4)}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить симметричное отражение графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy. В результате получается график $y=\sqrt{-x}$. Ветвь параболы теперь направлена влево от начала координат.

3. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{-x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. В результате получается график $y=\sqrt{-(x-4)}$, что эквивалентно $y=\sqrt{4-x}$. Начало графика смещается в точку $(4,0)$.

4. Выполнить растяжение графика $y=\sqrt{4-x}$ в 2 раза вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=2\sqrt{4-x}$. Начальная точка $(4,0)$ остается на месте. Точка $(3,1)$ на промежуточном графике переходит в $(3,2)$, а точка $(0,2)$ — в $(0,4)$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{4-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Oy, затем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и последующего растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.

4.7. На одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{2}{x^2}$;

2) $y = \frac{1}{(x - 1)^2}$ и $y = \frac{1}{(x + 3)^2}$.

1) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{2}{x^2}$ на одной координатной плоскости, проанализируем каждую из них.

Функция $y = \frac{1}{x^2}$

Это базовая функция, график которой нам нужно построить.

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: так как $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^2}$ всегда будет больше нуля. $E(y) = (0; +\infty)$. График целиком лежит в верхней полуплоскости.

3. Свойства: функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

4. Асимптоты: Ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$. Ось OX (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Составим таблицу ключевых точек для графика $y = \frac{1}{x^2}$:

 x | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2---|------|------|------|-----|-----|------ y | 0.25 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0.25

Функция $y = \frac{2}{x^2}$

График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ путем его растяжения от оси OX вдоль оси OY в 2 раза. Это значит, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ будет в два раза больше, чем у функции $y = \frac{1}{x^2}$.

Асимптоты и симметрия у этого графика такие же, как и у $y = \frac{1}{x^2}$.

Составим таблицу ключевых точек для графика $y = \frac{2}{x^2}$:

 x | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2---|------|------|------|-----|-----|------ y | 0.5 | 2 | 8 | 8 | 2 | 0.5

При построении на одной плоскости обе кривые будут симметричны относительно оси OY и будут приближаться к осям координат. График $y = \frac{2}{x^2}$ будет расположен "выше" графика $y = \frac{1}{x^2}$ при всех $x \neq 0$.

Ответ: Сначала строится график функции $y = \frac{1}{x^2}$ по точкам (например, $(\pm1, 1)$, $(\pm2, 0.25)$), учитывая симметрию относительно оси OY и асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем, для построения графика $y = \frac{2}{x^2}$, ордината каждой точки первого графика умножается на 2 (вертикальное растяжение в 2 раза). Например, точки $(\pm1, 1)$ переходят в $(\pm1, 2)$. В результате график $y = \frac{2}{x^2}$ будет выглядеть "уже" и "прижатым" к оси OY сильнее, чем график $y = \frac{1}{x^2}$.

2) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{(x-1)^2}$ и $y = \frac{1}{(x+3)^2}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$.

График функции $y = \frac{1}{(x-1)^2}$

Этот график получается из графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на 1 единицу вправо.

Основные изменения:

- Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=1$.

- Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

- Ось симметрии графика теперь — прямая $x=1$.

- Ключевые точки базового графика $(\pm1, 1)$ смещаются в точки $(1+1, 1)=(2, 1)$ и $(-1+1, 1)=(0, 1)$.

График функции $y = \frac{1}{(x+3)^2}$

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{(x - (-3))^2}$. Этот график получается из графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на 3 единицы влево.

Основные изменения:

- Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-3$.

- Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

- Ось симметрии графика теперь — прямая $x=-3$.

- Ключевые точки базового графика $(\pm1, 1)$ смещаются в точки $(1-3, 1)=(-2, 1)$ и $(-1-3, 1)=(-4, 1)$.

На одной координатной плоскости будут изображены два графика, одинаковых по форме с $y = \frac{1}{x^2}$, но смещенных по горизонтали. Один будет симметричен относительно прямой $x=1$, а другой — относительно прямой $x=-3$.

Ответ: Для построения данных графиков необходимо сначала построить график базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$. Затем, чтобы получить график $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, нужно сдвинуть базовый график на 1 единицу вправо (его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x=1$). Чтобы получить график $y = \frac{1}{(x+3)^2}$, нужно сдвинуть базовый график на 3 единицы влево (его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x=-3$).

4.8. Какие преобразования надо выполнить для построения графика функции:

1) $y = 2 + \frac{3}{x-2}$;

2) $y = 3 - \frac{1}{x+1}$;

3) $y = \frac{3x-1}{x}$?

Постройте эти графики.

1) $y = 2 + \frac{3}{x-2}$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить следующие преобразования, исходя из базовой функции - гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растянуть его вдоль оси $OY$ в 3 раза. Получим график функции $y = \frac{3}{x}$. Ветви этой гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

3. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси $OX$. Получим график функции $y = \frac{3}{x-2}$. Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=2$.

4. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = \frac{3}{x-2}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график функции $y = 2 + \frac{3}{x-2}$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=2$.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=2$ и $y=2$. Ветви гиперболы находятся в новых I и III четвертях, образованных этими асимптотами.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2 + \frac{3}{x-2}$ нужно взять график функции $y = \frac{3}{x}$ и выполнить его параллельный перенос на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 2 единицы вверх по оси $OY$.

2) $y = 3 - \frac{1}{x+1}$

Для построения графика этой функции, исходя из базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$, нужно выполнить следующие преобразования.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Сдвинуть его на 1 единицу влево вдоль оси $OX$. Получим график функции $y = \frac{1}{x+1}$. Вертикальная асимптота сместится в $x=-1$.

3. Отобразить полученный график $y = \frac{1}{x+1}$ симметрично относительно оси $OX$. Получим график функции $y = -\frac{1}{x+1}$. Ветви гиперболы, которые были в I и III четвертях относительно асимптот, переместятся во II и IV.

4. Сдвинуть полученный график $y = -\frac{1}{x+1}$ на 3 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график $y = 3 - \frac{1}{x+1}$. Горизонтальная асимптота сместится в $y=3$.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=-1$ и $y=3$. Ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях, образованных этими асимптотами.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3 - \frac{1}{x+1}$ нужно взять график функции $y = -\frac{1}{x}$, выполнить его параллельный перенос на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 3 единицы вверх по оси $OY$.

3) $y = \frac{3x-1}{x}$

Сначала преобразуем данную функцию, выделив целую часть.

$y = \frac{3x-1}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{x}$

Теперь видно, что для построения графика этой функции, исходя из базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$, нужно выполнить следующие преобразования.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Отобразить его симметрично относительно оси $OX$. Получим график функции $y = -\frac{1}{x}$. Ветви гиперболы переместятся из I и III координатных четвертей во II и IV.

3. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график $y = 3 - \frac{1}{x}$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=3$, а вертикальная асимптота $x=0$ останется на месте.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=0$ и $y=3$. Ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях относительно исходной системы координат.

Ответ: Для построения графика функции $y = \frac{3x-1}{x}$ нужно преобразовать ее к виду $y = 3 - \frac{1}{x}$, затем взять график функции $y = -\frac{1}{x}$ и выполнить его параллельный перенос на 3 единицы вверх по оси $OY$.

1. Почему $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ назвали замечательным пределом?

Предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ называют первым замечательным пределом из-за его фундаментальной важности и чрезвычайно широкого применения в математическом анализе. Слово «замечательный» в данном контексте — это не просто эпитет, а указание на особый статус этого равенства. Его «замечательность» заключается в нескольких ключевых аспектах:

1. Раскрытие ключевой неопределенности

Этот предел является классическим и одним из первых изучаемых примеров раскрытия неопределенности вида $\frac{0}{0}$. При прямой подстановке значения $x=0$ в выражение $\frac{\sin x}{x}$ мы получаем $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$, что является неопределенным выражением. Замечательный предел дает точный и конечный ответ, позволяя анализировать поведение функций в таких точках. Это один из первых шагов от школьной алгебры к методам математического анализа.

2. Фундамент для дифференциального исчисления

Первый замечательный предел является краеугольным камнем при выводе производных тригонометрических функций. Без него было бы крайне затруднительно доказать, например, что производная синуса равна косинусу. Вывод по определению производной для $f(x)=\sin x$ выглядит так:

$(\sin x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{\Delta x}{2}) \cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

После преобразования это выражение сводится к произведению двух пределов:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \cos(x+\frac{\Delta x}{2})$

Первый множитель как раз и является первым замечательным пределом (при замене $t = \frac{\Delta x}{2}$), и он равен 1. Второй предел равен $\cos x$. В итоге мы получаем известный результат: $(\sin x)' = 1 \cdot \cos x = \cos x$. Аналогично он используется для нахождения производных других тригонометрических функций.

3. Мощный инструмент для вычисления других пределов

Этот предел служит эталоном, к которому сводится множество других, более сложных пределов с участием тригонометрических функций. Это позволяет решать широкий класс задач, используя стандартный прием. Например:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}) = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{4 (\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{2} \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

4. Установление эквивалентности бесконечно малых

Результат $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ устанавливает важное соотношение: для малых углов $x$ (выраженных в радианах) значение $\sin x$ очень близко к значению самого угла $x$. В анализе это называется эквивалентностью бесконечно малых функций: $\sin x \sim x$ при $x \to 0$. Это свойство позволяет значительно упрощать сложные выражения при вычислении пределов, заменяя $\sin x$ на $x$ (и наоборот) в произведениях и частных.

5. Элегантность и наглядность

Классическое доказательство этого предела, использующее метод сжатия (или «теорему о двух милиционерах») и сравнение площадей сектора и треугольников в единичной окружности, очень наглядно и красиво. Оно демонстрирует изящную связь между геометрией и анализом, что также придает ему особую «замечательность» в глазах математиков и студентов.

Таким образом, этот предел назван «замечательным» не случайно. Он является одним из столпов, на которых держится значительная часть математического анализа, и его понимание открывает дорогу к изучению более сложных разделов математики.

Ответ: Предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ назвали «замечательным» из-за его фундаментальной роли и широчайшего применения в математическом анализе. Он позволяет раскрывать неопределенность $\frac{0}{0}$, является основой для вывода производных тригонометрических функций, служит мощным инструментом для вычисления других пределов и устанавливает важное соотношение эквивалентности $\sin x \sim x$ при $x \to 0$.

37.1. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

1) $f(x) = \frac{\sin x}{3x}$ при $x \to 0$;

2) $f(x) = \frac{\sin 6x}{3x}$ при $x \to 0$;

3) $f(x) = \frac{2\sin 2x}{5x}$ при $x \to 0$;

4) $f(x) = \frac{5\sin 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Для решения всех задач используется первый замечательный предел: $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

1) Найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin x}{3x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{3}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin x}{x}\right) = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $.

Используя первый замечательный предел, получаем:

$ \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

2) Найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin 6x}{3x}$ при $x \to 0$.

Чтобы применить первый замечательный предел, нам нужно, чтобы аргумент синуса совпадал со знаменателем. Для этого умножим и разделим знаменатель на 2 (или все выражение на $\frac{2}{2}$):

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{3x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{2}{1} $.

Пусть $u = 6x$. Когда $x \to 0$, то и $u \to 0$. Таким образом, $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

Тогда предел исходной функции равен:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Ответ: $2$.

3) Найдем предел функции $f(x) = \frac{2\sin 2x}{5x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{2}{5}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{5x} = \frac{2}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $.

Чтобы в знаменателе получить аргумент синуса ($2x$), умножим и разделим выражение под пределом на 2:

$ \frac{2}{5} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2\right) = \frac{2}{5} \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\right) \cdot 2 $.

Так как $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 $, получаем:

$ \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

4) Найдем предел функции $f(x) = \frac{5\sin 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{5}{6}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{5\sin 3x}{6x} = \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $.

Чтобы в знаменателе получить аргумент синуса ($3x$), умножим и разделим выражение под пределом на 3:

$ \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right) = \frac{5}{6} \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\right) \cdot 3 $.

Так как $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 $, получаем:

$ \frac{5}{6} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} $.

37.2. Докажите, что верно равенство:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 3x}{2x} = 2,5;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin 3x}{2x} = -0,5;$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x - \sin 4x}{5x} = 1;$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x + \sin 3x}{2x} = 4.$

Для доказательства всех равенств используется первый замечательный предел: $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, а также свойство аддитивности предела: предел суммы/разности равен сумме/разности пределов.

1) Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Первый предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$ является прямым следствием первого замечательного предела (здесь $u=2x$), поэтому он равен 1.

Второй предел преобразуем, чтобы использовать первый замечательный предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = 1,5$.

Складываем полученные результаты:

$1 + 1,5 = 2,5$.

Равенство доказано.

Ответ: 2,5.

2) Действуем аналогично первому пункту, но для разности:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} - \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Значения пределов нам уже известны из предыдущего пункта:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = 1,5$

Находим разность:

$1 - 1,5 = -0,5$.

Равенство доказано.

Ответ: -0,5.

3) Разделим предел на разность двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x - \sin 4x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 9x}{5x} - \frac{\sin 4x}{5x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x}{5x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{5x}$.

Вычислим каждый предел по отдельности, приводя к первому замечательному пределу:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 9x}{9x} \cdot \frac{9x}{5x} \right) = 1 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{4x}{5x} \right) = 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$.

Вычисляем разность:

$\frac{9}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Равенство доказано.

Ответ: 1.

4) Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x + \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{2x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Вычислим каждый предел отдельно:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{2x} \right) = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \right) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Складываем результаты:

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Равенство доказано.

Ответ: 4.

37.3. Найдите предел выражения:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin 2x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin 5x + \sin 2x}{\sin 3x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{2\sin x};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 2x}.$

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin 2x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее разрешить, воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$. Для этого разделим числитель и знаменатель нашего выражения на $x$ (при $x \to 0$, $x \neq 0$):

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x - \sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - \frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$

Теперь преобразуем каждое слагаемое так, чтобы можно было применить замечательный предел. Для этого домножим и разделим на соответствующие коэффициенты при $x$:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$

Так как при $x \to 0$, выражения $2x$ и $5x$ также стремятся к нулю, мы можем применить первый замечательный предел к каждой части выражения:

$\frac{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} - 5 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}}{2 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}} = \frac{1 - 5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2.

2) Предел $\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 5x + \sin 2x}{\sin 3x}$ представляет собой неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем тот же подход с первым замечательным пределом. Делим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2\sin 5x + \sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\frac{\sin 5x}{x} + \frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}}$

Приведем дроби к виду, удобному для применения замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} + 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}}$

Используя свойства пределов и то, что $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, получаем:

$\frac{2 \cdot 5 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{10+2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Ответ: 4.

3) В пределе $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{2\sin x}$ также имеется неопределенность $\frac{0}{0}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$ и применим первый замечательный предел:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{x}}{\frac{2\sin x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} - 2\frac{\sin 5x}{x}}{2\frac{\sin x}{x}}$

Преобразуем выражение для использования замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{2 \frac{\sin x}{x}}$

Применяя свойства пределов, находим значение:

$\frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3-10}{2} = -\frac{7}{2}$

Ответ: -3,5.

4) Предел $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 2x}$ является неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Снова используем метод деления на $x$ и первый замечательный предел:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{x}}{\frac{5\sin 2x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{3\frac{\sin 2x}{x} - 4\frac{\sin 5x}{x}}{5\frac{\sin 2x}{x}}$

Подготовим выражение к применению замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{3 \cdot 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} - 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{5 \cdot 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$

Вычисляем предел:

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1 - 4 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6-20}{10} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$

Ответ: -1,4.

37.4. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

1) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{2x}$ при $x \to 0$;

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} 6x}{3x}$ при $x \to 0$;

3) $f(x) = \frac{2\operatorname{tg} 2x}{5x}$ при $x \to 0$;

4) $f(x) = \frac{5\operatorname{tg} 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Для решения всех задач используется следствие из первого замечательного предела, которое гласит:

$\lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = 1$

Это утверждение выводится из первого замечательного предела $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ следующим образом:

$\lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{\frac{\sin u}{\cos u}}{u} = \lim_{u \to 0} \left( \frac{\sin u}{u} \cdot \frac{1}{\cos u} \right) = \left( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \right) \cdot \left( \lim_{u \to 0} \frac{1}{\cos u} \right) = 1 \cdot \frac{1}{\cos 0} = 1 \cdot 1 = 1$

1) Найти предел функции $f(x) = \frac{\tg x}{2x}$ при $x \to 0$.

Для вычисления предела вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\tg x}{x}\right) = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x}$

Используя замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Найти предел функции $f(x) = \frac{\tg(6x)}{3x}$ при $x \to 0$.

Чтобы применить замечательный предел, необходимо, чтобы аргумент функции тангенса был равен знаменателю. Аргумент тангенса равен $6x$. Преобразуем знаменатель, домножив и разделив выражение на 2:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{3x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\tg(6x)}{6x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(6x)}{6x}$

Сделаем замену переменной $u = 6x$. Поскольку $x \to 0$, то и $u \to 0$.

$2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

3) Найти предел функции $f(x) = \frac{2\tg(2x)}{5x}$ при $x \to 0$.

В данном случае аргумент тангенса равен $2x$. Вынесем константы и преобразуем выражение так, чтобы можно было применить замечательный предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\tg(2x)}{5x} = \frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{x}$

Домножим и разделим под знаком предела на 2:

$\frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{x} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{5} \cdot 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{2x} = \frac{4}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(2x)}{2x}$

Сделаем замену $u = 2x$. При $x \to 0$, $u \to 0$.

$\frac{4}{5} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

4) Найти предел функции $f(x) = \frac{5\tg(3x)}{6x}$ при $x \to 0$.

Аргумент тангенса равен $3x$. Проведем преобразования, аналогичные предыдущим пунктам:

$\lim_{x \to 0} \frac{5\tg(3x)}{6x} = \frac{5}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{x}$

Домножим и разделим под знаком предела на 3:

$\frac{5}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5 \cdot 3}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{3x} = \frac{15}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tg(3x)}{3x}$

Сделаем замену $u = 3x$. При $x \to 0$, $u \to 0$.

$\frac{15}{6} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} = \frac{15}{6} \cdot 1 = \frac{15}{6}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$