Страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.12.Постройте график функции выделив целую часть:

1) $y = \frac{2x-3}{x}$;

2) $y = \frac{x-3}{x+1}$;

3) $y = \frac{3x-2}{x-1}$;

4) $y = \frac{-2x+3}{x+2}$.

1) Исходная функция: $y = \frac{2x - 3}{x}$.

Для построения графика необходимо выделить целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{2x}{x} - \frac{3}{x} = 2 - \frac{3}{x}$.

Мы получили функцию в виде $y = -\frac{3}{x} + 2$. Это график обратной пропорциональности $y = -\frac{3}{x}$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

График функции – гипербола. Так как коэффициент при дроби отрицательный ($-3$), ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (знаменатель обращается в ноль).
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (смещение по оси Oy).

Для построения графика нужно сначала начертить асимптоты $x=0$ (ось Oy) и $y=2$. Затем построить гиперболу в новой системе координат, образованной этими асимптотами.

Ответ: $y = 2 - \frac{3}{x}$.

2) Исходная функция: $y = \frac{x - 3}{x + 1}$.

Выделим целую часть, представив числитель так, чтобы в нем содержался знаменатель:

$y = \frac{(x + 1) - 1 - 3}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 4}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} = 1 - \frac{4}{x + 1}$.

Мы получили функцию в виде $y = -\frac{4}{x + 1} + 1$. Это график функции $y = -\frac{4}{x}$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox) и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

График – гипербола. Коэффициент $-4$ отрицательный, значит ветви расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=-1$ и $y=1$ и построить относительно них гиперболу $y = -\frac{4}{x}$.

Ответ: $y = 1 - \frac{4}{x + 1}$.

3) Исходная функция: $y = \frac{3x - 2}{x - 1}$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{3x - 3 + 1}{x - 1} = \frac{3(x - 1) + 1}{x - 1} = \frac{3(x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 3 + \frac{1}{x - 1}$.

Мы получили функцию в виде $y = \frac{1}{x - 1} + 3$. Это график функции $y = \frac{1}{x}$, смещенный на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

График – гипербола. Коэффициент $1$ положительный, значит ветви расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=1$ и $y=3$ и построить относительно них гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y = 3 + \frac{1}{x - 1}$.

4) Исходная функция: $y = \frac{-2x + 3}{x + 2}$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{-2x - 4 + 7}{x + 2} = \frac{-2(x + 2) + 7}{x + 2} = \frac{-2(x + 2)}{x + 2} + \frac{7}{x + 2} = -2 + \frac{7}{x + 2}$.

Мы получили функцию в виде $y = \frac{7}{x + 2} - 2$. Это график функции $y = \frac{7}{x}$, смещенный на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

График – гипербола. Коэффициент $7$ положительный, значит ветви расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=-2$ и $y=-2$ и построить относительно них гиперболу $y = \frac{7}{x}$.

Ответ: $y = -2 + \frac{7}{x + 2}$.

3.13. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x-2}$;

2) $y = \sqrt{x+3}$;

3) $y = \sqrt{x-1,2}$;

4) $y = \sqrt{x+2,5}$.

Для построения графиков заданных функций используется правило преобразования графика функции $y=f(x)$ в график функции $y=f(x-a)$. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика исходной функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox). Если константа $a$ положительна ($a > 0$), то график сдвигается вправо на $a$ единиц. Если константа $a$ отрицательна ($a < 0$), то график сдвигается влево на $|a|$ единиц. В нашем случае базовой функцией является $y = \sqrt{x}$. Ее график — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0; 0).

1) $y = \sqrt{x-2}$; График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига. Функция $y = \sqrt{x-2}$ соответствует виду $y = f(x-a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a = 2$. Так как $a = 2 > 0$, сдвиг производится вправо на 2 единицы вдоль оси Ox. Начальная точка графика сместится из (0; 0) в точку (2; 0). Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

2) $y = \sqrt{x+3}$; Чтобы построить этот график, представим функцию в виде $y = \sqrt{x - (-3)}$. Это функция вида $y = f(x-a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a = -3$. Поскольку $a = -3 < 0$, для получения искомого графика необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на $|-3|=3$ единицы влево вдоль оси Ox. Начальная точка графика сместится из (0; 0) в точку (-3; 0). Ответ: График функции $y = \sqrt{x+3}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс.

3) $y = \sqrt{x-1,2}$; Аналогично предыдущим пунктам, рассматриваем функцию $y = \sqrt{x-1,2}$ как преобразование $y = \sqrt{x}$. Здесь $a = 1,2$. Так как $a = 1,2 > 0$, график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на 1,2 единицы вправо вдоль оси Ox. Начальная точка графика сместится из (0; 0) в точку (1,2; 0). Ответ: График функции $y = \sqrt{x-1,2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1,2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

4) $y = \sqrt{x+2,5}$. Представим функцию в виде $y = \sqrt{x - (-2,5)}$. Это функция вида $y = f(x-a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a = -2,5$. Так как $a = -2,5 < 0$, график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на $|-2,5|=2,5$ единицы влево вдоль оси Ox. Начальная точка графика сместится из (0; 0) в точку (-2,5; 0). Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2,5}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 2,5 единицы влево вдоль оси абсцисс.

3.14. Найдите число точек пересечения графиков функций, построив их на одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$;

2) $y = -x^2 + 4x - 2$ и $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$.

1) Рассмотрим функции $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$.

Сначала построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$. Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола.

Преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{2x - 6 + 1}{x - 3} = \frac{2(x - 3) + 1}{x - 3} = 2 + \frac{1}{x - 3}$.

Из этого вида видно, что график получен сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Вертикальная асимптота: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Построим графики параболы и гиперболы в одной системе координат и проанализируем их взаимное расположение.

Рассмотрим интервал $x > 3$. При $x \to 3^+$, значение функции-гиперболы $y \to +\infty$, а значение параболы $y(3) = 3^2 + 2(3) - 3 = 12$. Таким образом, справа от асимптоты гипербола начинается "выше" параболы. При $x \to +\infty$, парабола уходит в $+\infty$, а гипербола приближается к своей асимптоте $y=2$. Следовательно, на этом интервале графики должны пересечься. Это первая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $x < 3$. При $x \to -\infty$, парабола уходит в $+\infty$, а гипербола приближается к $y=2$. Значит, на левой бесконечности парабола находится выше гиперболы. В точке вершины параболы $x=-1$, ее значение $y(-1) = -4$. Значение гиперболы в этой точке $y(-1) = 2 + \frac{1}{-1-3} = 2 - 0.25 = 1.75$. Здесь гипербола выше параболы. Так как при $x \to -\infty$ парабола была выше, а при $x=-1$ стала ниже, то на интервале $(-\infty, -1)$ есть точка пересечения. Это вторая точка пересечения.

В точке $x=1$ парабола пересекает ось абсцисс, $y(1)=0$. Значение гиперболы в этой точке $y(1) = 2 + \frac{1}{1-3} = 2 - 0.5 = 1.5$. Гипербола все еще выше параболы. Найдем точку, где гипербола пересекает ось абсцисс: $\frac{2x-5}{x-3}=0 \Rightarrow 2x-5=0 \Rightarrow x=2.5$. В этой точке $y=0$. Значение параболы при $x=2.5$ равно $y(2.5) = (2.5)^2 + 2(2.5) - 3 = 6.25 + 5 - 3 = 8.25$. Здесь парабола выше гиперболы. Так как при $x=1$ гипербола была выше, а при $x=2.5$ стала ниже, то на интервале $(1, 2.5)$ есть еще одна точка пересечения. Это третья точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках.

Ответ: 3

2) Рассмотрим функции $y = -x^2 + 4x - 2$ и $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$.

Сначала построим график функции $y = -x^2 + 4x - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.

Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Точка пересечения с осью OY ($x=0$): $y = -2$. Точка $(0, -2)$.

Точки пересечения с осью OX ($y=0$): $-x^2 + 4x - 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. Точки $(2-\sqrt{2}, 0)$ и $(2+\sqrt{2}, 0)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$. Это гипербола.

Преобразуем выражение: $y = \frac{-2(x - 3) - 6 + 3}{x - 3} = \frac{-2(x - 3) - 3}{x - 3} = -2 - \frac{3}{x - 3}$.

Вертикальная асимптота: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости.

Рассмотрим расположение графиков. В точке $x=0$ парабола имеет значение $y(0)=-2$, а гипербола $y(0)=\frac{3}{-3}=-1$. То есть, на оси OY гипербола выше параболы. В точке вершины параболы $x=2$ ее значение $y(2)=2$. Значение гиперболы в этой точке $y(2)=\frac{-2(2)+3}{2-3}=\frac{-1}{-1}=1$. Здесь парабола выше гиперболы. Так как на отрезке $[0, 2]$ графики поменялись местами, они должны пересечься на интервале $(0, 2)$. Это первая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $(2, 3)$. В точке $x=2$ парабола находится выше гиперболы. При $x \to 3^-$ значение параболы стремится к $y(3)=-9+12-2=1$, а значение гиперболы $y \to +\infty$. Значит, гипербола "уходит вверх" и обязательно пересечет параболу. Это вторая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $x > 3$. При $x \to 3^+$ значение параболы близко к 1, а значение гиперболы $y \to -\infty$. То есть, сразу справа от асимптоты парабола находится выше гиперболы. При $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$, а гипербола приближается к своей асимптоте $y=-2$. Следовательно, парабола должна пересечь гиперболу, чтобы оказаться ниже нее. Это третья точка пересечения.

Таким образом, графики данных функций также пересекаются в трех точках.

Ответ: 3

3.15. Постройте на одной координатной плоскости графики функций и укажите число точек пересечения этих графиков:

1) $y = x^2 + 3x - 2$ и $y = \sqrt{x+2}$

2) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = \sqrt{x-3}$

3) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = |x-2|$

4) $y = |x+4|$ и $y = \frac{-2x+3}{x-3}$

1) $y = x^2 + 3x - 2$ и $y = \sqrt{x+2}$

Для решения задачи построим графики обеих функций в одной системе координат и определим количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^2 + 3x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$

$y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 2 = 2.25 - 4.5 - 2 = -4.25$

Вершина параболы находится в точке $(-1.5, -4.25)$.

Вторая функция $y = \sqrt{x+2}$ — это график квадратного корня (верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox). Область определения этой функции: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и монотонно возрастает.

Теперь проанализируем взаимное расположение графиков. Нам нужно рассматривать только область $x \ge -2$.

В начальной точке области определения ($x=-2$):

парабола: $y(-2) = (-2)^2 + 3(-2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$.

функция корня: $y(-2) = \sqrt{-2+2} = 0$.

В точке $x=-2$ парабола находится ниже графика корня.

При увеличении $x$ парабола сначала убывает до своей вершины при $x=-1.5$, а затем возрастает. Функция корня возрастает на всей своей области определения. Квадратичная функция растет быстрее, чем функция квадратного корня. Проверим значение функций в какой-нибудь другой точке, например, $x=1$:

парабола: $y(1) = 1^2 + 3(1) - 2 = 2$.

функция корня: $y(1) = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \approx 1.73$.

В точке $x=1$ парабола уже находится выше графика корня.

Так как в точке $x=-2$ парабола была ниже, а в точке $x=1$ оказалась выше, и обе функции непрерывны, это означает, что графики пересеклись где-то на интервале $(-2, 1)$. Поскольку парабола растет быстрее, после пересечения она всегда будет находиться выше графика корня. Следовательно, точка пересечения будет только одна.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = \sqrt{x-3}$

Построим и проанализируем графики данных функций.

Первая функция $y = x^2 - 4x + 2$ — это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$

Вершина находится в точке $(2, -2)$.

Вторая функция $y = \sqrt{x-3}$ — график квадратного корня. Область определения: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. График начинается в точке $(3, 0)$ и монотонно возрастает.

Рассмотрим поведение функций на общей области определения, то есть при $x \ge 3$.

В точке $x=3$:

парабола: $y(3) = 3^2 - 4(3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$.

функция корня: $y(3) = \sqrt{3-3} = 0$.

В точке $x=3$ парабола находится ниже графика корня.

Проверим значение функций в точке $x=4$:

парабола: $y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.

функция корня: $y(4) = \sqrt{4-3} = 1$.

В точке $x=4$ парабола уже выше графика корня.

На промежутке $[3, \infty)$ обе функции возрастают (вершина параболы в $x=2$). Так как в $x=3$ парабола ниже, а в $x=4$ — выше, и обе функции непрерывны, они пересекаются на интервале $(3, 4)$. Поскольку парабола растет быстрее, чем корень, другой точки пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 точка пересечения.

3) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = |x-2|$

Проанализируем данные функции.

Первая функция $y = x^2 + 2x - 3$ — парабола с ветвями вверх. Вершина находится в точке $x_0 = -1$, $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Вторая функция $y = |x-2|$ — график модуля, "галочка" с вершиной в точке $(2, 0)$. Эту функцию можно представить в виде системы:

$y = x-2$, если $x \ge 2$

$y = -(x-2) = 2-x$, если $x < 2$

Для нахождения точек пересечения решим уравнения для каждого из двух случаев.

Случай 1: $x \ge 2$.

$x^2 + 2x - 3 = x - 2$

$x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

В этой области пересечений нет.

Случай 2: $x < 2$.

$x^2 + 2x - 3 = 2 - x$

$x^2 + 3x - 5 = 0$

$D = 3^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{29}}{2} \approx \frac{-3+5.385}{2} \approx 1.193$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 2$.

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{29}}{2} \approx \frac{-3-5.385}{2} \approx -4.193$. Этот корень также удовлетворяет условию $x < 2$.

В этой области есть две точки пересечения.

Следовательно, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2 точки пересечения.

4) $y = |x+4|$ и $y = \frac{-2x+3}{x-3}$

Проанализируем данные функции.

Первая функция $y = |x+4|$ — график модуля с вершиной в точке $(-4, 0)$. Раскроем модуль:

$y = x+4$, если $x \ge -4$

$y = -(x+4) = -x-4$, если $x < -4$

Вторая функция $y = \frac{-2x+3}{x-3}$ — дробно-линейная функция, график которой — гипербола. Выделим целую часть:

$y = \frac{-2(x-3) - 6 + 3}{x-3} = \frac{-2(x-3) - 3}{x-3} = -2 - \frac{3}{x-3}$.

Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем точки пересечения, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge -4$.

$x+4 = \frac{-2x+3}{x-3}$

При $x \ne 3$: $(x+4)(x-3) = -2x+3$

$x^2 + x - 12 = -2x + 3$

$x^2 + 3x - 15 = 0$

$D = 3^2 - 4(1)(-15) = 9 + 60 = 69$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{2}$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{69}}{2} \approx \frac{-3+8.3}{2} \approx 2.65$. Условие $x \ge -4$ выполняется. Это точка пересечения.

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{69}}{2} \approx \frac{-3-8.3}{2} \approx -5.65$. Условие $x \ge -4$ не выполняется.

В этой области одна точка пересечения.

Случай 2: $x < -4$.

$-x-4 = \frac{-2x+3}{x-3}$

$-(x+4)(x-3) = -2x+3$

$-(x^2+x-12) = -2x+3$

$-x^2-x+12 = -2x+3$

$-x^2+x+9 = 0$

$x^2-x-9 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-9) = 1 + 36 = 37$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}$.

$x_1 = \frac{1+\sqrt{37}}{2} \approx \frac{1+6.08}{2} \approx 3.54$. Условие $x < -4$ не выполняется.

$x_2 = \frac{1-\sqrt{37}}{2} \approx \frac{1-6.08}{2} \approx -2.54$. Условие $x < -4$ не выполняется.

В этой области пересечений нет.

Также можно заметить, что при $x < -4$ функция $y=-x-4$ всегда положительна, а функция $y = \frac{-2x+3}{x-3}$ всегда отрицательна (ее x-пересечение в $x=1.5$), поэтому их графики не могут пересечься в этой области.

Итого, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1 точка пересечения.

3.16. Используя преобразования графика функции $y=\sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y=\sqrt{x-3}-3$;

2) $y=\sqrt{x+1}-1,5$;

3) $y=\sqrt{x+1,5}+1$;

4) $y=\sqrt{x-2}+2$.

1) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-3} - 3$, нужно взять за основу график функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование аргумента $x \rightarrow x-3$ соответствует сдвигу графика на 3 единицы вправо по оси абсцисс (Ох). Последующее вычитание 3 из значения всей функции, $f(x) \rightarrow f(x)-3$, соответствует сдвигу графика на 3 единицы вниз по оси ординат (Оу). Таким образом, график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Начальная точка графика, которая у $y = \sqrt{x}$ находится в $(0; 0)$, переместится в точку $(3; -3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-3} - 3$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Начальная точка графика — $(3; -3)$.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{x+1} - 1,5$ используется график функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование аргумента $x \rightarrow x+1$ (или $x \rightarrow x-(-1)$) соответствует сдвигу графика на 1 единицу влево по оси Ох. Вычитание 1,5 из значения функции, $f(x) \rightarrow f(x)-1,5$, соответствует сдвигу графика на 1,5 единицы вниз по оси Оу. Следовательно, график $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 1 единицу влево и на 1,5 единицы вниз. Начальная точка $(0; 0)$ переместится в точку $(-1; -1,5)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+1} - 1,5$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево и на 1,5 единицы вниз. Начальная точка графика — $(-1; -1,5)$.

3) График функции $y = \sqrt{x+1,5} + 1$ строится на основе графика $y = \sqrt{x}$. Преобразование аргумента $x \rightarrow x+1,5$ (или $x \rightarrow x-(-1,5)$) сдвигает график на 1,5 единицы влево по оси Ох. Прибавление 1 к значению функции, $f(x) \rightarrow f(x)+1$, сдвигает график на 1 единицу вверх по оси Оу. Значит, график $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 1,5 единицы влево и на 1 единицу вверх. Начальная точка $(0; 0)$ переместится в точку $(-1,5; 1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+1,5} + 1$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1,5 единицы влево и на 1 единицу вверх. Начальная точка графика — $(-1,5; 1)$.

4) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-2} + 2$, берем за основу график $y = \sqrt{x}$. Преобразование аргумента $x \rightarrow x-2$ соответствует сдвигу графика на 2 единицы вправо по оси Ох. Прибавление 2 к значению функции, $f(x) \rightarrow f(x)+2$, соответствует сдвигу графика на 2 единицы вверх по оси Оу. Таким образом, график $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начальная точка $(0; 0)$ переместится в точку $(2; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2} + 2$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начальная точка графика — $(2; 2)$.

3.17.Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 3|x|;$

2) $y = x^2 + 4|x|;$

3) $y = 2x^2 + 5|x + 3|;$

4) $y = 2x^2 - 4|x - 1|.$

1) $y = x^2 - 3|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 3|-x| = x^2 - 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить полный график.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:

- Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.

$y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осями координат (для $x \ge 0$):

При $x=0$, $y=0$. Точка $(0,0)$.

При $y=0$, $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы с вершиной в $(1.5, -2.25)$, проходящую через точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

Шаг 2: Построение полного графика.

Отражаем построенную в шаге 1 часть графика симметрично относительно оси OY. Вершина $(1.5, -2.25)$ отразится в точку $(-1.5, -2.25)$. Точка $(3,0)$ отразится в точку $(-3,0)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$, что соответствует отраженной части графика.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. Для $x \ge 0$ это график $y=x^2-3x$, а для $x < 0$ — график $y=x^2+3x$. График имеет локальный максимум в точке $(0,0)$ и два глобальных минимума в точках $(-1.5, -2.25)$ и $(1.5, -2.25)$.

2) $y = x^2 + 4|x|$

Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 4|-x| = x^2 + 4|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Построим график для $x \ge 0$, а затем отразим его относительно оси OY.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 + 4x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Эта точка не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$.

- При $x=0$, $y=0$. График начинается в точке $(0,0)$.

- Поскольку вершина находится левее оси OY, на промежутке $x \ge 0$ функция монотонно возрастает.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим правую ветвь параболы $y = x^2 + 4x$, начинающуюся из начала координат.

Шаг 2: Построение полного графика.

Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Это даст нам левую часть графика, которая соответствует функции $y = x^2 + 4(-x) = x^2 - 4x$ при $x < 0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол, встречающихся в начале координат. Для $x \ge 0$ это часть графика $y=x^2+4x$, а для $x < 0$ — часть графика $y=x^2-4x$. График симметричен относительно оси OY и имеет абсолютный минимум в точке $(0,0)$.

3) $y = |2x^2 + 5|x| + 3|$

Для построения этого графика сначала рассмотрим функцию, стоящую под знаком модуля: $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Шаг 1: Анализ функции $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Эта функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY. Рассмотрим ее при $x \ge 0$:

$g(x) = 2x^2 + 5x + 3$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы: $x_v = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1.25$. Вершина не принадлежит промежутку $x \ge 0$.

Найдем значение функции в точке $x=0$: $g(0) = 2(0)^2 + 5(0) + 3 = 3$.

Поскольку на промежутке $x \ge 0$ функция возрастает (так как $x=0$ находится правее вершины), ее наименьшее значение на этом промежутке равно $g(0) = 3$.

В силу четности функции $g(x)$, ее наименьшее значение на всей числовой прямой также равно 3.

Следовательно, $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3 \ge 3$ для всех $x$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)|$.

Поскольку функция $g(x)$ всегда положительна, то $|g(x)| = g(x)$.

Это означает, что график функции $y = |2x^2 + 5|x| + 3|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y = 2x^2 + 5|x| + 3$. Он состоит из двух ветвей парабол: для $x \ge 0$ это $y=2x^2+5x+3$, а для $x < 0$ — $y=2x^2-5x+3$. График симметричен относительно оси OY и имеет абсолютный минимум в точке $(0,3)$.

4) $y = |2x^2 - 4|x| - 1|$

Построение графика проведем в два этапа: сначала построим график подмодульной функции $g(x) = 2x^2 - 4|x| - 1$, а затем применим операцию взятия модуля.

Шаг 1: Построение графика $g(x) = 2x^2 - 4|x| - 1$.

Функция $g(x)$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY. Построим его для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $g(x) = 2x^2 - 4x - 1$.

Это парабола с ветвями вверх.

- Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. $y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = -3$. Вершина в точке $(1, -3)$.

- Пересечение с осью OY: при $x=0$, $g(0)=-1$. Точка $(0,-1)$.

- Пересечение с осью OX: $2x^2 - 4x - 1 = 0$. $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4(2)(-1)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Для $x \ge 0$ корень $x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 2.22$.

График $g(x)$ для $x \ge 0$ — это часть параболы, начинающаяся в $(0,-1)$, опускающаяся до минимума в $(1,-3)$ и затем поднимающаяся вверх.

Отразив эту часть относительно оси OY, получим полный график $g(x)$. Он будет иметь "W"-образную форму с локальным максимумом в $(0,-1)$ и двумя минимумами в $(1,-3)$ и $(-1,-3)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)|$.

Чтобы получить график $y = |g(x)|$, нужно ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси OX, симметрично отразить относительно оси OX, а остальную часть оставить без изменений.

- Часть графика $g(x)$ между точками пересечения с осью OX (между $-(1+\frac{\sqrt{6}}{2})$ и $1+\frac{\sqrt{6}}{2}$) находится ниже оси.

- Точка локального максимума $g(x)$ в $(0,-1)$ превратится в точку локального минимума $y$ в $(0,1)$.

- Точки минимума $g(x)$ в $(1,-3)$ и $(-1,-3)$ превратятся в точки локальных максимумов $y$ в $(1,3)$ и $(-1,3)$.

- Точки, где $g(x)=0$, останутся на месте и будут точками касания графика $y$ с осью OX.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет локальный минимум в точке $(0,1)$, два локальных максимума в точках $(-1,3)$ и $(1,3)$, и два глобальных минимума в точках $x = \pm(1 + \frac{\sqrt{6}}{2})$, где $y=0$.

3.18. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 3}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{-2x + 3}{x - 2}}$;

3) $y = \sqrt{\frac{3x - 4}{2 - x}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ x+3 \ne 0 \end{cases} $

Условие $x \ne -3$ автоматически учитывается при решении неравенства, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Решим неравенство $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$ методом интервалов.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка исключается из решения, так как на ноль делить нельзя.

Наносим точки на числовую ось и определяем знаки дроби в полученных интервалах:

- Для интервала $(-\infty, -3)$, возьмём $x=-4$: $\frac{-4-2}{-4+3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(-3, 2)$, возьмём $x=0$: $\frac{0-2}{0+3} = -\frac{2}{3} < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы и точку $x=2$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [2, \infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{\frac{-2x+3}{x-2}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{-2x+3}{x-2} \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

$-2x+3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$. Точка включается в решение.

$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка исключается.

Наносим точки на числовую ось и проверяем знаки в интервалах:

- Для интервала $(-\infty, 1.5)$, возьмём $x=0$: $\frac{-2(0)+3}{0-2} = -\frac{3}{2} < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(1.5, 2)$, возьмём $x=1.6$: $\frac{-2(1.6)+3}{1.6-2} = \frac{-3.2+3}{-0.4} = \frac{-0.2}{-0.4} = 0.5 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{-2(3)+3}{3-2} = \frac{-6+3}{1} = -3 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, решением является полуинтервал.

Ответ: $x \in [1.5, 2)$.

3) Для функции $y = \sqrt{\frac{3x-4}{2-x}}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$\frac{3x-4}{2-x} \ge 0$

Используем метод интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

$3x-4 = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$. Точка включается в решение.

$2-x = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка исключается.

Наносим точки на числовую ось и определяем знаки в интервалах:

- Для интервала $(-\infty, \frac{4}{3})$, возьмём $x=0$: $\frac{3(0)-4}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(\frac{4}{3}, 2)$, возьмём $x=1.5$: $\frac{3(1.5)-4}{2-1.5} = \frac{4.5-4}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{3(3)-4}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.

Область определения представляет собой полуинтервал.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, 2)$.

3.19. Графическим способом решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y = 2x^3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 3x - y = 0, \\ y = 5 - x^2. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений графическим способом построим графики для каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $y = 2x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Построим её по точкам:

- при $x=0$, $y=0$;

- при $x=1$, $y=2 \cdot 1^3 = 2$;

- при $x=-1$, $y=2 \cdot (-1)^3 = -2$;

- при $x \approx 1.25$, $y \approx 2 \cdot (1.25)^3 \approx 3.9$.

Начертим окружность и кубическую параболу. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках, расположенных симметрично относительно начала координат (в I и III координатных четвертях). Точные координаты точек пересечения из графика определить сложно, так как они не являются целочисленными. Определим их приблизительные значения.

Координаты точки в первой четверти приблизительно равны $(1.25, 3.9)$.

Координаты симметричной ей точки в третьей четверти — $(-1.25, -3.9)$.

Поскольку графический метод дает приблизительные значения, округлим их до одного знака после запятой.

Ответ: приблизительные решения: $(1.3, 3.8)$, $(-1.3, -3.8)$.

2) Для решения системы уравнений графическим способом построим графики для каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $x^2 + 3x - y = 0$ можно переписать как $y = x^2 + 3x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$; $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(-1.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=-3$.

Второе уравнение $y = 5 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(0, 5)$.

Построим обе параболы в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы.

Из графика можно определить координаты точек пересечения:

Первая точка: $(1, 4)$.

Вторая точка: $(-2.5, -1.25)$.

Выполним проверку для точки $(1, 4)$:

$1^2 + 3(1) - 4 = 1+3-4=0$ (верно)

$4 = 5 - 1^2$ (верно)

Выполним проверку для точки $(-2.5, -1.25)$:

$(-2.5)^2 + 3(-2.5) - (-1.25) = 6.25 - 7.5 + 1.25 = 0$ (верно)

$-1.25 = 5 - (-2.5)^2 = 5 - 6.25 = -1.25$ (верно)

Ответ: $(1, 4)$, $(-2.5, -1.25)$.

$x + n(x + 1)$

Докажите, что функции $y = \text{tg}x$, $y = \text{sin}x$, $y = x$, $y = x^n$, где $n > 0$ — являются бесконечно малыми при $x \to 0$. Функция $y = (x - 3)^2$ является бесконечно малой при $x \to 3$.

Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \to a$, если ее предел в этой точке равен нулю: $\lim_{x \to a} f(x) = 0$. Для доказательства необходимо найти пределы данных функций в указанных точках и убедиться, что они равны нулю.

y = tgx

Найдем предел функции $y = \tg x$ при $x \to 0$. Функция тангенса непрерывна в точке $x = 0$, поэтому предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 0} \tg x = \tg(0) = 0$. Так как предел функции равен нулю, функция $y = \tg x$ является бесконечно малой при $x \to 0$.

Ответ: Доказано, что функция является бесконечно малой.

y = sinx

Найдем предел функции $y = \sin x$ при $x \to 0$. Функция синуса непрерывна в точке $x = 0$, поэтому предел равен ее значению в этой точке: $\lim_{x \to 0} \sin x = \sin(0) = 0$. Так как предел функции равен нулю, функция $y = \sin x$ является бесконечно малой при $x \to 0$.

Ответ: Доказано, что функция является бесконечно малой.

y = x

Найдем предел функции $y = x$ при $x \to 0$. Эта линейная функция непрерывна на всей числовой оси, поэтому предел находится прямой подстановкой: $\lim_{x \to 0} x = 0$. Так как предел функции равен нулю, функция $y = x$ является бесконечно малой при $x \to 0$.

Ответ: Доказано, что функция является бесконечно малой.

y = xⁿ, где n > 0

Найдем предел функции $y = x^n$ при $x \to 0$ при условии, что $n > 0$. Степенная функция с положительным показателем непрерывна в точке $x = 0$. Ее предел равен: $\lim_{x \to 0} x^n = 0^n = 0$. Так как предел функции равен нулю, функция $y = x^n$ (где $n > 0$) является бесконечно малой при $x \to 0$.

Ответ: Доказано, что функция является бесконечно малой.

y = (x - 3)²

Найдем предел функции $y = (x - 3)^2$ при $x \to 3$. Данная функция является многочленом, непрерывным на всей числовой оси. Предел можно найти прямой подстановкой: $\lim_{x \to 3} (x-3)^2 = (3-3)^2 = 0^2 = 0$. Так как предел функции равен нулю, функция $y = (x - 3)^2$ является бесконечно малой при $x \to 3$.

Ответ: Доказано, что функция является бесконечно малой.