Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $n$ и $m$ график функции $y = f(x + n) + m$ получается из графика функции $y = f(x)$ его смещением:
а) вниз и влево;
б) вверх и вправо;
в) вверх и влево;
г) вниз и вправо? Приведите примеры.

2. Как, не перемещая (не сдвигая) график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = f(x) + m$?

3. Как, не перемещая (не сдвигая) график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = f(x + n) + m$?

а) Для смещения графика вниз и влево необходимо, чтобы параметр `$m$` был отрицательным (`$m < 0$`), а параметр `$n$` — положительным (`$n > 0$`). Смещение происходит вниз на `$|m|$` единиц и влево на `$n$` единиц. Пример: для `$f(x) = x^2$`, график функции `$y = (x+2)^2 - 3$` получен смещением параболы на 2 единицы влево (`$n=2$`) и на 3 единицы вниз (`$m=-3$`). Ответ: `$n > 0$` и `$m < 0$`.

б) Для смещения графика вверх и вправо необходимо, чтобы параметр `$m$` был положительным (`$m > 0$`), а параметр `$n$` — отрицательным (`$n < 0$`). Смещение происходит вверх на `$m$` единиц и вправо на `$|n|$` единиц. Пример: для `$f(x) = x^2$`, график функции `$y = (x-2)^2 + 3$` получен смещением параболы на 2 единицы вправо (`$n=-2$`) и на 3 единицы вверх (`$m=3$`). Ответ: `$n < 0$` и `$m > 0$`.

в) Для смещения графика вверх и влево необходимо, чтобы оба параметра были положительными (`$m > 0$` и `$n > 0$`). Смещение происходит вверх на `$m$` единиц и влево на `$n$` единиц. Пример: для `$f(x) = x^2$`, график функции `$y = (x+2)^2 + 3$` получен смещением параболы на 2 единицы влево (`$n=2$`) и на 3 единицы вверх (`$m=3$`). Ответ: `$n > 0$` и `$m > 0$`.

г) Для смещения графика вниз и вправо необходимо, чтобы оба параметра были отрицательными (`$m < 0$` и `$n < 0$`). Смещение происходит вниз на `$|m|$` единиц и вправо на `$|n|$` единиц. Пример: для `$f(x) = x^2$`, график функции `$y = (x-2)^2 - 3$` получен смещением параболы на 2 единицы вправо (`$n=-2$`) и на 3 единицы вниз (`$m=-3$`). Ответ: `$n < 0$` и `$m < 0$`.

2. Чтобы построить график функции `$y = f(x) + m$`, не перемещая график `$y=f(x)$`, нужно сдвинуть ось абсцисс (ось Ox). График `$y=f(x)$` оставляется на месте, а ось Ox смещается на `-m` единиц по вертикали, то есть ее новым положением будет прямая `$y=-m$`. Если `$m>0$`, ось смещается вниз, если `$m<0$` — вверх. Исходная кривая, рассмотренная в системе с новой осью Ox и старой осью Oy, является искомым графиком. Ответ: Сместить ось абсцисс (Ox) на `-m` единиц по вертикали, оставив график и ось ординат (Oy) на месте.

3. Чтобы построить график функции `$y = f(x + n) + m$`, не перемещая график `$y=f(x)$`, нужно сдвинуть обе оси координат. График `$y=f(x)$` остается неподвижным. Ось ординат (Oy) сдвигается на `$n$` единиц по горизонтали (ее новым положением будет прямая `$x=n$`). Ось абсцисс (Ox) сдвигается на `-m` единиц по вертикали (ее новым положением будет прямая `$y=-m$`). Исходная кривая, рассмотренная в новой системе координат, является искомым графиком. Ответ: Сместить ось ординат (Oy) на `$n$` единиц по горизонтали и ось абсцисс (Ox) на `-m` единиц по вертикали, оставив график на месте.

3.1. Найдите координаты точки $A_1$, если точка $A_1$ получена путем перемещения точки $A(2; 3)$:

1) вправо на 4 единицы;

2) влево на 2 единицы;

3) влево на 1,2 единицы;

4) вправо на 3,7 единицы.

Для нахождения координат точки $A_1$, полученной путем перемещения точки $A(2; 3)$ по горизонтали, необходимо изменить ее абсциссу (координату $x$), в то время как ордината (координата $y$) останется неизменной. Таким образом, во всех случаях координата $y$ точки $A_1$ будет равна 3.

Правила изменения абсциссы:

- При перемещении точки вправо на $d$ единиц, новая абсцисса $x_1$ вычисляется по формуле $x_1 = x + d$.

- При перемещении точки влево на $d$ единиц, новая абсцисса $x_1$ вычисляется по формуле $x_1 = x - d$.

Исходные координаты: $x = 2$, $y = 3$.

1) вправо на 4 единицы

Перемещаем точку $A(2; 3)$ вправо на 4 единицы. Новая абсцисса вычисляется путем сложения:

$x_1 = 2 + 4 = 6$.

Координаты новой точки $A_1$ равны $(6; 3)$.

Ответ: $A_1(6; 3)$

2) влево на 2 единицы

Перемещаем точку $A(2; 3)$ влево на 2 единицы. Новая абсцисса вычисляется путем вычитания:

$x_1 = 2 - 2 = 0$.

Координаты новой точки $A_1$ равны $(0; 3)$.

Ответ: $A_1(0; 3)$

3) влево на 1,2 единицы

Перемещаем точку $A(2; 3)$ влево на 1,2 единицы. Новая абсцисса вычисляется путем вычитания:

$x_1 = 2 - 1,2 = 0,8$.

Координаты новой точки $A_1$ равны $(0,8; 3)$.

Ответ: $A_1(0,8; 3)$

4) вправо на 3,7 единицы

Перемещаем точку $A(2; 3)$ вправо на 3,7 единицы. Новая абсцисса вычисляется путем сложения:

$x_1 = 2 + 3,7 = 5,7$.

Координаты новой точки $A_1$ равны $(5,7; 3)$.

Ответ: $A_1(5,7; 3)$

3.2. Найдите координаты точки $A_2$, если точка $A_2$ получена путем перемещения точки $A(-2; 4)$:

1) вправо на 3 единицы;

3) влево на 2,3 единицы;

2) влево на 3 единицы;

4) вправо на 4,5 единицы.

1) вправо на 3 единицы

Исходная точка имеет координаты $A(-2; 4)$. Перемещение точки вправо вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $3$ единицы означает, что мы должны увеличить ее x-координату (абсциссу) на $3$. При этом y-координата (ордината) не изменяется. Пусть новые координаты точки будут $A_2(x_2; y_2)$.

Вычисляем новую абсциссу: $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Ордината остается прежней: $y_2 = 4$.

Таким образом, координаты новой точки $A_2$ равны $(1; 4)$.

Ответ: $A_2(1; 4)$.

2) влево на 3 единицы

Исходная точка имеет координаты $A(-2; 4)$. Перемещение точки влево вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $3$ единицы означает, что мы должны уменьшить ее x-координату (абсциссу) на $3$. При этом y-координата (ордината) не изменяется.

Вычисляем новую абсциссу: $x_2 = -2 - 3 = -5$.

Ордината остается прежней: $y_2 = 4$.

Таким образом, координаты новой точки $A_2$ равны $(-5; 4)$.

Ответ: $A_2(-5; 4)$.

3) влево на 2,3 единицы

Исходная точка имеет координаты $A(-2; 4)$. Перемещение точки влево вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $2,3$ единицы означает, что мы должны уменьшить ее x-координату (абсциссу) на $2,3$. При этом y-координата (ордината) не изменяется.

Вычисляем новую абсциссу: $x_2 = -2 - 2,3 = -4,3$.

Ордината остается прежней: $y_2 = 4$.

Таким образом, координаты новой точки $A_2$ равны $(-4,3; 4)$.

Ответ: $A_2(-4,3; 4)$.

4) вправо на 4,5 единицы

Исходная точка имеет координаты $A(-2; 4)$. Перемещение точки вправо вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $4,5$ единицы означает, что мы должны увеличить ее x-координату (абсциссу) на $4,5$. При этом y-координата (ордината) не изменяется.

Вычисляем новую абсциссу: $x_2 = -2 + 4,5 = 2,5$.

Ордината остается прежней: $y_2 = 4$.

Таким образом, координаты новой точки $A_2$ равны $(2,5; 4)$.

Ответ: $A_2(2,5; 4)$.