Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.11.1)

$y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x < -1, \\ 3x^2, & \text{если } x \ge -1; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} 5x^2, & \text{если } x > 1, \\ 6 - x, & \text{если } x \le 1; \end{cases}$

3)

$y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0, \\ -4x - 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

4)

$y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 4, \\ (0,25x)^2, & \text{если } x \le 4. \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x < -1 \\ 3x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить точку $x = -1$, в которой меняется способ задания функции. Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. То есть, должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $x = -1$.

2. Существуют и равны односторонние пределы: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x)$.

3. Значение функции в точке равно значению предела: $y(-1) = \lim_{x \to -1} y(x)$.

Проверим эти условия:

1. Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно условию, при $x \ge -1$ используется формула $y = 3x^2$.

$y(-1) = 3(-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1$, где $x < -1$). Используем формулу $y = x + 4$:

$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} (x + 4) = -1 + 4 = 3$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1$, где $x > -1$). Используем формулу $y = 3x^2$:

$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x^2) = 3(-1)^2 = 3$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу ($3=3$), то предел функции в точке $x=-1$ существует и равен 3.

Значение функции в точке $y(-1) = 3$ совпадает со значением предела.

Следовательно, функция непрерывна в точке $x = -1$.

На промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$ функция задана элементарными функциями (линейной и квадратичной), которые непрерывны на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси.

2) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} 5x^2, & \text{если } x > 1 \\ 6 - x, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность в точке "стыка" $x = 1$.

1. Значение функции в точке $x = 1$. При $x \le 1$ используется формула $y = 6 - x$:

$y(1) = 6 - 1 = 5$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 1$, где $x < 1$). Используем формулу $y = 6 - x$:

$\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (6 - x) = 6 - 1 = 5$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 1$, где $x > 1$). Используем формулу $y = 5x^2$:

$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (5x^2) = 5(1)^2 = 5$.

Односторонние пределы равны ($5=5$), и их значение совпадает со значением функции в точке $y(1) = 5$.

Следовательно, функция непрерывна в точке $x = 1$.

На остальных промежутках функция также непрерывна, так как задана непрерывными элементарными функциями.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси.

3) Дано выражение: $y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0 \\ -4x - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

В данном виде выражение не является корректным определением функции. Область определения второй части ($x < 0$) является подмножеством области определения первой части ($x \le 0$). Это означает, что для любого значения $x < 0$ существуют два правила для вычисления $y$. По определению, функция должна сопоставлять каждому значению аргумента $x$ единственное значение $y$.

Проверим, дают ли формулы одинаковый результат при $x < 0$. Для этого приравняем их:

$3x - 1 = -4x - 1$

$7x = 0$

$x = 0$

Равенство выполняется только в точке $x=0$, которая не входит в интервал $x < 0$. Для любого $x < 0$ значения будут разными. Например, при $x=-2$:

$y = 3(-2) - 1 = -7$

$y = -4(-2) - 1 = 8 - 1 = 7$

Так как для одного $x$ получается два разных $y$, это не функция.

Вероятно, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятный исправленный вариант: $y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le 0 \\ -4x - 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность эту исправленную функцию в точке $x=0$:

1. $y(0) = 3(0) - 1 = -1$.

2. $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x - 1) = -1$.

3. $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (-4x - 1) = -1$.

Так как $y(0) = \lim_{x \to 0} y(x) = -1$, исправленная функция непрерывна в точке $x=0$ и, следовательно, на всей числовой оси.

Ответ: В исходном виде выражение не является функцией. Если предположить, что в условии опечатка и вторая ветвь определена для $x > 0$, то полученная функция является непрерывной на всей числовой оси.

4) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 4 \\ (0,25x)^2, & \text{если } x \le 4 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность в точке $x = 4$.

1. Значение функции в точке $x = 4$. При $x \le 4$ используется формула $y = (0,25x)^2$:

$y(4) = (0,25 \cdot 4)^2 = (1)^2 = 1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 4$, где $x < 4$). Используем формулу $y = (0,25x)^2$:

$\lim_{x \to 4^-} y(x) = \lim_{x \to 4^-} (0,25x)^2 = (0,25 \cdot 4)^2 = 1$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 4$, где $x > 4$). Используем формулу $y = -\frac{4}{x}$:

$\lim_{x \to 4^+} y(x) = \lim_{x \to 4^+} (-\frac{4}{x}) = -\frac{4}{4} = -1$.

Левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($-1$).

$\lim_{x \to 4^-} y(x) \neq \lim_{x \to 4^+} y(x)$.

Следовательно, предел функции в точке $x=4$ не существует, и функция терпит разрыв в этой точке.

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|\lim_{x \to 4^+} y(x) - \lim_{x \to 4^-} y(x)| = |-1 - 1| = 2$.

На всех остальных промежутках функция непрерывна.

Ответ: Функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x = 4$.

2.12. Задайте уравнением множество точек координатной плоскости, у которых значение:

1) суммы абсциссы и ординаты равно удвоенной абсциссе;

$x + y = 2x$

2) разности ординаты и абсциссы равно удвоенной ординате;

$y - x = 2y$

3) суммы абсциссы и утроенной ординаты равно утроенной абсциссе;

$x + 3y = 3x$

4) разности ординаты и абсциссы равно утроенной ординате.

$y - x = 3y$

Для решения задачи обозначим координаты произвольной точки на плоскости как $(x, y)$, где $x$ — абсцисса, а $y$ — ордината.

Согласно условию, сумма абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) равна удвоенной абсциссе ($2x$). Запишем это в виде уравнения: $x + y = 2x$. Упростим его, вычитая $x$ из обеих частей: $y = 2x - x$. В результате получаем искомое уравнение.

Ответ: $y = x$

По условию, разность ординаты ($y$) и абсциссы ($x$) равна удвоенной ординате ($2y$). Составим уравнение: $y - x = 2y$. Перенесем $y$ из левой части уравнения в правую, вычитая $y$ из обеих частей: $-x = 2y - y$. Это приводит к уравнению $y = -x$.

Ответ: $y = -x$

Сумма абсциссы ($x$) и утроенной ординаты ($3y$) равна утроенной абсциссе ($3x$). Математически это записывается как: $x + 3y = 3x$. Вычтем $x$ из обеих частей уравнения для его упрощения: $3y = 3x - x$, что равносильно $3y = 2x$. Выразим $y$ через $x$, разделив обе части на 3.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$

Разность ординаты ($y$) и абсциссы ($x$) равна утроенной ординате ($3y$). Составим соответствующее уравнение: $y - x = 3y$. Упростим его, вычитая $y$ из обеих частей: $-x = 3y - y$, что приводит к $-x = 2y$. Чтобы выразить $y$ через $x$, разделим обе части на 2.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$

2.13. Задайте множество точек координатной плоскости, у которых значение:

1) суммы абсциссы и удвоенной ординаты равно 8; $x + 2y = 8$

2) разности ординаты и удвоенной абсциссы равно 6; $y - 2x = 6$

3) суммы абсциссы и ординаты равно квадрату абсциссы; $x + y = x^2$

4) разности ординаты и утроенной абсциссы равно удвоенному квадрату абсциссы. $y - 3x = 2x^2$

C.

1) суммы абсциссы и удвоенной ординаты равно 8;

Пусть $(x, y)$ – координаты произвольной точки на координатной плоскости, где $x$ – это абсцисса, а $y$ – ордината.

Согласно условию, сумма абсциссы ($x$) и удвоенной ординаты ($2y$) равна 8. Составим уравнение, описывающее это условие:

$x + 2y = 8$

Это уравнение является линейным, и его графиком является прямая. Чтобы представить это множество точек в виде функции, выразим $y$ через $x$:

$2y = 8 - x$

$y = 4 - \frac{1}{2}x$

Таким образом, искомое множество точек – это прямая, заданная уравнением $y = -\frac{1}{2}x + 4$.

Ответ: $x + 2y = 8$ (или $y = -\frac{1}{2}x + 4$).

2) разности ординаты и удвоенной абсциссы равно 6;

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината точки.

Согласно условию, разность ординаты ($y$) и удвоенной абсциссы ($2x$) равна 6. Запишем это в виде уравнения:

$y - 2x = 6$

Это также уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$:

$y = 2x + 6$

Искомое множество точек – это прямая, заданная уравнением $y = 2x + 6$.

Ответ: $y - 2x = 6$ (или $y = 2x + 6$).

3) суммы абсциссы и ординаты равно квадрату абсциссы;

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината точки.

Согласно условию, сумма абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) равна квадрату абсциссы ($x^2$). Составим уравнение:

$x + y = x^2$

Это уравнение является квадратичным, и его графиком является парабола. Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 - x$

Искомое множество точек – это парабола, заданная уравнением $y = x^2 - x$.

Ответ: $y = x^2 - x$.

4) разности ординаты и утроенной абсциссы равно удвоенному квадрату абсциссы.

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината точки.

Согласно условию, разность ординаты ($y$) и утроенной абсциссы ($3x$) равна удвоенному квадрату абсциссы ($2x^2$). Составим уравнение:

$y - 3x = 2x^2$

Это уравнение параболы. Выразим $y$ через $x$:

$y = 2x^2 + 3x$

Искомое множество точек – это парабола, заданная уравнением $y = 2x^2 + 3x$.

Ответ: $y = 2x^2 + 3x$.

2.14. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.7:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.7

1)График данной функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

Для $x \le 0$ график представляет собой луч, выходящий из начала координат. Этот луч лежит на прямой, проходящей через точки $(0, 0)$ и $(-2, 2)$. Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, её сдвиг по оси y равен нулю, то есть $b=0$. Угловой коэффициент $k$ можно найти, подставив координаты точки $(-2, 2)$ в уравнение $y = kx$: $2 = k \cdot (-2)$, откуда $k = -1$. Таким образом, для $x \le 0$ функция задаётся формулой $y = -x$.

Для $x > 0$ график является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x-x_0)^2 + y_0$. Подставляя координаты вершины $(2, 4)$, получаем $y = a(x-2)^2 + 4$. Чтобы найти коэффициент $a$, используем другую точку, через которую проходит парабола, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим эти значения: $0 = a(0-2)^2 + 4 \implies 0 = 4a + 4 \implies 4a = -4 \implies a = -1$. Следовательно, для $x > 0$ уравнение параболы имеет вид $y = -(x-2)^2 + 4$. Раскрыв скобки, получим $y = -(x^2-4x+4) + 4 = -x^2+4x-4+4 = -x^2+4x$.

Объединив обе части, получаем кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 + 4x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

2)График этой функции симметричен относительно оси $y$, что указывает на то, что функция является чётной. График имеет характерную 'W'-образную форму с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(0, 4)$ и $(2, 0)$. Такая форма часто является результатом взятия модуля от 'V'-образной функции.

Рассмотрим 'V'-образную функцию $f(x)$, которая была бы преобразована в данный график с помощью операции модуля $y=|f(x)|$. Такая функция должна была бы иметь вершину в точке $(0, -4)$ и проходить через точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Уравнение 'V'-образной функции с вершиной в $(0, c)$ имеет вид $g(x) = k|x| + c$. В нашем случае $c=-4$. Таким образом, $g(x) = k|x| - 4$. Для нахождения коэффициента $k$ подставим координаты точки $(2, 0)$: $0 = k|2| - 4 \implies 2k = 4 \implies k=2$. Итак, функция под знаком модуля: $g(x) = 2|x| - 4$.

Теперь, чтобы получить исходный 'W'-образный график, возьмём модуль от этой функции: $y = |g(x)| = |2|x| - 4|$. Эта операция отражает часть графика, находящуюся ниже оси $x$, симметрично вверх, что в точности соответствует изображению.

Проверим ключевые точки:

при $x=0$, $y = |2|0| - 4| = |-4| = 4$.

при $x=2$, $y = |2|2| - 4| = |4 - 4| = 0$.

при $x=-2$, $y = |2|-2| - 4| = |4 - 4| = 0$.

Все точки совпадают.

Ответ: $y = |2|x| - 4|$

3)График данной функции является гиперболой. У неё есть вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Вертикальная асимптота — это прямая $x=1$. Это означает, что в знаменателе функции есть множитель $(x-1)$. Поскольку ветви графика по обе стороны от асимптоты уходят в $+\infty$, этот множитель должен быть в чётной степени, скорее всего, во второй: $(x-1)^2$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=1$. Это означает, что при $x \to \pm\infty$ функция стремится к 1. Это соответствует вертикальному сдвигу графика на 1 единицу вверх.

Таким образом, формула функции имеет вид $y = \frac{k}{(x-1)^2} + 1$.

Для нахождения неизвестного коэффициента $k$ воспользуемся одной из точек, принадлежащих графику, например, $(0, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:$2 = \frac{k}{(0-1)^2} + 1$

$2 = \frac{k}{(-1)^2} + 1$

$2 = k + 1$

$k = 1$

Таким образом, искомая формула функции:

Ответ: $y = \frac{1}{(x-1)^2} + 1$

4)Данный график является графиком кусочно-постоянной функции. Он состоит из трёх частей.

При $x > 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y=1$. Выколотая точка на оси $y$ при $y=1$ означает, что $x=0$ не входит в этот интервал.

При $x < 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y=-1$. Выколотая точка на оси $y$ при $y=-1$ означает, что $x=0$ не входит и в этот интервал.

При $x = 0$ на графике есть закрашенная точка в начале координат $(0, 0)$, что означает $y=0$ при $x=0$.

Эта функция является стандартной математической функцией "сигнум" (или "знак числа"), обозначаемой как $\text{sgn}(x)$. Она определяется следующим образом:

Ответ: $y = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

34.6. Решите уравнение способом введения новой переменной:

1) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 = 0;$

2) $(x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) - 24 = 0;$

3) $(x^2 - 5x - 1)(x^2 - 5x + 2) - 28 = 0;$

4) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = 0.$

1) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x^2 + x)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 + x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-12$.

$t_1 + t_2 = -4$

$t_1 \cdot t_2 = -12$

Подбором находим корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 + x = -6$

$x^2 + x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t_2 = 2$.

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$.

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $-2; 1$.

2) $(x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) - 24 = 0$

Сначала преобразуем уравнение. Перемножим скобки $(x-1)$ и $(x-2)$, а $(x^2-3x)$ представим как $x(x-3)$. Удобнее сгруппировать множители так, чтобы после перемножения получить одинаковые выражения.

Перегруппируем множители: $[x(x-3)][(x-1)(x-2)] - 24 = 0$.

Раскроем скобки в каждой группе:

$x(x-3) = x^2 - 3x$

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) - 24 = 0$

Теперь видно, что можно ввести замену. Пусть $t = x^2 - 3x$.

$t(t + 2) - 24 = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -24$. Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 - 3x = -6 \Rightarrow x^2 - 3x + 6 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t_2 = 4$.

$x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 4$.

3) $(x^2 - 5x - 1)(x^2 - 5x + 2) - 28 = 0$

В выражении повторяется часть $x^2 - 5x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 - 5x$. Уравнение принимает вид:

$(t - 1)(t + 2) - 28 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 2t - t - 2 - 28 = 0$

$t^2 + t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -30$. Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 - 5x = -6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Случай 2: $t_2 = 5$.

$x^2 - 5x = 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 5 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$.

Корни: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; 3; \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

4) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = 0$

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 + x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать так:

$(t + 1)(t + 2) - 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 2t + t + 2 - 6 = 0$

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$, $t_1 \cdot t_2 = -4$. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -4$.

$x^2 + x = -4 \Rightarrow x^2 + x + 4 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t_2 = 1$.

$x^2 + x = 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

34.7. Найдите действительные корни уравнения:

1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$;

2) $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$;

3) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$.

1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$

Для нахождения действительных корней уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-2), то есть $ \pm 1, \pm 2$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

При $x = -1$: $(-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $x = -1$ является корнем.

При $x = 2$: $2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 16 - 8 - 4 - 2 - 2 = 0$. Следовательно, $x = 2$ является корнем.

Поскольку мы нашли два корня, многочлен $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2$ делится на произведение $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена на $x^2 - x - 2$ столбиком или по схеме Горнера, что даст в частном $x^2 + 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x^2 - x - 2)(x^2 + 1) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни мы уже нашли: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

2. $x^2 + 1 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 = -1$.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются только $x = -1$ и $x = 2$.

Ответ: $-1; 2$.

2) $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$

Найдем рациональные корни, которые могут быть среди делителей свободного члена 4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим эти значения:

При $x = 1$: $1^4 - 1^3 - 2(1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 1 - 2 - 2 + 4 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.

При $x = 2$: $2^4 - 2^3 - 2(2)^2 - 2(2) + 4 = 16 - 8 - 8 - 4 + 4 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.

Разделим многочлен $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4$ на $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.

$(x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4) \div (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 2x + 2$.

Уравнение принимает вид:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x + 2) = 0$.

Рассмотрим два уравнения:

1. $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. $x^2 + 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Действительными корнями исходного уравнения являются $x = 1$ и $x = 2$.

Ответ: $1; 2$.

3) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-12): $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Проверим некоторые из них:

При $x = -1$: $(-1)^4 - 2(-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) - 12 = 1 + 2 + 1 + 8 - 12 = 0$. Следовательно, $x = -1$ — корень.

При $x = 3$: $3^4 - 2(3)^3 + 3^2 - 8(3) - 12 = 81 - 54 + 9 - 24 - 12 = 0$. Следовательно, $x = 3$ — корень.

Разделим исходный многочлен на $(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$.

$(x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12) \div (x^2 - 2x - 3) = x^2 + 4$.

Уравнение можно записать как:

$(x^2 - 2x - 3)(x^2 + 4) = 0$.

Рассмотрим два уравнения:

1. $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

2. $x^2 + 4 = 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 = -4$.

Действительными корнями исходного уравнения являются $x = -1$ и $x = 3$.

Ответ: $-1; 3$.

34.8. Решите уравнение:

1) $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0;$

2) $x(x - 1)(x + 1)(x + 2) - 24 = 0;$

3) $(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) - 4 = 0;$

4) $(x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) - 120 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0$.

Это уравнение четвертой степени, которое решается методом группировки и введения новой переменной. Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Замечаем, что $0+8 = 3+5 = 8$.

Перегруппируем и перемножим скобки: $[x(x + 8)][(x + 3)(x + 5)] + 56 = 0$.

$(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) + 56 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t + 15) + 56 = 0$

$t^2 + 15t + 56 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = -15$ и $t_1 \cdot t_2 = 56$. Подбором находим $t_1 = -7$ и $t_2 = -8$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -7$.

$x^2 + 8x = -7 \implies x^2 + 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$. Находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $t = -8$.

$x^2 + 8x = -8 \implies x^2 + 8x + 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$.

Получаем еще два корня: $x_3 = -4 - 2\sqrt{2}$, $x_4 = -4 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $-7; -4 - 2\sqrt{2}; -1; -4 + 2\sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $x(x - 1)(x + 1)(x + 2) - 24 = 0$.

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Замечаем, что $0+1 = -1+2 = 1$.

Перегруппируем: $[x(x + 1)][(x - 1)(x + 2)] - 24 = 0$.

$(x^2 + x)(x^2 + x - 2) - 24 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t - 2) - 24 = 0$

$t^2 - 2t - 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -24$. Находим корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 6$.

$x^2 + x = 6 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $t = -4$.

$x^2 + x = -4 \implies x^2 + x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.

3) Исходное уравнение: $(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) - 4 = 0$.

Сгруппируем множители. Замечаем, что $4+8 = 5+7 = 12$.

Перегруппируем: $[(x + 4)(x + 8)][(x + 5)(x + 7)] - 4 = 0$.

$(x^2 + 12x + 32)(x^2 + 12x + 35) - 4 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 12x + 32$. Тогда $x^2 + 12x + 35 = t + 3$. Уравнение примет вид:

$t(t + 3) - 4 = 0$

$t^2 + 3t - 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = -4$. Находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.

$x^2 + 12x + 32 = 1 \implies x^2 + 12x + 31 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 144 - 124 = 20$.

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -6 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два корня: $x_1 = -6 - \sqrt{5}$, $x_2 = -6 + \sqrt{5}$.

Случай 2: $t = -4$.

$x^2 + 12x + 32 = -4 \implies x^2 + 12x + 36 = 0$.

Это полный квадрат: $(x + 6)^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень (кратности 2): $x_3 = -6$.

Ответ: $-6; -6 - \sqrt{5}; -6 + \sqrt{5}$.

4) Исходное уравнение: $(x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) - 120 = 0$.

Сгруппируем множители. Замечаем, что $1+4 = 2+3 = 5$.

Перегруппируем: $[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 120 = 0$.

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 120 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 5x$. Уравнение примет вид:

$(t + 4)(t + 6) - 120 = 0$

$t^2 + 10t + 24 - 120 = 0$

$t^2 + 10t - 96 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -10$ и $t_1 \cdot t_2 = -96$. Находим корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -16$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 6$.

$x^2 + 5x = 6 \implies x^2 + 5x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Случай 2: $t = -16$.

$x^2 + 5x = -16 \implies x^2 + 5x + 16 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-6; 1$.

34.9. Решите уравнение методом введения новой переменной:

1) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 9 = 0;$

2) $6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 38 = 0;$

3) $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x - \frac{1}{x}\right) + 10 = 0;$

4) $\left(x^2 + \frac{4}{x^2}\right) - \left(x + \frac{2}{x}\right) - 8 = 0.$

1) $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 9 = 0$

Данное уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, поэтому можно вводить замену, содержащую $\frac{1}{x}$.

Введем новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0$

$2t^2 - 7t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$. Умножим обе части на $2x$ (т.к. $x \neq 0$):

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$. Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = x$

$x^2 - x + 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{1}{2}; 2$.

2) $6(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем задании, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0$

$6t^2 - 12 + 5t - 38 = 0$

$6t^2 + 5t - 50 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - 35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Корни этого уравнения (из предыдущей задачи): $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = -\frac{10}{3}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3}$. Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 3 = -10x$

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_3 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_4 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 2$.

3) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x - \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. В этом уравнении удобнее сделать замену $t = x - \frac{1}{x}$.

Возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + 7t + 10 = 0$

$t^2 + 7t + 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -3$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = -3$

$x - \frac{1}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 1 = 0$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Случай 2: $t = -4$

$x - \frac{1}{x} = -4$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -4x \Rightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. $\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$x_{3,4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; -2 - \sqrt{5}; -2 + \sqrt{5}$.

4) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x + \frac{2}{x}) - 8 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. Сделаем замену $t = x + \frac{2}{x}$.

Возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 - 4) - t - 8 = 0$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 4$

$x + \frac{2}{x} = 4$. Умножим на $x$:

$x^2 + 2 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$. $\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Случай 2: $t = -3$

$x + \frac{2}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 + 2 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$ и $x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}$.

34.10. Решите симметрическое уравнение:

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$;

2) $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0$;

3) $x^4 + 7x^3 + 10x^2 - 7x + 1 = 0$;

4) $2x^4 + x^3 - 11x^2 + x + 2 = 0$.

1) Дано симметрическое уравнение $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$.

Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения, разделим обе части на $x^2$:

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 1 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

1. Если $y = 3$, то $x + \frac{1}{x} = 3$. Умножим на $x$, получим $x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y = -1$, то $x + \frac{1}{x} = -1$. Умножим на $x$, получим $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Корни $x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

2) Дано симметрическое уравнение $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0$.

Поскольку $x=0$ не является корнем, делим уравнение на $x^2$:

$x^2 - 7x + 14 - \frac{7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 14 = 0$.

Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Получаем уравнение для $y$: $(y^2 - 2) - 7y + 14 = 0$, что упрощается до $y^2 - 7y + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = 3$, то $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 4 = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y = 4$, то $x + \frac{1}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4 = 12$. Корни $x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; 2 \pm \sqrt{3}$.

3) Дано уравнение $x^4 + 7x^3 + 10x^2 - 7x + 1 = 0$. Это так называемое квазисимметрическое уравнение.

Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$x^2 + 7x + 10 - \frac{7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x - \frac{1}{x}) + 10 = 0$.

Делаем замену $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставляем в уравнение: $(y^2 + 2) + 7y + 10 = 0$, что упрощается до $y^2 + 7y + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1 = -3$ и $y_2 = -4$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = -3$, то $x - \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-1) = 13$. Корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

2. Если $y = -4$, то $x - \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-1) = 20$. Корни $x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}; -2 \pm \sqrt{5}$.

4) Дано симметрическое уравнение $2x^4 + x^3 - 11x^2 + x + 2 = 0$.

Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$2x^2 + x - 11 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Группируем: $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 11 = 0$.

Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставляем в уравнение: $2(y^2 - 2) + y - 11 = 0$, что упрощается до $2y^2 + y - 15 = 0$.

Решаем квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D_y = 1^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни $y = \frac{-1 \pm 11}{4}$, то есть $y_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $y_2 = -3$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = \frac{5}{2}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D_x = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Корни $x = \frac{5 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

2. Если $y = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Корни $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; \frac{1}{2}; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

34.11. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $x^4 - x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = 0;$

2) $x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0;$

3) $x^4 - x^3 - 8x^2 + 2x + 4 = 0;$

4) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0.$

1) $x^4 - x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как свободный член $4 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - x - 10 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 10 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 + 4) - y - 10 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$.

$x - \frac{2}{x} = 3$

Умножим на $x$: $x^2 - 2 = 3x$, что дает $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Случай 2: $y = -2$.

$x - \frac{2}{x} = -2$

Умножим на $x$: $x^2 - 2 = -2x$, что дает $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}; -1 \pm \sqrt{3}$.

2) $x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0$

Так как $x=0$ не является корнем, разделим уравнение на $x^2$:

$x^2 - 5x + 10 - \frac{10}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) - 5(x + \frac{2}{x}) + 10 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 4) - 5y + 10 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$.

$x + \frac{2}{x} = 2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

3) $x^4 - x^3 - 8x^2 + 2x + 4 = 0$

Поскольку $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$x^2 - x - 8 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 8 = 0$.

Пусть $y = x - \frac{2}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставляем в уравнение:

$(y^2 + 4) - y - 8 = 0$

$y^2 - y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

$x - \frac{2}{x} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

$2x^2 - (1 + \sqrt{17})x - 4 = 0$.

Дискриминант $D_1 = (-(1 + \sqrt{17}))^2 - 4(2)(-4) = 1 + 2\sqrt{17} + 17 + 32 = 50 + 2\sqrt{17}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 + \sqrt{17} \pm \sqrt{50 + 2\sqrt{17}}}{4}$.

Случай 2: $y = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

$x - \frac{2}{x} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

$2x^2 - (1 - \sqrt{17})x - 4 = 0$.

Дискриминант $D_2 = (-(1 - \sqrt{17}))^2 - 4(2)(-4) = 1 - 2\sqrt{17} + 17 + 32 = 50 - 2\sqrt{17}$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{1 - \sqrt{17} \pm \sqrt{50 - 2\sqrt{17}}}{4}$.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{17} \pm \sqrt{50 + 2\sqrt{17}}}{4}; \frac{1 - \sqrt{17} \pm \sqrt{50 - 2\sqrt{17}}}{4}$.

4) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Так как $x \neq 0$, делим уравнение на $x^2$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{2}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 4) + 2y - 11 = 0$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Случай 2: $y = -5$.

$x + \frac{2}{x} = -5$

$x^2 + 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17$.

Корни $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

34.12. Решите уравнение:

1) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0;$

2) $(3x - 2)^2 + 3(5x - 7)(3x - 2) + 2(5x - 7)^2 = 0;$

3) $(x + 5)^4 - 13x^2 (x + 5)^2 + 36x^4 = 0;$

4) $4(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 (x - 2)^2 + (x - 2)^4 = 0.$

1) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $(2x+3)$ и $(7x-5)$.

Введем замену переменных. Пусть $a = 2x + 3$ и $b = 7x - 5$.

Тогда уравнение примет вид: $a^2 - 3ab + 2b^2 = 0$.

Заметим, что $b = 7x - 5 \neq 0$, так как если $7x-5=0$, то $x=5/7$, и подстановка в исходное уравнение дает $(2 \cdot 5/7 + 3)^2 = (31/7)^2 \neq 0$.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b^2$:

$(\frac{a}{b})^2 - 3(\frac{a}{b}) + 2 = 0$.

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t_1 = 1$.

$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$.

$2x + 3 = 7x - 5$.

$5x = 8$.

$x_1 = \frac{8}{5}$.

Случай 2: $t_2 = 2$.

$\frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b$.

$2x + 3 = 2(7x - 5)$.

$2x + 3 = 14x - 10$.

$12x = 13$.

$x_2 = \frac{13}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{5}; \frac{13}{12}$.

2) $(3x - 2)^2 + 3(5x - 7)(3x - 2) + 2(5x - 7)^2 = 0$

Это уравнение также является однородным. Пусть $a = 3x - 2$ и $b = 5x - 7$.

Уравнение примет вид: $a^2 + 3ab + 2b^2 = 0$.

Проверим, может ли $b$ быть равным нулю. Если $b = 5x - 7 = 0$, то $x = 7/5$. При этом $a = 3(7/5) - 2 = 21/5 - 10/5 = 11/5 \neq 0$. Исходное уравнение превращается в $(11/5)^2 = 0$, что неверно. Значит $b \neq 0$.

Разделим уравнение на $b^2$:

$(\frac{a}{b})^2 + 3(\frac{a}{b}) + 2 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения по теореме Виета: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t_1 = -1$.

$\frac{a}{b} = -1 \implies a = -b$.

$3x - 2 = -(5x - 7)$.

$3x - 2 = -5x + 7$.

$8x = 9$.

$x_1 = \frac{9}{8}$.

Случай 2: $t_2 = -2$.

$\frac{a}{b} = -2 \implies a = -2b$.

$3x - 2 = -2(5x - 7)$.

$3x - 2 = -10x + 14$.

$13x = 16$.

$x_2 = \frac{16}{13}$.

Ответ: $\frac{9}{8}; \frac{16}{13}$.

3) $(x + 5)^4 - 13x^2(x + 5)^2 + 36x^4 = 0$

Это уравнение является биквадратным и однородным относительно выражений $(x+5)$ и $x$. Запишем его в виде:

$((x + 5)^2)^2 - 13x^2(x + 5)^2 + 36(x^2)^2 = 0$.

Пусть $a = (x + 5)^2$ и $b = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$a^2 - 13ab + 36b^2 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при $x=0$ левая часть равна $(0+5)^4 = 625 \neq 0$. Следовательно, $b = x^2 \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $b^2$.

$(\frac{a}{b})^2 - 13(\frac{a}{b}) + 36 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $t_1 = 4$.

$\frac{(x+5)^2}{x^2} = 4 \implies (x+5)^2 = 4x^2$.

$x^2 + 10x + 25 = 4x^2 \implies 3x^2 - 10x - 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{10 + 20}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{10 - 20}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Случай 2: $t_2 = 9$.

$\frac{(x+5)^2}{x^2} = 9 \implies (x+5)^2 = 9x^2$.

$x^2 + 10x + 25 = 9x^2 \implies 8x^2 - 10x - 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-25) = 100 + 800 = 900 = 30^2$.

$x_3 = \frac{10 + 30}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$.

$x_4 = \frac{10 - 30}{16} = -\frac{20}{16} = -\frac{5}{4}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5$.

4) $4(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2(x - 2)^2 + (x - 2)^4 = 0$

Это однородное уравнение. Пусть $a = (x - 1)^2$ и $b = (x - 2)^2$.

Уравнение принимает вид: $4a^2 - 5ab + b^2 = 0$.

Заметим, что $x=2$ не является корнем, так как при $x=2$ левая часть равна $4(2-1)^4 = 4 \neq 0$. Значит $b = (x-2)^2 \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $b^2$.

$4(\frac{a}{b})^2 - 5(\frac{a}{b}) + 1 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 5t + 1 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Вернемся к переменной $x$:

Случай 1: $t_1 = 1/4$.

$\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2} = \frac{1}{4} \implies 4(x-1)^2 = (x-2)^2$.

$4(x^2 - 2x + 1) = x^2 - 4x + 4$.

$4x^2 - 8x + 4 = x^2 - 4x + 4$.

$3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $3x - 4 = 0 \implies x_2 = \frac{4}{3}$.

Случай 2: $t_2 = 1$.

$\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2} = 1 \implies (x-1)^2 = (x-2)^2$.

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$.

$-2x + 1 = -4x + 4$.

$2x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $0; \frac{4}{3}; \frac{3}{2}$.

34.13. Найдите значения суммы и произведения корней квадратного уравнения:

1) $x^2 + 9x - 22 = 0;$

2) $x^2 - 7x + 12 = 0;$

3) $x^2 - x - 72 = 0;$

4) $2x^2 - 3x - 2 = 0;$

5) $2x^2 - 3x - 2 = 0;$

6) $2x^2 - 6x + 1 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Прежде чем применять теорему, необходимо убедиться, что у уравнения есть действительные корни. Для этого его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

1) $x^2 + 9x - 22 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1). Коэффициенты: $a = 1$, $b = 9$, $c = -22$.

Проверим дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{1} = -9$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-22}{1} = -22$.

Ответ: сумма корней: -9, произведение корней: -22.

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$.

Проверим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-7}{1} = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{1} = 12$.

Ответ: сумма корней: 7, произведение корней: 12.

3) $x^2 - x - 72 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -72$.

Проверим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-72}{1} = -72$.

Ответ: сумма корней: 1, произведение корней: -72.

4) $2x^2 - 3x - 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

Проверим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{