Страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.7. Пусть $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Задайте аналитически функцию: $y = f(-x)$, $y = f(x + 2)$, $y = f(1 - x)$. Для каждой функции найдите:

1) множество значений;

2) точку пересечения с осью ординат;

3) нули.

Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

Для функции $y = f(-x)$

Зададим функцию аналитически, подставив $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 + 4x + 3$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Множество ее значений ограничено снизу ординатой вершины. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$: $x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot 1) = -2$.

$y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Следовательно, минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$.

Точка пересечения имеет координаты $(0, 3)$.

Ответ: $(0, 3)$.

3) нули

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$:

$x^2 + 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корнями являются числа $-1$ и $-3$.

Ответ: $x = -1, x = -3$.

Для функции $y = f(x + 2)$

Зададим функцию аналитически, подставив $x+2$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(x+2) = (x+2)^2 - 4(x+2) + 3 = (x^2 + 4x + 4) - (4x + 8) + 3 = x^2 + 4x + 4 - 4x - 8 + 3 = x^2 - 1$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 - 1$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Координаты вершины:

$x_v = -b / (2a) = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.

$y_v = 0^2 - 1 = -1$.

Минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 - 1 = -1$.

Точка пересечения имеет координаты $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

3) нули

Решим уравнение $y=0$:

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

Для функции $y = f(1 - x)$

Зададим функцию аналитически, подставив $1-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = f(1-x) = (1-x)^2 - 4(1-x) + 3 = (1 - 2x + x^2) - (4 - 4x) + 3 = 1 - 2x + x^2 - 4 + 4x + 3 = x^2 + 2x$.

Проанализируем полученную функцию $y = x^2 + 2x$.

1) множество значений

Графиком функции является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Координаты вершины:

$x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Минимальное значение функции равно $-1$.

Ответ: $E(y) = [-1, +\infty)$.

2) точка пересечения с осью ординат

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 2(0) = 0$.

Точка пересечения: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

3) нули

Решим уравнение $y=0$:

$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Ответ: $x = 0, x = -2$.

2.8. Пусть $f(x) = -x^2 + x + 2$. Задайте аналитически функцию: $y = f(x+2)$, $y = f(x) - 3$, $y = 5 - f(x)$. Для каждой функции найдите:

1) множество значений;

2) точку пересечения с осью ординат;

3) нули.

Исходная функция: $f(x) = -x^2 + x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины, чтобы определить множество значений.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$.

Ордината вершины: $y_v = f(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}$.

Максимальное значение функции $f(x)$ равно $\frac{9}{4}$, а ее множество значений $E(f) = (-\infty; \frac{9}{4}]$.

Для функции $y = f(x+2)$

Сначала зададим функцию аналитически, подставив $(x+2)$ вместо $x$ в исходную функцию:

$y = -(x+2)^2 + (x+2) + 2 = -(x^2 + 4x + 4) + x + 2 + 2 = -x^2 - 4x - 4 + x + 4 = -x^2 - 3x$.

1) множество значений;

График этой функции получается сдвигом графика $f(x)$ на 2 единицы влево. Такой сдвиг не меняет множество значений. Таким образом, множество значений новой функции совпадает с множеством значений $f(x)$.

Проверка: Это парабола $y = -x^2 - 3x$ с ветвями вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2}$.$y_v = -(-\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$.Множество значений функции: $(-\infty; \frac{9}{4}]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{9}{4}]$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ подставим $x=0$ в уравнение функции:$y(0) = -0^2 - 3 \cdot 0 = 0$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

3) нули.

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$:$-x^2 - 3x = 0$$-x(x+3) = 0$$x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3$, $x = 0$.

Для функции $y = f(x) - 3$

Зададим функцию аналитически:

$y = (-x^2 + x + 2) - 3 = -x^2 + x - 1$.

1) множество значений;

График этой функции получается сдвигом графика $f(x)$ на 3 единицы вниз. Множество значений $f(x)$ было $(-\infty; \frac{9}{4}]$. При сдвиге вниз на 3, новое множество значений будет $(-\infty; \frac{9}{4} - 3]$, то есть $(-\infty; -\frac{3}{4}]$.

Проверка: Это парабола $y = -x^2 + x - 1$ с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$.$y_v = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$.Множество значений функции: $(-\infty; -\frac{3}{4}]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{3}{4}]$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Подставим $x=0$:$y(0) = -0^2 + 0 - 1 = -1$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

3) нули.

Решим уравнение $y=0$:$-x^2 + x - 1 = 0$$x^2 - x + 1 = 0$Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.

Для функции $y = 5 - f(x)$

Зададим функцию аналитически:

$y = 5 - (-x^2 + x + 2) = 5 + x^2 - x - 2 = x^2 - x + 3$.

1) множество значений;

Преобразование $y = -f(x)$ отражает график $f(x)$ относительно оси $Ox$, а затем $y = -f(x) + 5$ сдвигает его на 5 единиц вверх. Множество значений $f(x)$ было $(-\infty; \frac{9}{4}]$. После отражения множество значений становится $[-\frac{9}{4}; +\infty)$. После сдвига вверх на 5 оно становится $[-\frac{9}{4} + 5; +\infty)$, то есть $[\frac{11}{4}; +\infty)$.

Проверка: Это парабола $y = x^2 - x + 3$ с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4}$.Множество значений функции: $[\frac{11}{4}; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [\frac{11}{4}; +\infty)$.

2) точку пересечения с осью ординат;

Подставим $x=0$:$y(0) = 0^2 - 0 + 3 = 3$.Точка пересечения с осью ординат - $(0, 3)$.

Ответ: $(0, 3)$.

3) нули.

Решим уравнение $y=0$:$x^2 - x + 3 = 0$Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, следовательно, функция не имеет нулей.

Ответ: нулей нет.

2.9. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.6:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.6

1)На рисунке изображен график квадратичной функции (парабола). Общая формула параболы в вершинной форме: $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ – координаты вершины.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, -4)$. Следовательно, $h = -1$ и $k = -4$.

Подставим эти значения в формулу: $y = a(x - (-1))^2 - 4$ или $y = a(x+1)^2 - 4$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на графике, например, $(0, -3)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-3 = a(0+1)^2 - 4$

$-3 = a \cdot 1 - 4$

$-3 = a - 4$

$a = 1$

Таким образом, формула функции имеет вид: $y = 1 \cdot (x+1)^2 - 4$ или $y = (x+1)^2 - 4$.

Ответ: $y = (x+1)^2 - 4$

2)График состоит из ломаных линий и имеет характерную W-образную форму. Такие графики часто описываются функциями, содержащими вложенные модули. Построим функцию, исходя из ее преобразований.

1. Возьмем базовую функцию модуля $y = |x|$.

2. Сдвинем ее вправо на 3 единицы, чтобы вершина оказалась в точке $(3, 0)$: $y = |x-3|$.

3. Сдвинем график вниз на 1 единицу. Вершина окажется в точке $(3, -1)$, а нули функции будут в точках $x=2$ и $x=4$: $y = |x-3|-1$.

4. Теперь возьмем модуль от всей функции: $y = ||x-3|-1|$. Это действие отразит часть графика, находящуюся ниже оси $x$ (между $x=2$ и $x=4$), симметрично вверх.

В результате мы получим W-образный график с вершинами в точках $(2, 0)$, $(3, 1)$ и $(4, 0)$. Проверим точку $(0, 2)$: $y = ||0-3|-1| = |3-1| = 2$. Точка принадлежит графику.

Ответ: $y = ||x-3|-1|$

3)На рисунке изображен график дробно-рациональной функции (гипербола). Общая формула смещенной гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ – вертикальная асимптота, а $y=b$ – горизонтальная асимптота.

Из графика определяем асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x = 2$, следовательно, $a=2$.

- Горизонтальная асимптота: $y = 3$, следовательно, $b=3$.

Формула принимает вид: $y = \frac{k}{x-2} + 3$.

Для нахождения коэффициента $k$ используем точку, через которую проходит график, например, начало координат $(0, 0)$.

$0 = \frac{k}{0-2} + 3$

$0 = -\frac{k}{2} + 3$

$\frac{k}{2} = 3$

$k = 6$

Итак, искомая формула: $y = \frac{6}{x-2} + 3$.

Ответ: $y = \frac{6}{x-2} + 3$

4)График функции симметричен относительно начала координат и напоминает график кубической функции $y=x^3$, но отраженный относительно оси $x$ или $y$.

Общий вид такой функции, проходящей через начало координат и симметричной относительно него: $y = kx^3$.

Для определения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(1, -1)$.

Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = k \cdot (1)^3$

$-1 = k \cdot 1$

$k = -1$

Таким образом, формула функции: $y = -x^3$.

Проверим полученную формулу по другой точке, например, $(2, -8)$: $y = -(2)^3 = -8$. Это соответствует графику.

Ответ: $y = -x^3$

Постройте графики функций (2.10–2.11.):

2.10.1) $y = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x < -3, \\ -x, \text{ если } x \ge -3; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2x, \text{ если } x > 4, \\ 2 + x, \text{ если } x \le 4; \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 3x - 1, \text{ если } x \le 0, \\ -4x - 1, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 12 - x, \text{ если } x > 3, \\ x^2, \text{ если } x \le 3. \end{cases}$

2.10.1) Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. На промежутке $x < -3$ функция имеет вид $y = x + 6$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = -3$: $y = -3 + 6 = 3$. Точка $(-3, 3)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое, поэтому мы отметим ее как выколотую (пустой кружок). Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -5$: $y = -5 + 6 = 1$. Точка $(-5, 1)$ принадлежит графику. Графиком на этом промежутке является луч, выходящий из точки $(-3, 3)$ и проходящий через точку $(-5, 1)$.

2. На промежутке $x \ge -3$ функция имеет вид $y = -x$. Это также линейная функция, ее график – прямая (биссектриса второго и четвертого координатных углов). Найдем координаты граничной точки, подставив $x = -3$: $y = -(-3) = 3$. Точка $(-3, 3)$ принадлежит этому участку графика, так как неравенство нестрогое, поэтому мы отметим ее как закрашенную (сплошной кружок). Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$: $y = -0 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Графиком на этом промежутке является луч, начинающийся в точке $(-3, 3)$ и проходящий через точку $(0, 0)$.

3. Объединим графики. Так как в точке $x = -3$ выколотая точка первого графика совпадает с начальной закрашенной точкой второго графика, функция в этой точке непрерывна. Итоговый график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(-3, 3)$.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединенных в точке $(-3, 3)$. Для $x < -3$ это луч, проходящий через точки $(-5, 1)$ и $(-3, 3)$ (точка $(-3,3)$ выколота). Для $x \ge -3$ это луч, начинающийся в точке $(-3, 3)$ (точка закрашена) и проходящий через точку $(0, 0)$.

2) Данная функция является кусочно-заданной.

1. На промежутке $x \le 4$ функция имеет вид $y = 2 + x$. Это линейная функция, ее график – прямая. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 4$: $y = 2 + 4 = 6$. Точка $(4, 6)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое (отметим ее закрашенным кружком). Возьмем другую точку из этого промежутка, например, $x = 0$: $y = 2 + 0 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику. Графиком является луч, заканчивающийся в точке $(4, 6)$ и проходящий через точку $(0, 2)$.

2. На промежутке $x > 4$ функция имеет вид $y = 2x$. Это также линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 4$: $y = 2 \cdot 4 = 8$. Точка $(4, 8)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое (отметим ее выколотым кружком). Возьмем другую точку, например, $x = 5$: $y = 2 \cdot 5 = 10$. Точка $(5, 10)$ принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в выколотой точке $(4, 8)$ и проходящий через точку $(5, 10)$.

3. Объединим графики. В точке $x = 4$ функция имеет разрыв, так как значение функции слева ($y=6$) не равно пределу справа ($y=8$). График состоит из двух непересекающихся лучей.

Ответ: График состоит из двух частей. Первая часть – луч, заканчивающийся в точке $(4, 6)$ (точка закрашенная) и проходящий через $(0, 2)$. Вторая часть – луч, начинающийся в точке $(4, 8)$ (точка выколотая) и проходящий через $(5, 10)$.

3) В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Для значений $x < 0$ функция определяется двумя разными формулами: $y = 3x - 1$ (из условия $x \le 0$) и $y = -4x - 1$, что невозможно для функции, так как одному значению $x$ должно соответствовать только одно значение $y$. Предположим, что имелась в виду следующая корректная запись функции, где область определения разбита на два непересекающихся промежутка:

$y = \begin{cases} -4x-1, & \text{если } x < 0 \\ 3x-1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построим график для этой исправленной функции.

1. На промежутке $x < 0$ функция имеет вид $y = -4x - 1$. Это линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 0$: $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является выколотой. Возьмем другую точку, например, $x = -1$: $y = -4(-1) - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$ принадлежит графику. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, -1)$ и проходящий через $(-1, 3)$.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 3x - 1$. Это линейная функция. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 0$: $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ является закрашенной. Возьмем другую точку, например, $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику. Графиком является луч, начинающийся в точке $(0, -1)$ и проходящий через $(2, 5)$.

3. Объединим графики. Выколотая точка $(0, -1)$ первого графика "закрашивается" начальной точкой второго графика. Следовательно, функция непрерывна. Итоговый график представляет собой два луча, сходящихся в точке $(0, -1)$.

Ответ: При предположении, что функция задана как $y = -4x-1$ для $x < 0$ и $y = 3x-1$ для $x \ge 0$, ее график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(0, -1)$. Один луч проходит через точки $(-1, 3)$ и $(0, -1)$, второй – через $(0, -1)$ и $(2, 5)$.

4) Данная функция является кусочно-заданной, состоящей из квадратичной и линейной частей.

1. На промежутке $x \le 3$ функция имеет вид $y = x^2$. Это квадратичная функция, ее график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим часть этой параболы для $x \le 3$. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 3$: $y = 3^2 = 9$. Точка $(3, 9)$ принадлежит графику (закрашенная). Другие характерные точки на этом участке: $(0, 0)$ (вершина), $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.

2. На промежутке $x > 3$ функция имеет вид $y = 12 - x$. Это линейная функция, ее график – прямая. Найдем координаты граничной точки, подставив $x = 3$: $y = 12 - 3 = 9$. Точка $(3, 9)$ не принадлежит этому участку графика (выколотая). Возьмем другую точку, например, $x = 12$, чтобы найти пересечение с осью Ох: $y = 12 - 12 = 0$. Точка $(12, 0)$ принадлежит графику. Графиком является луч, выходящий из выколотой точки $(3, 9)$ и проходящий через точку $(12, 0)$.

3. Объединим графики. Выколотая точка $(3, 9)$ второго графика совпадает с конечной закрашенной точкой первого графика. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=3$. Итоговый график состоит из части параболы и луча, которые соединяются в точке $(3, 9)$.

Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке $(3, 9)$. Для $x \le 3$ это часть параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$, проходящая через $(2,4)$ и заканчивающаяся в $(3,9)$. Для $x > 3$ это луч, выходящий из точки $(3,9)$ и проходящий через точку $(12,0)$.

1. Какой прием лежит в основе разложения на множители при решении уравнений высших степеней?

2. В чем суть метода введения новой переменной при решении уравнений высших степеней?

3. В чем отличие решений симметрических уравнений $n$-ой четной и $n$-ой нечетной степени?

1. Какой прием лежит в основе разложения на множители при решении уравнений высших степеней?

В основе разложения на множители многочлена высшей степени лежит следствие из теоремы Безу (теорема о корне многочлена). Оно гласит: если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то этот многочлен делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.

Алгоритм решения уравнения $P(x) = 0$ методом разложения на множители выглядит следующим образом:

1. Поиск корня. Сначала пытаются найти хотя бы один корень уравнения. Если уравнение имеет целые коэффициенты, то его целые корни ищут среди делителей свободного члена (последнего коэффициента многочлена, не содержащего переменную).

2. Понижение степени. Найдя корень $x_1 = a$, делят многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ (например, "столбиком" или по схеме Горнера). В результате получают многочлен $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени $P(x)$. Исходное уравнение принимает вид $(x - a) \cdot Q(x) = 0$.

3. Повторение процесса. Далее решают уравнение $Q(x) = 0$. Если его степень все еще выше второй, процесс повторяют: ищут корень многочлена $Q(x)$ и снова понижают степень.

Процесс продолжается до тех пор, пока не останется уравнение, которое можно решить стандартными методами (линейное или квадратное). В итоге исходное уравнение сводится к совокупности нескольких более простых уравнений.

Ответ: Основной прием — это поиск одного из корней многочлена и последующее деление этого многочлена на соответствующий ему линейный множитель $(x - \text{корень})$ для понижения степени уравнения, что основано на следствии из теоремы Безу.

2. В чем суть метода введения новой переменной при решении уравнений высших степеней?

Суть метода введения новой переменной (или метода замены) заключается в том, чтобы упростить вид исходного уравнения, сведя его к более простому или стандартному типу, который легко решается (чаще всего к квадратному уравнению).

Метод применяется, когда в уравнении можно выделить некоторое повторяющееся выражение. Алгоритм действий таков:

1. Введение новой переменной. Находят в уравнении повторяющееся выражение с переменной $x$ и заменяют его новой переменной, например, $t$.

2. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно новой переменной $t$. Это уравнение, как правило, имеет более низкую степень или стандартный вид.

3. Обратная замена. После нахождения значений $t$ (например, $t_1, t_2, \ldots$) возвращаются к исходной переменной. Для каждого найденного значения $t$ решают уравнение, связывающее $x$ и $t$.

Например, для биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ вводят замену $t = x^2$ (причем $t \ge 0$), что приводит к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$. После нахождения корней $t_1$ и $t_2$ возвращаются к исходной переменной, решая уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$.

Ответ: Суть метода — в замене повторяющегося в уравнении выражения новой переменной с целью упростить уравнение, свести его к стандартному виду, решить его относительно новой переменной, а затем выполнить обратную замену и найти исходные корни.

3. В чем отличие решений симметрических уравнений n-ой четной и n-ой нечетной степени?

Симметрическим уравнением степени $n$ называется уравнение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, у которого коэффициенты, равноудаленные от концов, равны, то есть $a_k = a_{n-k}$ для всех $k$ от 0 до $n$. Отличие в подходах к их решению зависит от четности степени $n$.

Симметрическое уравнение нечетной степени ($n = 2k+1$):

Такое уравнение всегда имеет корень $x = -1$. Поэтому первым шагом решения всегда является деление многочлена на двучлен $(x+1)$. В результате этого деления получается симметрическое уравнение уже четной степени $n-1 = 2k$. Дальнейшее решение продолжается по алгоритму для уравнений четной степени.

Симметрическое уравнение четной степени ($n = 2k$):

Такое уравнение не имеет корня $x=0$ (так как $a_0 = a_n \neq 0$). Для его решения все уравнение делят на $x^k = x^{n/2}$ (икс в степени, равной половине степени уравнения). После деления члены группируют попарно: $(x^m + \frac{1}{x^m})$. Затем вводят новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$. Через эту переменную выражают и остальные группы: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$, и так далее. В результате получается уравнение относительно $t$ со степенью, в два раза меньшей исходной ($k = n/2$). После нахождения $t$ возвращаются к переменной $x$, решая квадратные уравнения вида $x^2 - tx + 1 = 0$.

Ответ: Ключевое отличие заключается в первом шаге решения. Для уравнения нечетной степени сначала находят обязательный корень $x=-1$ и понижают степень уравнения на единицу, сводя его к симметрическому уравнению четной степени. Для уравнения четной степени сразу приступают к делению на $x^{n/2}$ и введению замены $t = x + \frac{1}{x}$, чтобы понизить степень вдвое.

34.1. Найдите действительные корни уравнения:

1) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$;

2) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$;

3) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$;

4) $x^4 - 13x^2 + 42 = 0$.

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку мы ищем действительные корни для $x$, значение $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$y^2 - 8y - 9 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Корни для $y$ вычисляются по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$. Мы должны учесть условие $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 9$ удовлетворяет этому условию. Выполним обратную замену: $x^2 = 9$. Отсюда получаем два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются только $3$ и $-3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $y^2 - 13y + 36 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят для обратной замены.

1. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $y = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm \sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

3) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$.

Выполним замену $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 9y + 20 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Подбираем корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 5$.

Оба корня положительны и подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. При $y = 4$, имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

2. При $y = 5$, имеем $x^2 = 5$, откуда $x = \pm \sqrt{5}$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.

4) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + 42 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 13y + 42 = 0$.

Решим его. Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13 + 1}{2} = 7$.

$y_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6$.

Оба корня ($y_1 = 7$ и $y_2 = 6$) положительны, поэтому оба подходят.

Произведем обратную замену:

1. Если $y = 7$, то $x^2 = 7$, откуда $x = \pm \sqrt{7}$.

2. Если $y = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x = \pm \sqrt{6}$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{7}; -\sqrt{6}; \sqrt{6}; \sqrt{7}$.

34.2. Используя метод разложения на множители, решите уравнение:

1) $4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0;$

2) $x^3 - 2x^2 = 9x - 18;$

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0;$

4) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0.$

1) $4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0$

Для решения уравнения методом разложения на множители сгруппируем слагаемые: $(4x^3 - 8x^2) - (x - 2) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $4x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(4x^2 - 1) = 0$.

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(2x - 1)(2x + 1)$.

В итоге уравнение принимает вид: $(x - 2)(2x - 1)(2x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 0.5, x_3 = -0.5$.

2) $x^3 - 2x^2 = 9x - 18$

Сначала перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x^2 - 9) = 0$.

Выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $(x - 3)(x + 3)$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; 2; 3$.

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x^3 + 1) - (3x^2 + 3x) = 0$.

К первой скобке применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, а из второй вынесем общий множитель $-3x$:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) - 3x(x + 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $(x + 1)((x^2 - x + 1) - 3x) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x + 1)(x^2 - 4x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2. $x^2 - 4x + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $-1; 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

4) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 1) - (2x^3 - 2x) = 0$.

Разложим первую скобку как разность квадратов, а из второй вынесем общий множитель $-2x$:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$: $(x^2 - 1)((x^2 + 1) - 2x) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x^2 - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Первый множитель $x^2 - 1$ — это разность квадратов $(x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель $x^2 - 2x + 1$ — это квадрат разности $(x - 1)^2$.

Уравнение принимает вид: $(x - 1)(x + 1)(x - 1)^2 = 0$, или $(x - 1)^3(x + 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(x - 1)^3 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Ответ: $-1; 1$.

34.3. Докажите, что уравнение $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ не имеет рациональных корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ не имеет рациональных корней, воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где дробь $\frac{p}{q}$ несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

В заданном уравнении $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$:

- старший коэффициент (при $x^4$) равен $1$;

- свободный член (константа) также равен $1$.

Следовательно, для любого возможного рационального корня $x = \frac{p}{q}$ должны выполняться следующие условия:

- Числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $1$. Делителями числа $1$ являются $\pm 1$.

- Знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $1$. Делителями числа $1$ являются $\pm 1$.

Таким образом, единственными возможными кандидатами в рациональные корни являются числа, которые можно составить из этих делителей: $\frac{1}{1} = 1$ и $\frac{-1}{1} = -1$.

Проверим этих кандидатов, подставив их в исходное уравнение.

1. При $x=1$:

$1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.

Поскольку $5 \neq 0$, то $x=1$ не является корнем уравнения.

2. При $x=-1$:

$(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$.

Поскольку $1 \neq 0$, то $x=-1$ также не является корнем уравнения.

Так как ни один из возможных рациональных корней не является решением уравнения, мы доказали, что данное уравнение не имеет рациональных корней.

Ответ: Возможные рациональные корни, найденные по теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами, это $1$ и $-1$. Проверка показывает, что ни одно из этих чисел не является корнем данного уравнения, следовательно, уравнение не имеет рациональных корней.

34.4. Известно, что числа 2 и 3 являются корнями уравнения $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$. Найдите $m$, $n$ и третий корень этого уравнения.

Пусть $x_1 = 2$, $x_2 = 3$ и $x_3$ — корни уравнения $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Соотношения между корнями и коэффициентами для данного уравнения ($a=2$, $b=m$, $c=-13$, $d=n$) выглядят следующим образом:

1) Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \implies 2 + 3 + x_3 = -\frac{m}{2}$

2) Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \implies 2 \cdot 3 + 2x_3 + 3x_3 = \frac{-13}{2}$

3) Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \implies 2 \cdot 3 \cdot x_3 = -\frac{n}{2}$

Из второго соотношения найдем значение третьего корня $x_3$:

$6 + 5x_3 = -\frac{13}{2}$

$5x_3 = -6.5 - 6$

$5x_3 = -12.5$

$x_3 = \frac{-12.5}{5} = -2.5$

Теперь, зная все три корня, мы можем найти неизвестные коэффициенты $m$ и $n$.

Подставим $x_3 = -2.5$ в первое соотношение:

$2 + 3 + (-2.5) = -\frac{m}{2}$

$2.5 = -\frac{m}{2}$

$m = -5$

Подставим $x_3 = -2.5$ в третье соотношение:

$6 \cdot (-2.5) = -\frac{n}{2}$

$-15 = -\frac{n}{2}$

$n = 30$

Ответ: $m = -5$, $n = 30$, третий корень равен $-2.5$.

34.5. Решите уравнение способом введения новой переменной:

1) $(x+1)^2(x^2+2x)-12=0;$

2) $(x-2)^2(x^2-4x)-12=0;$

3) $(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)-3=0;$

4) $(x^2+3x+3)(x^2+3x+1)+1=0.$

1) Дано уравнение $(x + 1)^2(x^2 + 2x) - 12 = 0$.

Заметим, что $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Введем новую переменную $t = x^2 + 2x$. Тогда выражение $(x + 1)^2$ можно записать как $t + 1$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(t + 1)t - 12 = 0$

$t^2 + t - 12 = 0$