Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.21. Найдите множество значений функции:

1) $y = x^2 - 9|x| + x + 7;$

2) $y = x^2 + 11x - |x| + 16.$

1) Для нахождения множества значений функции $y = x^2 - 9|x| + x + 7$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 - 9x + x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение параболы достигается в ее вершине. Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

Поскольку $x_v = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, то наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x = 4$:

$y_{min} = y(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.

Таким образом, при $x \ge 0$ множество значений функции есть $[-9, +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 - 9(-x) + x + 7 = x^2 + 10x + 7$.

Это также парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$.

Поскольку $x_v = -5$ удовлетворяет условию $x < 0$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x = -5$:

$y_{min} = y(-5) = (-5)^2 + 10(-5) + 7 = 25 - 50 + 7 = -18$.

Таким образом, при $x < 0$ множество значений функции есть $[-18, +\infty)$.

Общее множество значений функции $E(y)$ является объединением множеств значений, полученных в обоих случаях: $E(y) = [-9, +\infty) \cup [-18, +\infty) = [-18, +\infty)$.

Ответ: $[-18; +\infty)$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = x^2 + 11x - |x| + 16$ также рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 + 11x - x + 16 = x^2 + 10x + 16$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$.

Так как $x_v = -5$ не принадлежит промежутку $[0, +\infty)$, а на этом промежутке (который расположен правее вершины) квадратичная функция $y = x^2 + 10x + 16$ является возрастающей, то ее наименьшее значение достигается на левой границе промежутка, то есть при $x = 0$.

$y_{min} = y(0) = 0^2 + 10(0) + 16 = 16$.

Следовательно, при $x \ge 0$ множество значений функции есть $[16, +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = x^2 + 11x - (-x) + 16 = x^2 + 12x + 16$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{12}{2 \cdot 1} = -6$.

Поскольку $x_v = -6$ удовлетворяет условию $x < 0$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$y_{min} = y(-6) = (-6)^2 + 12(-6) + 16 = 36 - 72 + 16 = -20$.

Таким образом, при $x < 0$ множество значений функции есть $[-20, +\infty)$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений из обоих случаев: $E(y) = [16, +\infty) \cup [-20, +\infty) = [-20, +\infty)$.

Ответ: $[-20; +\infty)$.

1.22. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12}}$

2) $y = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32}}$

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к системе неравенств: $ \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12} \ge 0 \\ x^2 - 4x + 12 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим знаменатель $x^2 - 4x + 12$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 12$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю и всегда положителен.

Таким образом, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12} \ge 0$ равносильно неравенству: $x^2 - 25 \ge 0$

Разложим на множители: $(x-5)(x+5) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-5)(x+5) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства есть объединение промежутков: $(-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32}}$ определяется условием: $\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $36 - x^2 = 0 \implies (6-x)(6+x) = 0 \implies x_1 = -6, x_2 = 6$.

Корни знаменателя (эти точки будут выколоты): $x^2 - 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = -32$. Отсюда $x_3 = 8, x_4 = -4$.

Перепишем неравенство в виде: $\frac{(6-x)(6+x)}{(x-8)(x+4)} \ge 0$

Для удобства приведем множитель $(6-x)$ к стандартному виду $(x-6)$, умножив неравенство на -1 и изменив его знак на противоположный: $\frac{-(x-6)(x+6)}{(x-8)(x+4)} \ge 0 \implies \frac{(x-6)(x+6)}{(x-8)(x+4)} \le 0$

Отметим корни $-6, -4, 6, 8$ на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

 + - + - +---•-------o-------•-------o------> -6 -4 6 8 x 

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $[-6, -4)$ и $[6, 8)$. Точки $-6$ и $6$ (корни числителя) включаем в решение, так как неравенство нестрогое. Точки $-4$ и $8$ (корни знаменателя) исключаем, так как на ноль делить нельзя.

Таким образом, область определения функции: $x \in [-6, -4) \cup [6, 8)$.

Ответ: $x \in [-6, -4) \cup [6, 8)$.

1.23. Для всех параметров a найдите множество значений функции:

1) $y = ax^2 - 7x;$

2) $y = 4x - ax^2;$

3) $y = |x + 15| + ax;$

4) $y = |x - 21| + ax.$

1) Данная функция $y = ax^2 - 7x$ является квадратичной, если $a \ne 0$, и линейной, если $a = 0$. Рассмотрим эти случаи.

1. Если $a = 0$, функция принимает вид $y = -7x$. Это линейная функция, её график — прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Множество значений такой функции — все действительные числа. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Если $a > 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = \frac{-(-7)}{2a} = \frac{7}{2a}$. Ордината вершины $y_v = a\left(\frac{7}{2a}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2a}\right) = a\frac{49}{4a^2} - \frac{49}{2a} = \frac{49}{4a} - \frac{98}{4a} = -\frac{49}{4a}$. Таким образом, множество значений функции — луч $[y_v; +\infty)$, то есть $E(y) = [-\frac{49}{4a}; +\infty)$.

3. Если $a < 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине параболы. Координаты вершины те же: $x_v = \frac{7}{2a}$, $y_v = -\frac{49}{4a}$. В этом случае множество значений функции — луч $(-\infty; y_v]$, то есть $E(y) = (-\infty; -\frac{49}{4a}]$.

Ответ: если $a = 0$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$; если $a > 0$, то $E(y) = [-\frac{49}{4a}; +\infty)$; если $a < 0$, то $E(y) = (-\infty; -\frac{49}{4a}]$.

2) Функция $y = 4x - ax^2$ также является квадратичной (при $a \ne 0$) или линейной (при $a = 0$). Перепишем её в виде $y = -ax^2 + 4x$.

1. Если $a = 0$, функция принимает вид $y = 4x$. Это линейная функция, множество её значений — все действительные числа. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Если $a > 0$, то коэффициент при $x^2$ равен $-a < 0$. График — парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Абсцисса вершины $x_v = \frac{-4}{2(-a)} = \frac{2}{a}$. Ордината вершины $y_v = 4\left(\frac{2}{a}\right) - a\left(\frac{2}{a}\right)^2 = \frac{8}{a} - a\frac{4}{a^2} = \frac{8}{a} - \frac{4}{a} = \frac{4}{a}$. Множество значений функции $E(y) = (-\infty; \frac{4}{a}]$.

3. Если $a < 0$, то коэффициент при $x^2$ равен $-a > 0$. График — парабола, ветви которой направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Координаты вершины те же: $x_v = \frac{2}{a}$, $y_v = \frac{4}{a}$. Множество значений функции $E(y) = [\frac{4}{a}; +\infty)$.

Ответ: если $a = 0$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$; если $a > 0$, то $E(y) = (-\infty; \frac{4}{a}]$; если $a < 0$, то $E(y) = [\frac{4}{a}; +\infty)$.

3) Функция $y = |x + 15| + ax$ является кусочно-линейной. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge -15$, $|x + 15| = x + 15$, и функция принимает вид $y = x + 15 + ax = (a+1)x + 15$.

2. При $x < -15$, $|x + 15| = -(x + 15) = -x - 15$, и функция принимает вид $y = -x - 15 + ax = (a-1)x - 15$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из одной точки (вершины), абсцисса которой $x_v = -15$. Ордината вершины $y_v = |(-15) + 15| + a(-15) = -15a$.

Множество значений функции зависит от угловых коэффициентов лучей: $k_1 = a-1$ для $x < -15$ и $k_2 = a+1$ для $x \ge -15$.

- Если $|a| > 1$, то оба коэффициента $k_1$ и $k_2$ имеют одинаковый знак (оба положительны при $a > 1$, оба отрицательны при $a < -1$). В этом случае функция является строго монотонной. Следовательно, её множество значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Если $|a| \le 1$ (то есть $-1 \le a \le 1$), то $k_1 = a-1 \le 0$ и $k_2 = a+1 \ge 0$. Это означает, что до вершины функция не возрастает, а после — не убывает. Следовательно, в вершине достигается наименьшее значение функции, равное $y_{min} = -15a$. Множество значений в этом случае $E(y) = [-15a; +\infty)$.

Ответ: если $|a| \le 1$, то $E(y) = [-15a; +\infty)$; если $|a| > 1$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = |x - 21| + ax$ решается аналогично предыдущей. Это кусочно-линейная функция.

1. При $x \ge 21$, $|x - 21| = x - 21$, и функция принимает вид $y = x - 21 + ax = (a+1)x - 21$.

2. При $x < 21$, $|x - 21| = -(x - 21) = -x + 21$, и функция принимает вид $y = -x + 21 + ax = (a-1)x + 21$.

График состоит из двух лучей с угловыми коэффициентами $k_1 = a-1$ и $k_2 = a+1$. Вершина графика находится в точке $x_v = 21$. Ордината вершины $y_v = |21 - 21| + a(21) = 21a$.

Анализ множества значений полностью аналогичен пункту 3.

- Если $|a| > 1$, то $k_1$ и $k_2$ одного знака. Функция является строго монотонной, и её множество значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Если $|a| \le 1$, то $k_1 \le 0$ и $k_2 \ge 0$. Вершина является точкой минимума. Наименьшее значение функции равно $y_{min} = 21a$. Множество значений $E(y) = [21a; +\infty)$.

Ответ: если $|a| \le 1$, то $E(y) = [21a; +\infty)$; если $|a| > 1$, то $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

1.24. Найдите все значения параметра $a$, при которых областью определения функции $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{ax+9}$ будет:

1) числовой луч;

2) числовой отрезок;

3) множество всех действительных чисел;

4) единственное число;

5) пустое множество.

Область определения функции $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{ax+9}$ задается системой неравенств, так как выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ ax + 9 \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства следует $x \ge 5$. Это означает, что область определения функции является подмножеством числового луча $[5, +\infty)$.

Проанализируем второе неравенство $ax + 9 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x + 9 \ge 0$, то есть $9 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$. Система сводится к одному условию $x \ge 5$. Областью определения является луч $[5, +\infty)$.

Случай 2: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства $ax \ge -9$ на положительное число $a$: $x \ge -9/a$. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge -9/a \end{cases} $

Поскольку $a > 0$, то $-9/a < 0$, и значит $-9/a < 5$. Пересечением двух лучей $[5, +\infty)$ и $[-9/a, +\infty)$ является луч $[5, +\infty)$.

Случай 3: $a < 0$.

Разделим обе части неравенства $ax \ge -9$ на отрицательное число $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x \le -9/a$. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le -9/a \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение множеств $[5, +\infty)$ и $(-\infty, -9/a]$, то есть отрезок $[5, -9/a]$. Дальнейший анализ зависит от соотношения между концами этого отрезка.

Теперь ответим на каждый из пунктов задачи.

1) числовой луч;

Область определения является числовым лучом, как было показано в случаях 1 и 2. Это происходит, когда $a=0$ или $a>0$. Объединяя эти условия, получаем $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

2) числовой отрезок;

Область определения является числовым отрезком, если она имеет вид $[5, -9/a]$ и при этом левый конец строго меньше правого: $5 < -9/a$. Это возможно только в случае 3, то есть при $a < 0$. Умножим неравенство на $a$ (так как $a<0$, знак неравенства меняется на противоположный): $5a > -9$, откуда $a > -9/5$. Совмещая с условием $a<0$, получаем, что $a$ должно принадлежать интервалу $(-9/5, 0)$.

Ответ: $a \in (-9/5, 0)$.

3) множество всех действительных чисел;

Как было установлено из первого неравенства $x \ge 5$, область определения всегда является подмножеством луча $[5, +\infty)$. Следовательно, она никогда не может совпадать с множеством всех действительных чисел.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

4) единственное число;

Область определения состоит из одного числа, если отрезок $[5, -9/a]$ "схлопывается" в точку. Это происходит, когда его концы совпадают: $5 = -9/a$. Это уравнение выполняется только в случае 3 ($a<0$). Решая уравнение, находим $5a = -9$, то есть $a = -9/5$.

Ответ: $a = -9/5$.

5) пустое множество.

Область определения является пустым множеством, если система неравенств не имеет решений. Это происходит в случае 3 ($a<0$), когда левый конец отрезка $[5, -9/a]$ оказывается больше правого: $5 > -9/a$. Умножим неравенство на $a$ (так как $a<0$, знак неравенства меняется на противоположный): $5a < -9$, откуда $a < -9/5$.

Ответ: $a \in (-\infty, -9/5)$.

32.17. Постройте график функции f(x):

1) $f(x) = |\sin x| + \sin x;$

2) $f(x) = |\cos x| + \cos x;$

3) $f(x) = 2|\sin x| - \sin x;$

4) $f(x) = |\cos x| - 2\cos x.$

1) f(x) = |sin x| + sin x

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\sin x + \sin x = 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где график $y = \sin x$ лежит выше или на оси абсцисс (верхние "полуволны"), мы строим график $y = 2\sin x$. Это означает, что эти "полуволны" растягиваются в 2 раза по вертикали, и их максимальное значение становится равным 2. На интервалах, где график $y = \sin x$ лежит ниже оси абсцисс (нижние "полуволны"), мы строим график $y=0$, то есть отрезок на оси абсцисс.

Ответ: График функции представляет собой последовательность "полуволн" синусоиды, растянутых в 2 раза по вертикали, с вершинами в точках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$, которые чередуются с отрезками на оси Ох. На промежутке $[0, \pi]$ это график $y=2\sin x$, на промежутке $(\pi, 2\pi)$ это график $y=0$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2) f(x) = |cos x| + cos x

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\cos x + \cos x = 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} 2\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, мы строим график $y = 2\cos x$. Это означает, что эти части косинусоиды растягиваются в 2 раза по вертикали, и их максимальное значение становится равным 2. На интервалах, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, мы строим график $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой последовательность "полуволн" косинусоиды, растянутых в 2 раза по вертикали, с вершинами в точках $(2\pi k, 2)$, которые чередуются с отрезками на оси Ох. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ это график $y=2\cos x$, на промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ это график $y=0$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

3) f(x) = 2|sin x| - sin x

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = 2\sin x - \sin x = \sin x$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = 2(-\sin x) - \sin x = -3\sin x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ -3\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где $\sin x \ge 0$ (верхние "полуволны" синусоиды), график $f(x)$ совпадает с графиком $y = \sin x$. На интервалах, где $\sin x < 0$ (нижние "полуволны"), график $f(x)$ совпадает с графиком $y = -3\sin x$. Это означает, что нижние "полуволны" синусоиды отражаются относительно оси Ох и растягиваются в 3 раза по вертикали.

Ответ: График функции на промежутке $[0, \pi]$ совпадает с графиком $y = \sin x$. На промежутке $(\pi, 2\pi)$ график представляет собой "полуволну", симметричную верхней полуволне синусоиды, но растянутую в 3 раза по вертикали, с вершиной в точке $(\frac{3\pi}{2}, 3)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

4) f(x) = |cos x| - 2cos x

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \cos x - 2\cos x = -\cos x$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\cos x - 2\cos x = -3\cos x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ -3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где $\cos x \ge 0$, мы строим график $y = -\cos x$. Это означает, что части косинусоиды, лежащие выше оси Ох, отражаются симметрично относительно этой оси. На интервалах, где $\cos x < 0$, мы строим график $y = -3\cos x$. Это означает, что части косинусоиды, лежащие ниже оси Ох, отражаются относительно этой оси и растягиваются в 3 раза по вертикали.

Ответ: График функции на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ совпадает с графиком $y = -\cos x$ (перевернутая "полуволна" с минимумом в точке $(0, -1)$). На промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ график представляет собой "полуволну" с вершиной в точке $(\pi, 3)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.