Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Какая из таблиц задает функцию, какая — нет?

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 2

Для того чтобы определить, задает ли таблица функцию, нужно проверить, выполняется ли основное свойство функции: каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) должно соответствовать ровно одно значение зависимой переменной (функции $y$).

В таблице 2 мы видим следующие пары значений $(x, y)$: $(1, 0.5)$, $(2, 1)$, $(3, 0.5)$.

Здесь каждому значению $x$ из множества $\{1, 2, 3\}$ соответствует единственное значение $y$.

• При $x=1$, $y$ равен только $0.5$.
• При $x=2$, $y$ равен только $1$.
• При $x=3$, $y$ равен только $0.5$.

Тот факт, что разным значениям $x$ (например, $1$ и $3$) соответствует одно и то же значение $y$ ($0.5$), не противоречит определению функции. Главное, что нет такого $x$, которому соответствовало бы несколько разных $y$. Следовательно, эта таблица задает функцию.

Ответ: задает функцию.

Таблица 3

Проверим эту таблицу на соответствие определению функции. В таблице 3 представлены следующие пары значений $(x, y)$: $(-1, -1)$, $(-2, 2)$, $(-1, 1)$.

В этой таблице мы видим, что одному и тому же значению аргумента $x=-1$ соответствуют два разных значения $y$: $-1$ и $1$.

Это является прямым нарушением определения функции, согласно которому каждому значению $x$ должно соответствовать только одно значение $y$. Таким образом, зависимость, представленная в таблице 3, не является функцией.

Ответ: не задает функцию.

ОБЪЯСНИТЕ

1) Графики каких функций изображены на рисунке 2.1.?

а)

б)

в)

Рис. 2.1

2) Почему не задают функции графики (рис. 2.2)?

Рис. 2.2

1) На рисунке 2.1 изображены графики следующих элементарных функций:

а) Это график кубической параболы. Он соответствует степенной функции с нечетным показателем, такой как $y = x^3$. График проходит через начало координат и является симметричным относительно него, что характерно для нечетных функций.

Ответ: Кубическая парабола, график функции вида $y = x^3$.

б) Это график параболы, которая является графиком квадратичной функции, например, $y = x^2$. Вершина параболы находится в начале координат, а ветви направлены вверх. График симметричен относительно оси ординат (оси OY), что является свойством четных функций.

Ответ: Парабола, график функции вида $y = x^2$.

в) Это график гиперболы, который соответствует функции обратной пропорциональности, например, $y = \frac{1}{x}$. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, и симметричен относительно начала координат. Оси OX и OY являются асимптотами для этого графика.

Ответ: Гипербола, график функции вида $y = \frac{1}{x}$.

2) Графики, изображенные на рисунке 2.2, не задают функции, потому что они не соответствуют основному определению функции.

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

Для проверки, является ли график функцией, используют так называемый "тест вертикальной прямой". Если можно провести вертикальную прямую ($x = \text{const}$), которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не задает функцию. Это означает, что одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$.

На каждом из графиков на рисунке 2.2 можно провести такую вертикальную прямую:

• На графике окружности (слева) и "лежащей на боку" параболы (в центре) почти любая вертикальная прямая, проходящая через них, пересечет их в двух точках.
• На графике справа можно найти вертикальную прямую, которая пересечет кривую в трех точках.

Поскольку во всех трех случаях нарушается условие единственности значения $y$ для одного значения $x$, данные графики не являются графиками функций.

Ответ: Эти графики не задают функции, так как для одного значения аргумента $x$ существует более одного значения $y$, что противоречит определению функции.

1. В чем заключается суть метода неопределенных коэффициентов?

2. Имеет ли приведенный многочлен рациональные корни, если он не имеет целых корней?

3. Что означают предложения: "Корень многочлена равен нулю", "Значение многочлена равно нулю"?

1. В чем заключается суть метода неопределенных коэффициентов?

Суть метода неопределенных коэффициентов заключается в том, чтобы найти неизвестные параметры (коэффициенты) некоторого выражения, представив его в заранее предполагаемом виде. Метод основан на тождественном равенстве двух выражений (чаще всего многочленов): если два многочлена тождественно равны, то коэффициенты при одинаковых степенях переменной у них также равны.

Алгоритм применения метода обычно следующий:

1. Записывают искомое выражение (например, разложение многочлена на множители или разложение дроби на простейшие) в общем виде с неизвестными, "неопределенными" коэффициентами (например, $A, B, C, \dots$).

2. Приводят полученное выражение к тому же виду, что и исходное (например, раскрывают скобки и группируют слагаемые по степеням переменной).

3. Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной в исходном и полученном выражениях.

4. Решают полученную систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов, находя таким образом их значения.

Например, чтобы разложить многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на множители, зная, что один из корней равен 1, мы можем предположить, что разложение имеет вид $(x-1)(x^2 + Ax + B)$. Раскрыв скобки, получим $x^3 + Ax^2 + Bx - x^2 - Ax - B = x^3 + (A-1)x^2 + (B-A)x - B$. Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$x^2: A-1 = -6$

$x^1: B-A = 11$

$x^0: -B = -6$

Из этой системы легко найти, что $B=6$ и $A=-5$. Таким образом, разложение имеет вид $(x-1)(x^2 - 5x + 6)$.

Ответ: Метод заключается в предположении вида искомого выражения с неизвестными коэффициентами, последующем приведении его к стандартному виду и нахождении этих коэффициентов путем решения системы уравнений, полученной из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

2. Имеет ли приведенный многочлен рациональные корни, если он не имеет целых корней?

Нет, не имеет. Это следует из теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема гласит: если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = p/q$ (где дробь $p/q$ несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Приведенный многочлен — это многочлен, у которого старший коэффициент равен единице, то есть $a_n = 1$.

Для приведенного многочлена с целыми коэффициентами любой его рациональный корень $x = p/q$ должен удовлетворять условиям: $p$ — делитель $a_0$, а $q$ — делитель $a_n=1$.

Единственными целыми делителями числа 1 являются $1$ и $-1$. Следовательно, знаменатель $q$ может быть равен только $1$ или $-1$.

Это означает, что любой рациональный корень $p/q$ такого многочлена будет иметь вид $p/(\pm 1) = \pm p$, где $p$ — целое число (делитель $a_0$). То есть любой рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами обязан быть целым числом.

Таким образом, если у приведенного многочлена с целыми коэффициентами нет целых корней, то у него не может быть и других рациональных (дробных) корней.

Ответ: Нет, приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь рациональные корни, если он не имеет целых корней, так как все его рациональные корни являются целыми числами.

3. Что означают предложения: “Корень многочлена равен нулю”, “Значение многочлена равно нулю”?

Эти два предложения имеют разный смысл, хотя и тесно связаны.

Предложение "Корень многочлена равен нулю" означает, что число $0$ является корнем данного многочлена. Корень многочлена $P(x)$ — это такое значение переменной $x$, при подстановке которого в многочлен результат вычисления будет равен нулю. Таким образом, эта фраза утверждает, что $x=0$ является решением уравнения $P(x)=0$. Математически это записывается как $P(0)=0$. Это также означает, что свободный член многочлена равен нулю ($a_0=0$), и многочлен можно представить в виде $P(x) = x \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый другой многочлен.

Предложение "Значение многочлена равно нулю" означает, что результат вычисления многочлена $P(x)$ при некотором значении переменной $x$ равен нулю. Математически это записывается как $P(x)=0$. Это утверждение является уравнением, которое мы решаем, чтобы найти корни многочлена. Само по себе оно не указывает, при каком именно значении $x$ это происходит. Любое значение $x$, для которого это равенство верно, по определению является корнем многочлена.

Таким образом, первая фраза говорит о конкретном значении корня ($x=0$), а вторая описывает общее условие, которому удовлетворяет любой корень многочлена.

Ответ: "Корень многочлена равен нулю" означает, что $x=0$ является решением уравнения $P(x)=0$, то есть $P(0)=0$. "Значение многочлена равно нулю" означает, что для некоторого (неуточненного) значения $x$ выполняется равенство $P(x)=0$, что является определением корня многочлена.

33.1. Какие числа могут быть целыми корнями многочлена:

1) $x^3 - 2x^2 - 4x + 3;$

2) $x^3 - 5x^2 - 6x + 4;$

3) $2x^3 - 3x^2 - 8x - 5;$

4) $3x^3 - 2x^2 - 7x - 6?$

Согласно следствию из теоремы о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень обязан быть делителем свободного члена многочлена. Поэтому, чтобы найти все возможные целые корни, необходимо выписать все целые делители свободного члена для каждого из данных многочленов.

1) $x^3 - 2x^2 - 4x + 3$

Свободный член данного многочлена равен $3$.

Целыми делителями числа $3$ являются числа: $1, -1, 3, -3$.

Именно эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $1, -1, 3, -3$.

2) $x^3 - 5x^2 - 6x + 4$

Свободный член данного многочлена равен $4$.

Целыми делителями числа $4$ являются числа: $1, -1, 2, -2, 4, -4$.

Именно эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $1, -1, 2, -2, 4, -4$.

3) $2x^3 - 3x^2 - 8x - 5$

Свободный член данного многочлена равен $-5$.

Целыми делителями числа $-5$ являются числа: $1, -1, 5, -5$.

Именно эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $1, -1, 5, -5$.

4) $3x^3 - 2x^2 - 7x - 6$

Свободный член данного многочлена равен $-6$.

Целыми делителями числа $-6$ являются числа: $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$.

Именно эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$.

33.2. Какие числа могут быть целыми корнями многочлена:

1) $2x^3 - 2x^2 - 5x + 6;$

2) $2x^3 - 5x^2 + 7x + 4;$

3) $2x^3 + 3x^2 - 7x - 10;$

4) $x^3 - 3x^2 + 7x - 6?$

1) Для многочлена $2x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

Согласно следствию из теоремы о рациональных корнях (Теорема Безу), если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена многочлена.

Свободный член данного многочлена равен 6.

Целыми делителями числа 6 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Следовательно, только эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

2) Для многочлена $2x^3 - 5x^2 + 7x + 4$.

Согласно следствию из теоремы о рациональных корнях, любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами должен быть делителем его свободного члена.

Свободный член этого многочлена равен 4.

Целыми делителями числа 4 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Таким образом, только эти числа могут быть целыми корнями данного многочлена.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm4$.

3) Для многочлена $2x^3 + 3x^2 - 7x - 10$.

Целые корни многочлена с целыми коэффициентами могут находиться только среди делителей его свободного члена.

Свободный член этого многочлена равен -10.

Целыми делителями числа -10 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

Значит, целыми корнями могут быть только эти числа.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

4) Для многочлена $x^3 - 3x^2 + 7x - 6$.

В соответствии со следствием из теоремы о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.

Свободный член данного многочлена равен -6.

Целыми делителями числа -6 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Следовательно, возможными целыми корнями являются только эти числа.

Ответ: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

33.3. Разложите на линейные множители многочлен:

1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$;

2) $x^4 - 13x^2 + 36$;

3) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12.

1) Разложим многочлен $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) + (-x + 2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(x - 2)$

Выражение $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

Таким образом, многочлен разложен на три линейных множителя.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.

2) Разложим многочлен $x^4 - 13x^2 + 36$. Это биквадратный многочлен. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$y^2 - 13y + 36$

Это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 9. Следовательно, $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 9)$

Оба множителя являются разностями квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Окончательное разложение на линейные множители имеет вид:

$(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

3) Разложим многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3)$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(x - 3)$

Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 2)(x + 2)(x - 3)$

Таким образом, многочлен разложен на три линейных множителя.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)$.

33.4. При каких значениях a и p равны многочлены P(x) и K(x):

1) $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5$, $K(x) = ax^3 + (a+p)x^2 + 2x - 5$;

2) $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 4$, $K(x) = 2x^3 - 4x^2 + (2a+p)x + a - 2p$;

3) $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + (a-p)x - 7$, $K(x) = 3x^3 + (a+p)x^2 + 3x - 7$;

4) $P(x) = -x^3 + 10x^2 + 2x + a - 3p$, $K(x) = x^3 + (a+p)x^2 + 2x - 5$?

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Чтобы найти значения $a$ и $p$, приравняем соответствующие коэффициенты многочленов $P(x)$ и $K(x)$ в каждом пункте.

1) Даны многочлены $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5$ и $K(x) = ax^3 + (a + p)x^2 + 2x - 5$.

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

Для $x^3$: $1 = a$

Для $x^2$: $-3 = a + p$

Коэффициенты при $x$ и свободные члены уже равны ($2=2$ и $-5=-5$), поэтому они не дают уравнений.

Получаем систему:

$a = 1$

$-3 = a + p$

Подставляем значение $a = 1$ во второе уравнение:

$-3 = 1 + p$

$p = -3 - 1 = -4$

Ответ: $a=1, p=-4$.

2) Даны многочлены $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 4$ и $K(x) = 2x^3 - 4x^2 + (2a + p)x + a - 2p$.

Коэффициенты при $x^3$ и $x^2$ совпадают. Приравниваем остальные коэффициенты:

Для $x$: $3 = 2a + p$

Для свободного члена: $4 = a - 2p$

Решаем полученную систему уравнений:

$2a + p = 3$

$a - 2p = 4$

Из первого уравнения выразим $p$: $p = 3 - 2a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a - 2(3 - 2a) = 4$

$a - 6 + 4a = 4$

$5a = 10$

$a = 2$

Теперь находим $p$:

$p = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

Ответ: $a=2, p=-1$.

3) Даны многочлены $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + (a - p)x - 7$ и $K(x) = 3x^3 + (a + p)x^2 + 3x - 7$.

Коэффициенты при $x^3$ и свободные члены совпадают. Приравниваем остальные коэффициенты:

Для $x^2$: $-5 = a + p$

Для $x$: $a - p = 3$

Решаем систему:

$a + p = -5$

$a - p = 3$

Сложим эти два уравнения: $(a + p) + (a - p) = -5 + 3$, что дает $2a = -2$, откуда $a = -1$.

Подставим $a = -1$ в первое уравнение:

$-1 + p = -5$

$p = -5 + 1 = -4$

Ответ: $a=-1, p=-4$.

4) Даны многочлены $P(x) = -x^3 + 10x^2 + 2x + a - 3p$ и $K(x) = x^3 + (a + p)x^2 + 2x - 5$.

Чтобы многочлены были равны, их коэффициенты при всех степенях $x$ должны быть равны.

Сравним коэффициенты при $x^3$:

В многочлене $P(x)$ коэффициент при $x^3$ равен $-1$.

В многочлене $K(x)$ коэффициент при $x^3$ равен $1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, коэффициенты при старшей степени не равны. Это означает, что данные многочлены не могут быть равны ни при каких значениях параметров $a$ и $p$.

Ответ: таких значений $a$ и $p$ не существует.

Условие, что многочлен $P(x)$ имеет корень, равный 2, означает, что при подстановке значения $x=2$ в многочлен, результат должен быть равен нулю, то есть $P(2)=0$. Для каждого из случаев мы подставим $x=2$ и решим получившееся уравнение относительно параметра $a$.

1) $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + a^2 - 3a$

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена: $P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 2(2) + a^2 - 3a = 8 - 2 \cdot 4 - 4 + a^2 - 3a = 8 - 8 - 4 + a^2 - 3a = a^2 - 3a - 4$.

Теперь приравняем полученное выражение к нулю и решим квадратное уравнение относительно $a$: $a^2 - 3a - 4 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни уравнения: $a_1 = 4$ и $a_2 = -1$. Или можно найти корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. $a = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$. $a_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$, $a_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 4$.

2) $P(x) = -x^3 + x^2 - 2x + a^2 - a$

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена: $P(2) = -(2)^3 + (2)^2 - 2(2) + a^2 - a = -8 + 4 - 4 + a^2 - a = a^2 - a - 8$.

Приравняем к нулю и решим уравнение: $a^2 - a - 8 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$. $a = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ или $a = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$.

3) $P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2a^2 - 3a - 7$

Подставим $x=2$: $P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) + 2a^2 - 3a - 7 = 8 - 3 \cdot 4 + 6 + 2a^2 - 3a - 7 = 8 - 12 + 6 + 2a^2 - 3a - 7 = 2a^2 - 3a - 5$.

Приравняем к нулю: $2a^2 - 3a - 5 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $a = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. $a_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $a_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = \frac{5}{2}$.

4) $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + a^2 - 5a$

Подставим $x=2$: $P(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) + a^2 - 5a = 8 + 2 \cdot 4 - 10 + a^2 - 5a = 8 + 8 - 10 + a^2 - 5a = a^2 - 5a + 6$.

Приравняем к нулю: $a^2 - 5a + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$. Или через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $a = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. $a_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $a_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Ответ: $a = 2$ или $a = 3$.

33.6. При каких значениях a многочлены P(x) и K(x) равны:

1)

$P(x) = (2 - a^2)x^3 + 3x^2 + 2x - 9,$

$K(x) = ax^3 + (a^2 + 2a)x^2 + 2x - 9;$

2)

$P(x) = 2ax^3 - 14x^2 + 3x + 4,$

$K(x) = -2x^3 + 14ax^2 + (2a^2 - a)x + a + 5;$

3)

$P(x) = ax^3 - 4x^2 + 14x - 4,$

$K(x) = -2x^3 - 4x^2 + (2a^2 - 3a)x + a - 2;$

4)

$P(x) = 2ax^3 - 7x^2 + 4x + 2,$

$K(x) = 8x^3 - 7x^2 + (2a^2 - 7a)x + a - 2?$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Чтобы найти значения $a$, при которых $P(x) = K(x)$, необходимо приравнять соответствующие коэффициенты и решить полученную систему уравнений.

1) Даны многочлены $P(x) = (2 - a^2)x^3 + 3x^2 + 2x - 9$ и $K(x) = ax^3 + (a^2 + 2a)x^2 + 2x - 9$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2 - a^2 = a & \text{(при } x^3\text{)} \\ 3 = a^2 + 2a & \text{(при } x^2\text{)} \\ 2 = 2 & \text{(при } x\text{)} \\ -9 = -9 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Последние два уравнения являются тождествами. Решим первые два уравнения.

Первое уравнение: $a^2 + a - 2 = 0$. Его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Второе уравнение: $a^2 + 2a - 3 = 0$. Его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Общим решением для обоих уравнений является $a=1$.

Ответ: $a=1$.

2) Даны многочлены $P(x) = 2ax^3 - 14x^2 + 3x + 4$ и $K(x) = -2x^3 + 14ax^2 + (2a^2 - a)x + a + 5$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2a = -2 \\ -14 = 14a \\ 3 = 2a^2 - a \\ 4 = a + 5 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2a = -2 \implies a = -1$.

Из второго уравнения: $-14 = 14a \implies a = -1$.

Из четвертого уравнения: $a = 4 - 5 \implies a = -1$.

Все три уравнения дают результат $a=-1$. Проверим это значение в третьем уравнении:

$3 = 2(-1)^2 - (-1) = 2(1) + 1 = 3$.

Равенство верно, значит, $a=-1$ является решением.

Ответ: $a=-1$.

3) Даны многочлены $P(x) = ax^3 - 4x^2 + 14x - 4$ и $K(x) = -2x^3 - 4x^2 + (2a^2 - 3a)x + a - 2$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} a = -2 \\ -4 = -4 \\ 14 = 2a^2 - 3a \\ -4 = a - 2 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $a=-2$.

Из четвертого уравнения: $a = -4 + 2 \implies a = -2$.

Проверим значение $a=-2$ в третьем уравнении:

$14 = 2(-2)^2 - 3(-2) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14$.

Равенство верно, следовательно, $a=-2$ является решением.

Ответ: $a=-2$.

4) Даны многочлены $P(x) = 2ax^3 - 7x^2 + 4x + 2$ и $K(x) = 8x^3 - 7x^2 + (2a^2 - 7a)x + a - 2$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2a = 8 \\ -7 = -7 \\ 4 = 2a^2 - 7a \\ 2 = a - 2 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2a = 8 \implies a = 4$.

Из четвертого уравнения: $a = 2 + 2 \implies a = 4$.

Проверим значение $a=4$ в третьем уравнении:

$4 = 2(4)^2 - 7(4) = 2(16) - 28 = 32 - 28 = 4$.

Равенство верно, значит, $a=4$ является решением.

Ответ: $a=4$.