Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Найдите области определения функций (1.14—1.18):

1.14.1) $y = \frac{3}{(x+4)(x-5)};$

2) $y = \frac{5}{(3x+1)(7x-2)};$

3) $y = \frac{10}{(6-5x)(9x-2)};$

4) $y = \frac{8}{(11x+2)(10x+7)};$

5) $y = \frac{x}{x^2 + 0,7x - 0,3};$

6) $y = \frac{3x}{x^2 - 0,3x - 0,7};$

7) $y = \frac{x-2}{1,56 + 2,5x + x^2};$

8) $y = \frac{3-x}{-1 + 12x - 27x^2}.$

1) Область определения функции $y = \frac{3}{(x+4)(x-5)}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, решаем неравенство:

$(x+4)(x-5) \neq 0$

Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю:

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме -4 и 5.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{5}{(3x+1)(7x-2)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(3x+1)(7x-2) \neq 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти исключаемые точки:

$3x + 1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$

$7x - 2 \neq 0 \implies 7x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{7}$

Область определения — все действительные числа, кроме $-\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{2}{7}) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{10}{(6-5x)(9x-2)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(6-5x)(9x-2) \neq 0$

Находим значения $x$, при которых множители равны нулю:

$6 - 5x \neq 0 \implies 5x \neq 6 \implies x \neq \frac{6}{5}$

$9x - 2 \neq 0 \implies 9x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{9}$

Область определения — все действительные числа, кроме $\frac{2}{9}$ и $\frac{6}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}; \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.

4) Для функции $y = \frac{8}{(11x+2)(10x+7)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(11x+2)(10x+7) \neq 0$

Находим значения $x$, которые нужно исключить:

$11x + 2 \neq 0 \implies 11x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{11}$

$10x + 7 \neq 0 \implies 10x \neq -7 \implies x \neq -\frac{7}{10}$

Поскольку $-\frac{7}{10} = -0.7$ и $-\frac{2}{11} \approx -0.18$, то $-\frac{7}{10} < -\frac{2}{11}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{10}) \cup (-\frac{7}{10}; -\frac{2}{11}) \cup (-\frac{2}{11}; +\infty)$.

5) Для функции $y = \frac{x}{x^2 + 0,7x - 0,3}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 + 0,7x - 0,3 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 + 0,7x - 0,3 = 0$. Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10x^2 + 7x - 3 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 13}{2 \cdot 10}$.

$x_1 = \frac{-7-13}{20} = \frac{-20}{20} = -1$

$x_2 = \frac{-7+13}{20} = \frac{6}{20} = 0,3$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0,3) \cup (0,3; +\infty)$.

6) Для функции $y = \frac{3x}{x^2 - 0,3x - 0,7}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 - 0,3x - 0,7 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,7 = 0$. Умножим на 10: $10x^2 - 3x - 7 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 17}{2 \cdot 10}$.

$x_1 = \frac{3-17}{20} = \frac{-14}{20} = -0,7$

$x_2 = \frac{3+17}{20} = \frac{20}{20} = 1$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (-0,7; 1) \cup (1; +\infty)$.

7) Для функции $y = \frac{x-2}{1,56 + 2,5x + x^2}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 + 2,5x + 1,56 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 + 2,5x + 1,56 = 0$. Умножим на 100: $100x^2 + 250x + 156 = 0$. Разделим на 2: $50x^2 + 125x + 78 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 125^2 - 4 \cdot 50 \cdot 78 = 15625 - 15600 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 \pm 5}{2 \cdot 50}$.

$x_1 = \frac{-125-5}{100} = \frac{-130}{100} = -1,3$

$x_2 = \frac{-125+5}{100} = \frac{-120}{100} = -1,2$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,3) \cup (-1,3; -1,2) \cup (-1,2; +\infty)$.

8) Для функции $y = \frac{3-x}{-1 + 12x - 27x^2}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$-27x^2 + 12x - 1 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $-27x^2 + 12x - 1 = 0$. Умножим на -1: $27x^2 - 12x + 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2 \cdot 27}$.

$x_1 = \frac{12-6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{12+6}{54} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{9}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

1.15.1) $y = \frac{2}{(x - 4)(x^2 - 8x + 12)};$

2) $y = \frac{4}{(x + 0,2)(x^2 + 0,4x + 0,03)};$

3) $y = \frac{1}{(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6)};$

4) $y = \frac{2}{(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3)}.$

1) Дана функция $y = \frac{2}{(x - 4)(x^2 - 8x + 12)}$.

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данной дроби знаменатель не должен быть равен нулю.

$(x - 4)(x^2 - 8x + 12) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

2) $x^2 - 8x + 12 \neq 0$. Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$ для нахождения корней.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 12$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq 6$.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ не может быть равен 2, 4 и 6. Область определения функции — все действительные числа, за исключением этих точек.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \frac{4}{(x + 0.2)(x^2 + 0.4x + 0.03)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x + 0.2)(x^2 + 0.4x + 0.03) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $x + 0.2 \neq 0 \implies x \neq -0.2$.

2) $x^2 + 0.4x + 0.03 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + 0.4x + 0.03 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (0.4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.03 = 0.16 - 0.12 = 0.04$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0.4 \pm \sqrt{0.04}}{2} = \frac{-0.4 \pm 0.2}{2}$.

$x_1 = \frac{-0.4 + 0.2}{2} = -0.1$

$x_2 = \frac{-0.4 - 0.2}{2} = -0.3$

Следовательно, $x \neq -0.1$ и $x \neq -0.3$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $-0.3$, $-0.2$ и $-0.1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.3) \cup (-0.3; -0.2) \cup (-0.2; -0.1) \cup (-0.1; +\infty)$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $3x - 1 \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

2) $20x^2 - 23x + 6 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $20x^2 - 23x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 6 = 529 - 480 = 49$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 20} = \frac{23 \pm 7}{40}$.

$x_1 = \frac{23 + 7}{40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$.

$x_2 = \frac{23 - 7}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, $x \neq \frac{2}{5}$ и $x \neq \frac{3}{4}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Упорядочим эти числа для записи ответа: $\frac{1}{3} \approx 0.333$, $\frac{2}{5} = 0.4$, $\frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

4) Дана функция $y = \frac{2}{(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $6x + 1 \neq 0 \implies 6x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{6}$.

2) $20x^2 - 7x - 3 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $20x^2 - 7x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 49 + 240 = 289$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 20} = \frac{7 \pm 17}{40}$.

$x_1 = \frac{7 + 17}{40} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

$x_2 = \frac{7 - 17}{40} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, $x \neq -\frac{1}{4}$ и $x \neq \frac{3}{5}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$. Упорядочим эти числа для записи ответа: $-\frac{1}{4} = -0.25$, $-\frac{1}{6} \approx -0.167$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.

1.16. 1) $y = \frac{\sqrt{x - 9}}{x^2 - 7x + 10};$

2) $y = \frac{\sqrt{11 + x}}{x^2 - 3x - 10};$

3) $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{6 + 6,2x + x^2};$

4) $y = \frac{\sqrt{x + 4}}{3 - 14x - 5x^2}.$

1.16.1)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x-9}}{x^2 - 7x + 10}$ находится из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x - 9 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 7x + 10 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$x - 9 \ge 0$

$x \ge 9$

Решим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x=2$ и $x=5$, значит, $x \ne 2$ и $x \ne 5$.

Объединим оба условия:

$\begin{cases} x \ge 9 \\ x \ne 2 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Поскольку значения $x=2$ и $x=5$ не входят в промежуток $x \ge 9$, то они автоматически исключаются.

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные 9.

Ответ: $x \in [9, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{11+x}}{x^2 - 3x - 10}$ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} 11 + x \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$11 + x \ge 0$

$x \ge -11$

Решим второе условие. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -10$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Значит, $x \ne 5$ и $x \ne -2$.

Объединим полученные результаты. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \ge -11$, но при этом не равны -2 и 5.

Оба значения (-2 и 5) входят в промежуток $[-11, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Получаем объединение промежутков.

Ответ: $x \in [-11, -2) \cup (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{\sqrt{1-x}}{6 + 6,2x + x^2}$ область определения находится из системы условий:

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ x^2 + 6,2x + 6 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - x \ge 0$

$1 \ge x$, или $x \le 1$.

Решим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6,2x + 6 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (6,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 38,44 - 24 = 14,44$.

$\sqrt{D} = \sqrt{14,44} = 3,8$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6,2 - 3,8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-6,2 + 3,8}{2} = \frac{-2,4}{2} = -1,2$.

Следовательно, $x \ne -5$ и $x \ne -1,2$.

Объединим условия: $x \le 1$, $x \ne -5$, $x \ne -1,2$.

Значения -5 и -1,2 меньше 1, поэтому их нужно исключить из промежутка $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -1,2) \cup (-1,2, 1]$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+4}}{3 - 14x - 5x^2}$ задается системой:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 3 - 14x - 5x^2 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$.

Решим второе условие. Найдем корни уравнения $3 - 14x - 5x^2 = 0$, или $5x^2 + 14x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3$.

$x_2 = \frac{-14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Значит, $x \ne -3$ и $x \ne 0,2$.

Совместим полученные условия: $x \ge -4$, $x \ne -3$, $x \ne 0,2$.

Оба значения (-3 и 0,2) входят в промежуток $[-4, +\infty)$, поэтому их необходимо "выколоть".

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, 0,2) \cup (0,2, +\infty)$.

1.17.1) $y = \sqrt{\frac{5x + 4}{7 - 8x}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{9x - 1}{16 - 6x}}$;

3) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x^2 - 4}}$;

4) $y = \sqrt{\frac{9 - x^2}{2 - x}}$

1)Дана функция $y = \sqrt{\frac{5x+4}{7-8x}}$. Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данной функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

Решим неравенство $\frac{5x+4}{7-8x} \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x+4=0 \Rightarrow x = -4/5$.

Нуль знаменателя: $7-8x=0 \Rightarrow x = 7/8$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-4/5$ (корень числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=7/8$ (корень знаменателя) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty, -4/5]$, $[-4/5, 7/8)$ и $(7/8, +\infty)$.

- При $x > 7/8$ (например, $x=1$): $\frac{5(1)+4}{7-8(1)} = \frac{9}{-1} < 0$ (знак минус).

- При $-4/5 \le x < 7/8$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)+4}{7-8(0)} = \frac{4}{7} > 0$ (знак плюс).

- При $x \le -4/5$ (например, $x=-1$): $\frac{5(-1)+4}{7-8(-1)} = \frac{-1}{15} < 0$ (знак минус).

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно (знак плюс), включая корень числителя.

Ответ: $D(y) = [-4/5, 7/8)$.

2)Дана функция $y = \frac{\sqrt{9x-1}}{\sqrt{16-6x}}$. Ее можно записать как $y = \sqrt{\frac{9x-1}{16-6x}}$.

Область определения функции определяется системой неравенств. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе — строго положительным (так как корень находится в знаменателе и не может быть равен нулю).

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 9x-1 \ge 0 \\ 16-6x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $9x-1 \ge 0 \Rightarrow 9x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/9$.

2. $16-6x > 0 \Rightarrow 16 > 6x \Rightarrow x < 16/6 \Rightarrow x < 8/3$.

Найдем пересечение решений: $x$ должен быть одновременно больше или равен $1/9$ и меньше $8/3$.

Ответ: $D(y) = [1/9, 8/3)$.

3)Дана функция $y = \sqrt{\frac{x+1}{x^2-4}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x+1}{x^2-4} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

- Нуль числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

- Нули знаменателя: $(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$.

Отметим точки $-2, -1, 2$ на числовой оси. Точки $-2$ и $2$ — выколотые (нули знаменателя), точка $-1$ — закрашенная (нуль числителя).

Определим знаки на интервалах:

- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3+1}{(3-2)(3+2)} = \frac{4}{5} > 0$ (+).

- При $-1 \le x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{(0-2)(0+2)} = -\frac{1}{4} < 0$ (-).

- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{(-1.5-2)(-1.5+2)} = \frac{-0.5}{(-3.5)(0.5)} > 0$ (+).

- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+1}{(-3-2)(-3+2)} = \frac{-2}{(-5)(-1)} = -\frac{2}{5} < 0$ (-).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(y) = (-2, -1] \cup (2, +\infty)$.

4)Дана функция $y = \sqrt{\frac{9-x^2}{2-x}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{9-x^2}{2-x} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(3-x)(3+x)}{2-x} \ge 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

- Нули числителя: $(3-x)(3+x)=0 \Rightarrow x=3$ и $x=-3$.

- Нуль знаменателя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$.

Отметим точки $-3, 2, 3$ на числовой оси. Точки $-3$ и $3$ — закрашенные, точка $2$ — выколотая.

Определим знаки на интервалах. Для удобства можно привести выражение к виду $\frac{(x-3)(x+3)}{x-2} \ge 0$, поменяв знаки у множителей $(3-x)$ и $(2-x)$.

- При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} \Rightarrow$ (+).

- При $2 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(+)} \Rightarrow$ (-).

- При $-3 < x < 2$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \Rightarrow$ (+).

- При $x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \Rightarrow$ (-).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(y) = [-3, 2) \cup [3, +\infty)$.

1.18.1) y = $\frac{\sqrt{2x - 13}}{\sqrt{x^2 - 12x + 20}}$;

2) y = $\frac{\sqrt{4 - 8x}}{\sqrt{x^2 - 4,5x - 9}}$;

3) y = $\frac{\sqrt{22 - 11x}}{\sqrt{-21 + 4x + x^2}}$;

4) y = $\frac{\sqrt{18 + 6x}}{\sqrt{40 - 3x - x^2}}$.

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2x - 13}}{\sqrt{x^2 - 12x + 20}}$ необходимо, чтобы выполнялись два условия: выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2x - 13 \ge 0 \\ x^2 - 12x + 20 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$2x \ge 13$

$x \ge 6,5$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 12x + 20 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 20 = 0$.

Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$, $x_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 20$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < 2$ и $x > 10$. То есть $x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 6,5$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{4 - 8x}}{\sqrt{x^2 - 4,5x - 9}}$ задается системой неравенств: $$ \begin{cases} 4 - 8x \ge 0 \\ x^2 - 4,5x - 9 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$4 \ge 8x$

$x \le \frac{4}{8}$

$x \le 0,5$

Решим второе неравенство, предварительно умножив его на 2 для удобства:

$2x^2 - 9x - 18 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - \sqrt{225}}{4} = \frac{9 - 15}{4} = -1,5$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{225}}{4} = \frac{9 + 15}{4} = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -1,5$ и $x > 6$. То есть $x \in (-\infty; -1,5) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 0,5$ и $x \in (-\infty; -1,5) \cup (6; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; -1,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,5)$.

3) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{22 - 11x}}{\sqrt{-21 + 4x + x^2}}$ находится из системы неравенств: $$ \begin{cases} 22 - 11x \ge 0 \\ x^2 + 4x - 21 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$22 \ge 11x$

$x \le 2$

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 2$ и $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; -7)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7)$.

4) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{18 + 6x}}{\sqrt{40 - 3x - x^2}}$ решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 18 + 6x \ge 0 \\ 40 - 3x - x^2 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$6x \ge -18$

$x \ge -3$

Решим второе неравенство. Умножим его на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + 3x - 40 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.

По теореме Виета, корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 40$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 40 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-8; 5)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -3$ и $x \in (-8; 5)$.

Пересечением является промежуток $[-3; 5)$.

Ответ: $x \in [-3; 5)$.

1.19. Найдите множество значений функции:

1) $y = |x + 10| + 5$;

2) $y = 4 - |x - 4|$;

3) $y = |x - 1| + 2$;

4) $y = 3 - |x + 3|$;

5) $y = |x + 9| + x$;

6) $y = |x - 9| + x$;

7) $y = |x - 7| + 6x$;

8) $y = |x - 4| + 3x$.

1) Для функции $y = |x + 10| + 5$.

По определению модуля, выражение $|x + 10|$ всегда неотрицательно, то есть $|x + 10| \ge 0$ для любого действительного $x$. Минимальное значение этого выражения равно 0 и достигается при $x + 10 = 0$, то есть при $x = -10$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 5 = 5$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $y \ge 5$.

Ответ: $E(y) = [5; +\infty)$.

2) Для функции $y = 4 - |x - 4|$.

Выражение $|x - 4|$ всегда неотрицательно, $|x - 4| \ge 0$. Если умножить неравенство на -1, знак изменится: $-|x - 4| \le 0$.

Прибавив 4 к обеим частям, получаем $4 - |x - 4| \le 4$, то есть $y \le 4$. Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при $|x - 4| = 0$, то есть при $x = 4$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) Для функции $y = |x - 1| + 2$.

Аналогично пункту 1, имеем $|x - 1| \ge 0$. Отсюда следует, что $|x - 1| + 2 \ge 2$, то есть $y \ge 2$.

Наименьшее значение функции равно 2 и достигается при $x = 1$.

Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$.

4) Для функции $y = 3 - |x + 3|$.

Аналогично пункту 2, имеем $|x + 3| \ge 0$, поэтому $-|x + 3| \le 0$. Отсюда следует, что $3 - |x + 3| \le 3$, то есть $y \le 3$.

Наибольшее значение функции равно 3 и достигается при $x = -3$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 3]$.

5) Для функции $y = |x + 9| + x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x+9$.

1. Если $x + 9 \ge 0$, то есть $x \ge -9$. Тогда $|x + 9| = x + 9$. Функция принимает вид: $y = (x + 9) + x = 2x + 9$. На промежутке $[-9; +\infty)$ эта функция возрастает. Её наименьшее значение достигается при $x=-9$ и равно $y(-9) = 2(-9) + 9 = -9$. Таким образом, на этом промежутке $y \in [-9; +\infty)$.

2. Если $x + 9 < 0$, то есть $x < -9$. Тогда $|x + 9| = -(x + 9)$. Функция принимает вид: $y = -(x + 9) + x = -x - 9 + x = -9$. Таким образом, на этом промежутке $y = -9$.

Объединяя результаты для обоих случаев, получаем, что наименьшее значение функции равно -9, и она может принимать любые значения больше -9.

Ответ: $E(y) = [-9; +\infty)$.

6) Для функции $y = |x - 9| + x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 9 \ge 0$, то есть $x \ge 9$. Тогда $|x - 9| = x - 9$. Функция: $y = (x - 9) + x = 2x - 9$. На промежутке $[9; +\infty)$ функция возрастает. Наименьшее значение при $x=9$: $y(9) = 2(9) - 9 = 9$. Множество значений на этом промежутке: $[9; +\infty)$.

2. Если $x - 9 < 0$, то есть $x < 9$. Тогда $|x - 9| = -(x - 9)$. Функция: $y = -(x - 9) + x = -x + 9 + x = 9$. На этом промежутке $y$ постоянно равно 9.

Объединяя результаты, видим, что наименьшее значение функции равно 9.

Ответ: $E(y) = [9; +\infty)$.

7) Для функции $y = |x - 7| + 6x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 7 \ge 0$, то есть $x \ge 7$. Тогда $|x - 7| = x - 7$. Функция: $y = (x - 7) + 6x = 7x - 7$. Это возрастающая функция. При $x=7$ имеем $y(7)=7(7)-7=42$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Множество значений: $[42; +\infty)$.

2. Если $x - 7 < 0$, то есть $x < 7$. Тогда $|x - 7| = -(x - 7)$. Функция: $y = -(x - 7) + 6x = 5x + 7$. Это также возрастающая функция. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Когда $x$ приближается к 7 слева, $y$ приближается к $5(7)+7=42$. Множество значений: $(-\infty; 42)$.

Объединение множеств $(-\infty; 42)$ и $[42; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

8) Для функции $y = |x - 4| + 3x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Тогда $|x - 4| = x - 4$. Функция: $y = (x - 4) + 3x = 4x - 4$. Это возрастающая функция. При $x=4$ имеем $y(4)=4(4)-4=12$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Множество значений: $[12; +\infty)$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$. Тогда $|x - 4| = -(x - 4)$. Функция: $y = -(x - 4) + 3x = 2x + 4$. Это возрастающая функция. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Когда $x$ приближается к 4 слева, $y$ приближается к $2(4)+4=12$. Множество значений: $(-\infty; 12)$.

Объединение множеств $(-\infty; 12)$ и $[12; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

1.20. На рисунке 1.4 даны графики функций, областью определения которых является числовой отрезок $[a; b]$. Используя график, найдите множество значений функции:

1)

2)

3)

4)

Рис. 1.4

1) Множество значений функции (область значений) — это проекция её графика на ось ординат (ось y). Чтобы найти его, нужно определить все значения, которые принимает функция $y$ на своей области определения.

График состоит из двух частей.

Первая часть — это кривая, определенная для $x \in [-3, 1)$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $(-3, 1)$ и равно 1. Максимальное значение достигается в точке $(0, 5)$ и равно 5. Таким образом, на интервале $x \in [-3, 0]$ функция принимает все значения из отрезка $[1, 5]$. На интервале $x \in [0, 1)$ значения функции лежат в полуинтервале $(3, 5]$. Объединив эти значения, получаем, что на участке $x \in [-3, 1)$ функция принимает значения из множества $[1, 5]$.

Вторая часть — это отрезок прямой, определенный для $x \in [1, 5]$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $(1, 2)$ и равно 2. Максимальное значение достигается в точке $(5, 5)$ и равно 5. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из отрезка $[2, 5]$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = [1, 5] \cup [2, 5]$.

Объединением этих двух отрезков является отрезок $[1, 5]$.

Ответ: $E(y) = [1, 5]$.

2) График функции состоит из изолированной точки и участка кривой.

Изолированная точка $(-4, 1)$ означает, что при $x=-4$ функция принимает значение $y=1$.

Кривая определена для $x \in (-3, 5]$. Это часть параболы. Наименьшее значение на этом участке достигается в крайней правой точке $(5, -1)$ и равно -1 (точка закрашена, значит значение включено). Наибольшее значение достигается в вершине параболы, точке $(1, 3)$, и равно 3. Хотя точка $(-3, 3)$ выколота (не принадлежит графику), значение $y=3$ достигается при $x=1$, поэтому оно входит в множество значений. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из отрезка $[-1, 3]$.

Множество значений всей функции — это объединение значений от всех её частей: $E(y) = \{1\} \cup [-1, 3]$.

Поскольку число 1 содержится в отрезке $[-1, 3]$, их объединение равно самому отрезку.

Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.

3) График функции состоит из двух частей. Заметим, что одна из частей является лучом, уходящим в бесконечность, что противоречит условию задачи об области определения на отрезке $[a; b]$. Будем находить множество значений для функции, как она изображена на графике.

Первая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in [-5, -3)$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=5$ (включительно, в точке $x=-5$) до $y=1$ (не включительно, так как точка при $x=-3$ выколота). Таким образом, множество значений на этом участке — полуинтервал $(1, 5]$.

Вторая часть — ломаная, определенная для $x \in [-3, +\infty)$. Она начинается в точке $(-3, 3)$, достигает локального максимума в точке $(2, 5)$, а затем неограниченно убывает (является лучом). Таким образом, максимальное значение на этом участке равно 5, а минимального значения не существует. Множество значений на этом участке — луч $(-\infty, 5]$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = (1, 5] \cup (-\infty, 5]$.

Объединением этих множеств является луч $(-\infty, 5]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 5]$.

4) График функции состоит из двух отрезков прямой. Заметим, что в точке $x=-1$ функция не определена (обе точки выколоты), что противоречит условию задачи об области определения на отрезке $[a; b]$. Будем находить множество значений для функции, как она изображена на графике, то есть для $x \in [-4, -1) \cup (-1, 5]$.

Первая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in [-4, -1)$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=2$ (включительно, в точке $x=-4$) до $y=0$ (не включительно, при $x \to -1$). Множество значений на этом участке — полуинтервал $(0, 2]$.

Вторая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in (-1, 5]$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=3$ (не включительно, при $x \to -1$) до $y=0$ (включительно, в точке $x=5$). Множество значений на этом участке — полуинтервал $[0, 3)$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = (0, 2] \cup [0, 3)$.

Объединив эти два полуинтервала, мы получим один полуинтервал, который включает 0 (из второго множества) и все числа до 3, не включая 3.

Ответ: $E(y) = [0, 3)$.

32.9. Используя схему Горнера, найдите все значения параметра $a$, при которых число $p$ является корнем многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1:$

1) $p = 1$;

2) $p = 2$;

3) $p = -3$;

4) $p = 0,5$.

Для того чтобы число $p$ было корнем многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$, необходимо, чтобы остаток от деления $P(x)$ на двучлен $(x-p)$ был равен нулю. Мы найдем этот остаток для каждого из заданных значений $p$ с помощью схемы Горнера. Коэффициенты многочлена $P(x)$, записанные в порядке убывания степеней, равны $1, -3, 1, a, -1$.

1) p = 1;

Применим схему Горнера для $p=1$. Последовательно вычисляем коэффициенты частного и остаток:

$b_3 = 1$

$b_2 = 1 \cdot 1 + (-3) = -2$

$b_1 = 1 \cdot (-2) + 1 = -1$

$b_0 = 1 \cdot (-1) + a = a-1$

Остаток $R = 1 \cdot (a-1) + (-1) = a-2$.

Приравнивая остаток к нулю, получаем уравнение: $a-2=0$.

Из этого уравнения находим $a=2$.

Ответ: $a=2$.

2) p = 2;

Применим схему Горнера для $p=2$.

$b_3 = 1$

$b_2 = 2 \cdot 1 + (-3) = -1$

$b_1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$

$b_0 = 2 \cdot (-1) + a = a-2$

Остаток $R = 2 \cdot (a-2) + (-1) = 2a-4-1 = 2a-5$.

Приравниваем остаток к нулю: $2a-5=0$.

Из этого уравнения находим $2a=5$, следовательно, $a=2,5$.

Ответ: $a=2,5$.

3) p = -3;

Применим схему Горнера для $p=-3$.

$b_3 = 1$

$b_2 = (-3) \cdot 1 + (-3) = -6$

$b_1 = (-3) \cdot (-6) + 1 = 18+1 = 19$

$b_0 = (-3) \cdot 19 + a = -57+a$

Остаток $R = (-3) \cdot (a-57) + (-1) = -3a+171-1 = -3a+170$.

Приравниваем остаток к нулю: $-3a+170=0$.

Из этого уравнения находим $3a=170$, следовательно, $a=\frac{170}{3}$.

Ответ: $a=\frac{170}{3}$.

4) p = 0,5.

Применим схему Горнера для $p=0,5=\frac{1}{2}$. Для удобства будем вести расчеты в обыкновенных дробях.

$b_3 = 1$

$b_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + (-3) = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$

$b_1 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{2}) + 1 = -\frac{5}{4} + 1 = -\frac{1}{4}$

$b_0 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4}) + a = a - \frac{1}{8}$

Остаток $R = \frac{1}{2} \cdot (a - \frac{1}{8}) - 1 = \frac{a}{2} - \frac{1}{16} - 1 = \frac{a}{2} - \frac{17}{16}$.

Приравниваем остаток к нулю: $\frac{a}{2} - \frac{17}{16} = 0$.

Из этого уравнения находим $\frac{a}{2} = \frac{17}{16}$, откуда $a = \frac{17 \cdot 2}{16} = \frac{17}{8}$.

Ответ: $a=\frac{17}{8}$.

32.10. Найдите остаток от деления выражения $(x^4 - 6x^2 + 8)(x^4 - 2x^2 - 8)$ на $(x - 2)^2$.

Обозначим делимое как $P(x) = (x^4 - 6x^2 + 8)(x^4 - 2x^2 - 8)$ и делитель как $D(x) = (x-2)^2$.При делении многочлена $P(x)$ на многочлен $D(x)$ мы получаем равенство:$P(x) = Q(x)D(x) + R(x)$,где $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток.Степень остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени делителя $D(x)$.Степень $D(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ равна 2. Следовательно, остаток $R(x)$ является многочленом степени не выше 1, то есть $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые константы.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Разложение на множители

Разложим на множители каждый из сомножителей в выражении для $P(x)$. Оба являются биквадратными трехчленами. Сделаем замену $y = x^2$.

1. Первый сомножитель: $x^4 - 6x^2 + 8$. После замены получаем $y^2 - 6y + 8$.Корни уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$ — это $y_1=2$ и $y_2=4$.Таким образом, $y^2 - 6y + 8 = (y-2)(y-4)$.Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$x^4 - 6x^2 + 8 = (x^2-2)(x^2-4) = (x^2-2)(x-2)(x+2)$.

2. Второй сомножитель: $x^4 - 2x^2 - 8$. После замены получаем $y^2 - 2y - 8$.Корни уравнения $y^2 - 2y - 8 = 0$ — это $y_1=4$ и $y_2=-2$.Таким образом, $y^2 - 2y - 8 = (y-4)(y+2)$.Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$x^4 - 2x^2 - 8 = (x^2-4)(x^2+2) = (x-2)(x+2)(x^2+2)$.

Теперь перемножим полученные разложения, чтобы найти $P(x)$:$P(x) = [(x^2-2)(x-2)(x+2)] \cdot [(x-2)(x+2)(x^2+2)]$Сгруппировав множители, получим:$P(x) = (x-2)(x-2) \cdot (x+2)(x+2) \cdot (x^2-2)(x^2+2)$$P(x) = (x-2)^2 (x+2)^2 (x^4-4)$

Из этого вида многочлена $P(x)$ видно, что он содержит множитель $(x-2)^2$. Это означает, что $P(x)$ делится на $(x-2)^2$ без остатка.$P(x) = [(x+2)^2(x^4-4)] \cdot (x-2)^2$.Здесь частное $Q(x) = (x+2)^2(x^4-4)$, а остаток $R(x) = 0$.

Способ 2: Использование теоремы Безу и ее следствий

Как было установлено ранее, $P(x) = Q(x)(x-2)^2 + ax + b$.Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$.

1. Подставим в равенство корень делителя $x=2$:$P(2) = Q(2)(2-2)^2 + a(2) + b$$P(2) = 0 + 2a + b \Rightarrow P(2) = 2a + b$.Вычислим значение $P(2)$:$P(2) = (2^4 - 6 \cdot 2^2 + 8)(2^4 - 2 \cdot 2^2 - 8) = (16 - 6 \cdot 4 + 8)(16 - 2 \cdot 4 - 8) = (16 - 24 + 8)(16 - 8 - 8) = (0)(0) = 0$.Следовательно, $2a + b = 0$.

2. Поскольку делитель $(x-2)^2$ имеет кратный корень $x=2$, мы можем продифференцировать тождество $P(x) = Q(x)(x-2)^2 + ax + b$ и снова подставить $x=2$.Найдем производную $P'(x)$:$P'(x) = (Q(x)(x-2)^2)' + (ax+b)'$$P'(x) = [Q'(x)(x-2)^2 + Q(x) \cdot 2(x-2)] + a$.Подставим $x=2$:$P'(2) = [Q'(2)(2-2)^2 + Q(2) \cdot 2(2-2)] + a = 0 + a \Rightarrow P'(2) = a$.Теперь найдем значение производной $P'(x)$ в точке $x=2$.$P(x) = f(x)g(x)$, где $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8$ и $g(x) = x^4 - 2x^2 - 8$.По правилу производной произведения: $P'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.Мы уже знаем, что $f(2)=0$ и $g(2)=0$.$P'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = f'(2) \cdot 0 + 0 \cdot g'(2) = 0$.Таким образом, $a = P'(2) = 0$.

3. Из системы уравнений:$\begin{cases} 2a+b=0 \\ a=0 \end{cases}$находим, что $a=0$ и $b=0$.

Остаток от деления $R(x) = ax + b = 0 \cdot x + 0 = 0$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0$.

32.11. Найдите целые корни и разложите на множители многочлен:

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6;$

2) $x^4 + 5x^2 - 6;$

3) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2;$

4) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6.$

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$

Для нахождения целых корней многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа 6. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим эти значения подстановкой в многочлен:

$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на двучлен $(x - (-1)) = (x + 1)$, например, используя схему Горнера или деление столбиком.

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни легко подбираются: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, все целые корни многочлена найдены: -1, 2, 3.

Разложение на множители имеет вид: $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$.

Ответ: Целые корни: -1, 2, 3. Разложение на множители: $(x+1)(x-2)(x-3)$.

2) $x^4 + 5x^2 - 6$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$ (где $y \ge 0$).

Уравнение примет вид: $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$.

Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. $x^2 = y_1 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_1 = 1, x_2 = -1$. Это целые корни.

2. $x^2 = y_2 = -6$. Это уравнение не имеет действительных корней, а значит и целых.

Для разложения на множители используем найденные значения $y$:

$y^2 + 5y - 6 = (y - 1)(y + 6)$.

Подставляем обратно $y = x^2$:

$x^4 + 5x^2 - 6 = (x^2 - 1)(x^2 + 6)$.

Первый множитель можно разложить как разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Множитель $x^2 + 6$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Целые корни: 1, -1. Разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x^2+6)$.

3) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$

Пусть $P(x) = x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$. Целые корни могут быть только среди делителей свободного члена 2: $\pm1, \pm2$.

Проверим их:

$P(1) = 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

$P(-1) = 1 - 2(-1) - 6(1) + 5(-1) + 2 = 1 + 2 - 6 - 5 + 2 = -6 \neq 0$.

$P(2) = 16 - 2(8) - 6(4) + 5(2) + 2 = 16 - 16 - 24 + 10 + 2 = -8 \neq 0$.

$P(-2) = 16 - 2(-8) - 6(4) + 5(-2) + 2 = 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0$. Значит, $x_2 = -2$ является корнем.

Так как мы нашли два корня, 1 и -2, многочлен делится на произведение $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$. Выполним деление многочлена $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$ на $x^2 + x - 2$ столбиком.

$(x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2) : (x^2 + x - 2) = x^2 - 3x - 1$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 1)$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 1 = 0$ через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ являются иррациональными.

Следовательно, других целых корней у исходного многочлена нет.

Ответ: Целые корни: 1, -2. Разложение на множители: $(x-1)(x+2)(x^2 - 3x - 1)$.

4) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Пусть $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$. Целые корни ищем среди делителей числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их:

$P(1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

$P(-1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$. Значит, $x_2 = -1$ является корнем.

$P(2) = 16 + 8 - 7(4) - 2 + 6 = 24 - 28 - 2 + 6 = 0$. Значит, $x_3 = 2$ является корнем.

$P(-3) = 81 - 27 - 7(9) - (-3) + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x_4 = -3$ является корнем.

Мы нашли 4 целых корня для многочлена 4-й степени: 1, -1, 2, -3. Это все его корни.

Разложение на множители имеет вид: $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$.

$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x - 1)(x - (-1))(x - 2)(x - (-3)) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.

Ответ: Целые корни: 1, -1, 2, -3. Разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.

32.12. Найдите значение суммы коэффициентов выражения $(x^4 - 2x^3 + 3)^2 \cdot (x^4 - 2x^2 - 1)^3$.

Для того чтобы найти сумму коэффициентов многочлена, который является результатом раскрытия скобок в данном выражении, необходимо подставить в это выражение значение переменной $x=1$.

Пусть $P(x) = (x^4 - 2x^3 + 3)^2 \cdot (x^4 - 2x^2 - 1)^3$.

Если раскрыть скобки, мы получим многочлен вида $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. Сумма его коэффициентов будет равна $S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.

Подставив $x=1$ в этот многочлен, мы получим:

$P(1) = a_n(1)^n + a_{n-1}(1)^{n-1} + \dots + a_1(1) + a_0 = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 = S$.

Следовательно, для нахождения суммы коэффициентов исходного выражения достаточно вычислить его значение при $x=1$.

Подставим $x=1$ в выражение $(x^4 - 2x^3 + 3)^2 \cdot (x^4 - 2x^2 - 1)^3$:

$((1)^4 - 2(1)^3 + 3)^2 \cdot ((1)^4 - 2(1)^2 - 1)^3$

Вычислим значение выражения в первых скобках:

$1^4 - 2 \cdot 1^3 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Вычислим значение выражения во вторых скобках:

$1^4 - 2 \cdot 1^2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$

Теперь перемножим полученные результаты, возведенные в соответствующие степени:

$(2)^2 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32$

Ответ: -32

32.13.

1) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, при делении на $x - 3$ остаток равен 5. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 1)(x - 3)$.

2) При делении многочлена на двучлен $x + 1$ остаток равен 1, при делении на $x + 4$ остаток равен 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x + 1)(x + 4)$.

3) При делении многочлена на двучлен $x - 2$ остаток равен 3, при делении на $2x + 5$ остаток равен 6. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 2)(2x + 5)$.

1) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. По условию, при делении $P(x)$ на двучлен $x-1$ остаток равен 3. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$. Таким образом, из первого условия следует, что $P(1) = 3$.

Аналогично, при делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 5. Это означает, что $P(3) = 5$.

Нам нужно найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x-1)(x-3)$. Делитель $(x-1)(x-3)$ является многочленом второй степени. Следовательно, остаток от деления на него будет многочленом степени не выше первой, то есть будет иметь вид $ax+b$.

Мы можем записать деление $P(x)$ на $(x-1)(x-3)$ в следующем виде:

$P(x) = (x-1)(x-3) \cdot Q(x) + (ax+b)$, где $Q(x)$ — частное.

Теперь воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(3)$.

Подставим $x=1$:$P(1) = (1-1)(1-3) \cdot Q(1) + (a \cdot 1 + b)$

$3 = 0 \cdot (-2) \cdot Q(1) + a + b$

$3 = a+b$

Подставим $x=3$:$P(3) = (3-1)(3-3) \cdot Q(3) + (a \cdot 3 + b)$

$5 = 2 \cdot 0 \cdot Q(3) + 3a + b$

$5 = 3a+b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b=3 \\ 3a+b=5 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(3a+b) - (a+b) = 5-3$

$2a = 2$

$a = 1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:

$1+b=3$

$b=2$

Таким образом, искомый остаток $ax+b$ равен $1 \cdot x + 2 = x+2$.

Ответ: $x+2$

2) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Из условия, что при делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 1, по теореме Безу получаем $P(-1) = 1$.

Из условия, что при делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 7, получаем $P(-4) = 7$.

Мы ищем остаток от деления $P(x)$ на $(x+1)(x+4)$. Делитель является многочленом второй степени, значит остаток будет многочленом не выше первой степени, т.е. вида $ax+b$.

Запишем уравнение деления:

$P(x) = (x+1)(x+4) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Подставим известные значения.

Для $x=-1$:$P(-1) = (-1+1)(-1+4) \cdot Q(-1) + (a \cdot (-1) + b)$

$1 = 0 \cdot 3 \cdot Q(-1) - a + b$

$1 = -a+b$

Для $x=-4$:$P(-4) = (-4+1)(-4+4) \cdot Q(-4) + (a \cdot (-4) + b)$

$7 = (-3) \cdot 0 \cdot Q(-4) - 4a + b$

$7 = -4a+b$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} -a+b=1 \\ -4a+b=7 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(-4a+b) - (-a+b) = 7-1$

$-3a = 6$

$a = -2$

Подставим $a=-2$ в первое уравнение:

$-(-2)+b=1$

$2+b=1$

$b=-1$

Искомый остаток $ax+b$ равен $-2x - 1$.

Ответ: $-2x-1$

3) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. При делении $P(x)$ на $x-2$ остаток равен 3. По теореме Безу, $P(2) = 3$.

При делении $P(x)$ на $2x+5$ остаток равен 6. Корень двучлена $2x+5$ равен $x = -5/2$. Следовательно, $P(-5/2) = 6$.

Мы ищем остаток от деления $P(x)$ на $(x-2)(2x+5)$. Делитель является многочленом второй степени, поэтому остаток будет иметь вид $ax+b$.

Запишем уравнение деления:

$P(x) = (x-2)(2x+5) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Подставим известные значения.

Для $x=2$:$P(2) = (2-2)(2 \cdot 2+5) \cdot Q(2) + (a \cdot 2 + b)$

$3 = 0 \cdot 9 \cdot Q(2) + 2a + b$

$3 = 2a+b$

Для $x=-5/2$:$P(-5/2) = (-5/2 - 2)(2 \cdot (-5/2) + 5) \cdot Q(-5/2) + (a \cdot (-5/2) + b)$

$6 = (-9/2) \cdot 0 \cdot Q(-5/2) - \frac{5}{2}a + b$

$6 = -\frac{5}{2}a+b$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a+b=3 \\ -\frac{5}{2}a+b=6 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2a+b) - (-\frac{5}{2}a+b) = 3-6$

$2a + \frac{5}{2}a = -3$

$\frac{4}{2}a + \frac{5}{2}a = -3$

$\frac{9}{2}a = -3$

$a = -3 \cdot \frac{2}{9} = -\frac{2}{3}$

Подставим $a=-2/3$ в первое уравнение:

$2(-\frac{2}{3}) + b = 3$

$-\frac{4}{3} + b = 3$

$b = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$

Искомый остаток $ax+b$ равен $-\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$

32.14. 1) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 1, при делении на двучлен $x + 2$ остаток равен 8. Известно, что число 2 является корнем многочлена. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

2) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, при делении на двучлен $x + 1$ остаток равен 5. Известно, что корень многочлена равен $0,5$. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 3)(x - 2)(x + 1)$.

1) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен $P(a)$. Исходя из условий задачи, мы имеем следующие сведения:

1. При делении $P(x)$ на $x-1$ остаток равен 1, следовательно, $P(1) = 1$.

2. При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 8, следовательно, $P(-2) = 8$.

3. Число 2 является корнем многочлена, следовательно, $P(2) = 0$.

Нам нужно найти остаток от деления $P(x)$ на многочлен третьей степени $(x-1)(x-2)(x+2)$. При делении на многочлен третьей степени остаток $R(x)$ будет многочленом степени не выше второй. Запишем его в общем виде: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Запишем деление $P(x)$ с остатком:

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+2) \cdot Q(x) + R(x)$, где $Q(x)$ — частное.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+2) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$.

Теперь воспользуемся известными значениями $P(x)$:

Для $x=1$: $P(1) = (1-1)(1-2)(1+2) \cdot Q(1) + a(1)^2 + b(1) + c = 0 \cdot Q(1) + a+b+c$. Так как $P(1)=1$, получаем первое уравнение: $a+b+c = 1$.

Для $x=2$: $P(2) = (2-1)(2-2)(2+2) \cdot Q(2) + a(2)^2 + b(2) + c = 0 \cdot Q(2) + 4a+2b+c$. Так как $P(2)=0$, получаем второе уравнение: $4a+2b+c = 0$.

Для $x=-2$: $P(-2) = (-2-1)(-2-2)(-2+2) \cdot Q(-2) + a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \cdot Q(-2) + 4a-2b+c$. Так как $P(-2)=8$, получаем третье уравнение: $4a-2b+c = 8$.

Получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $a, b, c$:

$ \begin{cases} a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ 4a - 2b + c = 8 \end{cases} $

Вычтем третье уравнение из второго: $(4a+2b+c) - (4a-2b+c) = 0 - 8$, что дает $4b = -8$, откуда $b = -2$.

Подставим $b=-2$ в первое и второе уравнения:

$ \begin{cases} a - 2 + c = 1 \\ 4a + 2(-2) + c = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a + c = 3 \\ 4a + c = 4 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 4-3$, что дает $3a=1$, откуда $a = \frac{1}{3}$.

Найдем $c$ из уравнения $a+c=3$: $\frac{1}{3} + c = 3$, откуда $c = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.

Таким образом, коэффициенты найдены: $a=\frac{1}{3}, b=-2, c=\frac{8}{3}$.

Остаток от деления $R(x) = ax^2+bx+c = \frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{8}{3}$.

2) В условии этой задачи, по-видимому, содержится опечатка. Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на $(x-3)(x-2)(x+1)$ необходимо знать значения $P(3)$, $P(2)$ и $P(-1)$. Однако в условии даны значения $P(1)=3$, $P(-1)=5$ и корень $x=0,5$ (т.е. $P(0,5)=0$).

Наиболее вероятная версия исправленного условия, которая позволяет решить задачу, следующая: корень многочлена равен 2 (вместо 0,5), а делитель — это $(x-1)(x-2)(x+1)$ (вместо $(x-3)(x-2)(x+1)$).

Решим задачу для этого исправленного условия. Пусть $P(x)$ — исходный многочлен.

1. При делении $P(x)$ на $x-1$ остаток равен 3, следовательно, $P(1) = 3$.

2. При делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 5, следовательно, $P(-1) = 5$.

3. Число 2 является корнем многочлена, следовательно, $P(2) = 0$.

Ищем остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ от деления $P(x)$ на многочлен $(x-1)(x-2)(x+1)$.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+1) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$.

Подставим известные значения:

Для $x=1$: $P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c$. Так как $P(1)=3$, получаем $a+b+c = 3$.

Для $x=2$: $P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a+2b+c$. Так как $P(2)=0$, получаем $4a+2b+c = 0$.

Для $x=-1$: $P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a-b+c$. Так как $P(-1)=5$, получаем $a-b+c = 5$.

Получили систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ a - b + c = 5 \end{cases} $

Вычтем третье уравнение из первого: $(a+b+c) - (a-b+c) = 3 - 5$, что дает $2b = -2$, откуда $b = -1$.

Подставим $b=-1$ в первое и второе уравнения:

$ \begin{cases} a - 1 + c = 3 \\ 4a + 2(-1) + c = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a + c = 4 \\ 4a + c = 2 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 2-4$, что дает $3a=-2$, откуда $a = -\frac{2}{3}$.

Найдем $c$ из уравнения $a+c=4$: $-\frac{2}{3} + c = 4$, откуда $c = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Коэффициенты остатка: $a=-\frac{2}{3}, b=-1, c=\frac{14}{3}$.

Остаток от деления $R(x) = ax^2+bx+c = -\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{14}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{14}{3}$.

32.15. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $cos^2 (2x - 4) < 0$;

2) $sin 3 \cdot cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$.

1) cos2 · (2x - 4) < 0;

Данное неравенство содержит постоянный коэффициент $cos2$. Чтобы решить неравенство, сначала определим знак этого коэффициента. Аргумент косинуса, равный 2, задан в радианах.

Мы знаем, что $ \pi \approx 3.14159 $. Тогда $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Так как $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти имеет отрицательное значение, следовательно, $cos2 < 0$.

Неравенство имеет вид $a \cdot b < 0$, где $a = cos2 < 0$ и $b = 2x - 4$. Чтобы произведение отрицательного числа $a$ и числа $b$ было отрицательным, число $b$ должно быть положительным. Таким образом, мы должны решить неравенство: $2x - 4 > 0$

Решаем это линейное неравенство: $2x > 4$ $x > \frac{4}{2}$ $x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) sin 3 · cos 5 · (x² - 4) < 0.

Это неравенство вида $k \cdot (x^2 - 4) < 0$, где $k = sin3 \cdot cos5$ — постоянный коэффициент. Определим знак этого коэффициента, найдя знаки каждого из множителей. Аргументы тригонометрических функций заданы в радианах.

Определим знак $sin3$: Поскольку $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $). Синус во второй четверти положителен, поэтому $sin3 > 0$.

Определим знак $cos5$: Поскольку $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, то угол в 5 радиан находится в четвертой координатной четверти ($ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $). Косинус в четвертой четверти положителен, поэтому $cos5 > 0$.

Коэффициент $k = sin3 \cdot cos5$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, он положителен: $k > 0$.

Поскольку мы делим обе части исходного неравенства на положительное число $k$, знак неравенства не меняется: $x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) < 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

32.16. Найдите знак выражения:

1) $\tan 2 \cdot \cot 2 + 3\cos^2\pi - \sin^2 15 - \cos^2 15;$

2) $\sin 215^\circ \cdot \sin 4 \cdot \cos 2;$

3) $\cos 1 \cdot \cos(1+ \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ;$

4) $\sin(-5) \cdot \sin 4 \cdot \cos 2.$

1) $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + 3\cos^2\pi - \sin^215 - \cos^215$

Для нахождения знака выражения проанализируем каждое слагаемое.

Первое слагаемое: произведение тангенса и котангенса одного и того же угла. По определению, $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$, поэтому $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 = 1$ (при условии, что $\text{tg}2$ и $\text{ctg}2$ определены, что верно для угла в 2 радиана).

Второе слагаемое: $3\cos^2\pi$. Мы знаем, что $\cos\pi = -1$. Тогда $\cos^2\pi = (-1)^2 = 1$. Следовательно, $3\cos^2\pi = 3 \cdot 1 = 3$.

Третье и четвертое слагаемые: $-\sin^215 - \cos^215$. Вынесем минус за скобки: $-(\sin^215 + \cos^215)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для любого угла $\alpha$. Таким образом, $-(\sin^215 + \cos^215) = -1$.

Сложим все части: $1 + 3 - 1 = 3$.

Результат равен 3, что является положительным числом.

Ответ: плюс.

2) $\sin 215^{\circ} \cdot \sin 4 \cdot \cos 2$

Для нахождения знака произведения определим знак каждого множителя.

1. $\sin 215^{\circ}$: Угол $215^{\circ}$ находится в третьей четверти ($180^{\circ} < 215^{\circ} < 270^{\circ}$). Синус в третьей четверти отрицателен. Значит, $\sin 215^{\circ} < 0$.

2. $\sin 4$: Аргумент дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$). Угол в 4 радиана находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен. Значит, $\sin 4 < 0$.

3. $\cos 2$: Аргумент дан в радианах. $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$). Угол в 2 радиана находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен. Значит, $\cos 2 < 0$.

Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (-) = (-)$.

Произведение трех отрицательных чисел отрицательно.

Ответ: минус.

3) $\cos1 \cdot \cos(1+ \pi) + \sin60^{\circ} - \cos30^{\circ}$

Рассмотрим обе части выражения.

Первая часть: $\cos1 \cdot \cos(1+ \pi)$. Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$. Тогда $\cos(1+\pi) = -\cos1$. Выражение принимает вид $\cos1 \cdot (-\cos1) = -\cos^21$. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\cos1 > 0$. Следовательно, $\cos^21 > 0$, а $-\cos^21 < 0$.

Вторая часть: $\sin60^{\circ} - \cos30^{\circ}$. Знаем табличные значения: $\sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\sin60^{\circ} - \cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Сложим обе части: $-\cos^21 + 0 = -\cos^21$.

Так как $\cos1 \neq 0$, то $\cos^21$ — строго положительное число. Значит, $-\cos^21$ — строго отрицательное число.

Ответ: минус.

4) $\sin(-5) \cdot \sin4 \cdot \cos2$

Для нахождения знака произведения определим знак каждого множителя. Все углы даны в радианах.

1. $\sin(-5)$: Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-5) = -\sin5$. Определим четверть для угла в 5 радиан. $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$). Угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен ($\sin5 < 0$). Таким образом, $\sin(-5) = -\sin5 = -(\text{отрицательное число}) > 0$.

2. $\sin4$: Как мы определили в пункте 2, угол в 4 радиана находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin4 < 0$.

3. $\cos2$: Как мы определили в пункте 2, угол в 2 радиана находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos2 < 0$.

Теперь перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (+) = (+)$.

Произведение положительного и двух отрицательных чисел положительно.

Ответ: плюс.