Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Как построили график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } -4 \le x \le -1, \\ x+3, & \text{если } -1 < x < 2, \\ 4x - x^2, & \text{если } 2 \le x \le 4? \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо последовательно построить график для каждого из трех интервалов, на которых она определена. График итоговой функции $y = f(x)$ будет объединением этих трех частей.

$-\frac{2}{x}$, если $-4 \le x \le -1$

На этом промежутке мы строим график функции $y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях, так как коэффициент перед дробью отрицательный. Нам нужна только та часть графика, которая соответствует отрезку $x \in [-4, -1]$.

Для построения найдем значения функции на концах отрезка:

• Если $x = -4$, то $y = -\frac{2}{-4} = 0.5$. Координаты точки $(-4; 0.5)$.

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Координаты точки $(-1; 2)$.

Поскольку неравенства нестрогие ($\le$), обе эти точки будут закрашенными и принадлежать графику.

Можно найти еще одну промежуточную точку для большей точности, например, $x = -2$, тогда $y = -\frac{2}{-2} = 1$. Точка $(-2; 1)$.

Соединяем полученные точки плавной кривой, являющейся частью гиперболы.

Ответ: На отрезке $[-4, -1]$ график представляет собой кривую (часть гиперболы), проходящую через точки $(-4; 0.5)$, $(-2; 1)$ и $(-1; 2)$.

$x+3$, если $-1 < x < 2$

На этом интервале мы строим график функции $y = x+3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения отрезка прямой достаточно найти координаты его концов.

• При $x \to -1$, $y \to -1+3=2$. Координаты точки $(-1; 2)$.

• При $x \to 2$, $y \to 2+3=5$. Координаты точки $(2; 5)$.

Поскольку неравенства строгие ($<$), обе эти точки будут "выколотыми" (незакрашенными кружками). Однако, точка $(-1; 2)$ совпадает с конечной точкой предыдущего участка, поэтому в этой точке разрыва не будет, она "закрашивается" значением из первого интервала.

Соединяем выколотые точки $(-1; 2)$ и $(2; 5)$ отрезком прямой.

Ответ: На интервале $(-1, 2)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(-1; 2)$ и выколотую точку $(2; 5)$.

$4x-x^2$, если $2 \le x \le 4$

На этом отрезке мы строим график функции $y = 4x-x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Найдем $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в функцию: $y_0 = 4(2) - (2)^2 = 8-4=4$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 4)$. Эта точка является началом нашего отрезка $x \in [2, 4]$.

Теперь найдем значение функции на другом конце отрезка:

• Если $x = 4$, то $y = 4(4) - (4)^2 = 16-16=0$. Координаты точки $(4; 0)$.

Так как неравенства нестрогие ($\le$), обе точки, $(2; 4)$ и $(4; 0)$, будут закрашенными. Заметим, что в точке $x=2$ происходит разрыв (скачок): значение функции "перепрыгивает" с выколотой точки $(2; 5)$ на закрашенную точку $(2; 4)$.

Соединяем вершину $(2; 4)$ и точку $(4; 0)$ дугой параболы.

Ответ: На отрезке $[2, 4]$ график представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(2; 4)$, идущую до точки $(4; 0)$.

Объединив все три части на одной координатной плоскости, мы получаем полный график функции $y=f(x)$.