Страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

38. Найдите значение суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:

1) $ \sqrt{3}; -1; \frac{1}{\sqrt{3}}; \dots $

2) $ \sqrt{2}+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)+\dots $

1) Это бесконечная геометрическая прогрессия. Найдем её первый член и знаменатель.Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$.Второй член прогрессии $b_2 = -1$.Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии существует, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.Проверим это условие: $|q| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие выполняется.Сумма $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.Подставим наши значения:$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$.Упростим выражение, приведя знаменатель к общему знаменателю:$S = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1}$.Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:$S = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}$.Ответ: $\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}$.

2) Данная сумма является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии.Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{2}$.Второй член прогрессии $b_2 = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.Найдем знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$.Проверим условие сходимости $|q| < 1$:$|q| = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$. Так как $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, то $0.4 < \sqrt{2} - 1 < 0.5$, следовательно, $|q| < 1$.Сумма $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.Подставим значения $b_1$ и $q$:$S = \frac{\sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:$S = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$.Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

39. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую дробь:

1) $2,(31)$;

2) $0,(103)$;

3) $2,3(41)$;

4) $45,0(23)$.

1) 2,(31)

Чтобы представить число $2,(31)$ в виде обыкновенной дроби, сначала выделим целую и дробную части: $2,(31) = 2 + 0,(31)$.

Теперь преобразуем периодическую дробь $0,(31)$ в обыкновенную. Обозначим $x = 0,(31)$. Это означает, что $x = 0,313131...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:

$100x = 31,313131...$

Теперь вычтем из этого равенства исходное ($x = 0,313131...$):

$100x - x = 31,313131... - 0,313131...$

$99x = 31$

$x = \frac{31}{99}$

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$2,(31) = 2 + \frac{31}{99} = \frac{2 \cdot 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{198 + 31}{99} = \frac{229}{99}$

Ответ: $\frac{229}{99}$

2) 0,(103)

Обозначим данную чистую периодическую дробь как $x = 0,(103)$, то есть $x = 0,103103103...$

В периоде содержится три цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^3 = 1000$:

$1000x = 103,103103...$

Вычтем из полученного равенства исходное ($x = 0,103103...$):

$1000x - x = 103,103103... - 0,103103...$

$999x = 103$

$x = \frac{103}{999}$

Ответ: $\frac{103}{999}$

3) 2,3(41)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим ее как $x = 2,3(41)$, то есть $x = 2,3414141...$

Чтобы избавиться от периодической части, сначала умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась после первого периода. В периоде две цифры, а до него одна. Значит, умножаем на $10^{1+2} = 1000$:

$1000x = 2341,4141...$

Теперь умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась перед периодом. До периода одна цифра, значит, умножаем на $10^1 = 10$:

$10x = 23,4141...$

Вычтем второе уравнение из первого:

$1000x - 10x = 2341,4141... - 23,4141...$

$990x = 2318$

$x = \frac{2318}{990}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{1159}{495}$

Ответ: $\frac{1159}{495}$

4) 45,0(23)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим ее как $x = 45,0(23)$, то есть $x = 45,0232323...$

Умножим $x$ на $10^3 = 1000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период:

$1000x = 45023,2323...$

Умножим $x$ на $10^1 = 10$, чтобы сдвинуть запятую перед периодом:

$10x = 450,2323...$

Вычтем второе уравнение из первого:

$1000x - 10x = 45023,2323... - 450,2323...$

$990x = 45023 - 450$

$990x = 44573$

$x = \frac{44573}{990}$

Дробь является несократимой, так как числитель 44573 не делится на простые множители знаменателя 990 (2, 3, 5, 11).

Ответ: $\frac{44573}{990}$

40. Найдите значение числового выражения:

1) $cos30^{\circ} - sin60^{\circ} + ctg45^{\circ} - tg60^{\circ}$;

2) $sin210^{\circ} - cos240^{\circ} - ctg30^{\circ} - tg135^{\circ}$;

3) $cos45^{\circ} - tg45^{\circ} - sin135^{\circ} - ctg135^{\circ}$;

4) $sin360^{\circ} - cos30^{\circ} + tg210^{\circ} - ctg60^{\circ}$;

5) $- 2cos720^{\circ} + tg30^{\circ} - ctg210^{\circ} + sin120^{\circ}$;

6) $tg0^{\circ} - 2ctg90^{\circ} - sin0^{\circ} - 3cos90^{\circ}$.

1) Вычислим значение выражения $cos30^\circ - sin60^\circ + ctg45^\circ - tg60^\circ$.

Для этого подставим табличные значения тригонометрических функций:

$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$ctg45^\circ = 1$

$tg60^\circ = \sqrt{3}$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \sqrt{3} = 0 + 1 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

2) Вычислим значение выражения $sin210^\circ - cos240^\circ - ctg30^\circ - tg135^\circ$.

Используем формулы приведения для углов, больших $90^\circ$ и табличные значения:

$sin210^\circ = sin(180^\circ + 30^\circ) = -sin30^\circ = -\frac{1}{2}$

$cos240^\circ = cos(180^\circ + 60^\circ) = -cos60^\circ = -\frac{1}{2}$

$ctg30^\circ = \sqrt{3}$

$tg135^\circ = tg(180^\circ - 45^\circ) = -tg45^\circ = -1$

Подставляем значения в выражение:

$-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) - \sqrt{3} - (-1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{3} + 1 = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

3) Вычислим значение выражения $cos45^\circ - tg45^\circ - sin135^\circ - ctg135^\circ$.

Используем табличные значения и формулы приведения:

$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg45^\circ = 1$

$sin135^\circ = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg135^\circ = ctg(180^\circ - 45^\circ) = -ctg45^\circ = -1$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 0$.

Ответ: $0$.

4) Вычислим значение выражения $sin360^\circ - cos30^\circ + tg210^\circ - ctg60^\circ$.

Используем табличные значения и формулы приведения:

$sin360^\circ = 0$

$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg210^\circ = tg(180^\circ + 30^\circ) = tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставляем значения в выражение:

$0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5) Вычислим значение выражения $-2cos720^\circ + tg30^\circ - ctg210^\circ + sin120^\circ$.

Используем периодичность тригонометрических функций и формулы приведения:

$cos720^\circ = cos(2 \cdot 360^\circ + 0^\circ) = cos0^\circ = 1$

$tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg210^\circ = ctg(180^\circ + 30^\circ) = ctg30^\circ = \sqrt{3}$

$sin120^\circ = sin(180^\circ - 60^\circ) = sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в выражение:

$-2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 + \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} = -2 + \frac{2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = -2 - \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-2 - \frac{\sqrt{3}}{6}$.

6) Вычислим значение выражения $tg0^\circ - 2ctg90^\circ - sin0^\circ - 3cos90^\circ$.

Подставим табличные значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$ и $90^\circ$:

$tg0^\circ = 0$

$ctg90^\circ = 0$

$sin0^\circ = 0$

$cos90^\circ = 0$

Подставляем значения в выражение:

$0 - 2 \cdot 0 - 0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 - 0 - 0 = 0$.

Ответ: $0$.

41. Вычислите:

1) $2\sin\frac{\pi}{6} - 4\cos\frac{\pi}{6} + \text{tg}\frac{\pi}{6} - 4\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$;

2) $-3\cos\frac{\pi}{2} + 7\sin\frac{\pi}{2} - 3\text{ctg}\frac{5\pi}{4} - 5\text{tg}0^\circ$;

3) $\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\cdot\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 11\text{ctg}\frac{9\pi}{4}$;

4) $\text{ctg}\frac{\pi}{2} - 5\sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{6}$.

42. Найдите

1) Для вычисления значения выражения $2\sin\frac{\pi}{6} - 4\cos\frac{\pi}{6} + \tg\frac{\pi}{6} - 4\ctg\frac{4\pi}{3}$ сначала найдем значения каждой тригонометрической функции.

Используем табличные значения для углов $\frac{\pi}{6}$:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Для угла $\frac{4\pi}{3}$ используем формулы приведения:

$ \ctg\frac{4\pi}{3} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} $

Сгруппируем слагаемые:

$ 1 - 2\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = 1 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 1 - 3\sqrt{3} $

Ответ: $1 - 3\sqrt{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $-3\cos\frac{\pi}{2} + 7\sin\frac{\pi}{2} - 3\ctg\frac{5\pi}{4} - 5\tg0^\circ$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения и свойства функций:

$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $

$ \ctg\frac{5\pi}{4} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

$ \tg0^\circ = 0 $

Подставим значения в выражение:

$ -3 \cdot 0 + 7 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0 = 0 + 7 - 3 - 0 = 4 $

Ответ: 4.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \cdot \ctg\frac{\pi}{3} - 11\ctg\frac{9\pi}{4}$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения и свойства периодичности:

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{9\pi}{4} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

Подставим значения в выражение:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 11 \cdot 1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{3} - 11 $

$ = \frac{3}{2} + 1 - 11 = \frac{3}{2} - 10 = \frac{3}{2} - \frac{20}{2} = -\frac{17}{2} $

Ответ: $-\frac{17}{2}$.

4) Для вычисления значения выражения $\ctg\frac{\pi}{2} - 5\sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6}$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения:

$ \ctg\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 0 - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приведем слагаемые с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю:

$ 3 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 - \left(\frac{3 \cdot 5\sqrt{3}}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \left(\frac{15\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $3 - \frac{17\sqrt{3}}{6}$.

42. Найдите:

1) $\cos\alpha, \sin2\alpha, \cos2\alpha$, если $\sin\alpha = 0,4$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

2) $\sin\alpha, \cot\alpha, \tan2\alpha$, если $\cos\alpha = -0,6$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$;

3) $\cos\alpha, \sin\alpha, \cos2\alpha$, если $\tan\alpha = \sqrt{8}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

1) cosα, sin2α, cos2α, если sinα = 0,4 и 90° < α < 180°

1. Найдём $cosα$ из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$.

$cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - (0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84$.

$cosα = \pm\sqrt{0,84} = \pm\sqrt{\frac{84}{100}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{21}}{10} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Поскольку угол $α$ находится во второй четверти ($90° < α < 180°$), его косинус отрицателен. Следовательно, $cosα = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

2. Теперь найдём $sin2α$ по формуле синуса двойного угла: $sin2α = 2sinαcosα$.

$sin2α = 2 \cdot 0,4 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

3. Найдём $cos2α$ по формуле косинуса двойного угла: $cos2α = 1 - 2sin^2α$.

$cos2α = 1 - 2 \cdot (0,4)^2 = 1 - 2 \cdot 0,16 = 1 - 0,32 = 0,68$.

Ответ: $cosα = -\frac{\sqrt{21}}{5}$, $sin2α = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$, $cos2α = 0,68$.

2) sinα, ctgα, tg2α, если cosα = -0,6 и 180° < α < 270°

1. Найдём $sinα$ из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$.

$sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

$sinα = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.

Поскольку угол $α$ находится в третьей четверти ($180° < α < 270°$), его синус отрицателен. Следовательно, $sinα = -0,8$.

2. Найдём $ctgα$ по определению: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$.

$ctgα = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.

3. Для нахождения $tg2α$ сначала найдём $tgα$: $tgα = \frac{1}{ctgα} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $tg2α = \frac{2tgα}{1 - tg^2α}$.

$tg2α = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $sinα = -0,8$, $ctgα = 0,75$, $tg2α = -\frac{24}{7}$.

3) cosα, sinα, cos2α, если tgα = √8 и 180° < α < 270°

1. Найдём $cosα$ из тождества $1 + tg^2α = \frac{1}{cos^2α}$.

$cos^2α = \frac{1}{1 + tg^2α} = \frac{1}{1 + (\sqrt{8})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$.

$cosα = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$.

Поскольку угол $α$ находится в третьей четверти ($180° < α < 270°$), его косинус отрицателен. Следовательно, $cosα = -\frac{1}{3}$.

2. Найдём $sinα$ из определения тангенса: $sinα = tgα \cdot cosα$.

$sinα = \sqrt{8} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. Найдём $cos2α$, используя формулу $cos2α = \frac{1 - tg^2α}{1 + tg^2α}$.

$cos2α = \frac{1 - (\sqrt{8})^2}{1 + (\sqrt{8})^2} = \frac{1 - 8}{1 + 8} = -\frac{7}{9}$.

(Также можно было использовать формулу $cos2α = cos^2α - sin^2α = (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9}$).

Ответ: $cosα = -\frac{1}{3}$, $sinα = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $cos2α = -\frac{7}{9}$.

43. Найдите:

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{7}{9}$, и $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$;

2) $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

1) Дано: $\cos\alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Сначала найдем $\sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81}$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то $\sin\alpha > 0$.

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Теперь найдем значения для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$. Поскольку $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ также находится в первой четверти, и его синус и косинус будут положительными.

Используем формулы понижения степени (формулы половинного угла):

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

2) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Сначала найдем $\cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то $\cos\alpha < 0$.

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Теперь найдем значения для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$. Поскольку $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и его синус и косинус будут положительными.

Используем формулы половинного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{7}}{3})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{\frac{3+\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{7}}{6}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}}{6}}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{7}}{3})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{\frac{3-\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{3-\sqrt{7}}{6}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}}{6}}$.

Наконец, найдем $\tan\alpha$ по определению $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{2}\sqrt{7}}{7} = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}}{6}}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}}{6}}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

44. Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, $\sin(\alpha - \beta)$, $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$, если $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\sin\beta = \frac{1}{8}$ и $\alpha, \beta \in \text{I четверти}.

Поскольку углы $ \alpha $ и $ \beta $ принадлежат I четверти, их синусы, косинусы и тангенсы являются положительными величинами. Для решения задачи нам понадобятся значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $.

1. Найдем $ \sin\alpha $.

Известно, что $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{16-15}{16} = \frac{1}{16} $.

Так как $ \alpha $ в I четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} $.

2. Найдем $ \cos\beta $.

Известно, что $ \sin\beta = \frac{1}{8} $.

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64-1}{64} = \frac{63}{64} $.

Так как $ \beta $ в I четверти, $ \cos\beta > 0 $, поэтому $ \cos\beta = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

Теперь, имея все необходимые значения, можем вычислить требуемые выражения.

$ \cos(\alpha + \beta) $

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставляем найденные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{15 \cdot 7}}{32} - \frac{1}{32} = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $

$ \sin(\alpha - \beta) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Подставляем найденные значения:

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} - \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{32} - \frac{\sqrt{15}}{32} = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $

$ \tg(\alpha + \beta) $

Используем формулу $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} $.

Мы уже нашли $ \cos(\alpha + \beta) = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Найдем $ \sin(\alpha + \beta) $ по формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{32} $.

Теперь вычислим тангенс:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{32}}{\frac{3\sqrt{105} - 1}{32}} = \frac{3\sqrt{7} + \sqrt{15}}{3\sqrt{105} - 1} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3\sqrt{105} + 1) $:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{(3\sqrt{7} + \sqrt{15})(3\sqrt{105} + 1)}{(3\sqrt{105} - 1)(3\sqrt{105} + 1)} = \frac{9\sqrt{7 \cdot 105} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{15 \cdot 105} + \sqrt{15}}{(3\sqrt{105})^2 - 1^2} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ 9\sqrt{735} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{1575} + \sqrt{15} = 9\sqrt{49 \cdot 15} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{225 \cdot 7} + \sqrt{15} = 9 \cdot 7\sqrt{15} + 3\sqrt{7} + 3 \cdot 15\sqrt{7} + \sqrt{15} = 63\sqrt{15} + 3\sqrt{7} + 45\sqrt{7} + \sqrt{15} = 64\sqrt{15} + 48\sqrt{7} $.

Знаменатель равен: $ 9 \cdot 105 - 1 = 945 - 1 = 944 $.

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{64\sqrt{15} + 48\sqrt{7}}{944} $.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 16:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{16(4\sqrt{15} + 3\sqrt{7})}{16 \cdot 59} = \frac{4\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{59} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{59} $

45. Найдите $ \cos(\alpha - \beta) $, $ \sin(\alpha + \beta) $, $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{6}{7} $, $ \sin\beta = \frac{7}{8} $ и $ \alpha, \beta \in \text{I} $ четверти.

Поскольку углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в I четверти, их синусы и косинусы положительны. Нам даны значения синусов, найдем значения косинусов, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, откуда $ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2x} $ для углов в I четверти.

Для угла $ \alpha $:

$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{6}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49-36}{49}} = \sqrt{\frac{13}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7} $.

Для угла $ \beta $:

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{64-49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8} $.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{13 \cdot 15}}{56} + \frac{42}{56} = \frac{\sqrt{195} + 42}{56} $.

Ответ: $ \frac{42 + \sqrt{195}}{56} $.

sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} + \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56} $.

Ответ: $ \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56} $.

tg(α - β)

Используем формулу тангенса разности: $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $. Мы уже нашли $ \cos(\alpha - \beta) $. Найдем $ \sin(\alpha - \beta) $.

Формула синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} - \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56} $.

Теперь найдем тангенс:

$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}}{\frac{42 + \sqrt{195}}{56}} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}} $.

Ответ: $ \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}} $.

46. Вычислите:

1) $ \frac{2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ}{2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ} $;

2) $ \frac{\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}}{3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ} $;

3) $ \frac{\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ} $;

4) $ \frac{\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}}{5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}} $.

1) Для вычисления значения выражения $\frac{2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ}{2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ}$ необходимо подставить табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos60^\circ = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\operatorname{tg}60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$2\sin\frac{\pi}{6} + \cos60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\sqrt{3} - 3}{\frac{3}{2}} = (\sqrt{3} - 3) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 6}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 6}{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}}{3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\operatorname{ctg}30^\circ = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}45^\circ = 1$

$\cos0^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}30^\circ - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - \frac{2}{2} = 3 - 1 = 2$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$3\operatorname{tg}45^\circ - 2\cos0^\circ = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

3) Для вычисления значения выражения $\frac{\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\operatorname{tg}30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{2} = \sin90^\circ = 1$

$\operatorname{ctg}45^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\operatorname{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$\sin\frac{\pi}{2} - 4\operatorname{ctg}45^\circ = 1 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{-3} = \frac{5\sqrt{3}}{6 \cdot (-3)} = -\frac{5\sqrt{3}}{18}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{18}$.

4) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}}{5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}}$ подставим табличные значения тригонометрических функций.

Нам известны следующие значения:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \operatorname{tg}45^\circ = 1$

$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = \operatorname{ctg}45^\circ = 1$

Подставим эти значения в числитель выражения:

$\sqrt{2}\sin45^\circ + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Теперь подставим значения в знаменатель:

$5\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 5 - 4 = 1$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

31.2. При каких значениях параметра p многочлен $(p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6:$

1) является приведенным многочленом;

2) является многочленом четвертой степени;

3) является многочленом третьей степени;

4) принимает одинаковые значения в точках $x = -1$ и $x = 1$?

1) является приведенным многочленом;

Приведенным называется многочлен, у которого коэффициент при старшей степени равен 1.

Пусть данный многочлен $P(x) = (p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6$.

Если степень многочлена равна 4 (то есть коэффициент при $x^4$ не равен нулю, $p^2 - 4 \neq 0$), то старшим является член $(p^2 - 4)x^4$. Чтобы многочлен был приведенным, коэффициент при нем должен быть равен 1.

$p^2 - 4 = 1$

$p^2 = 5$

$p = \sqrt{5}$ или $p = -\sqrt{5}$.

При этих значениях $p$ условие $p^2 - 4 \neq 0$ выполняется, так как $1 \neq 0$.

Если степень многочлена ниже четвертой, то коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$p^2 - 4 = 0$, откуда $p = 2$ или $p = -2$.

В этом случае многочлен принимает вид $P(x) = -2x^3 + (2p - 1)x - 6$. Его старший член равен $-2x^3$, а коэффициент при нем равен -2, что не равно 1. Следовательно, в этом случае многочлен не является приведенным.

Таким образом, единственные подходящие значения параметра $p$ это $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$.

Ответ: $p = \pm\sqrt{5}$.

2) является многочленом четвертой степени;

Многочлен является многочленом четвертой степени, если коэффициент при $x^4$ не равен нулю.

Коэффициент при $x^4$ в данном многочлене равен $(p^2 - 4)$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$p^2 - 4 \neq 0$

$p^2 \neq 4$

$p \neq 2$ и $p \neq -2$.

Ответ: $p \neq \pm2$.

3) является многочленом третьей степени;

Многочлен является многочленом третьей степени, если коэффициент при $x^4$ равен нулю, а коэффициент при $x^3$ не равен нулю.

Приравняем коэффициент при $x^4$ к нулю:

$p^2 - 4 = 0$

$p^2 = 4$

$p = 2$ или $p = -2$.

При этих значениях $p$ член с $x^4$ обнуляется, и многочлен принимает вид $P(x) = -2x^3 + (2p - 1)x - 6$.

Коэффициент при $x^3$ равен -2. Так как $-2 \neq 0$, то при $p = 2$ и $p = -2$ многочлен будет иметь третью степень.

Ответ: $p = \pm2$.

4) принимает одинаковые значения в точках x = -1 и x = 1?

Найдем значения многочлена $P(x) = (p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6$ в точках $x = 1$ и $x = -1$ и приравняем их.

При $x = 1$:

$P(1) = (p^2 - 4)(1)^4 - 2(1)^3 + (2p - 1)(1) - 6 = p^2 - 4 - 2 + 2p - 1 - 6 = p^2 + 2p - 13$.

При $x = -1$:

$P(-1) = (p^2 - 4)(-1)^4 - 2(-1)^3 + (2p - 1)(-1) - 6 = (p^2 - 4)(1) - 2(-1) - (2p - 1) - 6 = p^2 - 4 + 2 - 2p + 1 - 6 = p^2 - 2p - 7$.

Приравняем $P(1)$ и $P(-1)$:

$p^2 + 2p - 13 = p^2 - 2p - 7$

$2p - 13 = -2p - 7$

$4p = 6$

$p = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $p = \frac{3}{2}$.

31.3. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых тождественно равны многочлены $f(x)$ и $h(x):$

1) $f(x) = 2ax - (a + 1)$ и $h(x) = 4x + (3b - a + 11);$

2) $f(x) = 3ax - 3a - 2$ и $h(x) = 9x + (2b - 2a + 9);$

3) $f(x) = ax - 3a + 5$ и $h(x) = -x + (a - 2b + 3);$

4) $f(x) = -ax - 2a - 2$ и $h(x) = 5x + (2b - a + 4).$

Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ у этих многочленов были равны. Во всех случаях мы имеем дело с линейными функциями вида $y = kx + m$. Таким образом, мы должны приравнять коэффициенты при $x$ (угловые коэффициенты) и свободные члены (константы).

1) Даны многочлены $f(x) = 2ax - (a + 1)$ и $h(x) = 4x + (3b - a + 11)$.

Приравниваем коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$\begin{cases} 2a = 4 \\ -(a + 1) = 3b - a + 11 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим значение $a$:

$2a = 4 \implies a = 2$.

Подставляем найденное значение $a=2$ во второе уравнение:

$-(2 + 1) = 3b - 2 + 11$

$-3 = 3b + 9$

$3b = -3 - 9$

$3b = -12$

$b = -4$

Ответ: $a = 2, b = -4$.

2) Даны многочлены $f(x) = 3ax - 3a - 2$ и $h(x) = 9x + (2b - 2a + 9)$.

Составляем систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты:

$\begin{cases} 3a = 9 \\ -3a - 2 = 2b - 2a + 9 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $a$:

$3a = 9 \implies a = 3$.

Подставляем $a=3$ во второе уравнение:

$-3(3) - 2 = 2b - 2(3) + 9$

$-9 - 2 = 2b - 6 + 9$

$-11 = 2b + 3$

$2b = -11 - 3$

$2b = -14$

$b = -7$

Ответ: $a = 3, b = -7$.

3) Даны многочлены $f(x) = ax - 3a + 5$ и $h(x) = -x + (a - 2b + 3)$.

Приравниваем коэффициенты (коэффициент при $-x$ равен $-1$):

$\begin{cases} a = -1 \\ -3a + 5 = a - 2b + 3 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $a = -1$.

Подставляем это значение во второе уравнение:

$-3(-1) + 5 = (-1) - 2b + 3$

$3 + 5 = 2 - 2b$

$8 = 2 - 2b$

$2b = 2 - 8$

$2b = -6$

$b = -3$

Ответ: $a = -1, b = -3$.

4) Даны многочлены $f(x) = -ax - 2a - 2$ и $h(x) = 5x + (2b - a + 4)$.

Составляем систему уравнений:

$\begin{cases} -a = 5 \\ -2a - 2 = 2b - a + 4 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $a$:

$-a = 5 \implies a = -5$.

Подставляем $a=-5$ во второе уравнение:

$-2(-5) - 2 = 2b - (-5) + 4$

$10 - 2 = 2b + 5 + 4$

$8 = 2b + 9$

$2b = 8 - 9$

$2b = -1$

$b = -1/2$

Ответ: $a = -5, b = -1/2$.

31.4. Выполните деление “уголком” многочлена:

1) $x^3 - 2x^2 - 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1;$

2) $2x^3 - 2x^2 + x + 3$ на многочлен $x^2 - 3x - 4;$

3) $x^5 - 3x^3 - x + 2$ на многочлен $x - 2;$

4) $6x^4 - 2x + 3$ на многочлен $2x + 3.$

1) Выполним деление многочлена $x^3 - 2x^2 - 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1$ столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $x$. Умножаем $x$ на делитель $(x^2 - 3x - 1)$ и вычитаем результат из делимого:

$(x^3 - 2x^2 - 3x - 5) - (x \cdot (x^2 - 3x - 1)) = (x^3 - 2x^2 - 3x - 5) - (x^3 - 3x^2 - x) = x^2 - 2x - 5$.

Шаг 2: Делим старший член полученного многочлена ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $1$. Умножаем $1$ на делитель и вычитаем результат из многочлена, полученного на предыдущем шаге:

$(x^2 - 2x - 5) - (1 \cdot (x^2 - 3x - 1)) = (x^2 - 2x - 5) - (x^2 - 3x - 1) = x - 4$.

Степень остатка ($x - 4$) меньше степени делителя, поэтому деление завершено. Частное равно $x + 1$.

Ответ: частное $x + 1$, остаток $x - 4$.

2) Выполним деление многочлена $2x^3 - 2x^2 + x + 3$ на многочлен $x^2 - 3x - 4$ столбиком.

Шаг 1: Делим $2x^3$ на $x^2$, получаем $2x$. Умножаем $2x$ на $(x^2 - 3x - 4)$ и вычитаем из делимого:

$(2x^3 - 2x^2 + x + 3) - (2x \cdot (x^2 - 3x - 4)) = (2x^3 - 2x^2 + x + 3) - (2x^3 - 6x^2 - 8x) = 4x^2 + 9x + 3$.

Шаг 2: Делим $4x^2$ на $x^2$, получаем $4$. Умножаем $4$ на $(x^2 - 3x - 4)$ и вычитаем из результата предыдущего шага:

$(4x^2 + 9x + 3) - (4 \cdot (x^2 - 3x - 4)) = (4x^2 + 9x + 3) - (4x^2 - 12x - 16) = 21x + 19$.

Степень остатка ($21x + 19$) меньше степени делителя, деление завершено. Частное равно $2x + 4$.

Ответ: частное $2x + 4$, остаток $21x + 19$.

3) Выполним деление многочлена $x^5 - 3x^3 - x + 2$ на многочлен $x - 2$. Для удобства запишем делимое, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $x^5 + 0x^4 - 3x^3 + 0x^2 - x + 2$.

Шаг 1: Делим $x^5$ на $x$, получаем $x^4$. Умножаем $x^4$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(x^5 + 0x^4) - (x^5 - 2x^4) = 2x^4$. Сносим следующий член, получаем $2x^4 - 3x^3$.

Шаг 2: Делим $2x^4$ на $x$, получаем $2x^3$. Умножаем $2x^3$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(2x^4 - 3x^3) - (2x^4 - 4x^3) = x^3$. Сносим следующий член, получаем $x^3 + 0x^2$.

Шаг 3: Делим $x^3$ на $x$, получаем $x^2$. Умножаем $x^2$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(x^3 + 0x^2) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2$. Сносим следующий член, получаем $2x^2 - x$.

Шаг 4: Делим $2x^2$ на $x$, получаем $2x$. Умножаем $2x$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(2x^2 - x) - (2x^2 - 4x) = 3x$. Сносим следующий член, получаем $3x + 2$.

Шаг 5: Делим $3x$ на $x$, получаем $3$. Умножаем $3$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(3x + 2) - (3x - 6) = 8$.

Остаток равен 8. Частное равно $x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 3$.

Ответ: частное $x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 3$, остаток $8$.

4) Выполним деление многочлена $6x^4 - 2x + 3$ на многочлен $2x + 3$. Запишем делимое с нулевыми коэффициентами: $6x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x + 3$.

Шаг 1: Делим $6x^4$ на $2x$, получаем $3x^3$. Умножаем $3x^3$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(6x^4 + 0x^3) - (6x^4 + 9x^3) = -9x^3$. Сносим следующий член, получаем $-9x^3 + 0x^2$.

Шаг 2: Делим $-9x^3$ на $2x$, получаем $-\frac{9}{2}x^2$. Умножаем $-\frac{9}{2}x^2$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(-9x^3 + 0x^2) - (-9x^3 - \frac{27}{2}x^2) = \frac{27}{2}x^2$. Сносим следующий член, получаем $\frac{27}{2}x^2 - 2x$.

Шаг 3: Делим $\frac{27}{2}x^2$ на $2x$, получаем $\frac{27}{4}x$. Умножаем $\frac{27}{4}x$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(\frac{27}{2}x^2 - 2x) - (\frac{27}{2}x^2 + \frac{81}{4}x) = -2x - \frac{81}{4}x = -\frac{89}{4}x$. Сносим следующий член, получаем $-\frac{89}{4}x + 3$.

Шаг 4: Делим $-\frac{89}{4}x$ на $2x$, получаем $-\frac{89}{8}$. Умножаем $-\frac{89}{8}$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(-\frac{89}{4}x + 3) - (-\frac{89}{4}x - \frac{267}{8}) = 3 + \frac{267}{8} = \frac{24}{8} + \frac{267}{8} = \frac{291}{8}$.

Остаток равен $\frac{291}{8}$. Частное равно $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$.

Ответ: частное $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, остаток $\frac{291}{8}$.

31.5. Какие из следующих утверждений верны:

1) сумма двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$;

2) разность многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

3) произведение трех многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

4) произведение двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$?

1) сумма двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n

Это утверждение неверно. Степень суммы двух многочленов не превышает наибольшей из степеней слагаемых. Пусть даны два многочлена степени $n$: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$, где $a_n \neq 0$. $Q(x) = b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1} + \dots + b_0$, где $b_n \neq 0$. Их сумма $S(x) = P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 + b_0)$. Степень суммы $S(x)$ определяется коэффициентом при $x^n$. Если $a_n + b_n \neq 0$, то степень суммы будет равна $n$. Если же $a_n + b_n = 0$ (то есть $a_n = -b_n$), то старшие члены взаимно уничтожатся, и степень суммы будет меньше $n$. Например, сумма многочленов $P(x) = 2x^3 + 5x$ и $Q(x) = -2x^3 + x^2$ (оба третьей степени, $n=3$) равна $S(x) = x^2 + 5x$, что является многочленом второй степени. Степень суммы никогда не может быть $2n$.

Ответ: неверно.

2) разность многочленов степени n есть многочлен степени не выше n

Это утверждение верно. Аналогично сложению, рассмотрим разность двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. $D(x) = P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 - b_0)$. Степень разности $D(x)$ определяется коэффициентом $(a_n - b_n)$. Если $a_n - b_n \neq 0$, то степень разности равна $n$. Если $a_n - b_n = 0$ (то есть $a_n = b_n$), то старший член сокращается, и степень разности становится меньше $n$. В любом случае, степень результирующего многочлена не может превысить $n$. Таким образом, степень разности "не выше $n$".

Ответ: верно.

3) произведение трех многочленов степени n есть многочлен степени не выше n

Это утверждение неверно. При перемножении многочленов их степени складываются. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ — три многочлена степени $n$. Их старшие члены имеют вид $a_n x^n$, $b_n x^n$ и $c_n x^n$ соответственно, где $a_n, b_n, c_n \neq 0$. Старший член их произведения будет равен $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) \cdot (c_n x^n) = (a_n b_n c_n)x^{n+n+n} = (a_n b_n c_n)x^{3n}$. Поскольку произведение ненулевых коэффициентов $a_n b_n c_n$ также не равно нулю, степень произведения будет равна $3n$. Условие "не выше $n$" ($3n \le n$) выполняется только при $n=0$. Для любого натурального $n > 0$, $3n > n$. Например, произведение трех многочленов второй степени ($n=2$) будет многочленом степени $3 \cdot 2 = 6$, что больше 2.

Ответ: неверно.

4) произведение двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n

Это утверждение верно. Степень произведения двух многочленов равна сумме их степеней. Пусть $P(x)$ и $Q(x)$ — два многочлена степени $n$. Их старшие члены — $a_n x^n$ и $b_n x^n$, где $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$. Старший член произведения $P(x) \cdot Q(x)$ равен произведению их старших членов: $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = (a_n b_n) x^{n+n} = (a_n b_n) x^{2n}$. Так как $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю (в стандартных числовых полях, таких как поле действительных или комплексных чисел). Следовательно, степень произведения двух многочленов степени $n$ всегда равна $2n$.

Ответ: верно.

31.6. Заполните таблицу 17, если $f(x)$ и $h(x)$ многочлены:

Таблица 17

Для решения задачи воспользуемся следующими правилами для степеней многочленов. Пусть степень многочлена $f(x)$ равна $m$, а степень многочлена $h(x)$ равна $n$.

1. Степень суммы $(f(x) + h(x))$: если $m \neq n$, то степень суммы равна $\max(m, n)$. Если $m = n$, то степень суммы меньше или равна $m$ (она может быть меньше, если старшие члены многочленов взаимно уничтожаются).

2. Степень произведения $(f(x) \cdot h(x))$: степень произведения всегда равна сумме степеней, то есть $m + n$.

3. Степень квадрата $f^2(x)$: степень $f^2(x)$ равна удвоенной степени $f(x)$, то есть $2m$.

Теперь заполним таблицу по строкам.

Строка 1

Дано: Степень $f(x) = 4$, Степень $h(x) = 2$.

Решение:

Степень $(f(x) + h(x))$: Так как степени $f(x)$ и $h(x)$ не равны ($4 \neq 2$), степень их суммы равна максимальной из степеней: $\max(4, 2) = 4$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $4 + 2 = 6$.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 6$, Степень $f^2(x) = 8$.

Строка 2

Дано: Степень $h(x) = 5$, Степень $f^2(x) = 14$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $f^2(x) = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$. Следовательно, $14 = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$, откуда Степень $f(x) = 14 / 2 = 7$.

Степень $(f(x) + h(x))$: Теперь мы знаем, что Степень $f(x) = 7$ и Степень $h(x) = 5$. Так как $7 \neq 5$, степень суммы равна $\max(7, 5) = 7$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $7 + 5 = 12$.

Ответ: Степень $f(x) = 7$, Степень $(f(x) + h(x)) = 7$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 12$.

Строка 3

Дано: Степень $h(x) = 3$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 7$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $(f(x) \cdot h(x)) = (\text{Степень } f(x)) + (\text{Степень } h(x))$. Следовательно, $7 = (\text{Степень } f(x)) + 3$, откуда Степень $f(x) = 7 - 3 = 4$.

Степень $(f(x) + h(x))$: Теперь мы знаем, что Степень $f(x) = 4$ и Степень $h(x) = 3$. Так как $4 \neq 3$, степень суммы равна $\max(4, 3) = 4$.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: Степень $f(x) = 4$, Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $f^2(x) = 8$.

Строка 4

Дано: Степень $(f(x) + h(x)) = 2$, Степень $f^2(x) = 6$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $f^2(x) = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$. Следовательно, $6 = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$, откуда Степень $f(x) = 6 / 2 = 3$.

Степень $h(x)$: Мы знаем, что Степень $f(x) = 3$. Степень суммы $(f(x) + h(x))$ равна 2. Если бы степени $f(x)$ и $h(x)$ были различны, степень суммы была бы равна максимальной из них. Но равенство $\max(3, \text{Степень } h(x)) = 2$ невозможно. Это означает, что степени $f(x)$ и $h(x)$ должны быть равны, а старшие члены при сложении сократились. Следовательно, Степень $h(x) = \text{Степень } f(x) = 3$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: Степень $f(x) = 3$, Степень $h(x) = 3$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 6$.

Строка 5

Дано: Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 14$.

Решение:

Пусть Степень $f(x) = m$ и Степень $h(x) = n$. У нас есть система: $m + n = 14$ и Степень $(f(x) + h(x)) = 4$.

Если предположить, что $m \neq n$, то степень суммы была бы $\max(m, n) = 4$. Тогда одна из степеней (например, $m$) равна 4, а другая ($n$) меньше 4. Но из $m+n=14$ мы получили бы $n = 14 - 4 = 10$, что противоречит условию $n < 4$. Следовательно, это предположение неверно.

Значит, степени должны быть равны: $m = n$. В этом случае $m + n = 2m = 14$, откуда $m = 7$. Итак, Степень $f(x) = 7$ и Степень $h(x) = 7$. Степень их суммы равна 4 (что меньше 7), так как старшие члены сокращаются. Это не противоречит условиям.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: Степень $f(x) = 7$, Степень $h(x) = 7$, Степень $f^2(x) = 14$.

31.7. Докажите, что значение суммы всех коэффициентов многочлена $f(x)$ стандартного вида равно $f(1)$.

31.7.Пусть дан многочлен $f(x)$ стандартного вида степени $n$. Общий вид такого многочлена записывается как:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ являются его коэффициентами, а $x$ — переменная.

Сумма всех коэффициентов этого многочлена равна:

$S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 + a_0$

Теперь вычислим значение многочлена в точке $x=1$, то есть найдем $f(1)$. Для этого подставим $1$ вместо $x$ в уравнение многочлена:

$f(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + \dots + a_2 (1)^2 + a_1 (1) + a_0$

Так как число 1, возведенное в любую неотрицательную целую степень, равно 1 (то есть $1^k = 1$ для $k \ge 0$), выражение упрощается:

$f(1) = a_n \cdot 1 + a_{n-1} \cdot 1 + \dots + a_2 \cdot 1 + a_1 \cdot 1 + a_0$

В результате получаем:

$f(1) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 + a_0$

Сравнивая полученное выражение для $f(1)$ с выражением для суммы коэффициентов $S$, мы видим, что они полностью совпадают. Таким образом, мы доказали, что сумма всех коэффициентов многочлена $f(x)$ стандартного вида равна его значению в точке $x=1$.

Ответ: что и требовалось доказать.

31.8. Найдите все значения параметра $a$, при которых тождественно равны многочлены $f(x)$ и $h(x):$

1) $f(x) = (a^2 - 5)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и

$h(x) = 4x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - a - 4;$

2) $f(x) = (a^2 - 2)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 4$ и

$h(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 1)x - a - 6;$

3) $f(x) = (3 - a^2)x^5 - 2x^4 + (2a + 1)x + 3$ и

$h(x) = - x^5 - 2x^4 + (a - 1) x + a + 5;$

4) $f(x) = (a^2 - 2a)x^4 - 2x^2 + (3a - 2)x - 4 + a$ и

$h(x) = - x^4 - 2x^2 + (2a - 1)x - a - 2.$

1) Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 5)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и $h(x) = 4x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - a - 4$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

При $x^4$: $a^2 - 5 = 4$

При $x^3$: $-2 = -2$ (это верное равенство, не зависящее от $a$)

При $x$: $2a - 1 = -(a - 8)$

Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $-7 = -a - 4$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из уравнения $a^2 - 5 = 4$ следует, что $a^2 = 9$, то есть $a = 3$ или $a = -3$.

2) Из уравнения $2a - 1 = -(a - 8)$ следует, что $2a - 1 = -a + 8$, откуда $3a = 9$ и $a = 3$.

3) Из уравнения $-7 = -a - 4$ следует, что $a = 7 - 4$, то есть $a = 3$.

Все три уравнения выполняются одновременно только при $a = 3$.

Ответ: $a=3$.

2) Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 2)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 4$ и $h(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 1)x - a - 6$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^3$: $a^2 - 2 = 2$

При $x^2$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $2a + 1 = a - 1$

Свободные члены: $-4 = -a - 6$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $a^2 - 2 = 2$ получаем $a^2 = 4$, то есть $a = 2$ или $a = -2$.

2) Из $2a + 1 = a - 1$ получаем $a = -2$.

3) Из $-4 = -a - 6$ получаем $a = -6 + 4$, то есть $a = -2$.

Общим решением для всех уравнений является $a = -2$.

Ответ: $a=-2$.

3) Даны многочлены $f(x) = (3 - a^2)x^5 - 2x^4 + (2a + 1)x + 3$ и $h(x) = -x^5 - 2x^4 + (a - 1)x + a + 5$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^5$: $3 - a^2 = -1$

При $x^4$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $2a + 1 = a - 1$

Свободные члены: $3 = a + 5$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $3 - a^2 = -1$ получаем $a^2 = 4$, то есть $a = 2$ или $a = -2$.

2) Из $2a + 1 = a - 1$ получаем $a = -2$.

3) Из $3 = a + 5$ получаем $a = 3 - 5$, то есть $a = -2$.

Общим решением для всех уравнений является $a = -2$.

Ответ: $a=-2$.

4) Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 2a)x^4 - 2x^2 + (3a - 2)x - 4 + a$ и $h(x) = -x^4 - 2x^2 + (2a - 1)x - a - 2$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^4$: $a^2 - 2a = -1$

При $x^2$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $3a - 2 = 2a - 1$

Свободные члены: $-4 + a = -a - 2$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $a^2 - 2a = -1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = 0$, что равносильно $(a - 1)^2 = 0$. Отсюда $a = 1$.

2) Из $3a - 2 = 2a - 1$ получаем $a = 1$.

3) Из $-4 + a = -a - 2$ получаем $2a = 2$, то есть $a = 1$.

Единственное значение, удовлетворяющее всем уравнениям, это $a = 1$.

Ответ: $a=1$.