Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 5y^2 + 1 = 0, \\ 3xy + 7y^2 = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - 4xy + y^2 - 6 = 0, \\ 4+3xy-y^2 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\x^2 + y^2 = 20\end{cases}$

Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени. Разложим его левую часть на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{3y \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$

Отсюда получаем два случая:

$x_1 = \frac{3y+y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{3y-y}{2} = y$

Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x=y$ или $x=2y$.

Теперь рассмотрим два случая, подставляя эти выражения во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем в $x^2 + y^2 = 20$:

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20$

$y^2 = 10$

$y = \pm\sqrt{10}$

Если $y = \sqrt{10}$, то $x = \sqrt{10}$.

Если $y = -\sqrt{10}$, то $x = -\sqrt{10}$.

Получаем две пары решений: $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Случай 2: $x = 2y$

Подставляем в $x^2 + y^2 = 20$:

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Если $y = 2$, то $x = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y = -2$, то $x = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получаем еще две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Ответ: $(\sqrt{10}, \sqrt{10}), (-\sqrt{10}, -\sqrt{10}), (4, 2), (-4, -2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 5y^2 + 1 = 0 \\3xy + 7y^2 = 1\end{cases}$

Перепишем систему, выразив свободные члены:

$\begin{cases}x^2 - 5y^2 = -1 \\3xy + 7y^2 = 1\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от свободного члена:

$(x^2 - 5y^2) + (3xy + 7y^2) = -1 + 1$

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители (аналогично предыдущей задаче):

$(x+y)(x+2y) = 0$

Отсюда следует, что $x+y=0$ или $x+2y=0$. То есть $x=-y$ или $x=-2y$.

Рассмотрим два случая, подставляя эти выражения во второе исходное уравнение $3xy + 7y^2 = 1$.

Случай 1: $x = -y$

$3(-y)y + 7y^2 = 1$

$-3y^2 + 7y^2 = 1$

$4y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$

Если $y = \frac{1}{2}$, то $x = -\frac{1}{2}$.

Если $y = -\frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{2}$.

Получаем две пары решений: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Случай 2: $x = -2y$

$3(-2y)y + 7y^2 = 1$

$-6y^2 + 7y^2 = 1$

$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Если $y = 1$, то $x = -2$.

Если $y = -1$, то $x = 2$.

Получаем еще две пары решений: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 4xy + y^2 - 6 = 0 \\4 + 3xy - y^2 = 0\end{cases}$

Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:

$\begin{cases}x^2 - 4xy + y^2 = 6 \\3xy - y^2 = -4\end{cases}$

Чтобы получить однородное уравнение, избавимся от свободных членов. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 6, чтобы правые части стали $24$ и $-24$.

$\begin{cases}4(x^2 - 4xy + y^2) = 24 \\6(3xy - y^2) = -24\end{cases}$

$\begin{cases}4x^2 - 16xy + 4y^2 = 24 \\18xy - 6y^2 = -24\end{cases}$

Теперь сложим полученные уравнения:

$(4x^2 - 16xy + 4y^2) + (18xy - 6y^2) = 24 + (-24)$

$4x^2 + 2xy - 2y^2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2x^2 + xy - y^2 = 0$

Решим это однородное уравнение. Удобнее поменять знаки и рассматривать как квадратное относительно $y$:

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$

Разложим на множители:

$(y - 2x)(y + x) = 0$

Отсюда $y = 2x$ или $y = -x$.

Подставим эти соотношения в одно из исходных уравнений, например, в $3xy - y^2 = -4$.

Случай 1: $y = 2x$

$3x(2x) - (2x)^2 = -4$

$6x^2 - 4x^2 = -4$

$2x^2 = -4$

$x^2 = -2$

В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = -x$

$3x(-x) - (-x)^2 = -4$

$-3x^2 - x^2 = -4$

$-4x^2 = -4$

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Если $x = 1$, то $y = -1$.

Если $x = -1$, то $y = -(-1) = 1$.

Получаем две пары решений: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1), (-1, 1)$.

*13. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ |x| + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| + |y| = 3, \\ |x| + y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| + |y| = 2, \\ xy - 1 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} |x| + |y| = 5, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ |x| + y = 1 \end{cases} $Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - |x|$.Так как $y^2$ присутствует в первом уравнении, а $|x|$ во втором, и мы знаем, что $x^2 = |x|^2$, удобно сделать замену.Пусть $a = |x|$, где $a \ge 0$.Подставим $y = 1 - a$ в первое уравнение, заменив $x^2$ на $a^2$:$a^2 + (1 - a)^2 = 5$$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 5$$2a^2 - 2a - 4 = 0$Разделим уравнение на 2:$a^2 - a - 2 = 0$Решим это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета, корни уравнения:$a_1 = 2$ и $a_2 = -1$.Так как $a = |x|$, то $a$ не может быть отрицательным. Следовательно, подходит только $a = 2$.$|x| = 2$, откуда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Теперь найдем соответствующее значение $y$ для каждого $x$. Мы используем выражение $y = 1 - |x|$:$y = 1 - 2 = -1$.Это значение $y$ одинаково для обоих значений $x$.Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.Проверим решения:Для $(2, -1)$:$2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$$|2| + (-1) = 2 - 1 = 1$Для $(-2, -1)$:$(-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$$|-2| + (-1) = 2 - 1 = 1$Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(2, -1)$, $(-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 3 \\ |x| + y^2 = 5 \end{cases} $Заметим, что $y^2 = |y|^2$. Сделаем замену переменных: пусть $a = |x|$ и $b = |y|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.Система примет вид:$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + b^2 = 5 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $a$: $a = 3 - b$.Подставим это выражение во второе уравнение:$(3 - b) + b^2 = 5$$b^2 - b - 2 = 0$Решим квадратное уравнение относительно $b$:$b_1 = 2$ и $b_2 = -1$.Так как $b = |y|$, то $b \ge 0$, поэтому подходит только $b = 2$.Итак, $|y| = 2$, что дает два значения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.Теперь найдем $a$, используя $a = 3 - b$:$a = 3 - 2 = 1$.$|x| = 1$, что дает два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

3)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 2 \\ xy - 1 = 0 \end{cases} $Из второго уравнения следует, что $xy = 1$. Это означает, что $x$ и $y$ не равны нулю и имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).Рассмотрим два случая.Случай 1: $x > 0$ и $y > 0$.В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Система уравнений принимает вид:$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 1 \end{cases} $Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0$.Это уравнение можно записать как $(t - 1)^2 = 0$, у которого есть единственный корень $t = 1$.Следовательно, $x = 1$ и $y = 1$. Это решение $(1, 1)$ удовлетворяет условиям $x>0, y>0$.Случай 2: $x < 0$ и $y < 0$.В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Система уравнений принимает вид:$ \begin{cases} -x - y = 2 \\ xy = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = -2 \\ xy = 1 \end{cases} $Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 2t + 1 = 0$.Это уравнение можно записать как $(t + 1)^2 = 0$, у которого есть единственный корень $t = -1$.Следовательно, $x = -1$ и $y = -1$. Это решение $(-1, -1)$ удовлетворяет условиям $x<0, y<0$.Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

4)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $Так как $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$, можно сделать замену: $a = |x|$ и $b = |y|$, где $a \ge 0, b \ge 0$.Система преобразуется к виду:$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

14. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} -x^2 + 2x + 15 > 0, \\ x^2 - 12x + 27 < 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 6x + 16 \le 0, \\ x^2 + x + 20 > 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} -x^2 + x + 12 \ge 0, \\ x^2 - 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) Решим первое неравенство системы: $-x^2 + 2x + 15 > 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 15 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2-8}{2} = -3$, $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2+8}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-3; 5)$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 12x + 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 27$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 12x + 27 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (3; 9)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-3; 5) \cap (3; 9)$.

Общим решением является интервал $(3; 5)$.

Ответ: $x \in (3; 5)$.

2) Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x + 16 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, парабола целиком расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 6x + 16$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 16 \le 0$ не имеет решений.

Поскольку одно из неравенств системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Решим первое неравенство системы: $-x^2 + x + 12 \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1-7}{2} = -3$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1+7}{2} = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Решение первого неравенства: $x \in [-3; 4]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 3x - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (-2; 5)$.

Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-3; 4] \cap (-2; 5)$.

Общим решением является полуинтервал $(-2; 4]$.

Ответ: $x \in (-2; 4]$.

15. Изобразите на координатной прямой множество точек, заданных системой неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 7x \ge 0, \\ x + 4 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - x^2 < 0 \\ 4 - 3x \le 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 + x^2 \le 4, \\ 2 - x \le 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - 0.5x^2 \ge 0, \\ y^2 + x^2 \le 16. \end{cases}$

1) Решим данную систему неравенств поочередно.

Первое неравенство: $x^2 - 7x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 7) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 7) = 0$ являются точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках, где функция не ниже оси абсцисс, то есть $x \in (-\infty, 0] \cup [7, \infty)$.

Второе неравенство: $x + 4 > 0$.

Это линейное неравенство, решение которого $x > -4$, то есть $x \in (-4, \infty)$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $((-\infty, 0] \cup [7, \infty)) \cap (-4, \infty)$.

На координатной прямой это соответствует объединению промежутков $(-4, 0]$ и $[7, \infty)$.

Множество точек на координатной прямой представляет собой интервал от -4 (не включая) до 0 (включая), а также луч от 7 (включая) до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-4, 0] \cup [7, \infty)$.

2) Решим данную систему неравенств.

Первое неравенство: $7x - x^2 < 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 7x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 7) > 0$.

Корни уравнения $x(x-7)=0$ — это $x_1=0$ и $x_2=7$.

Решением неравенства являются промежутки $x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.

Второе неравенство: $4 - 3x \le 0$.

$-3x \le -4$.

Разделим на -3, изменив знак неравенства: $x \ge \frac{4}{3}$.

Решение этого неравенства: $x \in [\frac{4}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, 0) \cup (7, \infty)) \cap [\frac{4}{3}, \infty)$.

Промежуток $(-\infty, 0)$ не имеет общих точек с $[\frac{4}{3}, \infty)$.

Пересечением $(7, \infty)$ и $[\frac{4}{3}, \infty)$ является интервал $(7, \infty)$.

На координатной прямой это луч, начинающийся в точке 7 (не включая ее) и идущий вправо.

Ответ: $x \in (7, \infty)$.

3) Данная система содержит две переменные, $x$ и $y$, поэтому ее решение следует изображать на координатной плоскости Oxy.

Первое неравенство: $y^2 + x^2 \le 4$.

Это неравенство $x^2 + y^2 \le 2^2$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Геометрически это сплошной круг.

Второе неравенство: $2 - x \le 0$.

Это неравенство эквивалентно $x \ge 2$.

Оно задает замкнутую полуплоскость, состоящую из точек, лежащих на вертикальной прямой $x=2$ и правее нее.

Решением системы является пересечение этих двух множеств.

Круг $x^2 + y^2 \le 4$ содержит точки, у которых координата $x$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 2$.

Полуплоскость $x \ge 2$ содержит точки, у которых $x \ge 2$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Подставим $x=2$ в первое неравенство: $2^2 + y^2 \le 4 \Rightarrow 4 + y^2 \le 4 \Rightarrow y^2 \le 0$.

Единственное действительное число, удовлетворяющее $y^2 \le 0$, это $y=0$.

Следовательно, система имеет единственное решение — точку $(2, 0)$.

Ответ: Точка $(2, 0)$.

4) Данная система содержит две переменные, $x$ и $y$, поэтому ее решение следует изображать на координатной плоскости Oxy.

Первое неравенство: $y - 0,5x^2 \ge 0$, что эквивалентно $y \ge 0,5x^2$.

Это множество точек, лежащих на параболе $y = 0,5x^2$ и выше нее. Парабола имеет вершину в точке $(0,0)$ и ее ветви направлены вверх.

Второе неравенство: $y^2 + x^2 \le 16$.

Это неравенство $x^2 + y^2 \le 4^2$ задает сплошной круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$.

Решением системы является пересечение этих двух областей: части круга, которая находится на и выше параболы.

Чтобы определить границы этой области, найдем точки пересечения параболы $y = 0,5x^2$ и окружности $x^2 + y^2 = 16$.

Подставим $y = 0,5x^2$ в уравнение окружности:

$x^2 + (0,5x^2)^2 = 16$

$x^2 + 0,25x^4 = 16$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем квадратное уравнение: $0,25t^2 + t - 16 = 0$.

Умножим на 4: $t^2 + 4t - 64 = 0$.

Решаем относительно $t$: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-64)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{272}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$.

Так как $t \ge 0$, подходит только корень $t = 2\sqrt{17} - 2$.

Тогда $x^2 = 2\sqrt{17} - 2$, а $x = \pm \sqrt{2\sqrt{17} - 2}$.

Соответствующая ордината $y = 0,5x^2 = 0,5(2\sqrt{17} - 2) = \sqrt{17} - 1$.

Искомое множество точек — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу дугой параболы $y = 0,5x^2$ и сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 16$.

Ответ: Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих условиям $y \ge 0,5x^2$ и $x^2 + y^2 \le 16$. Геометрически это область, ограниченная снизу параболой $y = 0,5x^2$ и сверху окружностью $x^2+y^2=16$, включая обе границы.

*16. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданных системой неравенств:

1) $ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ y + 2x > 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 + x^2 - 16 < 0, \\ y - |x| < 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| \le 1, \\ x^2 + y^2 - 9 \le 0. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \ge 5, \\ y + 2x > 4; \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$. На координатной плоскости это множество точек, расположенных правее или на прямой $x=5$ и левее или на прямой $x=-5$. Границы $x=5$ и $x=-5$ являются сплошными линиями, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $y + 2x > 4$ преобразуем к виду $y > -2x + 4$. Это множество точек, лежащих выше прямой $y = -2x + 4$. Прямая строится по двум точкам, например, (0, 4) и (2, 0). Так как неравенство строгое, граница $y = -2x + 4$ изображается пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это область плоскости, расположенная одновременно в двух полуплоскостях ($x \le -5$ и $x \ge 5$) и над прямой $y = -2x + 4$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть полуплоскости $y > -2x+4$, для которой выполняется условие $x \le -5$ или $x \ge 5$. Границы $x=-5$ и $x=5$ входят в решение, а граница $y=-2x+4$ — не входит.

2) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y^2 + x^2 - 16 < 0, \\ y - |x| < 0; \end{cases} $

Первое неравенство $y^2 + x^2 - 16 < 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 < 4^2$. Это неравенство задает внутреннюю область круга с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 4. Так как неравенство строгое, сама окружность $x^2 + y^2 = 16$ не входит в решение и изображается пунктирной линией.

Второе неравенство $y - |x| < 0$ преобразуем к виду $y < |x|$. Графиком функции $y = |x|$ являются две биссектрисы первого и второго координатных углов, образующие "галочку" с вершиной в начале координат. Неравенство $y < |x|$ задает область под этим графиком. Граница $y = |x|$ не включается в решение, так как неравенство строгое, и изображается пунктирными линиями ($y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$).

Решением системы является пересечение этих двух областей: часть круга радиусом 4, расположенная ниже графика $y = |x|$.

Ответ: Искомое множество — это точки внутри окружности $x^2+y^2=16$, которые находятся ниже графика $y=|x|$. Границы множества не включаются.

3) Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \le 1, \\ x^2 + y^2 - 9 \le 0. \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Оно задает вертикальную полосу на координатной плоскости, заключенную между прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Так как неравенство нестрогое, сами прямые включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Второе неравенство $x^2 + y^2 - 9 \le 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 \le 3^2$. Это неравенство задает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3, включая его границу — окружность $x^2 + y^2 = 9$. Граница изображается сплошной линией, так как неравенство нестрогое.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это часть круга радиусом 3 (включая границу), которая находится внутри вертикальной полосы от $x=-1$ до $x=1$ (включая границы).

Ответ: Искомое множество — это часть круга $x^2+y^2 \le 9$, заключенная между вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=1$. Все границы (часть окружности и отрезки прямых) включаются в решение.

17. Найдите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

1)

$ \begin{cases} |2x-5| \le 1, \\ x^2+2x > 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x-4| \le 2, \\ -x^2+5x > 0. \end{cases} $

1) Для решения системы неравенств $\begin{cases} |2x-5|\le1, \\ x^2+2x > 0; \end{cases}$ решим каждое неравенство отдельно.

Сначала решим первое неравенство: $|2x-5|\le1$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 \le 2x-5 \le 1$

Прибавим ко всем частям 5:

$-1+5 \le 2x \le 1+5$

$4 \le 2x \le 6$

Разделим все части на 2:

$2 \le x \le 3$

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, 3]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2+2x > 0$.

Разложим левую часть на множители:

$x(x+2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+2)=0$, это $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Графиком функции $y=x^2+2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением второго неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[2, 3]$ и $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

Пересечением является промежуток $[2, 3]$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это 2 и 3.

Найдем их сумму:

$2 + 3 = 5$

Ответ: 5

2) Для решения системы неравенств $\begin{cases} |x-4|\le2, \\ -x^2+5x > 0. \end{cases}$ решим каждое неравенство отдельно.

Сначала решим первое неравенство: $|x-4|\le2$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x-4 \le 2$

Прибавим ко всем частям 4:

$-2+4 \le x \le 2+4$

$2 \le x \le 6$

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, 6]$.

Теперь решим второе неравенство: $-x^2+5x > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2-5x < 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x-5) < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-5)=0$, это $x_1=0$ и $x_2=5$.

Графиком функции $y=x^2-5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решением второго неравенства является промежуток $(0, 5)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[2, 6]$ и $(0, 5)$.

Пересечением является промежуток $[2, 5)$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 2, 3, 4.

Найдем их сумму:

$2 + 3 + 4 = 9$

Ответ: 9

18. 1) Поезд должен был пройти 220 км за определенное время, однако через два часа он был задержан на 10 минут. Чтобы прийти вовремя на станцию назначения, машинист увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

2) Путь длиной 240 км между пунктами А и В автомобиль прошел с постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он прошел половину пути с той же скоростью, затем увеличил скорость на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 24 мин меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью ехал автомобиль из пункта А в пункт В?

3) Поезд шел со скоростью 40 км/ч. Пассажир заметил, что встречный поезд прошел мимо него за 3 с. Найдите скорость встречного поезда, если его длина равна 75 м.

1) Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние составляет 220 км. Планируемое время на весь путь равно $\frac{220}{v}$ часов.

За первые 2 часа поезд проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км.Оставшееся расстояние, которое нужно было проехать: $S_2 = 220 - 2v$ км.

Планируемое время на оставшуюся часть пути составляло $t_{план.ост} = \frac{220}{v} - 2$ часа.

Поезд был задержан на 10 минут, что составляет $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.Следовательно, время, за которое нужно было проехать оставшийся путь, чтобы прибыть вовремя, сократилось на время задержки:$t_{факт.ост} = t_{план.ост} - \frac{1}{6} = (\frac{220}{v} - 2) - \frac{1}{6}$ часа.

Чтобы успеть, машинист увеличил скорость на 5 км/ч, и она стала равной $v + 5$ км/ч.Время, затраченное на оставшийся путь с новой скоростью, равно $\frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{220 - 2v}{v + 5}$ часа.

Приравняем фактическое время, затраченное на оставшийся путь, с временем, которое было в распоряжении после задержки:

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6}$

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{220}{v} - \frac{13}{6}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{1320 - 13v}{6v}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6v(220 - 2v) = (v + 5)(1320 - 13v)$

$1320v - 12v^2 = 1320v - 13v^2 + 6600 - 65v$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$1320v - 12v^2 - 1320v + 13v^2 - 6600 + 65v = 0$

$v^2 + 65v - 6600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6600) = 4225 + 26400 = 30625$

$\sqrt{D} = \sqrt{30625} = 175$

$v_1 = \frac{-65 + 175}{2} = \frac{110}{2} = 55$

$v_2 = \frac{-65 - 175}{2} = \frac{-240}{2} = -120$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда была 55 км/ч.

Ответ: 55 км/ч.

2) Пусть $v$ км/ч — постоянная скорость автомобиля на пути из пункта А в пункт В.Время, затраченное на путь из А в В: $t_{AB} = \frac{240}{v}$ часа.

На обратном пути автомобиль проехал первую половину пути (120 км) со скоростью $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{120}{v}$ часа.

Вторую половину пути (120 км) он проехал со скоростью $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{120}{v + 10}$ часа.

Общее время на обратный путь: $t_{BA} = t_1 + t_2 = \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}$ часа.

Из условия известно, что на обратный путь было затрачено на 24 минуты меньше. Переведем минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5}$ часа.

Составим уравнение, исходя из того, что $t_{AB} - t_{BA} = \frac{2}{5}$:

$\frac{240}{v} - \left( \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10} \right) = \frac{2}{5}$

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+10} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{60(v+10) - 60v}{v(v+10)} = \frac{1}{5}$

$\frac{60v + 600 - 60v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

$\frac{600}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

По свойству пропорции:

$v^2 + 10v = 600 \cdot 5$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость автомобиля из А в В была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

3) Данная задача решается с использованием понятия относительной скорости. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме их скоростей.

Пусть $v_1$ — скорость поезда с пассажиром, а $v_2$ — искомая скорость встречного поезда.$v_1 = 40$ км/ч.Относительная скорость сближения поездов: $v_{отн} = v_1 + v_2 = 40 + v_2$ км/ч.

Для пассажира встречный поезд, имеющий длину $L$, проходит мимо него за время $t$. Это означает, что за время $t$ поезд проходит расстояние, равное своей длине $L$, с относительной скоростью $v_{отн}$.

Переведем все величины в единую систему измерений (километры и часы):

Длина встречного поезда: $L = 75 \text{ м} = 0,075$ км.Время прохождения: $t = 3 \text{ с} = \frac{3}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{1200}$ ч.

Теперь найдем относительную скорость из формулы $v_{отн} = \frac{L}{t}$:

$v_{отн} = \frac{0,075 \text{ км}}{1/1200 \text{ ч}} = 0,075 \cdot 1200 = 90$ км/ч.

Зная относительную скорость, найдем скорость второго поезда:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

$90 = 40 + v_2$

$v_2 = 90 - 40 = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

30.9. Замените (*) и (**) такими одночленами, чтобы стало симметрическим многочленом выражение:

1) $x^4 - (*) - (**) + y^4$;

2) $yx^7 - (*) - (**) + xy^7$;

3) $5y^2x^7 - 6(*) - (**) + 5x^2y^7$.

Симметрический многочлен от двух переменных $x$ и $y$ — это многочлен, который не изменяется при перестановке переменных $x$ и $y$. То есть, если $P(x, y)$ — симметрический многочлен, то $P(x, y) = P(y, x)$. Чтобы сделать данные выражения симметрическими, нужно заменить пропуски `(*)` и `(**)` такими одночленами, чтобы получившийся многочлен удовлетворял этому условию.

1) $x^4 - (*) - (**) + y^4$

Запишем выражение в виде $P(x, y) = (x^4 + y^4) - ( (*) + (**) )$. Сумма $x^4 + y^4$ является симметрической, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ она не меняется: $y^4 + x^4 = x^4 + y^4$. Следовательно, чтобы весь многочлен $P(x, y)$ был симметрическим, сумма одночленов $S(x, y) = (*) + (**)$ также должна быть симметрической.

Будем предполагать, что итоговый многочлен является однородным, то есть все его члены имеют одинаковую суммарную степень. Так как степень $x^4$ и $y^4$ равна 4, то искомые одночлены `(*)` и `(**)` также должны иметь степень 4.

Самый простой способ составить симметрическую сумму из двух одночленов — это взять пару "симметричных" одночленов вида $ax^k y^l$ и $ax^l y^k$, где $k \neq l$. Их сумма $a(x^k y^l + x^l y^k)$ очевидно симметрична. Возьмем коэффициент $a=1$ для простоты. Нам нужно, чтобы суммарная степень была 4, то есть $k+l=4$. Подходит пара натуральных чисел $k=3$ и $l=1$.

Таким образом, мы можем заменить `(*)` на $x^3y$, а `(**)` на $xy^3$.

Проверим полученное выражение: $P(x, y) = x^4 - x^3y - xy^3 + y^4$.

При замене переменных $x \leftrightarrow y$ получим: $P(y, x) = y^4 - y^3x - yx^3 + x^4$. Это тот же самый многочлен. Значит, он симметрический.

Ответ: `(*)` — это $x^3y$, `(**)` — это $xy^3$. (Возможен и обратный вариант).

2) $yx^7 - (*) - (**) + xy^7$

Перепишем выражение в виде $P(x, y) = (x^7y + xy^7) - ( (*) + (**) )$. Сумма $x^7y + xy^7$ является симметрической. Значит, сумма $S(x, y) = (*) + (**)$ также должна быть симметрической.

Степень данных членов равна $1+7=8$. Предположим, что итоговый многочлен однородный степени 8. Значит, искомые одночлены должны иметь степень 8.

Как и в предыдущем пункте, выберем пару симметричных одночленов $ax^k y^l$ и $ax^l y^k$ с $k+l=8$ и $k \neq l$. Возьмем $a=1$. Существует несколько вариантов для пары $(k,l)$: $(6,2)$, $(5,3)$ и т.д. (пара $(7,1)$ уже использована в исходном выражении). Выберем, например, $k=5, l=3$.

Пусть `(*)` — это $x^5y^3$, а `(**)` — это $x^3y^5$.

Проверим полученное выражение: $P(x, y) = x^7y - x^5y^3 - x^3y^5 + xy^7$.

При замене переменных $x \leftrightarrow y$ получим: $P(y, x) = y^7x - y^5x^3 - y^3x^5 + yx^7$. Это тот же самый многочлен, следовательно, он симметрический.

Ответ: `(*)` — это $x^5y^3$, `(**)` — это $x^3y^5$. (Возможен и обратный вариант, а также другие пары степеней).

3) $5y^2x^7 - 6(*) - (**) + 5x^2y^7$

Перепишем выражение: $P(x, y) = (5x^7y^2 + 5x^2y^7) - ( 6(*) + (**) )$. Часть $5x^7y^2 + 5x^2y^7 = 5(x^7y^2 + x^2y^7)$ является симметрической. Значит, выражение $S(x, y) = 6(*) + (**)$ также должно быть симметрическим, то есть $S(x,y) = S(y,x)$.

Степень данных членов равна $7+2=9$. Будем искать одночлены `(*)` и `(**)` девятой степени.

Пусть `(*)` — это одночлен $ax^k y^l$, а `(**)` — это $bx^m y^n$. Тогда $S(x,y) = 6ax^ky^l + bx^my^n$. Условие симметричности: $6ax^ky^l + bx^my^n = 6ay^kx^l + by^mx^n$. Это тождество должно выполняться для любых $x,y$. Это возможно, если набор одночленов слева совпадает с набором одночленов справа. Так как одночлены с равными степенями $k=l$ для нечетной степени 9 невозможны (с целыми $k,l$), рассмотрим случай, когда $6ax^ky^l = by^mx^n$ и $bx^my^n = 6ay^kx^l$.

Из первого равенства следует, что $6a=b$, $k=n$ и $l=m$. Второе равенство дает те же условия. Таким образом, одночлены должны иметь вид: `(*)` $= ax^ky^l$ и `(**)` $= 6ax^ly^k$.

Для простоты выберем $a=1$. Тогда `(*)` $= x^ky^l$ и `(**)` $= 6x^ly^k$. Суммарная степень должна быть 9, т.е. $k+l=9$ и $k \neq l$. Выберем, например, $k=6, l=3$.

Тогда `(*)` $= x^6y^3$ и `(**)` $= 6x^3y^6$.

Подставим в исходное выражение: $5x^7y^2 - 6(x^6y^3) - (6x^3y^6) + 5x^2y^7 = 5x^7y^2 - 6x^6y^3 - 6x^3y^6 + 5x^2y^7$.

Проверим на симметричность: при замене $x \leftrightarrow y$ получаем $5y^7x^2 - 6y^6x^3 - 6y^3x^6 + 5y^2x^7$, что совпадает с исходным выражением после перестановки слагаемых.

Ответ: `(*)` — это $x^6y^3$, `(**)` — это $6x^3y^6$. (Возможны и другие варианты, например, `(*)` $=x^5y^4$ и `(**)` $= 6x^4y^5$).

30.10. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(ax - 3y)(x^2 - py^2);$

2) $(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2)$.

Найдите значения параметров $a$ и $p$ так, чтобы полученный многочлен с переменными $x$ и $y$ был симметрическим.

1) Сначала представим выражение $(ax - 3y)(x^2 - py^2)$ в виде многочлена. Для этого раскроем скобки:

$(ax - 3y)(x^2 - py^2) = ax \cdot x^2 + ax \cdot (-py^2) - 3y \cdot x^2 - 3y \cdot (-py^2) = ax^3 - apxy^2 - 3x^2y + 3py^3$.

Сгруппируем члены, чтобы получить многочлен $P(x, y)$:

$P(x, y) = ax^3 + 3py^3 - 3x^2y - apxy^2$.

Многочлен с переменными $x$ и $y$ называется симметрическим, если он не изменяется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$, то есть $P(x, y) = P(y, x)$.

Найдем $P(y, x)$, подставив $y$ вместо $x$ и $x$ вместо $y$ в исходный многочлен:

$P(y, x) = a(y)^3 + 3p(x)^3 - 3(y)^2(x) - ap(y)(x)^2 = ay^3 + 3px^3 - 3xy^2 - apx^2y$.

Чтобы многочлен был симметрическим, должно выполняться равенство $P(x, y) = P(y, x)$:

$ax^3 + 3py^3 - 3x^2y - apxy^2 = 3px^3 + ay^3 - apx^2y - 3xy^2$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих одночленах:

• При $x^3$: $a = 3p$
• При $y^3$: $3p = a$
• При $x^2y$: $-3 = -ap$ , что равносильно $ap = 3$
• При $xy^2$: $-ap = -3$ , что также равносильно $ap = 3$

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a = 3p \\ ap = 3 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(3p) \cdot p = 3$

$3p^2 = 3$

$p^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p = 1$ и $p = -1$.

1. Если $p = 1$, то $a = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Если $p = -1$, то $a = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: $a = 3, p = 1$ или $a = -3, p = -1$.

2) Представим выражение $(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2)$ в виде многочлена, раскрыв скобки:

$(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2) = ax \cdot y^2 + ax \cdot (-xy) + ax \cdot (px^2) + 5y \cdot y^2 + 5y \cdot (-xy) + 5y \cdot (px^2)$

$= axy^2 - ax^2y + apx^3 + 5y^3 - 5xy^2 + 5px^2y$.

Сгруппируем члены, чтобы получить многочлен $P(x, y)$:

$P(x, y) = apx^3 + 5y^3 + (5p - a)x^2y + (a - 5)xy^2$.

Для того чтобы многочлен был симметрическим, должно выполняться условие $P(x, y) = P(y, x)$.

Найдем $P(y, x)$:

$P(y, x) = ap(y)^3 + 5(x)^3 + (5p - a)(y)^2(x) + (a - 5)(y)(x)^2 = apy^3 + 5x^3 + (5p - a)xy^2 + (a - 5)x^2y$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих одночленах в $P(x, y)$ и $P(y, x)$:

• При $x^3$: $ap = 5$
• При $y^3$: $5 = ap$
• При $x^2y$: $5p - a = a - 5$
• При $xy^2$: $a - 5 = 5p - a$

Получаем систему из двух различных уравнений:

$\begin{cases} ap = 5 \\ 5p - a = a - 5 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$5p + 5 = 2a$

$a = \frac{5p + 5}{2}$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(\frac{5p + 5}{2}) \cdot p = 5$

$(5p + 5)p = 10$

$5p^2 + 5p - 10 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$p^2 + p - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложение на множители:

$(p + 2)(p - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p = 1$ и $p = -2$.

1. Если $p = 1$, то из уравнения $ap=5$ находим $a \cdot 1 = 5$, откуда $a = 5$.

2. Если $p = -2$, то из уравнения $ap=5$ находим $a \cdot (-2) = 5$, откуда $a = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $a = 5, p = 1$ или $a = -\frac{5}{2}, p = -2$.

30.11. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

2) $ \frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3} $

30.12. Найдите период функции:

1) Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, выполним операции деления и умножения слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

Сначала заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

Теперь упростим последнюю дробь, избавившись от отрицательной степени в знаменателе. По определению $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, поэтому $ x^{-3} = \frac{1}{x^3} $.

$ \frac{45}{8y^2x^{-3}} = \frac{45}{8y^2 \cdot \frac{1}{x^3}} = \frac{45x^3}{8y^2} $

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45x^3}{8y^2} $

Объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45x^3}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{(3 \cdot 4 \cdot 45) \cdot (x^3 \cdot x^3) \cdot y^4}{(5 \cdot 27 \cdot 8) \cdot x^5 \cdot (y^3 \cdot y^2)} $

Выполним умножение и применим свойства степеней ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):

$ \frac{540 \cdot x^{3+3} \cdot y^4}{1080 \cdot x^5 \cdot y^{3+2}} = \frac{540x^6y^4}{1080x^5y^5} $

Сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{540}{1080} = \frac{1}{2} $.

Сокращаем переменные, используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x $

$ \frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y} $

Собираем все вместе:

$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{2y} $

Ответ: $ \frac{x}{2y} $

2) Выполним операции деления последовательно слева направо. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

Исходное выражение: $ \frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3} $

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$ \frac{25a(b-1)}{81d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{2c^3d^3}{a^3(b-1)} $

Запишем все множители в одну дробь:

$ \frac{25a(b-1) \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)} $

Теперь проведем сокращение. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$ \frac{25 \cdot 27 \cdot 2}{81 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot 27 \cdot 2}{(3 \cdot 27) \cdot 5} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} $

Теперь сократим переменные:

Для переменной $ a $: $ \frac{a \cdot a}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} $

Для переменной $ b $: в числителе есть множитель $ b $, в знаменателе его нет.

Для множителя $ (b-1) $: $ \frac{b-1}{b-1} = 1 $ (при условии $ b \neq 1 $)

Для переменной $ c $: $ \frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2 $

Для переменной $ d $: $ \frac{d^3}{d \cdot d^2} = \frac{d^3}{d^3} = 1 $

Соберем все оставшиеся множители:

В числителе: $ 10, b, c^2 $

В знаменателе: $ 3, a $

Итоговая дробь:

$ \frac{10bc^2}{3a} $

Ответ: $ \frac{10bc^2}{3a} $

30.12. Найдите период функции:

1) $y = \sin4\pi x + \operatorname{tg}2\pi x;$

2) $y = \operatorname{ctg}6x - \sin3x;$

3) $y = 2\operatorname{tg}\pi x + \cos2\pi x;$

4) $y = 1-\cos\frac{\pi x}{3} + 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}.$

1) Чтобы найти период функции $y = \sin(4\pi x) + \operatorname{tg}(2\pi x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = \sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = \sin(4\pi x)$ коэффициент $k = 4\pi$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{2}$.

Период функции $g(x) = \operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \operatorname{tg}(2\pi x)$ коэффициент $k = 2\pi$, следовательно, его период $T_2 = \frac{\pi}{|2\pi|} = \frac{1}{2}$.

Период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Чтобы найти период функции $y = \operatorname{ctg}(6x) - \sin(3x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = \operatorname{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = \operatorname{ctg}(6x)$ коэффициент $k = 6$, следовательно, его период $T_1 = \frac{\pi}{|6|} = \frac{\pi}{6}$.

Период функции $g(x) = \sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \sin(3x)$ коэффициент $k = 3$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Период разности функций равен НОК их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$.

Так как $\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\pi}{6}$, то $T_2$ кратно $T_1$. Следовательно, наименьший общий период равен $T_2$.

$T = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Чтобы найти период функции $y = 2\operatorname{tg}(\pi x) + \cos(2\pi x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = a \cdot \operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = 2\operatorname{tg}(\pi x)$ коэффициент $k = \pi$, следовательно, его период $T_1 = \frac{\pi}{|\pi|} = 1$.

Период функции $g(x) = \cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \cos(2\pi x)$ коэффициент $k = 2\pi$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.

Период суммы функций равен НОК их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: 1.

4) Чтобы найти период функции $y = 1 - \cos(\frac{\pi x}{3}) + 2\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3})$, найдем периоды слагаемых, содержащих $x$. Константа $1$ на период не влияет.

Период функции $f(x) = \cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = -\cos(\frac{\pi x}{3})$ коэффициент $k = \frac{\pi}{3}$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{|\pi/3|} = \frac{2\pi \cdot 3}{\pi} = 6$.

Период функции $g(x) = a \cdot \operatorname{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = 2\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3})$ коэффициент $k = \frac{\pi}{3}$, следовательно, его период $T_2 = \frac{\pi}{|\pi/3|} = \frac{\pi \cdot 3}{\pi} = 3$.

Период всей функции равен НОК периодов ее слагаемых.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(6, 3) = 6$.

Ответ: 6.

30.13. Методом понижения степени решите неравенство:

1) $\cos^2 x \ge 0.5$; 2) $\sin^2 x \ge 1$; 3) $\cos^2 x < 1$.

Для решения данных неравенств используется метод понижения степени, основанный на формулах двойного угла:

$cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

$sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$

1) $cos^2x \ge 0,5$

Применим формулу понижения степени для косинуса:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} \ge 0,5$

Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и умножим обе части неравенства на 2:

$1 + cos(2x) \ge 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$cos(2x) \ge 0$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Косинус является неотрицательной функцией, когда его аргумент $2x$ находится в промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, с учётом периодичности $2\pi k$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in Z$.

2) $sin^2x > 1$

Применим формулу понижения степени для синуса:

$\frac{1 - cos(2x)}{2} > 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - cos(2x) > 2$

Перенесем 1 в правую часть:

$-cos(2x) > 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$cos(2x) < -1$

Область значений функции косинус $E(cos) = [-1; 1]$. Не существует таких значений $x$, при которых $cos(2x)$ был бы строго меньше -1. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

3) $cos^2x < 1$

Применим формулу понижения степени для косинуса:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} < 1$

Умножим обе части на 2:

$1 + cos(2x) < 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$cos(2x) < 1$

Функция косинуса всегда меньше или равна 1. Равенство $cos(2x) = 1$ достигается только тогда, когда аргумент $2x$ равен $2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(2x) < 1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(2x) = 1$.

Запишем условие, которое нужно исключить:

$2x \neq 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделим на 2:

$x \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.

30.14. Методом интервалов решите неравенство:

1) $(x+4)(x-3)(x+2)^2 \ge 0;$

2) $(2x-3)(x+6)(3x-6)^3 \le 0;$

3) $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x-3} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x + 4)(x - 3)(x + 2)^2 \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x + 2)^2$. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$ (корень кратности 1, знак меняется)

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$ (корень кратности 1, знак меняется)

$(x + 2)^2 = 0 \implies x_3 = -2$ (корень кратности 2, четная, знак не меняется)

Отметим найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут закрашенными.

Определим знак функции в крайнем правом интервале (при $x > 3$). Возьмем пробную точку $x=4$:

$(4 + 4)(4 - 3)(4 + 2)^2 = 8 \cdot 1 \cdot 6^2 > 0$. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ функция положительна.

Далее, двигаясь справа налево по оси, расставим знаки в остальных интервалах:

• При переходе через точку $x=3$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «-».
• При переходе через точку $x=-2$ (корень четной кратности) знак не меняется и остается «-».
• При переходе через точку $x=-4$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «+».

Получаем следующую расстановку знаков: $(+)\ [-4]\ (-)\ [-2]\ (-)\ [3]\ (+)$.

Нас интересуют промежутки, где $f(x) \ge 0$. Это промежутки со знаком «+», а также точки, где функция равна нулю.

Решением являются интервалы $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$, а также изолированная точка $x=-2$, в которой выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-2\} \cup [3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(2x - 3)(x + 6)(3x - 6)^3 \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = (2x - 3)(x + 6)(3x - 6)^3$.

$2x - 3 = 0 \implies x_1 = 1.5$ (корень кратности 1, знак меняется)

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$ (корень кратности 1, знак меняется)

$(3x - 6)^3 = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x_3 = 2$ (корень кратности 3, нечетная, знак меняется)

Все корни имеют нечетную кратность, значит, при переходе через каждую точку знак функции будет меняться.

Отметим точки $-6, 1.5, 2$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому все точки закрашенные.

Определим знак функции в крайнем правом интервале (при $x > 2$). Возьмем пробную точку $x=3$:

$(2 \cdot 3 - 3)(3 + 6)(3 \cdot 3 - 6)^3 = 3 \cdot 9 \cdot 3^3 > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево и чередуя знаки, получаем: $(-) [-6] (+) [1.5] (-) [2] (+)$.

Нас интересуют промежутки, где $f(x) \le 0$. Это промежутки со знаком «-» и точки, где функция равна нулю.

Решением являются интервалы $(-\infty; -6]$ и $[1.5; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [1.5; 2]$.

3) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x - 3} \le 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$.

Перепишем неравенство в разложенном виде: $\frac{2(x-1)(x-1.5)}{x-3} \le 0$.

Отметим точки на числовой оси. Точки $x=1$ и $x=1.5$ (нули числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Точка $x=3$ (нуль знаменателя) будет выколотой, так как на ноль делить нельзя.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знак будет меняться при переходе через каждую точку.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале (при $x > 3$). Возьмем пробную точку $x=4$:

$\frac{2(4-1)(4-1.5)}{4-3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2.5}{1} > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево и чередуя знаки, получаем: $(-) [1] (+) [1.5] (-) (3) (+)$.

Нас интересуют промежутки, где выражение $\le 0$. Это промежутки со знаком «-» и закрашенные точки.

Решением являются интервалы $(-\infty; 1]$ и $[1.5; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [1.5; 3)$.