Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

5. Решите с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов неравенство:

1) $x^2 - 3x - 18 \ge 0$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

1) $x^2 - 3x - 18 \geq 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3x - 18$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 6$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут неотрицательными ($y \geq 0$) на промежутках, где график находится выше или на оси Ox. Это происходит при $x \leq -3$ и при $x \geq 6$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [6, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = -3$ и $x_2 = 6$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 6]$ и $[6, \infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки включаются в решение.

Определим знак выражения $x^2 - 3x - 18$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -3]$ возьмем тестовую точку $x = -4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0$. Знак «+».

- В интервале $[-3, 6]$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $0^2 - 3(0) - 18 = -18 < 0$. Знак «-».

- В интервале $[6, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 7$: $7^2 - 3(7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [6, \infty)$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \leq 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - 12x + 17$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-5$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $5x^2 + 12x - 17 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-17) = 144 + 340 = 484 = 22^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 22}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm 22}{10}$.

$x_1 = \frac{-12 - 22}{10} = \frac{-34}{10} = -3.4$

$x_2 = \frac{-12 + 22}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3.4$ и $x = 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции $y$ будут неположительными ($y \leq 0$) на промежутках, где график находится ниже или на оси Ox. Это происходит при $x \leq -3.4$ и при $x \geq 1$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Найдем корни уравнения $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Корни: $x_1 = -3.4$ и $x_2 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3.4]$, $[-3.4, 1]$ и $[1, \infty)$. Точки включаем, так как неравенство нестрогое ($\leq$).

Определим знак выражения $-5x^2 - 12x + 17$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -3.4]$ возьмем тестовую точку $x = -4$: $-5(-4)^2 - 12(-4) + 17 = -5(16) + 48 + 17 = -80 + 65 = -15 < 0$. Знак «-».

- В интервале $[-3.4, 1]$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $-5(0)^2 - 12(0) + 17 = 17 > 0$. Знак «+».

- В интервале $[1, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 2$: $-5(2)^2 - 12(2) + 17 = -5(4) - 24 + 17 = -20 - 24 + 17 = -27 < 0$. Знак «-».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - 13x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $6 > 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 17}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1/3$ и $x = 2.5$. Ветви направлены вверх, поэтому функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутках, где график находится строго выше оси Ox. Это происходит при $x < -1/3$ и при $x > 2.5$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Корни уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 2.5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2.5)$ и $(2.5, \infty)$.

Определим знак выражения $6x^2 - 13x - 5$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -1/3)$ возьмем тестовую точку $x = -1$: $6(-1)^2 - 13(-1) - 5 = 6 + 13 - 5 = 14 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(-1/3, 2.5)$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $6(0)^2 - 13(0) - 5 = -5 < 0$. Знак «-».

- В интервале $(2.5, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 3$: $6(3)^2 - 13(3) - 5 = 6(9) - 39 - 5 = 54 - 44 = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение строго больше нуля, то есть интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$

6. Найдите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(3-x)(x-8)^2 > 0;$

2) $(x-3)^2 (x-11) \le 0;$

3) $(2x-2.5)^2 (3x-13)^3 < 0;$

4) $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0;$

5) $\frac{15x - x^2}{x - 5.5} \ge 0;$

6) $\frac{11x - x^2}{x + 6} > 0.$

1) Решим неравенство $(3-x)(x-8)^2 > 0$.

Выражение $(x-8)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-8)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, то $(x-8)^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $x \neq 8$.

При $x \neq 8$ выражение $(x-8)^2$ всегда положительно. Значит, знак всего произведения зависит от знака множителя $(3-x)$.

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы $3-x > 0$.

Решая это простое неравенство, получаем $x < 3$.

Таким образом, решение неравенства — это все числа, удовлетворяющие условиям $x < 3$ и $x \neq 8$. Условие $x \neq 8$ уже включено в условие $x < 3$.

Решением является интервал $(-\infty; 3)$.

Натуральные числа, входящие в этот интервал: 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $(x-3)^2(x-11) \le 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $(x-3)^2(x-11) = 0$. Это возможно, если $(x-3)^2 = 0$ или $x-11 = 0$. Отсюда получаем корни $x=3$ и $x=11$. Оба этих числа являются решениями.

Случай 2: $(x-3)^2(x-11) < 0$. Так как $(x-3)^2 \ge 0$, это неравенство выполняется, только если $(x-3)^2 > 0$ и $x-11 < 0$.

Условие $(x-3)^2 > 0$ означает, что $x \neq 3$.

Условие $x-11 < 0$ означает, что $x < 11$.

Объединяя условия из второго случая, получаем $x < 11$ и $x \neq 3$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что решением неравенства является множество $(-\infty; 11]$.

Натуральные числа, входящие в это множество: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Наибольшее из них — 11.

Ответ: 11

3) Решим неравенство $(2x-2,5)^2(3x-13)^3 < 0$.

Выражение $(2x-2,5)^2$ всегда неотрицательно. Так как неравенство строгое, то $(2x-2,5)^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $2x-2,5 \neq 0$, то есть $x \neq 1,25$.

При $x \neq 1,25$ множитель $(2x-2,5)^2$ всегда положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(3x-13)^3$.

Знак выражения в нечетной степени совпадает со знаком основания, поэтому нам нужно, чтобы $3x-13 < 0$.

Решаем неравенство: $3x < 13$, откуда $x < \frac{13}{3}$.

Так как $\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$, то решение неравенства — это $x < 4\frac{1}{3}$ при условии $x \neq 1,25$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 1,25) \cup (1,25; 4\frac{1}{3})$.

Натуральные числа, входящие в это множество: 1, 2, 3, 4. Наибольшее из них — 4.

Ответ: 4

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x+5} < 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-9)(x+9)}{x+5} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=9, x=-9, x=-5$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; -9)$: знак `–`

$(-9; -5)$: знак `+`

$(-5; 9)$: знак `–`

$(9; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Решением является объединение интервалов $(-\infty; -9) \cup (-5; 9)$.

Натуральные числа содержатся только в интервале $(-5; 9)$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее из них — 8.

Ответ: 8

5) Решим неравенство $\frac{15x - x^2}{x - 5,5} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(15-x)}{x-5,5} \ge 0$.

Чтобы было удобнее работать, умножим неравенство на -1 и поменяем знак: $\frac{x(x-15)}{x-5,5} \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0, x=15, x=5,5$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; 0)$: знак `–`

$(0; 5,5)$: знак `+`

$(5,5; 15)$: знак `–`

$(15; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Это $(-\infty; 0)$ и $(5,5; 15)$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), включаем нули числителя: $x=0$ и $x=15$. Нуль знаменателя $x=5,5$ исключаем.

Решением является объединение $(-\infty; 0] \cup (5,5; 15]$.

Натуральные числа содержатся только в промежутке $(5,5; 15]$. Это числа: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Наибольшее из них — 15.

Ответ: 15

6) Решим неравенство $\frac{11x - x^2}{x+6} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(11-x)}{x+6} > 0$.

Умножим неравенство на -1 и поменяем знак: $\frac{x(x-11)}{x+6} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0, x=11, x=-6$.

Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах:

$(-\infty; -6)$: знак `–`

$(-6; 0)$: знак `+`

$(0; 11)$: знак `–`

$(11; \infty)$: знак `+`

Нас интересуют интервалы со знаком `–`. Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -6) \cup (0; 11)$.

Натуральные числа содержатся только в интервале $(0; 11)$. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Наибольшее из них — 10.

Ответ: 10

7. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x + 3}{x - 7} \le 0;$ 2) $\frac{12 - 3x}{x - 2} \ge 0;$ 3) $\frac{5 - 2x}{3x + 13} > 0;$

4) $\frac{x^2 - 121}{x + 1} \ge 0;$ 5) $\frac{x^2 - 12x}{x - 2,5} \ge 0;$ 6) $\frac{8x - x^2}{x + 6} \le 0.$

1) $\frac{x+3}{x-7} \le 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения (выкалывается).

Нанесем эти точки на числовую ось, отметив $x=-3$ закрашенным кружком, а $x=7$ — выколотым.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

- При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{8+3}{8-7} = 11 > 0$ (знак +).

- При $-3 < x < 7$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{0-7} = -\frac{3}{7} < 0$ (знак -).

- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{-4-7} = \frac{-1}{-11} > 0$ (знак +).

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где стоит знак "минус", включая точку, где числитель равен нулю.

Решение неравенства: $x \in [-3, 7)$.

Наименьшим целым числом в этом промежутке является -3.

Ответ: -3

2) $\frac{12-3x}{x-2} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя и знаменателя:

$12 - 3x = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Точка включается в решение ($\ge$).

$x - 2 = 0 \implies x = 2$. Точка исключается из решения.

Чтобы было удобнее определять знаки, преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при $x$ был положительным: $\frac{-3(x-4)}{x-2} \ge 0$.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x-4}{x-2} \le 0$.

Теперь нанесем точки $x=2$ (выколотая) и $x=4$ (закрашенная) на числовую ось и определим знаки для преобразованного выражения:

- При $x > 4$: знак +.

- При $2 < x < 4$: знак -.

- При $x < 2$: знак +.

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток $x \in (2, 4]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: 3, 4. Наименьшее из них — 3.

Ответ: 3

3) $\frac{5-2x}{3x+13} > 0$

Используем метод интервалов. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки будут выколотыми.

Нули числителя и знаменателя:

$5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$.

$3x + 13 = 0 \implies 3x = -13 \implies x = -\frac{13}{3} \approx -4,33$.

Нанесем точки $x = -13/3$ и $x = 2,5$ на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 2,5$ (например, $x=3$): $\frac{5-6}{9+13} = \frac{-1}{22} < 0$ (знак -).

- При $-\frac{13}{3} < x < 2,5$ (например, $x=0$): $\frac{5}{13} > 0$ (знак +).

- При $x < -\frac{13}{3}$ (например, $x=-5$): $\frac{5-2(-5)}{3(-5)+13} = \frac{15}{-2} < 0$ (знак -).

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это интервал $x \in (-\frac{13}{3}, 2,5)$, или $x \in (-4\frac{1}{3}, 2,5)$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наименьшее из них — -4.

Ответ: -4

4) $\frac{x^2-121}{x+1} \ge 0$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $\frac{(x-11)(x+11)}{x+1} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя:

$x-11 = 0 \implies x = 11$. Точка включается в решение.

$x+11 = 0 \implies x = -11$. Точка включается в решение.

$x+1 = 0 \implies x = -1$. Точка исключается.

Нанесем точки $-11$ (закрашенная), $-1$ (выколотая) и $11$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 11$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $-1 < x < 11$: $(-)(+)/(+) = -$.

- При $-11 < x < -1$: $(-)(+)/(-) = +$.

- При $x < -11$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это объединение промежутков: $x \in [-11, -1) \cup [11, \infty)$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, находится в первом промежутке. Это -11.

Ответ: -11

5) $\frac{x^2-12x}{x-2,5} \ge 0$

Разложим числитель на множители: $\frac{x(x-12)}{x-2,5} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя:

$x = 0$. Точка включается в решение.

$x-12 = 0 \implies x = 12$. Точка включается в решение.

$x-2,5 = 0 \implies x = 2,5$. Точка исключается.

Нанесем точки $0$ (закрашенная), $2,5$ (выколотая) и $12$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 12$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $2,5 < x < 12$: $(+)(-)/(+) = -$.

- При $0 < x < 2,5$: $(+)(-)/(-) = +$.

- При $x < 0$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in [0, 2,5) \cup [12, \infty)$.

Целые числа в первом промежутке: 0, 1, 2. Целые числа во втором: 12, 13, ... . Наименьшее целое число из всего решения — 0.

Ответ: 0

6) $\frac{8x-x^2}{x+6} \le 0$

Разложим числитель на множители и преобразуем для удобства: $\frac{x(8-x)}{x+6} \le 0 \implies \frac{-x(x-8)}{x+6} \le 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{x(x-8)}{x+6} \ge 0$.

Теперь решим это эквивалентное неравенство методом интервалов.

Нули выражений:

$x = 0$. Точка включается в решение (т.к. исходное неравенство нестрогое).

$x - 8 = 0 \implies x = 8$. Точка включается.

$x + 6 = 0 \implies x = -6$. Точка исключается.

Нанесем точки $-6$ (выколотая), $0$ (закрашенная) и $8$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки для выражения $\frac{x(x-8)}{x+6}$:

- При $x > 8$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $0 < x < 8$: $(+)(-)/(+) = -$.

- При $-6 < x < 0$: $(-)(-)/(+) = +$.

- При $x < -6$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-6, 0] \cup [8, \infty)$.

Целые числа в первом промежутке: -5, -4, -3, -2, -1, 0. Наименьшее целое число из всего решения — -5.

Ответ: -5

8. Способом подстановки решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x^2 - y = 13; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - y = 4, \\ x^2 + y = 14; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - 2y = 13; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x + 0,5y = 1,5, \\ x^2 - y = -12; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x - y^2 = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} xy + 7 = 0, \\ x - y + 8 = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x+y=7, \\ x^2-y=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (7 - x) = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 7 = 13$

$x^2 + x - 20 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 7 - 4 = 3$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 7 - (-5) = 12$.

Ответ: $(4; 3), (-5; 12)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y=4, \\ x^2+y=14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y:

$y = 3x - 4$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (3x - 4) = 14$

Решим полученное уравнение:

$x^2 + 3x - 4 - 14 = 0$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1 = 3$, $y_1 = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$.

При $x_2 = -6$, $y_2 = 3(-6) - 4 = -18 - 4 = -22$.

Ответ: $(3; 5), (-6; -22)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x-y=7, \\ x^2-2y=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y:

$y = x - 7$

Подставим во второе уравнение:

$x^2 - 2(x - 7) = 13$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 - 2x + 14 = 13$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Найдем соответствующее значение y:

$y = 1 - 7 = -6$.

Ответ: $(1; -6)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x+0,5y=1,5, \\ x^2-y=-12 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y:

$y = x^2 + 12$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 0,5(x^2 + 12) = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$6x + (x^2 + 12) = 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 6x + 12 - 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это формула квадрата суммы: $(x + 3)^2 = 0$.

Отсюда $x = -3$.

Найдем соответствующее значение y:

$y = (-3)^2 + 12 = 9 + 12 = 21$.

Ответ: $(-3; 21)$.

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x-y^2=1, \\ x-y=3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3) - y^2 = 1$

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их:

$-y^2 + y + 3 - 1 = 0$

$-y^2 + y + 2 = 0$

Умножим уравнение на -1:

$y^2 - y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения x:

При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $(5; 2), (2; -1)$.

6) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy+7=0, \\ x-y+8=0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x:

$x = y - 8$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$(y - 8)y + 7 = 0$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение относительно y:

$y^2 - 8y + 7 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения x:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 - 8 = -7$.

Если $y_2 = 7$, то $x_2 = 7 - 8 = -1$.

Ответ: $(-7; 1), (-1; 7)$.

9. Способом алгебраического сложения решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ 3y^2 = 2x^2 - 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 10 = 0, \\ xy - 3 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = \frac{1}{8}, \\ 2x^2 + 2y^2 = \frac{5}{8}; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 + 1 = 27, \\ 3x^2 - y^2 = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2x, \\ x^2 - 2xy + 1 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ 3x^2 - y^2 = 9 \end{cases} $

Сложим почленно первое и второе уравнения системы. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$), поэтому эта переменная сократится.

$(x^2 + y^2) + (3x^2 - y^2) = 7 + 9$

$x^2 + 3x^2 = 16$

$4x^2 = 16$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы ($x^2 + y^2 = 7$), чтобы найти $y$.

$4 + y^2 = 7$

$y^2 = 7 - 4$

$y^2 = 3$

Отсюда находим два возможных значения для $y$: $y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$.

Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, \sqrt{3})$, $(2, -\sqrt{3})$, $(-2, \sqrt{3})$, $(-2, -\sqrt{3})$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2 \\ 3y^2 = 2x^2 - 1 \end{cases} $

Для удобства приведем уравнения к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть, а константы — в правую.

$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1 \\ -2x^2 + 3y^2 = -1 \end{cases} $

Сложим почленно полученные уравнения. Коэффициенты при $x^2$ являются противоположными числами ($2$ и $-2$).

$(2x^2 - y^2) + (-2x^2 + 3y^2) = 1 + (-1)$

$-y^2 + 3y^2 = 0$

$2y^2 = 0$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Подставим значение $y^2 = 0$ в первое исходное уравнение ($2x^2 - 1 = y^2$):

$2x^2 - 1 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 10 = 0 \\ xy - 3 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в более удобном виде:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

Этот тип систем удобно решать, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 6$

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6$

$(x + y)^2 = 16$

Отсюда получаем два варианта: $x + y = 4$ или $x + y = -4$.

Далее, вычтем уравнение $2xy=6$ из первого уравнения системы:

$x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 6$

$(x - y)^2 = 4$

Отсюда получаем два варианта: $x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=6 \implies x=3$. Тогда $3+y=4 \implies y=1$. Решение: $(3, 1)$.

Б) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = -2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=2 \implies x=1$. Тогда $1+y=4 \implies y=3$. Решение: $(1, 3)$.

В) $ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = 2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=-2 \implies x=-1$. Тогда $-1+y=-4 \implies y=-3$. Решение: $(-1, -3)$.

Г) $ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases} $ Складывая уравнения, получаем $2x=-6 \implies x=-3$. Тогда $-3+y=-4 \implies y=-1$. Решение: $(-3, -1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = \frac{1}{8} \\ 2x^2 + 2y^2 = \frac{5}{8} \end{cases} $

Разделим второе уравнение на 2:

$x^2 + y^2 = \frac{5}{16}$

Умножим первое уравнение на 2:

$2xy = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь у нас есть система, аналогичная предыдущей:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\ 2xy = \frac{1}{4} \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$x^2 + 2xy + y^2 = \frac{5}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9}{16}$

$(x+y)^2 = \frac{9}{16} \implies x+y = \pm\frac{3}{4}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$x^2 - 2xy + y^2 = \frac{5}{16} - \frac{1}{4} = \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1}{16}$

$(x-y)^2 = \frac{1}{16} \implies x-y = \pm\frac{1}{4}$

Решим четыре системы линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=1 \implies x=\frac{1}{2}$. Тогда $y=\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Решение: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

Б) $ \begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \implies x=\frac{1}{4}$. Тогда $y=\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Решение: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

В) $ \begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} \implies x=-\frac{1}{4}$. Тогда $y=-\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4}) = -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. Решение: $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$.

Г) $ \begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases} $ Сложив, получаем $2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$. Тогда $y=-\frac{3}{4} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$. Решение: $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 + 1 = 27 \\ 3x^2 - y^2 = 1 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение, перенеся 1 в правую часть:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 26 \\ 3x^2 - y^2 = 1 \end{cases} $

Чтобы исключить $y^2$, умножим второе уравнение на 2:

$2 \cdot (3x^2 - y^2) = 2 \cdot 1 \implies 6x^2 - 2y^2 = 2$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 26 \\ 6x^2 - 2y^2 = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 + 2y^2) + (6x^2 - 2y^2) = 26 + 2$

$7x^2 = 28$

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm 2$.

Подставим $x^2 = 4$ во второе исходное уравнение ($3x^2 - y^2 = 1$):

$3(4) - y^2 = 1$

$12 - y^2 = 1$

$y^2 = 11$

Отсюда $y = \pm \sqrt{11}$.

Комбинируя значения, получаем четыре решения.

Ответ: $(2, \sqrt{11})$, $(2, -\sqrt{11})$, $(-2, \sqrt{11})$, $(-2, -\sqrt{11})$.

6) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2x \\ x^2 - 2xy + 1 = 0 \end{cases} $

Перенесем $2x$ в левую часть в первом уравнении:

$ \begin{cases} x^2 - 2x + y^2 = 0 \\ x^2 - 2xy + 1 = 0 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - 2x + y^2) + (x^2 - 2xy + 1) = 0 + 0$

$2x^2 - 2x - 2xy + y^2 + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2xy + y^2) = 0$

Теперь левая часть представляет собой сумму двух квадратов:

$(x - 1)^2 + (x - y)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Получаем систему из двух простых уравнений:

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим $x = 1$.

Подставляем это значение во второе уравнение: $1 - y = 0 \implies y = 1$.

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 1)$.

10. Графическим способом решите систему уравнений (ответ округлите до десятых):

1) $ \begin{cases} xy = 1, \\ y = 2x^2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y = -2, \\ y = 2x^2 - 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ xy = 2. \end{cases} $

1) Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} xy = 1, \\ y = 2x^2; \end{cases} $ построим в одной системе координат графики каждого из уравнений.

Первое уравнение, $xy=1$, можно переписать в виде $y=1/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$.

Второе уравнение, $y=2x^2$, является уравнением параболы. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. График проходит через точки $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(0.5, 0.5)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке, расположенной в первой четверти. Определим координаты этой точки по графику. Приблизительные координаты точки пересечения — $(0.8, 1.3)$.

Ответ: $(0.8, 1.3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x - y = -2, \\ y = 2x^2 - 3. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение к виду $y=x+2$. Теперь нам нужно найти точки пересечения графиков функций $y=x+2$ и $y=2x^2-3$.

График функции $y=x+2$ — это прямая, проходящая, например, через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

График функции $y=2x^2-3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках. Приблизительные координаты этих точек: $(-1.4, 0.6)$ и $(1.9, 3.9)$.

Ответ: $(-1.4, 0.6)$, $(1.9, 3.9)$.

3) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2. \end{cases} $

График первого уравнения, $x^2 + y^2 = 4$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=\sqrt{4}=2$.

График второго уравнения, $y = 2 - x^2$, — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$.

Построим окружность и параболу в одной системе координат. Вершина параболы $(0, 2)$ лежит на окружности. Графики пересекаются еще в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Координаты этих точек можно определить из графика. Всего получается три точки пересечения.

Координаты точек пересечения: $(0, 2)$, $(1.7, -1.0)$ и $(-1.7, -1.0)$.

Ответ: $(0.0, 2.0)$, $(1.7, -1.0)$, $(-1.7, -1.0)$.

4) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ xy = 2. \end{cases} $

График первого уравнения, $x^2 + y^2 = 9$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=\sqrt{9}=3$.

График второго уравнения, $xy=2$ или $y=2/x$, — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Построим графики в одной системе координат. Окружность и гипербола пересекаются в четырех точках: две в первой четверти и две в третьей. Точки в первой четверти симметричны относительно прямой $y=x$. Точки в третьей четверти симметричны точкам в первой четверти относительно начала координат.

Определив по графику координаты точек пересечения и округлив их до десятых, получим: $(0.7, 2.9)$, $(2.9, 0.7)$, $(-0.7, -2.9)$ и $(-2.9, -0.7)$.

Ответ: $(0.7, 2.9)$, $(2.9, 0.7)$, $(-0.7, -2.9)$, $(-2.9, -0.7)$.

11. Найдите решения системы:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x + y = 7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ x^3 + y^3 = 7; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 25, \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = 11. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\x + y = 7.\end{cases}$

Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (7 - x)^2 = 25$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (49 - 14x + x^2) = 25$.

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0$

$2x^2 - 14x + 24 = 0$.

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 7x + 12 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 7 - x$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 7 - 3 = 4$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 7 - 4 = 3$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 4), (4, 3)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\x^3 + y^3 = 7.\end{cases}$

Эта система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные: $s = x+y$ (сумма) и $p = xy$ (произведение).

Выразим левые части уравнений через $s$ и $p$, используя известные тождества:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p)$.

Перепишем исходную систему в новых переменных:

Первое уравнение: $x^2 + y^2 + 3xy = (s^2 - 2p) + 3p = s^2 + p = -1$.

Второе уравнение: $x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p) = 7$.

Получили систему для $s$ и $p$:

$\begin{cases}s^2 + p = -1, \\s(s^2 - 3p) = 7.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $p$: $p = -1 - s^2$.

Подставим это во второе уравнение:

$s(s^2 - 3(-1 - s^2)) = 7$

$s(s^2 + 3 + 3s^2) = 7$

$s(4s^2 + 3) = 7$

$4s^3 + 3s - 7 = 0$.

Это кубическое уравнение относительно $s$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-7), то есть ±1, ±7.

Подставим $s=1$: $4(1)^3 + 3(1) - 7 = 4 + 3 - 7 = 0$.

Значит, $s=1$ является корнем. Разделим многочлен $4s^3 + 3s - 7$ на $(s-1)$ и получим $4s^2 + 4s + 7$.

Уравнение можно записать в виде $(s-1)(4s^2 + 4s + 7) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $4s^2 + 4s + 7$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 16 - 112 = -96$.

Так как $D < 0$, уравнение $4s^2 + 4s + 7 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное действительное решение для $s$ это $s=1$.

Найдем $p$: $p = -1 - s^2 = -1 - 1^2 = -2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x+y = 1, \\xy = -2.\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 2xy + y^2 = 25, \\2x^2 - 2xy - y^2 = 11.\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Левая часть является полным квадратом разности:

$(x - y)^2 = 25$.

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $x - y = 5$

2) $x - y = -5$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x - y = 5$.

Выразим $x$: $x = y + 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y+5)^2 - 2(y+5)y - y^2 = 11$

$2(y^2 + 10y + 25) - 2(y^2 + 5y) - y^2 = 11$

$2y^2 + 20y + 50 - 2y^2 - 10y - y^2 = 11$

$-y^2 + 10y + 39 = 0$

$y^2 - 10y - 39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-39)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{10 \pm 16}{2}$.

Получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{10+16}{2} = 13$

$y_2 = \frac{10-16}{2} = -3$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_1=13$, $x_1 = 13 + 5 = 18$.

При $y_2=-3$, $x_2 = -3 + 5 = 2$.

Получили два решения: $(18, 13)$ и $(2, -3)$.

Случай 2: $x - y = -5$.

Выразим $x$: $x = y - 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y-5)^2 - 2(y-5)y - y^2 = 11$

$2(y^2 - 10y + 25) - 2(y^2 - 5y) - y^2 = 11$

$2y^2 - 20y + 50 - 2y^2 + 10y - y^2 = 11$

$-y^2 - 10y + 39 = 0$

$y^2 + 10y - 39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение:

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-39)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 156}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-10 \pm 16}{2}$.

Получаем еще два значения для $y$:

$y_3 = \frac{-10+16}{2} = 3$

$y_4 = \frac{-10-16}{2} = -13$.

Находим соответствующие значения $x$:

При $y_3=3$, $x_3 = 3 - 5 = -2$.

При $y_4=-13$, $x_4 = -13 - 5 = -18$.

Получили еще два решения: $(-2, 3)$ и $(-18, -13)$.

В итоге система имеет четыре решения.

Ответ: $(18, 13), (2, -3), (-2, 3), (-18, -13)$.

1. Приведите пример многочлена с двумя переменными.

2. Приведите пример однородного многочлена.

3. Приведите пример симметрического многочлена.

4. Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными четвертой степени.

1. Приведите пример многочлена с двумя переменными.

Многочлен с двумя переменными — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов (членов вида $ax^k y^m$, где $a$ — коэффициент, а $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа), содержащих эти две переменные, например, $x$ и $y$. Переменные в разных членах многочлена могут иметь разные степени.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = 5x^3y - 2xy^2 + x - 4y + 9$. Он состоит из суммы одночленов, и в него входят две переменные: $x$ и $y$.

Ответ: $5x^3y - 2xy^2 + x - 4y + 9$.

2. Приведите пример однородного многочлена.

Однородный многочлен — это многочлен, все члены которого имеют одинаковую общую степень. Общая степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y, z) = 3x^4 - 2x^2y^2 + 7xy^2z$.

Степень первого члена $3x^4$ равна 4.

Степень второго члена $-2x^2y^2$ равна $2+2=4$.

Степень третьего члена $7xy^2z$ (т.е. $7x^1y^2z^1$) равна $1+2+1=4$.

Так как все члены многочлена имеют степень 4, он является однородным.

Ответ: $3x^4 - 2x^2y^2 + 7xy^2z$.

3. Приведите пример симметрического многочлена.

Симметрический многочлен — это многочлен, который не изменяется при любой перестановке его переменных. Для многочлена $P(x, y)$ с двумя переменными это означает, что должно выполняться равенство $P(x, y) = P(y, x)$.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = x^3 + y^3 - 8xy$.

Если в этом многочлене поменять местами переменные $x$ и $y$, мы получим выражение $P(y, x) = y^3 + x^3 - 8yx$.

Так как $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$ (от перемены мест слагаемых сумма не меняется) и $8yx = 8xy$ (от перемены мест множителей произведение не меняется), то $P(y, x) = P(x, y)$. Следовательно, этот многочлен является симметрическим.

Ответ: $x^3 + y^3 - 8xy$.

4. Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными четвертой степени.

Такой многочлен должен одновременно удовлетворять трем условиям:

1. Быть однородным степени 4: все его члены должны иметь суммарную степень 4.

2. Быть симметрическим относительно двух переменных ($x$ и $y$): $P(x, y) = P(y, x)$.

3. Иметь степень 4: старшая степень его членов равна 4.

Чтобы построить такой многочлен, нужно составить его из одночленов 4-й степени от переменных $x$ и $y$ так, чтобы при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он не менялся. Выпишем все возможные одночлены 4-й степени от $x$ и $y$: $x^4$, $y^4$, $x^3y$, $y^3x$, $x^2y^2$.

Чтобы обеспечить симметрию, члены с разными степенями у переменных нужно сгруппировать с одинаковыми коэффициентами: например, $a(x^4+y^4)$ и $b(x^3y+xy^3)$. Член $x^2y^2$ уже является симметрическим сам по себе.

Таким образом, любой многочлен вида $P(x, y) = a(x^4 + y^4) + b(x^3y + xy^3) + c(x^2y^2)$, где $a, b, c$ — некоторые числа (не все равны нулю), будет являться решением.

Например, выбрав $a=1, b=5, c=1$, получим: $x^4+y^4+5(x^3y+xy^3)+x^2y^2 = x^4+5x^3y+x^2y^2+5xy^3+y^4$.

Ответ: $x^4+5x^3y+x^2y^2+5xy^3+y^4$.

30.1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

1) $(x - 1)(x + 1)(x - 3)$;

2) $(x - 1)(x + 3)(x - 3)$;

3) $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$;

4) $(x - 1)(x + 1) + (x^2 - 2)(x - 3)$.

1) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)(x + 1)(x - 3)$ в виде многочлена стандартного вида, сначала применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь умножим полученный двучлен на третий множитель $(x - 3)$:

$(x^2 - 1)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 - x + 3$.

Полученный многочлен $x^3 - 3x^2 - x + 3$ уже находится в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^3 - 3x^2 - x + 3$.

2) В выражении $(x - 1)(x + 3)(x - 3)$ заметим, что последние два множителя образуют разность квадратов:

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Далее умножим первый множитель $(x - 1)$ на полученный результат:

$(x - 1)(x^2 - 9) = x \cdot x^2 + x \cdot (-9) - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot (-9) = x^3 - 9x - x^2 + 9$.

Для приведения многочлена к стандартному виду расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^3 - x^2 - 9x + 9$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 9x + 9$.

3) В выражении $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ можно переставить множители, чтобы использовать формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(x + 1) = (x^2 - 2^2)(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1)$.

Теперь перемножим полученные двучлены:

$(x^2 - 4)(x + 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 - 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = x^3 + x^2 - 4x - 4$.

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $x^3 + x^2 - 4x - 4$.

4) Данное выражение является суммой двух произведений: $(x - 1)(x + 1) + (x^2 - 2)(x - 3)$. Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое — это разность квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Второе слагаемое — это произведение двух двучленов, раскроем скобки:

$(x^2 - 2)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 - 2x + 6$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 1) + (x^3 - 3x^2 - 2x + 6) = x^2 - 1 + x^3 - 3x^2 - 2x + 6$.

Приведем подобные члены и запишем результат в стандартном виде:

$x^3 + (x^2 - 3x^2) - 2x + (-1 + 6) = x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.

Ответ: $x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.

30.2. Найдите степень и выпишите набор всех коэффициентов многочлена $f(x):$

1) $f(x) = 2x^5 - x^2 - 9x^3 + 9;$

2) $f(x) = -x^5 - x^4 - 9x^2 + 1;$

3) $f(x) = x^6 - x^4 - x^3;$

4) $f(x) = x^5 - 3x^2 - 7x^3 + \sqrt{3}.$

1) Для многочлена $f(x) = 2x^5 - x^2 - 9x^3 + 9$.

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов. Сначала приведем многочлен к стандартному виду, расположив его члены по убыванию степеней переменной: $f(x) = 2x^5 - 9x^3 - x^2 + 9$. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, следовательно, степень многочлена — 5.

Набор всех коэффициентов включает в себя коэффициенты при всех степенях от старшей до нулевой (свободный член). Если какая-то степень отсутствует, её коэффициент равен нулю. Запишем многочлен, включая отсутствующие члены:

$f(x) = 2x^5 + 0 \cdot x^4 - 9x^3 - 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 9$.

Таким образом, набор всех коэффициентов (от старшей степени к младшей) это $\{2, 0, -9, -1, 0, 9\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{2, 0, -9, -1, 0, 9\}$.

2) Для многочлена $f(x) = -x^5 - x^4 - 9x^2 + 1$.

Многочлен уже записан в стандартном виде. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, значит, степень многочлена — 5.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами, чтобы найти полный набор коэффициентов:

$f(x) = -1 \cdot x^5 - 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 - 9x^2 + 0 \cdot x + 1$.

Набор всех коэффициентов: $\{-1, -1, 0, -9, 0, 1\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{-1, -1, 0, -9, 0, 1\}$.

3) Для многочлена $f(x) = x^6 - x^4 - x^3$.

Многочлен записан в стандартном виде. Наибольшая степень переменной $x$ равна 6, следовательно, степень многочлена — 6.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = 1 \cdot x^6 + 0 \cdot x^5 - 1 \cdot x^4 - 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$.

Набор всех коэффициентов: $\{1, 0, -1, -1, 0, 0, 0\}$.

Ответ: степень 6, набор коэффициентов $\{1, 0, -1, -1, 0, 0, 0\}$.

4) Для многочлена $f(x) = x^5 - 3x^2 - 7x^3 + \sqrt{3}$.

Приведем многочлен к стандартному виду: $f(x) = x^5 - 7x^3 - 3x^2 + \sqrt{3}$. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, значит, степень многочлена — 5.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = 1 \cdot x^5 + 0 \cdot x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 0 \cdot x + \sqrt{3}$.

Набор всех коэффициентов: $\{1, 0, -7, -3, 0, \sqrt{3}\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{1, 0, -7, -3, 0, \sqrt{3}\}$.

30.3. Придумайте и запишите в стандартном виде многочлен степени $n$, если:

1) $n = 5$;

2) $n = 3$;

3) $n = 0$;

4) $n = 1$.

1) n = 5;

Многочлен стандартного вида — это сумма одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания их степеней. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Для того чтобы составить многочлен степени $n = 5$, нужно, чтобы наибольшая степень переменной (например, $x$) в нем была равна 5. Коэффициент при $x^5$ должен быть отличен от нуля. Остальные члены с меньшими степенями могут присутствовать или отсутствовать.

Приведем пример. Выберем несколько членов со степенями не выше 5 и расположим их в порядке убывания степеней:

$P(x) = 4x^5 - 2x^3 + x - 8$

В этом многочлене старший член $4x^5$ имеет степень 5. Все члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней (5, 3, 1, 0). Следовательно, это многочлен 5-й степени в стандартном виде.

Ответ: $4x^5 - 2x^3 + x - 8$

2) n = 3;

Требуется составить многочлен, степень которого равна 3. Это означает, что наибольшая степень переменной в многочлене должна быть равна 3, а коэффициент при ней не должен быть равен нулю.

Составим многочлен от переменной $x$. Например, можно взять все члены от 3-й степени до нулевой:

$P(x) = x^3 + 6x^2 - 5x + 12$

Можно также составить многочлен с пропущенными степенями:

$P(x) = -2x^3 + 9$

Оба примера являются многочленами 3-й степени в стандартном виде.

Ответ: $x^3 + 6x^2 - 5x + 12$

3) n = 0;

Многочлен степени 0 — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна 0.

Общий вид такого многочлена — $a_0 x^0$. Поскольку для любого $x \ne 0$ верно, что $x^0 = 1$, то многочлен можно записать как $a_0$.

Чтобы степень была равна именно 0, коэффициент $a_0$ не должен быть равен нулю. Если $a_0 = 0$, то это нулевой многочлен, степень которого либо не определена, либо по соглашению принимается равной $-\infty$.

Таким образом, многочлен нулевой степени — это любое отличное от нуля число (константа).

Ответ: 15

4) n = 1;

Многочлен степени 1 (также называемый линейным многочленом) — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна 1.

Общий стандартный вид такого многочлена: $ax + b$, где коэффициент $a$ при переменной в первой степени не равен нулю ($a \ne 0$).

Составим пример такого многочлена. Пусть переменная будет $x$.

$P(x) = -7x + 3$

Здесь старшая степень переменной $x$ равна 1, коэффициент при ней (-7) не равен нулю. Члены расположены в порядке убывания степеней (1, 0).

Ответ: $-7x + 3$

30.4. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

1) $(x-1)^2 - x(x+1)(x-3)$;

2) $(x-1)x^2 + 3(x-3)^2$;

3) $(x-2)^2 + 3(x+1)^3 - (x+9)$;

4) $(x-3)(x+1) + 2x(x^2 - 2x)$.

1) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)^2 - x(x + 1)(x - 3)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем квадрат разности и перемножим скобки:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$x(x + 1)(x - 3) = x(x^2 + x - 3x - 3) = x(x^2 - 2x - 3) = x^3 - 2x^2 - 3x$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 2x + 1) - (x^3 - 2x^2 - 3x) = x^2 - 2x + 1 - x^3 + 2x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в порядке убывания степеней:

$-x^3 + (x^2 + 2x^2) + (-2x + 3x) + 1 = -x^3 + 3x^2 + x + 1$

Ответ: $-x^3 + 3x^2 + x + 1$.

2) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)x^2 + 3(x - 3)^2$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки:

$(x - 1)x^2 = x^3 - x^2$

$3(x - 3)^2 = 3(x^2 - 6x + 9) = 3x^2 - 18x + 27$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^3 - x^2) + (3x^2 - 18x + 27) = x^3 - x^2 + 3x^2 - 18x + 27$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + 3x^2) - 18x + 27 = x^3 + 2x^2 - 18x + 27$

Ответ: $x^3 + 2x^2 - 18x + 27$.

3) Для того чтобы записать выражение $(x - 2)^2 + 3(x + 1)^3 - (x + 9)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$3(x + 1)^3 = 3(x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) = 3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 3x^3 + 9x^2 + 9x + 3$

Подставим полученные выражения в исходное и раскроем последнюю скобку:

$(x^2 - 4x + 4) + (3x^3 + 9x^2 + 9x + 3) - x - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^3 + (x^2 + 9x^2) + (-4x + 9x - x) + (4 + 3 - 9) = 3x^3 + 10x^2 + 4x - 2$

Ответ: $3x^3 + 10x^2 + 4x - 2$.

4) Для того чтобы записать выражение $(x - 3)(x + 1) + 2x(x^2 - 2x)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(x - 3)(x + 1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$

$2x(x^2 - 2x) = 2x^3 - 4x^2$

Сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 2x - 3) + (2x^3 - 4x^2) = x^2 - 2x - 3 + 2x^3 - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + (x^2 - 4x^2) - 2x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 2x - 3$

Ответ: $2x^3 - 3x^2 - 2x - 3$.

30.5. Запишите в виде многочлена выражение с двумя переменными

$x^5 y^2 + x^3 y^4 - 2x^4 y^5 - y^4 x^1 + 15x^4 y^2 - x^2(x^5 y - x^2 y^4)$.

Какие из следующих утверждений верны:

1) степень многочлена равна 7;

2) многочлен является симметрическим многочленом степени 9;

3) многочлен не имеет подобных членов;

4) степень многочлена равна 9?

Сначала запишем выражение в виде многочлена. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены.

Исходное выражение: $x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 - y^4x^4 + 15x^4y^2 - x^2(x^5y - x^2y^4)$.

Раскроем скобки в последнем члене выражения:

$-x^2(x^5y - x^2y^4) = -(x^2 \cdot x^5y) + (x^2 \cdot x^2y^4) = -x^{2+5}y + x^{2+2}y^4 = -x^7y + x^4y^4$.

Подставим результат обратно в выражение:

$x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 - y^4x^4 + 15x^4y^2 - x^7y + x^4y^4$.

Теперь приведем подобные члены. Подобными являются $-y^4x^4$ (что то же самое, что и $-x^4y^4$) и $+x^4y^4$. Их сумма равна 0:

$-x^4y^4 + x^4y^4 = 0$.

После упрощения получаем следующий многочлен:

$P(x, y) = x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 + 15x^4y^2 - x^7y$.

Расположим члены многочлена в порядке убывания их степени для удобства анализа:

$P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$.

Теперь проверим верность каждого из утверждений.

1) степень многочлена равна 7;

Степень многочлена определяется наибольшей из степеней его членов (одночленов). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Найдем степени каждого члена многочлена $P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$:

Степень члена $-2x^4y^5$ равна $4+5=9$.

Степень члена $-x^7y$ равна $7+1=8$.

Степень члена $x^5y^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $x^3y^4$ равна $3+4=7$.

Степень члена $15x^4y^2$ равна $4+2=6$.

Наибольшая из этих степеней — 9. Следовательно, степень многочлена равна 9, а не 7.

Ответ: утверждение неверно.

2) многочлен является симметрическим многочленом степени 9;

Многочлен $P(x, y)$ является симметрическим, если он не изменяется при замене переменных $x$ и $y$ местами, то есть если $P(x, y) = P(y, x)$.

Наш многочлен: $P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$.

Найдем $P(y, x)$, заменив в многочлене $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$P(y, x) = -2y^4x^5 - y^7x + y^5x^2 + y^3x^4 + 15y^4x^2$.

Сравнивая $P(x, y)$ и $P(y, x)$, видим, что они не равны. Например, член $-2x^4y^5$ из $P(x, y)$ не совпадает ни с одним членом из $P(y, x)$. Таким образом, многочлен не является симметрическим. Хотя его степень действительно равна 9, первая часть утверждения ложна.

Ответ: утверждение неверно.

3) многочлен не имеет подобных членов;

Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (одинаковыми переменными в одинаковых степенях).

Рассмотрим буквенные части членов упрощенного многочлена: $x^4y^5$, $x^7y$, $x^5y^2$, $x^3y^4$, $x^4y^2$.

Все эти буквенные части различны, так как наборы показателей степеней у переменных $(x, y)$ — $(4,5)$, $(7,1)$, $(5,2)$, $(3,4)$, $(4,2)$ — уникальны.

Следовательно, многочлен не имеет подобных членов.

Ответ: утверждение верно.

4) степень многочлена равна 9?

Как было установлено при анализе утверждения 1), степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов.

Степени членов многочлена: 9, 8, 7, 7, 6.

Наибольшая из этих степеней равна 9. Следовательно, степень многочлена действительно равна 9.

Ответ: утверждение верно.

30.6. Придумайте и запишите симметрический многочлен с двумя переменными степени $n$, если:

1) $n = 1$;

2) $n = 2$;

3) $n = 3$;

4) $n = 5$.

Симметрический многочлен $P(x, y)$ с двумя переменными — это многочлен, который не изменяется при перестановке его переменных, то есть $P(x, y) = P(y, x)$. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его одночленов (слагаемых). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Для составления примеров будем использовать переменные $x$ и $y$. Общий подход — составить такой многочлен, чтобы при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он не изменился, и при этом старшая степень его слагаемых была равна $n$.

1) n = 1;

Требуется составить симметрический многочлен первой степени. Самым простым примером является сумма переменных: $x + y$.

Проверка: степень этого многочлена равна 1 (т.к. степень $x$ равна 1 и степень $y$ равна 1). При замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ получаем $y + x$, что тождественно равно $x + y$. Условие симметричности выполняется.

Ответ: $x + y$

2) n = 2;

Требуется составить симметрический многочлен второй степени. Можно взять, например, сумму квадратов переменных: $x^2 + y^2$.

Проверка: степень многочлена равна 2. При замене переменных местами получаем $y^2 + x^2$, что равно исходному многочлену.

Другим простым примером является многочлен $xy$. Его степень равна $1+1=2$, и он также симметричен, так как $yx = xy$.

Ответ: $x^2 + y^2$

3) n = 3;

Требуется составить симметрический многочлен третьей степени. По аналогии с предыдущими пунктами, рассмотрим сумму кубов переменных: $x^3 + y^3$.

Проверка: степень многочлена равна 3. При замене переменных местами получаем $y^3 + x^3$, что равно исходному многочлену.

Ответ: $x^3 + y^3$

4) n = 5;

Требуется составить симметрический многочлен пятой степени. Таким многочленом является сумма пятых степеней переменных: $x^5 + y^5$.

Проверка: степень многочлена равна 5. При замене переменных местами получаем $y^5 + x^5$, что равно исходному многочлену.

Ответ: $x^5 + y^5$

30.7. Приведите к многочлену стандартного вида выражение:

1) $a^2b(a^3b - b^2a^2) + 4a^3b^2a^2 - 2aba^4b + 7ab^0a^4b^2 - 3a^3bab^2$;

2) $3x^2y(x^3y - y^2x^2) - 5x^3y^2x^2 - 2xyx^4y + 5xy^2x^4y^2 - 4x^3yxy^2$.

Найдите степень полученного многочлена.

1) $a^2b(a^3b - b^2a^2) + 4a^3b^2a^2 - 2aba^4b + 7ab^0a^4b^2 - 3a^3bab^2$

Для приведения выражения к многочлену стандартного вида необходимо выполнить следующие шаги:

1. Привести каждый член выражения к стандартному виду одночлена. Для этого нужно перемножить все числовые и буквенные множители.

2. Сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть).

3. Расположить члены многочлена в порядке убывания их степеней.

Упростим каждый член исходного выражения:

$a^2b(a^3b - b^2a^2) = a^2b \cdot a^3b - a^2b \cdot b^2a^2 = a^{2+3}b^{1+1} - a^{2+2}b^{1+2} = a^5b^2 - a^4b^3$

$4a^3b^2a^2 = 4a^{3+2}b^2 = 4a^5b^2$

$2aba^4b = 2a^{1+4}b^{1+1} = 2a^5b^2$

$7ab^0a^4b^2 = 7a^{1+4}b^{0+2} = 7a^5b^2$ (так как любое число в нулевой степени равно 1, $b^0 = 1$)

$3a^3bab^2 = 3a^{3+1}b^{1+1+2} = 3a^4b^4$

Теперь подставим упрощенные одночлены обратно в выражение:

$a^5b^2 - a^4b^3 + 4a^5b^2 - 2a^5b^2 + 7a^5b^2 - 3a^4b^4$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a^5b^2 + 4a^5b^2 - 2a^5b^2 + 7a^5b^2) - a^4b^3 - 3a^4b^4 = (1+4-2+7)a^5b^2 - a^4b^3 - 3a^4b^4 = 10a^5b^2 - a^4b^3 - 3a^4b^4$

Для нахождения степени многочлена найдем степень каждого его члена (сумма показателей степеней всех переменных):

Степень члена $10a^5b^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $-a^4b^3$ равна $4+3=7$.

Степень члена $-3a^4b^4$ равна $4+4=8$.

Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов, то есть 8.

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней: $-3a^4b^4 + 10a^5b^2 - a^4b^3$.

Ответ: Многочлен в стандартном виде: $-3a^4b^4 + 10a^5b^2 - a^4b^3$. Степень многочлена равна 8.

2) $3x^2y(x^3y - y^2x^2) - 5x^3y^2x^2 - 2xyx^4y + 5xy^2x^4y^2 - 4x^3yxy^2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала упростим каждый член выражения.

Раскроем скобки:

$3x^2y(x^3y - y^2x^2) = 3x^2y \cdot x^3y - 3x^2y \cdot y^2x^2 = 3x^{2+3}y^{1+1} - 3x^{2+2}y^{1+2} = 3x^5y^2 - 3x^4y^3$

Упростим остальные члены:

$5x^3y^2x^2 = 5x^{3+2}y^2 = 5x^5y^2$

$2xyx^4y = 2x^{1+4}y^{1+1} = 2x^5y^2$

$5xy^2x^4y^2 = 5x^{1+4}y^{2+2} = 5x^5y^4$

$4x^3yxy^2 = 4x^{3+1}y^{1+1+2} = 4x^4y^4$

Подставим упрощенные одночлены в исходное выражение:

$3x^5y^2 - 3x^4y^3 - 5x^5y^2 - 2x^5y^2 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(3x^5y^2 - 5x^5y^2 - 2x^5y^2) - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4 = (3-5-2)x^5y^2 - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4 = -4x^5y^2 - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4$

Найдем степень каждого члена многочлена:

Степень члена $5x^5y^4$ равна $5+4=9$.

Степень члена $-4x^4y^4$ равна $4+4=8$.

Степень члена $-4x^5y^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $-3x^4y^3$ равна $4+3=7$.

Степень многочлена равна наибольшей из степеней его членов, то есть 9.

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $5x^5y^4 - 4x^4y^4 - 4x^5y^2 - 3x^4y^3$.

Ответ: Многочлен в стандартном виде: $5x^5y^4 - 4x^4y^4 - 4x^5y^2 - 3x^4y^3$. Степень многочлена равна 9.

30.8. Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными степени n, если:

1) $n = 1$;

2) $n = 2$;

3) $n = 3$;

4) $n = 5$.

1) n = 1;

Однородный многочлен — это многочлен, у которого все члены имеют одинаковую степень. Симметрический многочлен с двумя переменными $x$ и $y$ не изменяется при их перестановке. Для степени $n=1$ примером может служить многочлен $x+y$. Он является однородным, так как оба его члена ($x$ и $y$) имеют степень 1. Он является симметрическим, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ выражение $y+x$ равно исходному $x+y$.Ответ: $x+y$

2) n = 2;

Для степени $n=2$ примером является многочлен $x^2+y^2$. Он однородный, так как оба члена ($x^2$ и $y^2$) имеют степень 2. Он симметрический, так как $y^2+x^2 = x^2+y^2$. Другим возможным примером является многочлен $xy$, который также является однородным (степень $1+1=2$) и симметрическим.Ответ: $x^2+y^2$

3) n = 3;

Для степени $n=3$ примером является многочлен $x^3+y^3$. Он однородный, так как оба члена ($x^3$ и $y^3$) имеют степень 3. Он симметрический, так как $y^3+x^3 = x^3+y^3$.Ответ: $x^3+y^3$

4) n = 5;

Для степени $n=5$ примером является многочлен $x^5+y^5$. Он однородный, так как оба члена ($x^5$ и $y^5$) имеют степень 5. Он симметрический, так как $y^5+x^5 = x^5+y^5$.Ответ: $x^5+y^5$