Страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

47. Упростите выражение:

1) $ \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \text{ctg}(2\pi - \alpha) \cdot \text{cos} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \text{tg}(2\pi + \alpha); $

2) $ \frac{\text{sin}\alpha - \text{sin}3\alpha}{\text{cos}\alpha - \text{cos}3\alpha}; $

3) $ \text{cos}(2\pi - \alpha) \cdot \left( \text{tg}\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) \right)^2 \cdot \text{tg}(2\pi + \alpha) \cdot \left( \text{ctg}\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \right)^2; $

4) $ \frac{\text{sin}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha}. $

1) Упростим выражение $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$, используя формулы приведения для каждого множителя.

По формулам приведения имеем:

$tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$, так как для углов $(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ тригонометрическая функция меняется на кофункцию, а в I четверти знак тангенса положительный.

$ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, так как $2\pi$ — это полный оборот, и мы попадаем в IV четверть, где котангенс отрицателен.

$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, так как для углов $(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ функция меняется на кофункцию, а в I четверти знак косинуса положительный.

$tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$, так как тангенс имеет период $\pi$, а значит и $2\pi$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -ctg^2(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Используя определения $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, а также то, что $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$, получим:

$-ctg(\alpha) \cdot (ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = -ctg(\alpha) \cdot 1 \cdot sin(\alpha) = -\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Ответ: $-cos(\alpha)$

2) Для упрощения дроби $\frac{sin\alpha - sin3\alpha}{cos\alpha - cos3\alpha}$ воспользуемся формулами преобразования разности синусов и косинусов в произведение.

Формула разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$.

Формула разности косинусов: $cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю нашей дроби.

Числитель: $sin\alpha - sin3\alpha = 2sin(\frac{\alpha-3\alpha}{2})cos(\frac{\alpha+3\alpha}{2}) = 2sin(-\alpha)cos(2\alpha) = -2sin(\alpha)cos(2\alpha)$, так как $sin(-x)=-sin(x)$.

Знаменатель: $cos\alpha - cos3\alpha = -2sin(\frac{\alpha+3\alpha}{2})sin(\frac{\alpha-3\alpha}{2}) = -2sin(2\alpha)sin(-\alpha) = -2sin(2\alpha)(-sin(\alpha)) = 2sin(2\alpha)sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{-2sin(\alpha)cos(2\alpha)}{2sin(2\alpha)sin(\alpha)}$

Сократим общие множители $2sin(\alpha)$ (при условии, что $sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{-cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = -ctg(2\alpha)$

Ответ: $-ctg(2\alpha)$

3) Упростим выражение $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(2\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2$.

Снова воспользуемся формулами приведения.

$cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$ (IV четверть, косинус положительный).

$tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, тангенс положительный, функция меняется на кофункцию).

$tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (периодичность).

$ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставляем в исходное выражение:

$cos(\alpha) \cdot (ctg(\alpha))^2 \cdot tg(\alpha) \cdot (-tg(\alpha))^2$

Так как $(-a)^2 = a^2$, выражение принимает вид:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha) = cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$

Используем тождество $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$. Перепишем выражение:

$cos(\alpha) \cdot (ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha))^2 \cdot tg(\alpha) = cos(\alpha) \cdot 1^2 \cdot tg(\alpha) = cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Заменим $tg(\alpha)$ на $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

4) Упростим выражение $\frac{sin^2\alpha - tg^2\alpha}{cos^2\alpha - ctg^2\alpha}$.

Заменим тангенс и котангенс через отношения синуса и косинуса: $tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$ и $ctg^2\alpha = \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$.

Преобразуем числитель:

$sin^2\alpha - tg^2\alpha = sin^2\alpha - \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha(cos^2\alpha - 1)}{cos^2\alpha}$

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует, что $cos^2\alpha - 1 = -sin^2\alpha$.

Тогда числитель равен: $\frac{sin^2\alpha(-sin^2\alpha)}{cos^2\alpha} = -\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}$.

Преобразуем знаменатель:

$cos^2\alpha - ctg^2\alpha = cos^2\alpha - \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{cos^2\alpha \cdot sin^2\alpha - cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{cos^2\alpha(sin^2\alpha - 1)}{sin^2\alpha}$

Аналогично, $sin^2\alpha - 1 = -cos^2\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $\frac{cos^2\alpha(-cos^2\alpha)}{sin^2\alpha} = -\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}}{-\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}} = \frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha} \cdot \frac{sin^2\alpha}{cos^4\alpha} = \frac{sin^4\alpha \cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha \cdot cos^4\alpha} = \frac{sin^6\alpha}{cos^6\alpha} = (\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^6 = tg^6\alpha$.

Ответ: $tg^6\alpha$

48. Докажите, что значение выражения равно 2 при любом допустимом $\alpha$:

1) $2\tan\alpha \cdot \cot(\pi + \alpha) - 2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \cot(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2});$

2) $2 \cdot (0,5 - 0,5\cos4\alpha + \frac{1}{1 + \tan^2 2\alpha}) - (1-\sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\cos^2 2\alpha} + \cot3\alpha \cdot \cot(90^\circ - 3\alpha).$

1) Упростим выражение, последовательно преобразуя каждый его член с помощью формул приведения и основных тригонометрических тождеств.

Первый член: $2\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)$. Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha$, получаем $2\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 2$, так как $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.

Второй член: $-2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Используя нечетность синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$, получаем $-2(-\sin\alpha)\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. По формуле синуса двойного угла это равно $\sin(2\alpha)$.

Третий член: $\cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Используя четность косинуса $\cos(360^\circ - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$ и формулу приведения $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \operatorname{tg}(2\alpha)$, получаем $\cos(2\alpha) \cdot \operatorname{tg}(2\alpha) = \cos(2\alpha) \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \sin(2\alpha)$.

Четвертый член: $-2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$. Используя четность косинуса и формулу приведения, имеем $-2\cos(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = -2\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = -2\sin(2\alpha)$.

Теперь сложим все полученные результаты: $2 + \sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2 + 2\sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2$.

Таким образом, значение выражения равно 2 при любом допустимом значении $\alpha$.

Ответ: 2.

2) Упростим выражение, разбирая его по частям.

Рассмотрим первую часть: $2 \cdot (0,5 - 0,5\cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(2\alpha)})$. Преобразуем выражение в скобках.

Первое слагаемое в скобках: $0,5 - 0,5\cos(4\alpha) = 0,5(1 - \cos(4\alpha))$. По формуле понижения степени $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$, получаем $0,5 \cdot (2\sin^2(2\alpha)) = \sin^2(2\alpha)$.

Второе слагаемое в скобках: $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(2\alpha)}$. По тождеству $1 + \operatorname{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем $\frac{1}{1/\cos^2(2\alpha)} = \cos^2(2\alpha)$.

Сумма в скобках равна $\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$. Таким образом, вся первая часть выражения равна $2 \cdot 1 = 2$.

Рассмотрим вторую часть: $-(1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha)$. Тогда выражение равно $-\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{1}{\cos^2(2\alpha)} = -1$.

Рассмотрим третью часть: $+\operatorname{ctg}(3\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(90^\circ - 3\alpha)$. По формуле приведения $\operatorname{ctg}(90^\circ - x) = \operatorname{tg}x$, выражение становится равным $\operatorname{ctg}(3\alpha) \cdot \operatorname{tg}(3\alpha) = 1$.

Соберем все части вместе: $2 - 1 + 1 = 2$.

Таким образом, значение выражения равно 2 при любом допустимом значении $\alpha$.

Ответ: 2.

49. Упростите выражение:

1) $2\operatorname{tg}9\alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi - 9\alpha) + \sin^2 \frac{\alpha}{3} \cdot \operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{3} + \sin^2 \frac{\alpha}{3};$

2) $2 + (0,5 + 0,5\cos10\alpha) : (0,5 - 0,5\cos 10\alpha) \cdot \operatorname{tg}^2(\pi - 5\alpha);$

3) $3 + \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}};$

4) $\frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\operatorname{tg}2\alpha - 1} - 1.$

1) Рассмотрим выражение $2\tg9\alpha \cdot \ctg(\pi - 9\alpha) + \sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \ctg^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}$.

Упростим первую часть выражения, используя формулу приведения $\ctg(\pi - x) = -\ctg x$:

$2\tg9\alpha \cdot \ctg(\pi - 9\alpha) = 2\tg9\alpha \cdot (-\ctg9\alpha)$.

Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$, получаем:

$2\tg9\alpha \cdot (-\ctg9\alpha) = -2(1) = -2$.

Теперь упростим вторую часть выражения: $\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \ctg^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}$.

Вынесем общий множитель $\sin^2\frac{\alpha}{3}$ за скобки:

$\sin^2\frac{\alpha}{3} (\ctg^2\frac{\alpha}{3} + 1)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{3}} = 1$.

Альтернативно, можно записать $\ctg\frac{\alpha}{3} = \frac{\cos\frac{\alpha}{3}}{\sin\frac{\alpha}{3}}$, тогда $\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{\cos^2\frac{\alpha}{3}}{\sin^2\frac{\alpha}{3}} + \sin^2\frac{\alpha}{3} = \cos^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3} = 1$.

Сложим полученные результаты: $-2 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$

2) Рассмотрим выражение $2 + (0,5 + 0,5\cos10\alpha) : (0,5 - 0,5\cos10\alpha) \cdot \tg^2(\pi - 5\alpha)$.

Упростим частное. Вынесем $0,5$ за скобки в делимом и делителе:

$\frac{0,5 + 0,5\cos10\alpha}{0,5 - 0,5\cos10\alpha} = \frac{0,5(1 + \cos10\alpha)}{0,5(1 - \cos10\alpha)} = \frac{1 + \cos10\alpha}{1 - \cos10\alpha}$.

Применим формулы двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2x$ и $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Пусть $2x=10\alpha$, тогда $x=5\alpha$.

$\frac{1 + \cos10\alpha}{1 - \cos10\alpha} = \frac{2\cos^2(5\alpha)}{2\sin^2(5\alpha)} = \ctg^2(5\alpha)$.

Теперь упростим множитель $\tg^2(\pi - 5\alpha)$. По формуле приведения $\tg(\pi - x) = -\tg x$.

$\tg^2(\pi - 5\alpha) = (-\tg(5\alpha))^2 = \tg^2(5\alpha)$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$2 + \ctg^2(5\alpha) \cdot \tg^2(5\alpha)$.

Так как $\ctg x \cdot \tg x = 1$, то $\ctg^2(5\alpha) \cdot \tg^2(5\alpha) = 1$.

В результате получаем: $2 + 1 = 3$.

Ответ: $3$

3) Рассмотрим выражение $3 + \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. При $x = \frac{\alpha}{2}$ получим $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2\alpha = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Это формула косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби:

$1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 - 2 \cdot (4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Это также формула косинуса двойного угла: $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Таким образом, дробь равна $\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$ (при условии, что $\cos(2\alpha) \ne 0$).

Исходное выражение равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\tg2\alpha - 1} - 1$.

Сначала преобразуем числитель дроби: $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Разложим разность квадратов $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, откуда $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$.

Таким образом, $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = -\cos(2\alpha) \cdot 1 = -\cos(2\alpha)$.

Выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ является синусом двойного угла $\sin(2\alpha)$.

В итоге числитель дроби равен $\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель: $\tg(2\alpha) - 1 = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} - 1 = \frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}} = (\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)} = \cos(2\alpha)$.

Подставим полученное значение дроби в исходное выражение:

$\cos(2\alpha) - 1$.

Это выражение можно упростить, используя формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

$\cos(2\alpha) - 1 = -(1 - \cos(2\alpha)) = -2\sin^2\alpha$.

Ответ: $-2\sin^2\alpha$

50. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}-4 \alpha\right) \cdot \sin (4 \pi-2 \alpha) \cdot \cos (-2 \alpha)}{\operatorname{ctg}(-4 \alpha) \cdot\left(\cos ^{2} 2 \alpha-\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)\right)}=\frac{1}{2} \operatorname{tg} 4 \alpha;$

2) $\frac{\sin \alpha+\sin 3 \alpha+\sin 5 \alpha}{\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\cos 5 \alpha}=\operatorname{tg} 3 \alpha;$

3) $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta+(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)-1=0;$

4) $\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}=\operatorname{tg} \alpha;$

5) $(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)-\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=1;$

6) $\frac{\sin \alpha-2 \cos 3 \alpha-\sin 5 \alpha}{\cos \alpha+2 \sin 3 \alpha-\cos 5 \alpha}=-\operatorname{ctg} 3 \alpha;$

7) $\frac{\sin 9 \alpha+\sin 8 \alpha-\sin 7 \alpha-\sin 6 \alpha}{\cos 6 \alpha+\cos 7 \alpha+\cos 8 \alpha+\cos 9 \alpha}=\operatorname{tg} \alpha;$

8) $\frac{2 \cos \beta+\cos 3 \beta+\cos 5 \beta}{\sin \beta+\sin 2 \beta+\cos 3 \beta}=4 \cos 2 \beta.$

1) Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и тригонометрические тождества.В числителе:$ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - 4\alpha) = \text{ctg}(4\alpha) $.$ \sin(4\pi - 2\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.$ \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha) $.Произведение в числителе: $ \text{ctg}(4\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot \cos(2\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) $.В знаменателе:$ \text{ctg}(-4\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) $.$ \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin^2(2\alpha) $, поэтому выражение в скобках равно $ \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha) $.Весь знаменатель: $ -\text{ctg}(4\alpha) \cos(4\alpha) $.Теперь разделим числитель на знаменатель:$ \frac{-\text{ctg}(4\alpha) \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)}{-\text{ctg}(4\alpha) \cos(4\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha) \cos(2\alpha)}{\cos(4\alpha)} $.Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $, откуда $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.Получаем: $ \frac{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(4\alpha) $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и косинусов.Числитель: $ (\sin\alpha + \sin5\alpha) + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \sin3\alpha = 2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha = \sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $.Знаменатель: $ (\cos\alpha + \cos5\alpha) + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \cos3\alpha = 2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha = \cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $.Дробь равна: $ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} = \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \text{tg}3\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Используем формулу котангенса суммы: $ \text{ctg}(\alpha+\beta) = \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $.Подставляем в выражение:$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} - 1 $.Сокращая $ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) $, получаем:$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta) - 1 = \text{tg}\alpha \text{tg}\beta + 1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta - 1 = 0 $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов.Числитель: $ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta $.Знаменатель: $ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta $.Дробь равна: $ \frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Преобразуем левую часть. Используем формулу котангенса разности: $ \text{ctg}(\alpha-\beta) = \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} $.Подставляем в выражение:$ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $.Сокращая $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) $, получаем:$ (1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулы преобразования разности в произведение.Числитель: $ (\sin\alpha - \sin5\alpha) - 2\cos3\alpha = 2\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2} - 2\cos3\alpha = 2\sin(-2\alpha)\cos3\alpha - 2\cos3\alpha = -2\sin2\alpha\cos3\alpha - 2\cos3\alpha = -2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1) $.Знаменатель: $ (\cos\alpha - \cos5\alpha) + 2\sin3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} + 2\sin3\alpha = -2\sin3\alpha\sin(-2\alpha) + 2\sin3\alpha = 2\sin3\alpha\sin2\alpha + 2\sin3\alpha = 2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1) $.Дробь равна: $ \frac{-2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)}{2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)} = -\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы преобразования суммы и разности в произведение.Числитель: $ (\sin9\alpha - \sin7\alpha) + (\sin8\alpha - \sin6\alpha) = 2\sin\frac{9\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2} + 2\sin\frac{8\alpha-6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos8\alpha + 2\sin\alpha\cos7\alpha = 2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $.Знаменатель: $ (\cos9\alpha + \cos7\alpha) + (\cos8\alpha + \cos6\alpha) = 2\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha-7\alpha}{2} + 2\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-6\alpha}{2} = 2\cos8\alpha\cos\alpha + 2\cos7\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $.Дробь равна: $ \frac{2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)}{2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) Преобразуем левую часть тождества.Числитель: $ 2\cos\beta + (\cos3\beta + \cos5\beta) = 2\cos\beta + 2\cos\frac{3\beta+5\beta}{2}\cos\frac{5\beta-3\beta}{2} = 2\cos\beta + 2\cos4\beta\cos\beta = 2\cos\beta(1 + \cos4\beta) $.Используя формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $, получаем $ 1 + \cos4\beta = 2\cos^2(2\beta) $.Числитель равен $ 2\cos\beta \cdot 2\cos^2(2\beta) = 4\cos\beta\cos^2(2\beta) $.Знаменатель: $ \sin\beta \cdot \sin2\beta + \cos3\beta $. Используем формулу косинуса суммы $ \cos3\beta = \cos(2\beta+\beta) = \cos2\beta\cos\beta - \sin2\beta\sin\beta $.Знаменатель равен $ \sin\beta\sin2\beta + \cos2\beta\cos\beta - \sin2\beta\sin\beta = \cos2\beta\cos\beta $.Дробь равна: $ \frac{4\cos\beta\cos^2(2\beta)}{\cos2\beta\cos\beta} = 4\cos2\beta $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

31.9. Найдите K, P и M так, чтобы было верным равенство:

1) $z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = (z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$;

2) $3z^5 - z^4 - 3z + 1 = (z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M)$;

3) $z^6 + 3z^3 + 2 = (z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

1) Для нахождения неизвестных коэффициентов $K$, $P$ и $M$ раскроем скобки в правой части равенства и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $z$ в левой и правой частях.

Исходное равенство: $z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = (z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z(z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^4 + Kz^3 + Pz^2 + Mz + z^3 + Kz^2 + Pz + M = z^4 + (K+1)z^3 + (P+K)z^2 + (M+P)z + M$.

Теперь приравниваем многочлены:

$z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = z^4 + (K+1)z^3 + (P+K)z^2 + (M+P)z + M$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем систему уравнений:

При $z^3$: $2 = K + 1$

При $z^2$: $-16 = P + K$

При $z$: $-2 = M + P$

Свободный член: $15 = M$

Решаем систему. Из последнего уравнения сразу получаем $M=15$.

Подставляем $M$ в уравнение для коэффициента при $z$: $-2 = 15 + P$, откуда $P = -2 - 15 = -17$.

Подставляем $P$ в уравнение для коэффициента при $z^2$: $-16 = -17 + K$, откуда $K = -16 + 17 = 1$.

Проверяем первое уравнение с найденным $K$: $2 = 1 + 1$, что верно.

Таким образом, $K=1$, $P=-17$, $M=15$.

Ответ: $K=1, P=-17, M=15$.

2) Аналогично первому пункту, раскроем скобки в правой части и сравним коэффициенты.

Исходное равенство: $3z^5 - z^4 - 3z + 1 = (z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^2(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) = 3z^5 + Kz^4 + Pz^3 + Mz^2 + 3z^3 + Kz^2 + Pz + M = 3z^5 + Kz^4 + (P+3)z^3 + (M+K)z^2 + Pz + M$.

Приравниваем многочлены, добавив в левой части члены с нулевыми коэффициентами для наглядности:

$3z^5 - z^4 + 0z^3 + 0z^2 - 3z + 1 = 3z^5 + Kz^4 + (P+3)z^3 + (M+K)z^2 + Pz + M$.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

При $z^4$: $-1 = K$

При $z^3$: $0 = P + 3$

При $z^2$: $0 = M + K$

При $z$: $-3 = P$

Свободный член: $1 = M$

Из системы сразу находим: $K=-1$, $P=-3$, $M=1$.

Проверим оставшиеся уравнения с этими значениями.

Уравнение для $z^3$: $0 = P + 3 \implies 0 = -3 + 3$, что верно.

Уравнение для $z^2$: $0 = M + K \implies 0 = 1 + (-1)$, что верно.

Все значения согласуются.

Ответ: $K=-1, P=-3, M=1$.

3) Снова используем метод сравнения коэффициентов.

Исходное равенство: $z^6 + 3z^3 + 2 = (z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^3(z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + Mz^3 + z^3 + Kz^2 + Pz + M = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + (M+1)z^3 + Kz^2 + Pz + M$.

Приравниваем многочлены, добавив в левой части члены с нулевыми коэффициентами:

$z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 3z^3 + 0z^2 + 0z + 2 = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + (M+1)z^3 + Kz^2 + Pz + M$.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему:

При $z^5$: $0 = K$

При $z^4$: $0 = P$

При $z^3$: $3 = M + 1$

При $z^2$: $0 = K$

При $z$: $0 = P$

Свободный член: $2 = M$

Из системы сразу получаем $K=0$ и $P=0$.

Из уравнения для свободного члена: $M=2$.

Проверим это значение в уравнении для $z^3$: $3 = M + 1 \implies 3 = 2 + 1$, что верно.

Ответ: $K=0, P=0, M=2$.

31.10. Известно, что $f(x)$ — многочлен степени $n$ и при всех значениях переменной $x$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Докажите:

1) $n$ — четное натуральное число или нуль;

2) коэффициенты многочлена $f(x)$ при нечетных степенях $x$ равны 0.

Пусть многочлен $f(x)$ степени $n$ записан в общем виде:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_k x^k + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$ (для $n \ge 1$).

Если $n=0$, то $f(x) = a_0$, где $a_0$ - константа.

По условию, для всех значений $x$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Такие функции называются четными.

Найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ в многочлен:

$f(-x) = a_n (-x)^n + a_{n-1} (-x)^{n-1} + \dots + a_k (-x)^k + \dots + a_1 (-x) + a_0$.

Используя свойство $(-x)^k = (-1)^k x^k$, перепишем $f(-x)$:

$f(-x) = a_n (-1)^n x^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} x^{n-1} + \dots + a_k (-1)^k x^k + \dots - a_1 x + a_0$.

Приравняем многочлены $f(x)$ и $f(-x)$:

$a_n x^n + \dots + a_k x^k + \dots + a_0 = a_n (-1)^n x^n + \dots + a_k (-1)^k x^k + \dots + a_0$.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравнивая коэффициенты при $x^k$ для всех $k$ от $0$ до $n$, получаем:

$a_k = a_k (-1)^k$.

Перенеся все в левую часть, получим $a_k - a_k (-1)^k = 0$, или

$a_k (1 - (-1)^k) = 0$.

Это соотношение является ключом к доказательству обоих утверждений.

1) n — четное натуральное число или нуль;

Рассмотрим полученное выше соотношение для старшего коэффициента многочлена, то есть для $k=n$:

$a_n (1 - (-1)^n) = 0$.

По определению степени многочлена, старший коэффициент $a_n$ не равен нулю ($a_n \neq 0$). Если $n=0$, то $f(x) = a_0$, $f(-x) = a_0$, равенство $f(x)=f(-x)$ выполняется, и $n=0$ является четным числом. Если $n \ge 1$, то $a_n \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства $a_n (1 - (-1)^n) = 0$, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$1 - (-1)^n = 0$.

Это уравнение равносильно тому, что $(-1)^n = 1$.

Такое равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является четным числом. Так как степень многочлена $n$ — это неотрицательное целое число, то $n$ может быть либо нулем, либо четным натуральным числом ($2, 4, 6, \dots$).

Ответ: Доказано, что $n$ — четное натуральное число или нуль.

2) коэффициенты многочлена f(x) при нечетных степенях x равны 0.

Вновь обратимся к основному соотношению для коэффициентов: $a_k (1 - (-1)^k) = 0$.

Рассмотрим это равенство для любого нечетного индекса $k$ (например, $k=1, 3, 5, \dots$). Если $k$ — нечетное число, то $(-1)^k = -1$. Подставим это значение в соотношение:

$a_k (1 - (-1)) = 0$

$a_k (1 + 1) = 0$

$2a_k = 0$.

Из последнего равенства следует, что $a_k = 0$ для любого нечетного $k$. Таким образом, все коэффициенты многочлена при нечетных степенях $x$ равны нулю.

Ответ: Доказано, что коэффициенты многочлена $f(x)$ при нечетных степенях $x$ равны 0.

31.11. При каких значениях $a$ и $c$ многочлен $f(x)$ делится на многочлен $h(x)$:

1) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + c, h(x) = x^2 - 3x + 2;$

2) $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2, h(x) = x^2 + x + c?$

1) Для того чтобы многочлен $f(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + c$ делился на многочлен $h(x) = x^2 - 3x + 2$ без остатка, необходимо, чтобы все корни многочлена $h(x)$ были также и корнями многочлена $f(x)$. Это следует из теоремы Безу.

Сначала найдем корни многочлена $h(x)$, решив уравнение $h(x) = 0$:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Используя теорему Виета или разложение на множители, получаем:

$(x-1)(x-2) = 0$

Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь, согласно условию делимости, значения многочлена $f(x)$ в этих точках должны быть равны нулю, то есть $f(1) = 0$ и $f(2) = 0$.

Подставим $x=1$ в выражение для $f(x)$:

$f(1) = (1)^4 - 3(1)^3 + 3(1)^2 + a(1) + c = 0$

$1 - 3 + 3 + a + c = 0$

$1 + a + c = 0$

$a + c = -1$

Подставим $x=2$ в выражение для $f(x)$:

$f(2) = (2)^4 - 3(2)^3 + 3(2)^2 + a(2) + c = 0$

$16 - 3(8) + 3(4) + 2a + c = 0$

$16 - 24 + 12 + 2a + c = 0$

$4 + 2a + c = 0$

$2a + c = -4$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $c$:

$\begin{cases} a + c = -1 \\ 2a + c = -4 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2a + c) - (a + c) = -4 - (-1)$

$a = -3$

Подставим найденное значение $a = -3$ в первое уравнение системы:

$-3 + c = -1$

$c = 2$

Ответ: $a = -3$, $c = 2$.

2) В этом случае $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2$ и $h(x) = x^2 + x + c$. Так как степень $f(x)$ равна 4, а степень $h(x)$ равна 2, частное от их деления должно быть многочленом второй степени. Обозначим его как $q(x) = x^2 + bx + d$.

Условие делимости означает, что $f(x) = h(x) \cdot q(x)$.

$x^4 - 2x^3 + ax + 2 = (x^2 + x + c)(x^2 + bx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(x^2 + x + c)(x^2 + bx + d) = x^4 + bx^3 + dx^2 + x^3 + bx^2 + dx + cx^2 + cbx + cd$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$x^4 + (b+1)x^3 + (d+b+c)x^2 + (d+cb)x + cd$

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в исходном многочлене $f(x)$ и в полученном выражении:

Коэффициент при $x^4$: $1 = 1$ (верно).

Коэффициент при $x^3$: $-2 = b+1$, откуда $b = -3$.

Коэффициент при $x^2$: $0 = d+b+c$.

Коэффициент при $x$: $a = d+cb$.

Свободный член: $2 = cd$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} b = -3 \\ d+b+c = 0 \\ a = d+cb \\ cd = 2 \end{cases}$

Подставим $b = -3$ во второе уравнение:

$d - 3 + c = 0 \implies d + c = 3 \implies d = 3 - c$.

Теперь подставим выражение для $d$ в последнее уравнение системы:

$c(3 - c) = 2$

$3c - c^2 = 2$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

Решая это квадратное уравнение относительно $c$, находим два корня: $c_1 = 1$ и $c_2 = 2$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $c = 1$.

Находим $d$: $d = 3 - c = 3 - 1 = 2$.

Находим $a$ из третьего уравнения системы, подставив $b=-3, c=1, d=2$:

$a = d+cb = 2 + (1)(-3) = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первая пара значений: $a=-1, c=1$.

Случай 2: $c = 2$.

Находим $d$: $d = 3 - c = 3 - 2 = 1$.

Находим $a$, подставив $b=-3, c=2, d=1$:

$a = d+cb = 1 + (2)(-3) = 1 - 6 = -5$.

Таким образом, вторая пара значений: $a=-5, c=2$.

Ответ: $a = -1, c = 1$ или $a = -5, c = 2$.

31.12. Решите дробно-рациональное уравнение:

1) $1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x-2}$;

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 - \frac{3x-1}{x-4}$;

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3$;

4) $\frac{12}{x^2 + 2x} - \frac{3}{x^2 + 2x - 2} = 1$.

1) $1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x-2}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $1 - \frac{x}{x+1} - \frac{x}{x-2} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-2)$: $\frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)} - \frac{x(x-2)}{(x+1)(x-2)} - \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-2)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой: $\frac{(x^2-x-2) - (x^2-2x) - (x^2+x)}{(x+1)(x-2)} = 0$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^2 - x - 2 - x^2 + 2x - x^2 - x}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{-x^2 - 2}{(x+1)(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ. $-x^2 - 2 = 0$ $x^2 = -2$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 - \frac{3x-1}{x-4}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Преобразуем правую часть уравнения: $16 - \frac{3x-1}{x-4} = 16 - \frac{-(1-3x)}{x-4} = 16 + \frac{1-3x}{x-4}$.

Подставим это обратно в уравнение: $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 + \frac{1-3x}{x-4}$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковое слагаемое $\frac{1-3x}{x-4}$: $x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ $x_2 = -4$

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$). Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 12x = x(x-12)$.

Уравнение примет вид: $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-12 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-12)$: $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3x}{x(x-12)} = 3$ $\frac{36 - 3x}{x(x-12)} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x-12)$, так как по ОДЗ он не равен нулю: $36 - 3x = 3x(x-12)$ $36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные: $3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$ $3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения: $x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 11$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Корни уравнения: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 12$). Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

4) $\frac{12}{x^2 + 2x} - \frac{3}{x^2 + 2x - 2} = 1$

В данном уравнении выражение $x^2 + 2x$ встречается дважды. Введем замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Тогда уравнение примет вид: $\frac{12}{t} - \frac{3}{t-2} = 1$

ОДЗ для новой переменной $t$: $t \neq 0$ и $t-2 \neq 0$, то есть $t \neq 0$ и $t \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $t(t-2)$ и решим уравнение: $\frac{12(t-2) - 3t}{t(t-2)} = 1$ $12(t-2) - 3t = t(t-2)$ $12t - 24 - 3t = t^2 - 2t$ $9t - 24 = t^2 - 2t$

Перенесем все в правую часть: $t^2 - 2t - 9t + 24 = 0$ $t^2 - 11t + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 11$ $t_1 \cdot t_2 = 24$ Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 8$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $t$ ($t \neq 0, t \neq 2$).

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. Если $t=3$: $x^2 + 2x = 3$ $x^2 + 2x - 3 = 0$ По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

2. Если $t=8$: $x^2 + 2x = 8$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ По теореме Виета, корни $x_3 = 2$, $x_4 = -4$.

Все найденные значения $x$ являются корнями исходного уравнения, так как для них $t$ не равно 0 или 2, что обеспечивает неравенство нулю знаменателей в исходном уравнении.

Ответ: -4; -3; 1; 2.

31.13. Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное системой неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8x - x^2 < 0, \\ 4 - 2x \le 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 1 + x^2 \le 5, \\ 1 - x \le 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0, \\ 1 + x^2 \le 17. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 3x \geq 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x \geq 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 3) \geq 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x - 2 > 0$.

$x > 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Совместим множества $(-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ на координатной прямой.

Общим решением будет интервал, где оба условия выполняются одновременно, то есть $x \in [3; +\infty)$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8x - x^2 < 0, \\ 4 - 2x \leq 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $8x - x^2 < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 8x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 8) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 8) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$.

Это парабола с ветвями вверх, значения положительны вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4 - 2x \leq 0$.

$4 \leq 2x$

$2 \leq x$, или $x \geq 2$.

Решение второго неравенства: $x \in [2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$ и $[2; +\infty)$.

Общим решением будет интервал $x \in (8; +\infty)$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 1 + x^2 \leq 5, \\ 1 - x \leq 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $1 + x^2 \leq 5$.

$x^2 \leq 4$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 2$, то есть $-2 \leq x \leq 2$.

Решение первого неравенства: $x \in [-2; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $1 - x \leq 0$.

$1 \leq x$, или $x \geq 1$.

Решение второго неравенства: $x \in [1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2; 2]$ и $[1; +\infty)$.

Общим решением будет отрезок $x \in [1; 2]$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [1; 2]$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4 - x^2 \geq 0, \\ 1 + x^2 \leq 17. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $4 - x^2 \geq 0$.

$4 \geq x^2$, или $x^2 \leq 4$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 2$, то есть $-2 \leq x \leq 2$.

Решение первого неравенства: $x \in [-2; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $1 + x^2 \leq 17$.

$x^2 \leq 16$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 4$, то есть $-4 \leq x \leq 4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4; 4]$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2; 2]$ и $[-4; 4]$.

Отрезок $[-2; 2]$ полностью содержится в отрезке $[-4; 4]$, поэтому их пересечением является отрезок $[-2; 2]$.

Общее решение: $x \in [-2; 2]$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

31.14. Постройте график функции $y = |x^2 + 2x - 8|$. Найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) ось симметрии графика функции;

4) значение параметра $p$, при котором уравнение $p = |x^2 + 2x - 8|$ имеет три корня.

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 + 2x - 8$.Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.Найдем координаты вершины параболы ($x_в, y_в$):$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$:Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.График функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ получается из графика параболы $y = x^2 + 2x - 8$ следующим образом: часть графика, где $y \ge 0$ (при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$), остается без изменений, а часть графика, где $y < 0$ (при $x \in (-4, 2)$), симметрично отражается относительно оси Ox. При этом вершина $(-1, -9)$ переходит в точку $(-1, 9)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Пересечение с осью Oy: подставляем $x=0$ в уравнение функции.$y = |0^2 + 2 \cdot 0 - 8| = |-8| = 8$.Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 8)$.

Пересечение с осью Ox: решаем уравнение $y=0$.$|x^2 + 2x - 8| = 0$, что эквивалентно $x^2 + 2x - 8 = 0$.Корни этого уравнения, как мы нашли ранее, $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, 8)$; с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для определения промежутков монотонности проанализируем построенный график. Точки, в которых характер монотонности меняется, — это точки экстремумов. Для данной функции это $x=-4$ (локальный минимум), $x=-1$ (локальный максимум) и $x=2$ (локальный минимум).- На промежутке $(-\infty, -4]$ функция убывает.- На промежутке $[-4, -1]$ функция возрастает.- На промежутке $[-1, 2]$ функция убывает.- На промежутке $[2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4, -1]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[-1, 2]$.

Исходная парабола $y = x^2 + 2x - 8$ симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Ось симметрии параболы — это прямая $x = -1$. Поскольку операция взятия модуля является симметричным преобразованием относительно этой же оси, график функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ также симметричен относительно прямой $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

Число корней уравнения $p = |x^2 + 2x - 8|$ равно числу точек пересечения графика функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ и горизонтальной прямой $y = p$.Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $p$:- При $p < 0$ — 0 корней (нет пересечений).- При $p = 0$ — 2 корня (прямая $y=0$ проходит через точки $(-4,0)$ и $(2,0)$).- При $0 < p < 9$ — 4 корня.- При $p = 9$ — 3 корня. Прямая $y=9$ касается графика в его локальном максимуме, точке $(-1, 9)$, и пересекает две другие ветви графика.- При $p > 9$ — 2 корня.Уравнение имеет ровно три корня, когда прямая $y=p$ проходит через вершину отраженной части параболы, то есть при $p=9$.

Ответ: $p = 9$.

31.15.

1) Расстояние между двумя речными причалами равно 90 км. Теплоход на весь рейс в оба конца затрачивает 7,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $20\%$ от собственной скорости теплохода.

2) За 30 мин катер проходит по течению реки такое же расстояние, что и за 40 мин против течения, причем 2 км против течения он проходит за 10 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

1) Пусть $v_{\text{с}}$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) в км/ч. Тогда скорость течения реки, согласно условию, составляет 20% от собственной скорости, то есть $v_{\text{т}} = 0.2 \cdot v_{\text{с}}$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{\text{по теч.}} = v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = v_{\text{с}} + 0.2 v_{\text{с}} = 1.2 v_{\text{с}}$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{\text{пр. теч.}} = v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = v_{\text{с}} - 0.2 v_{\text{с}} = 0.8 v_{\text{с}}$ км/ч.

Расстояние между причалами равно $S = 90$ км. Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{\text{по теч.}} = \frac{S}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{90}{1.2 v_{\text{с}}}$ ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{\text{пр. теч.}} = \frac{S}{v_{\text{пр. теч.}}} = \frac{90}{0.8 v_{\text{с}}}$ ч.

Общее время на весь рейс в оба конца составляет $T = 7.5$ ч. Составим уравнение: $t_{\text{по теч.}} + t_{\text{пр. теч.}} = T$ $\frac{90}{1.2 v_{\text{с}}} + \frac{90}{0.8 v_{\text{с}}} = 7.5$

Вынесем общий множитель $\frac{90}{v_{\text{с}}}$ за скобки: $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{10}{12} + \frac{10}{8} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{5}{6} + \frac{5}{4} \right) = 7.5$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12: $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{10}{12} + \frac{15}{12} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \cdot \frac{25}{12} = 7.5$

Выразим $v_{\text{с}}$: $v_{\text{с}} = \frac{90 \cdot 25}{12 \cdot 7.5}$ $v_{\text{с}} = \frac{90 \cdot 25}{90}$ $v_{\text{с}} = 25$ км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода равна 25 км/ч.

2) Пусть $v_{\text{с}}$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_{\text{т}}$ — скорость течения реки в км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $v_{\text{по теч.}} = v_{\text{с}} + v_{\text{т}}$, а скорость против течения — $v_{\text{пр. теч.}} = v_{\text{с}} - v_{\text{т}}$.

Из условия известно, что 2 км против течения катер проходит за 10 минут. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч. Найдем скорость катера против течения: $v_{\text{пр. теч.}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{время}} = \frac{2 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 12$ км/ч. Таким образом, мы получили первое уравнение: $v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = 12$

Также по условию катер проходит некоторое расстояние $S$ по течению за 30 минут и такое же расстояние $S$ против течения за 40 минут. Переведем время в часы: $t_{\text{по теч.}} = 30$ мин = $0.5$ ч. $t_{\text{пр. теч.}} = 40$ мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Расстояние можно выразить как произведение скорости на время: $S = v_{\text{по теч.}} \cdot t_{\text{по теч.}}$ $S = v_{\text{пр. теч.}} \cdot t_{\text{пр. теч.}}$ Поскольку расстояния равны, приравняем правые части: $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = v_{\text{пр. теч.}} \cdot \frac{2}{3}$

Мы уже знаем, что $v_{\text{пр. теч.}} = 12$ км/ч. Подставим это значение в уравнение: $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = 12 \cdot \frac{2}{3}$ $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = 8$ $v_{\text{по теч.}} = \frac{8}{0.5} = 16$ км/ч. Таким образом, мы получили второе уравнение: $v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = 16$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $\begin{cases} v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = 12 \\ v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = 16 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $v_{\text{с}}$: $(v_{\text{с}} - v_{\text{т}}) + (v_{\text{с}} + v_{\text{т}}) = 12 + 16$ $2v_{\text{с}} = 28$ $v_{\text{с}} = 14$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_{\text{с}}$ во второе уравнение, чтобы найти $v_{\text{т}}$: $14 + v_{\text{т}} = 16$ $v_{\text{т}} = 16 - 14$ $v_{\text{т}} = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 14 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.