Страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

29. На рисунке 3 изображен график квадратичной функции. Укажите:

1) нули и промежутки монотонности функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) множество значений функции.

Запишите уравнение оси симметрии.

Рис. 3

1) нули и промежутки монотонности функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из рисунка видно, что график пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и есть нули функции.

Промежутки монотонности определяют, где функция возрастает, а где убывает. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = 2$. До вершины (при $x < 2$) функция убывает. После вершины (при $x > 2$) функция возрастает. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: нули функции: 0 и 4; функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$, возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

2) промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до первого нуля и от второго нуля до $+\infty$. То есть, $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит между нулями функции. То есть, $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

3) множество значений функции.

Множество значений функции (или область значений) – это все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. На графике изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координаты вершины параболы: $(2, -4)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -4. Все остальные значения больше этого. Таким образом, множество значений функции – это все числа от -4, включая -4, до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Запишите уравнение оси симметрии.

Ось симметрии параболы – это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Вершина параболы имеет координаты $(2, -4)$. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 2, имеет вид $x=2$.

Ответ: $x = 2$.

30. На рисунке 4 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. $D = b^2 - 4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$:

1)

2)

Рис. 4

1) Для определения знаков чисел $a, b, c$ и $D$ проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вниз, это означает, что старший коэффициент $a$ отрицателен: $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$: график пересекает ось $y$ в точке, ордината которой отрицательна (ниже начала координат). Значение функции при $x=0$ равно $c$, следовательно, $c < 0$.

3. Знак коэффициента $b$: абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть $x_0 < 0$. Так как $a < 0$, получаем неравенство: $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Поскольку знаменатель $2a$ отрицателен, для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным: $b < 0$.

4. Знак дискриминанта $D$: парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках. Это значит, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, следовательно, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен: $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

2) Проведем аналогичный анализ для второго графика.

1. Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента $c$: парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, $c = y(0) < 0$.

3. Знак коэффициента $b$: вершина параболы лежит на оси $y$. Это означает, что абсцисса вершины $x_0 = 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ следует, что $-\frac{b}{2a} = 0$. Так как $a \neq 0$, это равенство выполняется только при $b = 0$.

4. Знак дискриминанта $D$: парабола не имеет точек пересечения с осью $x$ (полностью расположена под ней). Это значит, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, и, следовательно, дискриминант $D$ отрицателен: $D < 0$. Проверим это: $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4ac = -4ac$. Поскольку $a < 0$ и $c < 0$, их произведение $ac > 0$. Тогда $-4ac < 0$, что подтверждает наш вывод.

Ответ: $a < 0, b = 0, c < 0, D < 0$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему:

$\text{ст.} (P(x)+Q(x)+R(x)) \le k$, где $k = \max \{m, g, p\}$ и $m = \text{ст.} (P(x))$, $g = \text{ст.} (Q(x))$, $p = \text{ст.}(R(x))$;

$\text{ст.} (P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x)) = \text{ст.}(P(x)) + \text{ст.}(Q(x)) + \text{ст.}(R(x))?$

ст.(P(x) + Q(x) + R(x)) ≤ k, где k = max{m, g, p} и m = ст.(P(x)), g = ст.(Q(x)), p = ст.(R(x));

Свойство касается степени суммы многочленов. Степенью многочлена (обозначается как ст. или deg) является наибольший показатель степени переменной в его членах с ненулевыми коэффициентами.

Пусть у нас есть три многочлена:

$P(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \dots + a_0$, где $a_m \neq 0$ и ст.($P(x)$) = $m$.

$Q(x) = b_g x^g + b_{g-1}x^{g-1} + \dots + b_0$, где $b_g \neq 0$ и ст.($Q(x)$) = $g$.

$R(x) = c_p x^p + c_{p-1}x^{p-1} + \dots + c_0$, где $c_p \neq 0$ и ст.($R(x)$) = $p$.

При сложении этих многочленов $S(x) = P(x) + Q(x) + R(x)$ мы складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$.

Пусть $k = \max\{m, g, p\}$ — это наибольшая из степеней исходных многочленов. В результирующем многочлене $S(x)$ не может появиться член со степенью больше $k$, потому что ни в одном из слагаемых многочленов ($P(x)$, $Q(x)$ или $R(x)$) нет членов с такой высокой степенью. Следовательно, степень суммы не может превышать $k$.

Почему же степень может быть меньше $k$? Это происходит, когда старшие члены многочленов, имеющих максимальную степень $k$, взаимно уничтожаются.

Например, пусть $P(x) = 2x^3 + 5x$, $Q(x) = -2x^3 + x^2$, $R(x) = x-1$.

Здесь $m=3, g=3, p=1$. Максимальная степень $k = \max\{3, 3, 1\} = 3$.

Их сумма: $S(x) = (2x^3 + 5x) + (-2x^3 + x^2) + (x-1) = (2-2)x^3 + x^2 + (5+1)x - 1 = x^2 + 6x - 1$.

Степень суммы ст.($S(x)$) равна 2, что строго меньше $k=3$. Это произошло потому, что коэффициенты при $x^3$ (2 и -2) в сумме дали ноль.

Таким образом, степень суммы многочленов всегда меньше или равна максимальной из степеней слагаемых.

Ответ: Степень суммы многочленов не может превышать максимальную из степеней слагаемых, так как при сложении не образуются члены с более высокими степенями. Однако старшие члены с максимальной степенью могут взаимно уничтожиться при сложении, что приведет к уменьшению степени итогового многочлена. Поэтому ст.($P(x) + Q(x) + R(x)$) $\le \max\{$ст.($P(x)$), ст.($Q(x)$), ст.($R(x)$)$\}$.

ст.(P(x) · Q(x) · R(x)) = ст.(P(x)) + ст.(Q(x)) + ст.(R(x))?

Это свойство касается степени произведения многочленов. Используем те же обозначения для многочленов $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ и их степеней $m, g, p$.

Старший член многочлена $P(x)$ — это $a_m x^m$.

Старший член многочлена $Q(x)$ — это $b_g x^g$.

Старший член многочлена $R(x)$ — это $c_p x^p$.

При перемножении многочленов $T(x) = P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x)$ член с наивысшей степенью в результирующем многочлене $T(x)$ получается путем перемножения старших членов каждого из сомножителей.

Произведение старших членов:$(a_m x^m) \cdot (b_g x^g) \cdot (c_p x^p) = (a_m \cdot b_g \cdot c_p) \cdot x^{m+g+p}$.

Степень этого члена равна $m+g+p$, что является суммой степеней исходных многочленов. Его коэффициент равен произведению $a_m \cdot b_g \cdot c_p$.

По определению, старшие коэффициенты $a_m, b_g, c_p$ не равны нулю. Произведение ненулевых чисел также не равно нулю (в стандартных числовых системах, таких как целые, рациональные или действительные числа).

Любое другое произведение членов из $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ даст в результате член со степенью, которая будет строго меньше, чем $m+g+p$. Например, произведение $a_{m-1}x^{m-1} \cdot b_g x^g \cdot c_p x^p$ будет иметь степень $(m-1)+g+p$, что меньше $m+g+p$.

Поэтому член $(a_m b_g c_p) x^{m+g+p}$ является единственным членом наивысшей степени в произведении, и он не может быть сокращен. Так как его коэффициент не равен нулю, степень итогового многочлена в точности равна $m+g+p$.

Ответ: Степень произведения многочленов равна сумме степеней этих многочленов. Это происходит потому, что старший член произведения формируется умножением старших членов сомножителей, его степень является суммой их степеней, а его коэффициент (будучи произведением ненулевых коэффициентов) отличен от нуля.