Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

24. Решите графически уравнение и запишите приближенные значения его корней:

1) $x^2 - 6x = \frac{1}{x+1}$;

2) $-3x^2 + 2x = \frac{x+1}{x-2}$.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

1) $x^2 - 6x = \frac{1}{x+1}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = x^2 - 6x$ и $y_2 = \frac{1}{x+1}$.

1. Построим график функции $y_1 = x^2 - 6x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$

Вершина находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 6x = 0 \implies x(x-6) = 0 \implies x=0$ или $x=6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y_2 = \frac{1}{x+1}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. График получен сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево.

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика в одной системе координат и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в двух точках.

Первая точка пересечения имеет абсциссу, близкую к $x = -0.2$. Проверим: $y_1(-0.2) = (-0.2)^2 - 6(-0.2) = 0.04 + 1.2 = 1.24$. $y_2(-0.2) = \frac{1}{-0.2+1} = \frac{1}{0.8} = 1.25$. Значения очень близки.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу, немного большую $x = 6$. Проверим: $y_1(6.02) = (6.02)^2 - 6(6.02) \approx 36.24 - 36.12 = 0.12$. $y_2(6.02) = \frac{1}{6.02+1} \approx \frac{1}{7.02} \approx 0.14$. Значения близки.

Приближенные значения корней: $x_1 \approx -0.2$, $x_2 \approx 6.0$.

Ответ: $x_1 \approx -0.2$, $x_2 \approx 6.0$.

2) $-3x^2 + 2x = \frac{x+1}{x-2}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = -3x^2 + 2x$ и $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.

1. Построим график функции $y_1 = -3x^2 + 2x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}$

$y_0 = -3(\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Найдем точки пересечения с осью Ox:

$-3x^2 + 2x = 0 \implies x(-3x+2) = 0 \implies x=0$ или $x=\frac{2}{3}$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$.

Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Преобразуем выражение: $y_2 = \frac{x-2+3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2}$.

График получен сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Вертикальная асимптота: $x = 2$.

Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика в одной системе координат и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке. Хотя в условии задачи слово "корней" употреблено во множественном числе, графический и алгебраический анализ показывают наличие только одного решения.

Точка пересечения находится в интервале $(-0.2, -0.1)$.

Проверим значение $x \approx -0.16$:

$y_1(-0.16) = -3(-0.16)^2 + 2(-0.16) = -3(0.0256) - 0.32 = -0.0768 - 0.32 = -0.3968$

$y_2(-0.16) = \frac{-0.16+1}{-0.16-2} = \frac{0.84}{-2.16} \approx -0.3889$

Значения очень близки, поэтому $x \approx -0.16$ является хорошим приближением корня.

Ответ: $x \approx -0.16$.

*25. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2 + 3}{x + 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 4x}{x - 2} = 0;$

3) $\frac{y^2 + x^2 - 25}{x^2 - 1} = 0.$

1)Исходное уравнение $\frac{y - x^2 + 3}{x + 1} = 0$ представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит нас к системе условий:

$\begin{cases} y - x^2 + 3 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 - 3 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Графиком уравнения $y = x^2 - 3$ является парабола, полученная из параболы $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -3)$.

Условие $x \neq -1$ означает, что из графика параболы нужно исключить (выколоть) точку, абсцисса которой равна -1. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:

$y = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Таким образом, точка с координатами $(-1, -2)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 3$ с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх, с выколотой точкой $(-1, -2)$.

2)Рассмотрим уравнение $\frac{y - x^2 + 4x}{x - 2} = 0$. По аналогии с предыдущим пунктом, это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 4x = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x \\ x \neq 2 \end{cases}$

Графиком уравнения $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 2$ в уравнение параболы:

$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -4)$.

Условие $x \neq 2$ означает, что из графика параболы нужно исключить точку с абсциссой $x = 2$. Как мы выяснили, это и есть вершина параболы.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 4x$ с выколотой вершиной в точке $(2, -4)$.

3)Рассмотрим уравнение $\frac{y^2 + x^2 - 25}{x^2 - 1} = 0$. Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} y^2 + x^2 - 25 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 \neq 1 \end{cases}$

Или, что то же самое:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5^2 \\ x \neq 1 \text{ и } x \neq -1 \end{cases}$

Уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ задает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r=5$.

Условия $x \neq 1$ и $x \neq -1$ означают, что из этой окружности нужно исключить все точки, у которых абсциссы равны 1 или -1. Найдем ординаты этих точек.

При $x = 1$:

$1^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Значит, нужно выколоть точки $(1, 2\sqrt{6})$ и $(1, -2\sqrt{6})$.

При $x = -1$:

$(-1)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Значит, нужно выколоть точки $(-1, 2\sqrt{6})$ и $(-1, -2\sqrt{6})$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, из которой выколоты четыре точки: $(1, 2\sqrt{6})$, $(1, -2\sqrt{6})$, $(-1, 2\sqrt{6})$ и $(-1, -2\sqrt{6})$.

26. Напишите аналитическую формулу функции, если ее график получен из графика функции:

1) $y = 2x^2$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз;

2) $y = \frac{1}{x}$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх;

3) $y=3\sqrt{x}$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз.

Для решения задачи воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Пусть дана функция $y=f(x)$.

• График функции $y=f(x-c)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц вправо.
• График функции $y=f(x+c)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц влево.
• График функции $y=f(x)+d$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $d$ единиц вверх.
• График функции $y=f(x)-d$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $d$ единиц вниз.

1) Исходная функция: $y = 2x^2$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Это означает, что мы заменяем $x$ на $(x-3)$. Новая функция имеет вид $y = 2(x-3)^2$.

Ответ: $y = 2(x-3)^2$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Это означает, что мы вычитаем 2 из всей функции. Новая функция имеет вид $y = 2x^2 - 2$.

Ответ: $y = 2x^2 - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Смещение влево на 4 единицы означает замену $x$ на $(x+4)$. Смещение вниз на 3 единицы означает вычитание 3 из всей функции. Применяя оба преобразования, получаем: $y = 2(x+4)^2 - 3$.

Ответ: $y = 2(x+4)^2 - 3$

2) Исходная функция: $y = \frac{1}{x}$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Заменяем $x$ на $(x-3)$. Новая функция: $y = \frac{1}{x-3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-3}$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Вычитаем 2 из функции. Новая функция: $y = \frac{1}{x} - 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x} - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх. Смещение влево на 4 единицы — замена $x$ на $(x+4)$. Смещение вверх на 3 единицы — прибавление 3 ко всей функции. В результате получаем: $y = \frac{1}{x+4} + 3$.

Ответ: $y = \frac{1}{x+4} + 3$

3) Исходная функция: $y = 3\sqrt{x}$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Заменяем $x$ в подкоренном выражении на $(x-3)$. Новая функция: $y = 3\sqrt{x-3}$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x-3}$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Вычитаем 2 из всей функции. Новая функция: $y = 3\sqrt{x} - 2$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x} - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Смещение влево на 4 — замена $x$ на $(x+4)$. Смещение вниз на 3 — вычитание 3 из функции. Получаем: $y = 3\sqrt{x+4} - 3$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x+4} - 3$

27. Запишите аналитическую формулу функции $y = f(x)$ по ее графику (рис. 1):

1)

2)

3)

Рис. 1

1) График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Общее уравнение такой параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

Из графика определяем координаты вершины: $(1, 3)$. Таким образом, $x_0 = 1$ и $y_0 = 3$.

Подставляя эти значения в общую формулу, получаем: $y = a(x - 1)^2 + 3$.

Чтобы найти коэффициент $a$, возьмем любую другую точку на графике. Например, точка с координатами $(0, 2)$ принадлежит параболе. Подставим ее координаты в уравнение:

$2 = a(0 - 1)^2 + 3$

$2 = a(-1)^2 + 3$

$2 = a + 3$

$a = 2 - 3 = -1$

Следовательно, аналитическая формула функции: $y = -(x - 1)^2 + 3$.

Для проверки можно раскрыть скобки: $y = -(x^2 - 2x + 1) + 3 = -x^2 + 2x - 1 + 3 = -x^2 + 2x + 2$.

Ответ: $y = -(x - 1)^2 + 3$

2) График представляет собой гиперболу. Общая формула для смещенной гиперболы: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $x = x_0$ — вертикальная асимптота, а $y = y_0$ — горизонтальная асимптота.

Из графика видно, что вертикальная асимптота — это прямая $x = -2$, а горизонтальная асимптота — прямая $y = 1$.

Следовательно, $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$.

Подставляем эти значения в общую формулу: $y = \frac{k}{x - (-2)} + 1 = \frac{k}{x + 2} + 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем точку на графике, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{0 + 2} + 1$

$0 = \frac{k}{2} + 1$

$\frac{k}{2} = -1$

$k = -2$

Таким образом, аналитическая формула функции: $y = \frac{-2}{x + 2} + 1$.

Ответ: $y = \frac{-2}{x + 2} + 1$

3) График представляет собой смещенную функцию квадратного корня. Общая формула такой функции: $y = a\sqrt{x - x_0} + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты начальной точки графика.

Из графика видно, что начальная точка имеет координаты $(-2, -2)$.

Следовательно, $x_0 = -2$ и $y_0 = -2$.

Подставляем эти значения в общую формулу: $y = a\sqrt{x - (-2)} - 2 = a\sqrt{x + 2} - 2$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем другую точку на графике, например, $(-1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = a\sqrt{-1 + 2} - 2$

$-1 = a\sqrt{1} - 2$

$-1 = a - 2$

$a = -1 + 2 = 1$

Следовательно, аналитическая формула функции: $y = \sqrt{x + 2} - 2$.

Ответ: $y = \sqrt{x + 2} - 2$

28. Запишите аналитическую формулу функции $y = f(x)$ и укажите область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания функции по ее графику (рис. 2):

1)

2)

3)

4)

Рис. 2

1) Аналитическая формула: График является параболой с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Общая формула параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x-0)^2 - 2$, то есть $y = ax^2 - 2$. Для нахождения коэффициента $a$ возьмем любую точку на графике, например, $(1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a \cdot 1^2 - 2$, откуда $a = 1$. Таким образом, аналитическая формула функции: $y = x^2 - 2$.

Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины равна $-2$, функция принимает все значения, большие или равные $-2$. $E(f) = [-2; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от вершины. Вершина находится при $x=0$. Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: Аналитическая формула: $y = x^2 - 2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $[-2; +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

2) Аналитическая формула: График является параболой с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Используя общую формулу $y = a(x-h)^2 + k$, получаем $y = a(x-0)^2 + 2$, то есть $y = ax^2 + 2$. Для нахождения коэффициента $a$ возьмем точку на графике, например, $(1, 1)$. Подставим ее координаты: $1 = a \cdot 1^2 + 2$, откуда $a = -1$. Таким образом, аналитическая формула функции: $y = -x^2 + 2$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины равна $2$, функция принимает все значения, меньшие или равные $2$. $E(f) = (-\infty; 2]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от нее. Вершина находится при $x=0$. Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty; 0]$ и убывает при $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: Аналитическая формула: $y = -x^2 + 2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 2]$. Промежуток возрастания: $(-\infty; 0]$. Промежуток убывания: $[0; +\infty)$.

3) Аналитическая формула: График представляет собой функцию квадратного корня. Общая формула имеет вид $y = a\sqrt{x-h} + k$. Начальная точка графика находится в $(0, 0)$, поэтому $h=0, k=0$, и формула упрощается до $y = a\sqrt{x}$. Для нахождения $a$ возьмем точку $(1, 1)$ на графике. Подставляя ее, получаем $1 = a\sqrt{1}$, откуда $a=1$. Проверим по точке $(4, 2)$: $2 = a\sqrt{4} \Rightarrow 2=2a \Rightarrow a=1$. Аналитическая формула функции: $y = \sqrt{x}$.

Область определения: Функция квадратного корня определена для неотрицательных подкоренных выражений. $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

Множество значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно. $y \ge 0$. $E(f) = [0; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на всей своей области определения. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$. Промежутков убывания нет.

Ответ: Аналитическая формула: $y = \sqrt{x}$. Область определения: $[0; +\infty)$. Множество значений: $[0; +\infty)$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

4) Аналитическая формула: График является гиперболой. Уравнение гиперболы со смещенными асимптотами имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$. Из графика видно, что вертикальная асимптота проходит через $x=1$, а горизонтальная — через $y=1$. Следовательно, $a=1$ и $b=1$. Формула принимает вид $y = \frac{k}{x-1} + 1$. Для нахождения $k$ используем точку на графике, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя, получаем $0 = \frac{k}{0-1} + 1$, откуда $0 = -k + 1$ и $k=1$. Аналитическая формула функции: $y = \frac{1}{x-1} + 1$.

Область определения: Функция определена везде, кроме точки, где знаменатель обращается в ноль. $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений: Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты $y=1$. $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: На обоих интервалах области определения, $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, функция убывает. Промежутков возрастания нет.

Ответ: Аналитическая формула: $y = \frac{1}{x-1} + 1$. Область определения: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

1) Составьте многочлен, если известны его коэффициенты:
а) $-\frac{2}{3}$, 5, 0, 1;
б) 1, 2, 0, 0.

2) Сколько можно составить многочленов с коэффициентами 5, -7, 2, 0?

1) а)

Чтобы составить многочлен, нужно расположить его члены в порядке убывания степеней переменной (например, $x$). Заданные коэффициенты $-\frac{2}{3}, 5, 0, 1$ будут соответствовать членам многочлена от старшей степени к младшей.

Поскольку дано 4 коэффициента, максимальная степень многочлена будет $4-1=3$.

• Коэффициент при $x^3$ равен $-\frac{2}{3}$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $5$.
• Коэффициент при $x^1$ (то есть при $x$) равен $0$.
• Свободный член (коэффициент при $x^0$) равен $1$.

Запишем многочлен в полной форме: $P(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 0 \cdot x + 1$.

Член с коэффициентом 0 принято опускать, поэтому упрощенный вид многочлена будет:

$P(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 1$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 1$

1) б)

Аналогично предыдущему пункту, используем коэффициенты $1, 2, 0, 0$ для составления многочлена со старшей степенью $3$.

• Коэффициент при $x^3$ равен $1$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $2$.
• Коэффициент при $x^1$ равен $0$.
• Свободный член равен $0$.

Запишем многочлен в полной форме: $P(x) = 1 \cdot x^3 + 2x^2 + 0 \cdot x + 0$.

После упрощения, опуская члены с нулевыми коэффициентами, получаем:

$P(x) = x^3 + 2x^2$.

Ответ: $x^3 + 2x^2$

2) Чтобы найти, сколько различных многочленов можно составить с коэффициентами $5, -7, 2, 0$, нужно определить, сколькими способами можно расставить эти четыре числа в качестве коэффициентов при степенях переменной $x^3, x^2, x^1, x^0$.

Каждая уникальная расстановка (перестановка) коэффициентов создает уникальный многочлен. Например, если коэффициенты $(a_3, a_2, a_1, a_0)$ принять равными $(5, -7, 2, 0)$, получится многочлен $5x^3 - 7x^2 + 2x$. Если же взять порядок $(0, 5, -7, 2)$, получится многочлен $0x^3 + 5x^2 - 7x + 2 = 5x^2 - 7x + 2$. Это два разных многочлена.

Задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 различных элементов $\{5, -7, 2, 0\}$. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=4$, поэтому количество возможных многочленов равно:

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, можно составить 24 различных многочлена.

Ответ: 24

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены $P(x)=\sin{\frac{\pi}{6}}x^3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}x^2-x$ и $Q(x)=\frac{1}{2}x^3-(1+\sqrt{3})x^2-\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}x$ равны?

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Чтобы доказать, что многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ равны, нужно упростить их коэффициенты и сравнить их.

Упростим многочлен P(x):

$ P(x) = \sin\frac{\pi}{6} x^3 - \sqrt{4+2\sqrt{3}} x^2 - x $

Вычислим каждый коэффициент по отдельности:

1. Коэффициент при $x^3$: $ \sin\frac{\pi}{6} $. Это табличное значение синуса, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

2. Коэффициент при $x^2$: $ -\sqrt{4+2\sqrt{3}} $. Упростим подкоренное выражение, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Представим $ 4+2\sqrt{3} $ в виде $ (1+\sqrt{3})^2 $:

$ (1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4+2\sqrt{3} $.

Следовательно, $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3} $.

Таким образом, коэффициент при $x^2$ равен $ -(1+\sqrt{3}) $.

3. Коэффициент при $x$: $ -1 $.

После упрощения многочлен $P(x)$ принимает вид:

$ P(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - x $.

Упростим многочлен Q(x):

$ Q(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}x $

Вычислим коэффициенты:

1. Коэффициент при $x^3$: $ \frac{1}{2} $.

2. Коэффициент при $x^2$: $ -(1+\sqrt{3}) $.

3. Коэффициент при $x$: $ -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} $. Это табличное значение тангенса, $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Таким образом, коэффициент при $x$ равен $ -1 $.

После упрощения многочлен $Q(x)$ принимает вид:

$ Q(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - x $.

Сравнение многочленов:

Сравнив упрощенные выражения для $P(x)$ и $Q(x)$, мы видим, что они полностью идентичны:

Коэффициент при $x^3$: $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Коэффициент при $x^2$: $ -(1+\sqrt{3}) = -(1+\sqrt{3}) $

Коэффициент при $x$: $ -1 = -1 $

Поскольку все соответствующие коэффициенты многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны, сами многочлены также равны.

Ответ: Многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ равны, так как после вычисления значений тригонометрических функций и упрощения радикала их коэффициенты при соответствующих степенях $x$ оказываются одинаковыми.

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили действия с многочленами:

1) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) + (x^3 + 13x^2 - x - 2) = 3x^3 - 7x^2 + x + 2 + x^3 + 13x^2 - x - 2 = 4x^3 + 6x^2$;

2) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) - (x^3 + 13x^2 - x - 2) = 3x^3 - 7x^2 + x + 2 - x^3 - 13x^2 + x + 2 = 2x^3 - 20x^2 + 2x + 4;

3) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) (x + 2) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x + 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4?

1) В данном примере выполняется сложение двух многочленов: $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) + (x^3 + 13x^2 - x - 2)$. Для этого сначала раскрываются скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки всех слагаемых внутри неё остаются без изменений: $3x^3 - 7x^2 + x + 2 + x^3 + 13x^2 - x - 2$. Затем выполняется приведение подобных членов — слагаемых, имеющих одинаковую буквенную часть. Сгруппируем их: $(3x^3 + x^3) + (-7x^2 + 13x^2) + (x - x) + (2 - 2)$. Теперь выполним действия в каждой группе: $3x^3 + x^3 = 4x^3$; $-7x^2 + 13x^2 = 6x^2$; $x - x = 0$; $2 - 2 = 0$. Суммируя полученные результаты, получаем итоговое выражение.

Ответ: $4x^3 + 6x^2$

2) Здесь выполняется вычитание одного многочлена из другого: $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) - (x^3 + 13x^2 - x - 2)$. При раскрытии скобок необходимо учесть, что перед второй скобкой стоит знак «−». Это означает, что знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные: $3x^3 - 7x^2 + x + 2 - x^3 - 13x^2 + x + 2$. Далее, как и в предыдущем примере, приводим подобные члены, сгруппировав их: $(3x^3 - x^3) + (-7x^2 - 13x^2) + (x + x) + (2 + 2)$. Выполняем действия в группах: $3x^3 - x^3 = 2x^3$; $-7x^2 - 13x^2 = -20x^2$; $x + x = 2x$; $2 + 2 = 4$. Собираем все вместе для получения окончательного ответа.

Ответ: $2x^3 - 20x^2 + 2x + 4$

3) В этом примере показано умножение многочлена $(3x^3 - 7x^2 + x + 2)$ на двучлен $(x + 2)$. Для этого нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена (правило "фонтанчика").

Сначала умножим каждый член первого многочлена на $x$:

$(3x^3 \cdot x) + (-7x^2 \cdot x) + (x \cdot x) + (2 \cdot x) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x$.

Затем умножим каждый член первого многочлена на $2$:

$(3x^3 \cdot 2) + (-7x^2 \cdot 2) + (x \cdot 2) + (2 \cdot 2) = 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x) + (6x^3 - 14x^2 + 2x + 4) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x + 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4$.

Осталось привести подобные члены:

$3x^4 + (-7x^3 + 6x^3) + (x^2 - 14x^2) + (2x + 2x) + 4 = 3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4$.

Знак вопроса в конце примера в задании означает, что нужно было проверить правильность вычислений, что мы и сделали.

Ответ: $3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4$