Страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Вспомните названия функций, заданных аналитическим способом: $y = kx + b$; $y = \frac{k}{x}, k \ne 0$; $y = x^2$.

$y = kx + b$: Эта формула задает линейную функцию. В этой формуле $x$ является независимой переменной (аргументом), а $k$ и $b$ — числовыми коэффициентами. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон графика функции, а $b$ — свободный член, который показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Графиком линейной функции является прямая линия. Ответ: линейная функция.

$y = \frac{k}{x}, k \neq 0$: Эта формула задает функцию обратной пропорциональности. Здесь зависимость между переменными $y$ и $x$ такова, что при увеличении одной переменной в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Условие $k \neq 0$ является существенным, так как при $k = 0$ функция превращается в $y=0$ (при $x \neq 0$). Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола, состоящая из двух ветвей. Ответ: обратная пропорциональность.

$y = x^2$: Эта формула задает квадратичную функцию. Это частный случай более общей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ при $a=1$, $b=0$ и $c=0$. Графиком этой функции является кривая, которая называется параболой. Она симметрична относительно оси ординат, ее вершина находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх. Ответ: квадратичная функция.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему формулы $y^2 + x^2 = 9$ и $|y| = x$ не задают функцию?

y² + x² = 9. По определению, функция – это такое правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ (аргумента) из области определения ставится в соответствие одно и только одно значение зависимой переменной $y$. Чтобы проверить, задает ли формула $y^2 + x^2 = 9$ функцию, попробуем выразить $y$ через $x$. Из уравнения следует, что $y^2 = 9 - x^2$. Отсюда $y = \pm\sqrt{9 - x^2}$. Эта запись показывает, что для одного значения $x$ (кроме $x=\pm3$) мы получаем два разных значения $y$. Например, возьмем значение $x = 0$, которое входит в область определения ($x \in [-3, 3]$). Подставив его в исходное уравнение, получим: $y^2 + 0^2 = 9$, то есть $y^2 = 9$. У этого уравнения два решения: $y = 3$ и $y = -3$. Таким образом, одному значению аргумента $x=0$ соответствуют два разных значения переменной $y$. Это противоречит определению функции. Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3. Любая вертикальная прямая $x=a$, где $-3 < a < 3$, пересекает эту окружность в двух точках, что наглядно демонстрирует нарушение функциональной зависимости.

Ответ: Формула $y^2+x^2=9$ не задает функцию, так как для одного значения аргумента $x$ (например, $x=0$) существует два значения $y$ ($y=3$ и $y=-3$).

|y| = x. Используем тот же подход. По определению модуля, равенство $|y| = x$ означает, что $y=x$ или $y=-x$. Это соотношение определено для всех $x \ge 0$. Выберем любое положительное значение $x$ из области определения, например, $x=2$. Тогда уравнение примет вид $|y|=2$. Этому уравнению удовлетворяют два числа: $y=2$ и $y=-2$. Следовательно, одному значению аргумента $x=2$ соответствуют два различных значения переменной $y$. Это нарушает основное требование к функции о единственности значения. Графиком этого соотношения являются два луча, выходящие из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x \ge 0$. Вертикальная прямая, проведенная через любую точку $x>0$, пересечет график в двух местах.

Ответ: Формула $|y|=x$ не задает функцию, так как для любого положительного значения $x$ ему соответствуют два значения $y$ (например, для $x=2$ подходят $y=2$ и $y=-2$).

ОБЪЯСНИТЕ

Как применили теорему для многочлена с рациональными коэффициентами:

$P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6};$

$P(x) = \frac{1}{6}(12x^3 + 4x^2 - 3x + 5);$

$P(x) = \frac{1}{6}Q(x)?$ Почему корни многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны?

Как применили теорему для многочлена с рациональными коэффициентами:

Для того чтобы найти корни многочлена с рациональными (дробными) коэффициентами, его удобно преобразовать в многочлен с целыми коэффициентами. Это делается для упрощения применения, например, теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Рассмотрим исходный многочлен: $P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}$. Его коэффициенты: $2$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$.

1. Находим общий знаменатель. Сначала все коэффициенты представляются в виде дробей: $\frac{2}{1}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$. Знаменатели этих дробей: 1, 3, 2, 6.

2. Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. $НОК(1, 3, 2, 6) = 6$.

3. Выносим за скобки дробь, обратную НОК. Мы выносим за скобки множитель $\frac{1}{6}$. Чтобы выражение осталось верным, каждый член исходного многочлена нужно умножить на 6.

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 2x^3 + 6 \cdot \frac{2}{3}x^2 - 6 \cdot \frac{1}{2}x + 6 \cdot \frac{1}{6})$

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + \frac{12}{3}x^2 - \frac{6}{2}x + \frac{6}{6})$

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + 4x^2 - 3x + 1)$

В условии задачи в многочлене $Q(x)$ свободный член равен 5: $Q(x) = 12x^3 + 4x^2 - 3x + 5$. Это означает, что в исходном многочлене $P(x)$ была опечатка, и он должен был выглядеть так: $P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$. В этом случае преобразование было бы верным:

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + 4x^2 - 3x + 5) = \frac{1}{6}Q(x)$

Таким образом, многочлен $P(x)$ с рациональными коэффициентами был заменен на произведение постоянного множителя $\frac{1}{6}$ и многочлена $Q(x)$ с целыми коэффициентами.

Ответ: Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, за скобки вынесли множитель $\frac{1}{НОК}$, где НОК — это наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов. В результате получили многочлен с целыми коэффициентами $Q(x)$, который проще анализировать.

Почему корни многочленов P(x) и Q(x) равны?

Корнем многочлена называется такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена равно нулю.

Чтобы найти корни многочлена $P(x)$, необходимо решить уравнение $P(x) = 0$.

Мы установили, что многочлены связаны соотношением $P(x) = \frac{1}{6}Q(x)$.

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{1}{6}Q(x) = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей: константы $\frac{1}{6}$ и многочлена $Q(x)$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель, $\frac{1}{6}$, является константой и никогда не равен нулю.

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$Q(x) = 0$

Таким образом, уравнение $P(x) = 0$ равносильно уравнению $Q(x) = 0$. Это означает, что множество решений для первого уравнения (корни $P(x)$) в точности совпадает с множеством решений для второго уравнения (корни $Q(x)$).

Ответ: Корни многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны, потому что эти многочлены связаны соотношением $P(x) = c \cdot Q(x)$, где $c$ — ненулевая константа ($c = \frac{1}{6}$). Поэтому уравнение $P(x)=0$ эквивалентно уравнению $c \cdot Q(x) = 0$, что, в свою очередь, эквивалентно $Q(x)=0$.