Страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Назовите функцию, которая задана словесно: прямая линия пересекает оси координат в точках $(0; 3)$ и $(-1,5; 0)$. Задайте эту функцию графически.

Назовите функцию, которая задана словесно

В условии сказано, что график функции — это прямая линия. Прямая линия является графиком линейной функции, которая имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY (y-перехват).

Нам даны две точки, через которые проходит прямая:

1. Точка пересечения с осью ординат (OY): $(0; 3)$.

2. Точка пересечения с осью абсцисс (OX): $(-1,5; 0)$.

Из координат первой точки $(0; 3)$ мы можем сразу определить коэффициент $b$. Подставим $x=0$ и $y=3$ в уравнение функции:

$3 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b = 3$.

Теперь уравнение функции выглядит так: $y = kx + 3$.

Чтобы найти коэффициент $k$, используем координаты второй точки $(-1,5; 0)$. Подставим $x=-1,5$ и $y=0$ в наше уравнение:

$0 = k \cdot (-1,5) + 3$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:

$1,5k = 3$

$k = \frac{3}{1,5}$

$k = 2$

Таким образом, мы нашли оба коэффициента: $k = 2$ и $b = 3$. Уравнение искомой функции:

$y = 2x + 3$

Ответ: Это линейная функция, заданная уравнением $y = 2x + 3$.

Задайте эту функцию графически

Чтобы задать функцию графически, нужно построить её график на координатной плоскости. Графиком линейной функции $y = 2x + 3$ является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. В условии задачи уже даны две точки, через которые проходит прямая — это точки её пересечения с осями координат.

Построение графика выполняется в следующем порядке:

1. Чертим систему координат: горизонтальную ось абсцисс (OX) и вертикальную ось ординат (OY).

2. Отмечаем на осях точки, заданные в условии. Первая точка — $(0; 3)$. Она находится на оси OY на 3 единицы выше начала координат.

3. Вторая точка — $(-1,5; 0)$. Она находится на оси OX на 1,5 единицы левее начала координат.

4. С помощью линейки проводим прямую линию через эти две точки. Эта линия и является графическим представлением функции $y = 2x + 3$.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(-1,5; 0)$ на координатной плоскости.

Как по графику функции найти ее область определения?

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Чтобы найти область определения по графику, нужно спроецировать все его точки на ось абсцисс ($Ox$) и определить, какой интервал или совокупность интервалов на этой оси они покрывают.

Для этого мысленно «сжимайте» график по вертикали до тех пор, пока он не «отпечатается» на оси $Ox$. Полученный след и будет областью определения.

При этом важно обращать внимание на следующие детали:

1. Крайние точки графика. Если на конце линии графика стоит закрашенная точка (●), то это значение $x$ включается в область определения (в записи используется квадратная скобка: $[$ или $]$). Если точка выколотая, или «пустая» (○), то это значение $x$ исключается (используется круглая скобка: $($ или $)$).

2. Разрывы. Если внутри непрерывной линии есть выколотая точка, то её координату $x$ нужно исключить из области определения.

3. Вертикальные асимптоты. Это вертикальные прямые ($x=a$), к которым график бесконечно приближается, но никогда не пересекает. Значение $x=a$ нужно исключить из области определения.

4. Бесконечность. Если график уходит влево или вправо до бесконечности (часто на конце рисуют стрелку), то область определения включает $(-\infty, \dots)$ или $(\dots, +\infty)$ соответственно.

Пример 1: График ограничен с двух сторон

Представим, что график функции — это линия, которая начинается в точке $(-4; 2)$ и заканчивается в точке $(3; -1)$. Начальная точка $(-4; 2)$ закрашена, а конечная точка $(3; -1)$ выколота. Проекция этого графика на ось $Ox$ покроет все значения от $-4$ до $3$. Так как $x=-4$ соответствует закрашенной точке, это значение включается. Так как $x=3$ соответствует выколотой точке, это значение исключается.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4; 3)$.

Пример 2: График с вертикальной асимптотой

Допустим, график функции состоит из двух ветвей, которые неограниченно приближаются к вертикальной прямой $x=2$, но не пересекают её. Влево и вправо график уходит на бесконечность. Это значит, что функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Пример 3: График с выколотой точкой

Рассмотрим прямую линию, которая проходит через всю координатную плоскость, но в точке с абсциссой $x=-1$ на ней есть «дырка» (выколотая точка). Это означает, что функция существует при любом $x$, кроме $x=-1$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Пример 4: График — луч

Пусть график функции начинается в точке $(0; 1)$ (точка закрашена) и уходит вправо и вверх на бесконечность. Проекция этого графика на ось $Ox$ начинается в точке $x=0$ и продолжается вправо до бесконечности. Так как начальная точка включена, используем квадратную скобку.

Ответ: Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.

1. В каких случаях удобно задать функцию табличным способом?

2. Задайте квадратичную функцию аналитически, графически, таблично и словесно.

1. Задать функцию табличным способом удобно в нескольких случаях:

• Когда область определения функции состоит из конечного числа значений. В этом случае таблица полностью описывает функцию. Например, функция, показывающая количество учеников в каждом из классов школы.

• Когда аналитическое выражение (формула) функции неизвестно или слишком сложно для практического применения. Такое часто случается при работе с экспериментальными данными, когда зависимость между величинами устанавливается путем измерений. Например, таблица зависимости температуры кипения воды от атмосферного давления.

• Когда необходимо быстро находить значения функции для определенных аргументов без выполнения вычислений. Классическими примерами являются таблицы логарифмов, тригонометрических функций (синусов, косинусов), которые широко использовались до эпохи калькуляторов.

• Таблица значений часто служит промежуточным этапом при построении графика функции. Составляется таблица для нескольких ключевых точек, которые затем наносятся на координатную плоскость и соединяются плавной линией.

Ответ: Табличный способ задания функции удобен, когда ее область определения конечна; когда функция представляет собой результат наблюдений или эксперимента и ее формула неизвестна; когда требуется быстрый доступ к значениям функции без вычислений; а также в качестве вспомогательного инструмента для построения графиков.

2. Зададим в качестве примера квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 3$ четырьмя различными способами.

Аналитически

Аналитический способ — это задание функции с помощью математической формулы. Для нашего примера это:

$y = x^2 - 4x + 3$

Графически

Графический способ — это изображение графика функции на координатной плоскости. Графиком квадратичной функции является парабола. Опишем ее ключевые характеристики:

• Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_в, y_в)$ находим по формулам $x_в = -b / (2a)$ и $y_в = y(x_в)$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

• Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (абсцисс): находим нули функции, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

С осью OX (орднат): подставляем $x=0$ в формулу. $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.

График представляет собой параболу с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 1 и 3, а ось ординат в точке 3.

Таблично

Табличный способ — это представление функции в виде таблицы, где каждой величине аргумента $x$ соответствует определенное значение функции $y$. Составим таблицу значений для нашей функции, выбрав точки симметрично относительно вершины ($x=2$):

x = -1, y = $(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

x = 0, y = $(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

x = 1, y = $(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

x = 2, y = $(2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

x = 3, y = $(3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

x = 4, y = $(4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

x = 5, y = $(5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

Словесно

Словесный способ — это описание правила, по которому вычисляется значение функции, словами. Для нашей функции описание может быть таким: "Значение функции $y$ равно квадрату аргумента $x$ минус четыре аргумента $x$ плюс три".

Ответ: Пример квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 3$ можно задать:

1) Аналитически: с помощью формулы $y = x^2 - 4x + 3$.

2) Графически: в виде параболы с вершиной в точке $(2, -1)$ и ветвями, направленными вверх.

3) Таблично: в виде набора пар значений $(x, y)$, например, $(0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3)$.

4) Словесно: как правило "значение функции равно квадрату аргумента, уменьшенному на учетверенный аргумент и увеличенному на три".

33.7. Найдите все значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:

1) $(x + 2)(x - 1)(x - 3)(x - p);$

2) $5(x - 2)(x + 11)(x - 6)(x + p);$

3) $(x^2 - x - 2)(x - 4)(x - 2p);$

4) $(x^2 + x - 2)(x + 1)(p - 2x).$

1) Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня, приравняем его к нулю:

$(x + 2)(x - 1)(x - 3)(x - p) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Найдем корни, соответствующие каждому множителю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$

$x - p = 0 \implies x_4 = p$

Первые три множителя дают три различных корня: $-2, 1, 3$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, четвертый корень $x_4 = p$ должен совпадать с одним из уже найденных корней.

Это происходит в следующих случаях:

1. $p = -2$

2. $p = 1$

3. $p = 3$

При этих значениях $p$ множество корней многочлена будет $\{-2, 1, 3\}$.

Ответ: $p \in \{-2, 1, 3\}$.

2) Приравняем многочлен к нулю: $5(x - 2)(x + 11)(x - 6)(x + p) = 0$.

Постоянный множитель $5$ не влияет на корни уравнения. Найдем корни из остальных множителей:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 11 = 0 \implies x_2 = -11$

$x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

$x + p = 0 \implies x_4 = -p$

Мы уже имеем три различных корня: $2, -11, 6$. Чтобы общее число различных корней было ровно три, корень $x_4 = -p$ должен совпадать с одним из них.

1. $-p = 2 \implies p = -2$

2. $-p = -11 \implies p = 11$

3. $-p = 6 \implies p = -6$

При этих значениях $p$ множество корней многочлена будет $\{-11, 2, 6\}$.

Ответ: $p \in \{-6, -2, 11\}$.

3) Приравняем многочлен к нулю: $(x^2 - x - 2)(x - 4)(x - 2p) = 0$.

Найдем корни каждого множителя.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x - 2)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

2. Из множителя $x - 4 = 0$ получаем корень $x_3 = 4$.

3. Из множителя $x - 2p = 0$ получаем корень $x_4 = 2p$.

Таким образом, у нас есть три различных корня, не зависящих от $p$: $-1, 2, 4$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, корень $x_4 = 2p$ должен совпадать с одним из уже найденных.

1. $2p = -1 \implies p = -\frac{1}{2}$

2. $2p = 2 \implies p = 1$

3. $2p = 4 \implies p = 2$

Ответ: $p \in \{-\frac{1}{2}, 1, 2\}$.

4) Приравняем многочлен к нулю: $(x^2 + x - 2)(x + 1)(p - 2x) = 0$.

Найдем корни каждого множителя.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Разложив на множители $(x + 2)(x - 1) = 0$, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

2. Из множителя $x + 1 = 0$ получаем корень $x_3 = -1$.

3. Из множителя $p - 2x = 0$ получаем $2x = p$, откуда $x_4 = \frac{p}{2}$.

Мы получили три различных корня, не зависящих от $p$: $-2, 1, -1$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, корень $x_4 = \frac{p}{2}$ должен быть равен одному из них.

1. $\frac{p}{2} = -2 \implies p = -4$

2. $\frac{p}{2} = 1 \implies p = 2$

3. $\frac{p}{2} = -1 \implies p = -2$

Ответ: $p \in \{-4, -2, 2\}$.

33.8. Для некоторого приведенного многочлена $P(x)$ известны его степень и все его корни с учетом их кратности. Заполните таблицу 22, запишите разложение многочлена $P(x)$ на множители.

Таблица 22

1 Степень многочлена: 4

Корни кратности 1: -1; 3

Корни кратности 2: 2

Корни кратности 3:

Разложение многочлена $P(x)$:

2 Степень многочлена: 7

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 1; 3

Корни кратности 3: -2

Разложение многочлена $P(x)$:

3 Степень многочлена: 8

Корни кратности 1: 2

Корни кратности 2: -1; 4

Корни кратности 3: 1

Разложение многочлена $P(x)$:

4 Степень многочлена: 10

Корни кратности 1: 0

Корни кратности 2: 2; 5; 7

Корни кратности 3: -3

Разложение многочлена $P(x)$:

Общий вид разложения приведенного многочлена $P(x)$ степени $n$ на множители, если известны все его корни $x_1, x_2, \dots, x_k$ с их кратностями $m_1, m_2, \dots, m_k$ (где $m_1 + m_2 + \dots + m_k = n$), выглядит следующим образом: $P(x) = (x - x_1)^{m_1}(x - x_2)^{m_2}\dots(x - x_k)^{m_k}$. Используем эту формулу для каждого случая.

1. Степень многочлена $n=4$. Корни и их кратности: $x_1 = -1$ (кратность 1), $x_2 = 3$ (кратность 1), $x_3 = 2$ (кратность 2). Проверим сумму кратностей: $1 + 1 + 2 = 4$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным, поэтому старший коэффициент равен 1. Разложение на множители: $P(x) = (x - (-1))^1 \cdot (x - 3)^1 \cdot (x - 2)^2$

Ответ: $P(x) = (x+1)(x-3)(x-2)^2$

2. Степень многочлена $n=7$. Корни и их кратности: $x_1 = 1$ (кратность 2), $x_2 = 3$ (кратность 2), $x_3 = -2$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $2 + 2 + 3 = 7$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 3)^2 \cdot (x - (-2))^3$

Ответ: $P(x) = (x-1)^2(x-3)^2(x+2)^3$

3. Степень многочлена $n=8$. Корни и их кратности: $x_1 = 2$ (кратность 1), $x_2 = -1$ (кратность 2), $x_3 = 4$ (кратность 2), $x_4 = 1$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $1 + 2 + 2 + 3 = 8$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 2)^1 \cdot (x - (-1))^2 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 1)^3$

Ответ: $P(x) = (x-2)(x+1)^2(x-4)^2(x-1)^3$

4. Степень многочлена $n=10$. Корни и их кратности: $x_1 = 0$ (кратность 1), $x_2 = 2$ (кратность 2), $x_3 = 5$ (кратность 2), $x_4 = 7$ (кратность 2), $x_5 = -3$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $1 + 2 + 2 + 2 + 3 = 10$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 0)^1 \cdot (x - 2)^2 \cdot (x - 5)^2 \cdot (x - 7)^2 \cdot (x - (-3))^3$

Ответ: $P(x) = x(x-2)^2(x-5)^2(x-7)^2(x+3)^3$

33.9.1) Остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 5x + 6$ равен $3x - 2$. Найдите значение выражения $P(2) - 3P(3)$;

2) остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ равен $4x - 3$. Найдите значение выражения $P(3) - 2P(-2)$.

1) По теореме о делении многочленов с остатком, многочлен $P(x)$ можно представить в виде: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $D(x)$ - делитель, $Q(x)$ - частное, а $R(x)$ - остаток. В данном случае, делителем является трехчлен $D(x) = x^2 - 5x + 6$, а остатком - $R(x) = 3x - 2$. Таким образом, мы можем записать:

$P(x) = (x^2 - 5x + 6) \cdot Q(x) + (3x - 2)$.

Согласно следствию из теоремы Безу (теореме об остатке), значение многочлена $P(x)$ в точке $x=a$, которая является корнем делителя $D(x)$ (т.е. $D(a)=0$), равно значению остатка $R(x)$ в этой же точке ($P(a) = R(a)$).

Найдем корни делителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь мы можем найти значения $P(2)$ и $P(3)$.

Для $x=2$:

$P(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 6) \cdot Q(2) + (3 \cdot 2 - 2) = (4 - 10 + 6) \cdot Q(2) + (6-2) = 0 \cdot Q(2) + 4 = 4$.

Для $x=3$:

$P(3) = (3^2 - 5 \cdot 3 + 6) \cdot Q(3) + (3 \cdot 3 - 2) = (9 - 15 + 6) \cdot Q(3) + (9-2) = 0 \cdot Q(3) + 7 = 7$.

Осталось вычислить значение требуемого выражения:

$P(2) - 3P(3) = 4 - 3 \cdot 7 = 4 - 21 = -17$.

Ответ: $-17$.

2) Аналогично первому пункту, запишем деление многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ с остатком $4x - 3$:

$P(x) = (x^2 - x - 6) \cdot Q(x) + (4x - 3)$.

Найдем корни делителя $D(x) = x^2 - x - 6$, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения $P(3)$ и $P(-2)$, подставив корни делителя в выражение для $P(x)$. Значение $P(x)$ в этих точках будет равно значению остатка $R(x)$.

Для $x=3$:

$P(3) = (3^2 - 3 - 6) \cdot Q(3) + (4 \cdot 3 - 3) = (9 - 3 - 6) \cdot Q(3) + (12-3) = 0 \cdot Q(3) + 9 = 9$.

Для $x=-2$:

$P(-2) = ((-2)^2 - (-2) - 6) \cdot Q(-2) + (4 \cdot (-2) - 3) = (4 + 2 - 6) \cdot Q(-2) + (-8-3) = 0 \cdot Q(-2) - 11 = -11$.

Вычислим значение выражения $P(3) - 2P(-2)$:

$P(3) - 2P(-2) = 9 - 2 \cdot (-11) = 9 + 22 = 31$.

Ответ: $31$.

33.10. Найдите все значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:

1) $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1)$;

2) $(x^2 - 5x + 6)(px^2 + 4x + 1)$;

3) $(x^2 - 5x - 6)(x^2 - x - 2p)$;

4) $(x^2 - x - 2)(px^2 + 5x + 1)$.

1) Чтобы многочлен $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1)$ имел ровно три различных корня, нужно решить уравнение $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 2x - 8 = 0$

2) $x^2 + 2px + 1 = 0$

Решим первое уравнение: $D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.Первое уравнение имеет два различных корня. Чтобы всего было три различных корня, второе уравнение $x^2 + 2px + 1 = 0$ должно добавить ровно один новый корень. Это возможно в двух случаях.

Случай A: Второе уравнение имеет ровно один корень, и этот корень не совпадает с корнями первого уравнения.Дискриминант второго уравнения $D_2 = (2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4p^2 - 4$. Уравнение имеет один корень при $D_2 = 0$, то есть $4p^2 - 4 = 0$, откуда $p^2 = 1$, $p = 1$ или $p = -1$.При $p=1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x + 1 = 0$, $(x+1)^2 = 0$, корень $x_3 = -1$. Этот корень не совпадает с $x_1=4$ и $x_2=-2$. Таким образом, у исходного многочлена три корня: $4, -2, -1$. Значение $p=1$ подходит.При $p=-1$ уравнение принимает вид $x^2 - 2x + 1 = 0$, $(x-1)^2 = 0$, корень $x_3 = 1$. Этот корень не совпадает с $x_1=4$ и $x_2=-2$. Таким образом, у исходного многочлена три корня: $4, -2, 1$. Значение $p=-1$ подходит.

Случай Б: Второе уравнение имеет два различных корня ($D_2 > 0$), но один из них совпадает с одним из корней первого уравнения.$D_2 > 0 \implies 4p^2 - 4 > 0 \implies p^2 > 1 \implies p \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.Если корень второго уравнения совпадает с $x_1 = 4$, подставим его во второе уравнение: $4^2 + 2p(4) + 1 = 0 \implies 16 + 8p + 1 = 0 \implies 8p = -17 \implies p = -17/8$. Это значение удовлетворяет условию $|p| > 1$. Второй корень уравнения $x^2 - \frac{17}{4}x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/4$. Множество корней: $\{4, -2, 1/4\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -17/8$ подходит.Если корень второго уравнения совпадает с $x_2 = -2$, подставим его во второе уравнение: $(-2)^2 + 2p(-2) + 1 = 0 \implies 4 - 4p + 1 = 0 \implies 4p = 5 \implies p = 5/4$. Это значение удовлетворяет условию $|p| > 1$. Второй корень уравнения $x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $-1/2$. Множество корней: $\{4, -2, -1/2\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = 5/4$ подходит.

Ответ: $p \in \{-17/8, -1, 1, 5/4\}$.

2) Решаем уравнение $(x^2 - 5x + 6)(px^2 + 4x + 1) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$

2) $px^2 + 4x + 1 = 0$

Первое уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $px^2 + 4x + 1 = 0$.

Случай 1: $p=0$. Уравнение становится линейным: $4x+1=0$, откуда $x_3 = -1/4$. Этот корень не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=3$. Общее число корней 3. Значение $p=0$ подходит.

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Дискриминант $D_2 = 4^2 - 4p(1) = 16 - 4p$.

Подслучай 2А: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $16 - 4p = 0 \implies p=4$. Уравнение $4x^2 + 4x + 1 = 0$ или $(2x+1)^2=0$ имеет корень $x_3 = -1/2$. Он не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=3$. Общее число корней 3. Значение $p=4$ подходит.

Подслучай 2Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p<4$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=2$ является корнем $px^2 + 4x + 1 = 0$, то $p(2^2) + 4(2) + 1 = 0 \implies 4p + 9 = 0 \implies p = -9/4$. Это значение удовлетворяет $p<4$. Второй корень уравнения $-\frac{9}{4}x^2 + 4x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-9/4) / 2 = -2/9$. Множество корней: $\{2, 3, -2/9\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -9/4$ подходит.Если $x=3$ является корнем $px^2 + 4x + 1 = 0$, то $p(3^2) + 4(3) + 1 = 0 \implies 9p + 13 = 0 \implies p = -13/9$. Это значение удовлетворяет $p<4$. Второй корень уравнения $-\frac{13}{9}x^2 + 4x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-13/9) / 3 = -3/13$. Множество корней: $\{2, 3, -3/13\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -13/9$ подходит.

Ответ: $p \in \{-9/4, -13/9, 0, 4\}$.

3) Решаем уравнение $(x^2 - 5x - 6)(x^2 - x - 2p) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - 5x - 6 = 0$

2) $x^2 - x - 2p = 0$

Первое уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$ или $(x-6)(x+1)=0$ имеет корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $x^2 - x - 2p = 0$. Его дискриминант $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2p) = 1 + 8p$.

Случай A: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $1 + 8p = 0 \implies p = -1/8$. Уравнение $x^2 - x + 1/4 = 0$ или $(x-1/2)^2=0$ имеет корень $x_3 = 1/2$. Он не совпадает с $x_1=6$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=-1/8$ подходит.

Случай Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p>-1/8$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=6$ является корнем $x^2 - x - 2p = 0$, то $6^2 - 6 - 2p = 0 \implies 30 - 2p = 0 \implies p = 15$. Это значение удовлетворяет $p>-1/8$. Уравнение $x^2-x-30=0$ имеет корни 6 и -5. Множество корней: $\{6, -1, -5\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=15$ подходит.Если $x=-1$ является корнем $x^2 - x - 2p = 0$, то $(-1)^2 - (-1) - 2p = 0 \implies 2 - 2p = 0 \implies p = 1$. Это значение удовлетворяет $p>-1/8$. Уравнение $x^2-x-2=0$ имеет корни -1 и 2. Множество корней: $\{6, -1, 2\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=1$ подходит.

Ответ: $p \in \{-1/8, 1, 15\}$.

4) Решаем уравнение $(x^2 - x - 2)(px^2 + 5x + 1) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - x - 2 = 0$

2) $px^2 + 5x + 1 = 0$

Первое уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ или $(x-2)(x+1)=0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $px^2 + 5x + 1 = 0$.

Случай 1: $p=0$. Уравнение становится линейным: $5x+1=0$, откуда $x_3 = -1/5$. Этот корень не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=0$ подходит.

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Дискриминант $D_2 = 5^2 - 4p(1) = 25 - 4p$.

Подслучай 2А: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $25 - 4p = 0 \implies p=25/4$. Уравнение $\frac{25}{4}x^2 + 5x + 1 = 0$ или $(5x/2+1)^2=0$ имеет корень $x_3 = -2/5$. Он не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=25/4$ подходит.

Подслучай 2Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p<25/4$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=2$ является корнем $px^2 + 5x + 1 = 0$, то $p(2^2) + 5(2) + 1 = 0 \implies 4p + 11 = 0 \implies p = -11/4$. Это значение удовлетворяет $p<25/4$. Второй корень уравнения $-\frac{11}{4}x^2 + 5x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-11/4) / 2 = -2/11$. Множество корней: $\{2, -1, -2/11\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -11/4$ подходит.Если $x=-1$ является корнем $px^2 + 5x + 1 = 0$, то $p(-1)^2 + 5(-1) + 1 = 0 \implies p - 4 = 0 \implies p = 4$. Это значение удовлетворяет $p<25/4$. Уравнение $4x^2+5x+1=0$ имеет корни -1 и -1/4. Множество корней: $\{2, -1, -1/4\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=4$ подходит.

Ответ: $p \in \{-11/4, 0, 4, 25/4\}$.

33.11. Докажите, что все корни многочлена $K(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $P(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$.

Для того чтобы доказать, что все корни многочлена $K(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $P(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$, достаточно показать, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $K(x)$ без остатка.

Если $P(x)$ делится на $K(x)$ нацело, то существует такой многочлен $Q(x)$, что $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$.

Пусть $x_0$ – это любой корень многочлена $K(x)$. По определению корня, $K(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в равенство $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$:

$P(x_0) = K(x_0) \cdot Q(x_0) = 0 \cdot Q(x_0) = 0$.

Это означает, что $x_0$ также является корнем многочлена $P(x)$. Таким образом, доказав, что $K(x)$ является делителем $P(x)$, мы докажем утверждение задачи.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $K(x)$ "в столбик".

1. Делим старший член $x^5$ из $P(x)$ на старший член $x^2$ из $K(x)$, получаем $x^3$. Это первый член частного. Умножаем $K(x)$ на $x^3$:

$x^3 \cdot (x^2 - 7x - 1) = x^5 - 7x^4 - x^3$.

Вычитаем полученный результат из $P(x)$:

$(x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2) - (x^5 - 7x^4 - x^3) = x^3 - 5x^2 - 15x - 2$.

2. Делим старший член полученного остатка $x^3$ на старший член $K(x)$, то есть $x^2$. Получаем $x$. Это второй член частного. Умножаем $K(x)$ на $x$:

$x \cdot (x^2 - 7x - 1) = x^3 - 7x^2 - x$.

Вычитаем результат из остатка, полученного на первом шаге:

$(x^3 - 5x^2 - 15x - 2) - (x^3 - 7x^2 - x) = 2x^2 - 14x - 2$.

3. Делим старший член нового остатка $2x^2$ на старший член $K(x)$, то есть $x^2$. Получаем $2$. Это третий член частного. Умножаем $K(x)$ на $2$:

$2 \cdot (x^2 - 7x - 1) = 2x^2 - 14x - 2$.

Вычитаем результат из остатка, полученного на втором шаге:

$(2x^2 - 14x - 2) - (2x^2 - 14x - 2) = 0$.

Остаток от деления равен нулю. Частное от деления $Q(x) = x^3 + x + 2$.

Таким образом, мы показали, что $P(x) = (x^2 - 7x - 1) \cdot (x^3 + x + 2)$, или $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$.

Это доказывает, что многочлен $K(x)$ является дели

33.12. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

1) $x + \frac{1}{x} = 3;$

2) $x + \frac{1}{x} = 5;$

3) $x - \frac{1}{x} = 2;$

4) $x - \frac{1}{x} = 4.$

1) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x + \frac{1}{x} = 3$, мы можем возвести в квадрат обе части данного равенства. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 9$

Упростим выражение:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

Ответ: 7

2) Дано, что $x + \frac{1}{x} = 5$. Решение аналогично предыдущему пункту. Возведем обе части в квадрат:

$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25$

Упростим:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

Выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$

Ответ: 23

3) Дано, что $x - \frac{1}{x} = 2$. В этом случае мы возводим в квадрат обе части равенства, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 4$

Упростим выражение:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся -2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

Ответ: 6

4) Дано, что $x - \frac{1}{x} = 4$. Решение аналогично третьему пункту. Возведем обе части в квадрат, используя формулу квадрата разности:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$

Упростим:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16$

Выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$

Ответ: 18

33.13. Постройте график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) ось симметрии графика функции;

4) значения параметра $p$, при которых уравнение $y = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня.

Для решения задачи построим график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 2x - 8$. Это парабола с ветвями вверх.

Найдем ее ключевые точки. Вершина параболы имеет координаты $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$ и $y_v = 1^2 - 2(1) - 8 = -9$. Точка вершины: $(1, -9)$. Точки пересечения с осью Ox (нули функции) находятся из уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

График функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 2x - 8$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси (т.е. на интервале $x \in (-2, 4)$). Часть графика, где $y \ge 0$, остается без изменений. Таким образом, вершина параболы $(1, -9)$ переходит в точку локального максимума $(1, 9)$.

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y = |0^2 - 2(0) - 8| = |-8| = 8$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 8)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $y=0$: $|x^2 - 2x - 8| = 0$, что равносильно $x^2 - 2x - 8 = 0$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Oy: $(0, 8)$; с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

2) промежутки монотонности функции

На основе построенного графика определяем промежутки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции находятся в точках $x=-2$ (локальный минимум), $x=1$ (локальный максимум) и $x=4$ (локальный минимум).

Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$.

Функция возрастает на промежутках $[-2, 1]$ и $[4, \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$, возрастает на промежутках $[-2, 1]$ и $[4, \infty)$.

3) ось симметрии графика функции

Исходная парабола $f(x) = x^2 - 2x - 8$ симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину, то есть прямой $x=1$. Так как преобразование модуля (отражение отрицательной части) является симметричным, ось симметрии $x=1$ сохраняется и для графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$.

Ответ: ось симметрии графика функции — прямая $x=1$.

4) значения параметра p, при которых уравнение $y = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня

Формулировка вопроса, вероятно, содержит опечатку, и имеется в виду уравнение $|x^2 - 2x - 8| = p$. Число корней этого уравнения соответствует числу точек пересечения графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ с горизонтальной прямой $y=p$.

Анализируя график, можно сделать следующие выводы о количестве корней:

• При $p < 0$: нет корней.
• При $p = 0$: два корня (в точках $x=-2$ и $x=4$).
• При $0 < p < 9$: четыре корня.
• При $p = 9$: три корня (один в точке $x=1$ и еще два).
• При $p > 9$: два корня.

Следовательно, уравнение имеет четыре корня, когда значение параметра $p$ находится строго между значением в локальных минимумах ($y=0$) и значением в локальном максимуме ($y=9$).

Ответ: $p \in (0, 9)$.