Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.3. Функция задана формулой $s = 3t^2 + 9t$. Найдите:

1) $s(1)$; $s(2)$; $s(3,5)$; $s(5)$;

2) $t$, если $s = 210$; $s = 120$.

1) Чтобы найти значения функции $s$ для заданных значений аргумента $t$, подставим эти значения в формулу функции $s = 3t^2 + 9t$.

При $t=1$:

$s(1) = 3 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 3 \cdot 1 + 9 = 3 + 9 = 12$.

При $t=2$:

$s(2) = 3 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 18 = 12 + 18 = 30$.

При $t=3,5$:

$s(3,5) = 3 \cdot (3,5)^2 + 9 \cdot 3,5 = 3 \cdot 12,25 + 31,5 = 36,75 + 31,5 = 68,25$.

При $t=5$:

$s(5) = 3 \cdot 5^2 + 9 \cdot 5 = 3 \cdot 25 + 45 = 75 + 45 = 120$.

Ответ: $s(1) = 12$; $s(2) = 30$; $s(3,5) = 68,25$; $s(5) = 120$.

2) Чтобы найти значение аргумента $t$ по заданному значению функции $s$, нужно подставить значение $s$ в формулу и решить полученное квадратное уравнение.

Если $s = 210$, получаем уравнение:

$3t^2 + 9t = 210$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем его к стандартному виду $at^2+bt+c=0$:

$3t^2 + 9t - 210 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$t^2 + 3t - 70 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Если $s = 120$, получаем уравнение:

$3t^2 + 9t = 120$

$3t^2 + 9t - 120 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$t^2 + 3t - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: если $s = 210$, то $t=7$ или $t=-10$; если $s = 120$, то $t=5$ или $t=-8$.

2.4. Функция задана формулой $s = 1.5t^2 + 6t$. Найдите:

1) $s(0,4)$; $s(1,6)$; $s(4)$; $s(6)$;

2) $t$, если $s = 18$; $s = 72$.

Дана функция, заданная формулой $s = 1.5t^2 + 6t$.

1) s(0,4); s(1,6); s(4); s(6)

Для нахождения значений функции $s$ при заданных значениях аргумента $t$, необходимо подставить эти значения в исходную формулу.

При $t = 0.4$:

$s(0.4) = 1.5 \cdot (0.4)^2 + 6 \cdot 0.4 = 1.5 \cdot 0.16 + 2.4 = 0.24 + 2.4 = 2.64$.

При $t = 1.6$:

$s(1.6) = 1.5 \cdot (1.6)^2 + 6 \cdot 1.6 = 1.5 \cdot 2.56 + 9.6 = 3.84 + 9.6 = 13.44$.

При $t = 4$:

$s(4) = 1.5 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 = 1.5 \cdot 16 + 24 = 24 + 24 = 48$.

При $t = 6$:

$s(6) = 1.5 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6 = 1.5 \cdot 36 + 36 = 54 + 36 = 90$.

Ответ: $s(0.4) = 2.64$; $s(1.6) = 13.44$; $s(4) = 48$; $s(6) = 90$.

2) t, если s = 18; s = 72

Для нахождения значения $t$, при котором $s$ принимает заданное значение, необходимо подставить значение $s$ в формулу и решить полученное квадратное уравнение относительно $t$. В контексте подобных задач, если не указано иное, переменная $t$ (время) считается неотрицательной ($t \ge 0$).

Найдём $t$, если $s = 18$:

$1.5t^2 + 6t = 18$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$1.5t^2 + 6t - 18 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:

$3t^2 + 12t - 36 = 0$

Теперь разделим обе части на 3:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-4$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-6$.

$t_1 = 2$, $t_2 = -6$.

Так как $t \ge 0$, выбираем положительный корень $t = 2$.

Найдём $t$, если $s = 72$:

$1.5t^2 + 6t = 72$

$1.5t^2 + 6t - 72 = 0$

Умножим обе части на 2:

$3t^2 + 12t - 144 = 0$

Разделим обе части на 3:

$t^2 + 4t - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 16 + 192 = 208$

Корни уравнения находятся по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{208}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 13}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{13}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{13}$

Получаем два корня: $t_1 = -2 + 2\sqrt{13}$ и $t_2 = -2 - 2\sqrt{13}$.

Корень $t_2 = -2 - 2\sqrt{13}$ является отрицательным. Корень $t_1 = -2 + 2\sqrt{13}$ является положительным, так как $2\sqrt{13} = \sqrt{52}$, а $\sqrt{52} > \sqrt{4} = 2$.

Так как $t \ge 0$, выбираем положительный корень $t = -2 + 2\sqrt{13}$.

Ответ: при $s = 18$, $t = 2$; при $s = 72$, $t = -2 + 2\sqrt{13}$.

2.5. Используя график функции, изображенный на рисунке 2.5, найдите:

1) область определения;

2) множество значений;

3) точку пересечения с осью ординат;

4) промежутки знакопостоянства.

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.5

1) 1) область определения: Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Из графика видно, что он состоит из кривой, определённой на отрезке $[-3, 1]$, и изолированной точки $(-2, 5)$. Так как $x=-2$ принадлежит отрезку $[-3, 1]$, область определения функции совпадает с этим отрезком.

Ответ: $D(y) = [-3, 1]$.

2) множество значений: Множество значений функции $E(y)$ — это множество всех значений $y$, которые функция принимает. Кривая на графике принимает значения от 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$) до 4 (в вершине при $x=-1$). Значения $y$ для кривой образуют отрезок $[0, 4]$. Изолированная точка $(-2, 5)$ добавляет к множеству значений число 5. Таким образом, общее множество значений является объединением этих значений.

Ответ: $E(y) = [0, 4] \cup \{5\}$.

3) точку пересечения с осью ординат: Это точка, в которой график пересекает ось $y$, то есть точка с абсциссой $x=0$. Из графика видно, что при $x=0$ функция принимает значение $y=3$.

Ответ: $(0, 3)$.

4) промежутки знакопостоянства: Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

• $y > 0$: Функция положительна, когда ее график находится выше оси $x$. Кривая находится выше оси $x$ на интервале $(-3, 1)$. Изолированная точка $(-2, 5)$ также имеет положительную ординату. Таким образом, функция положительна на всем интервале $(-3, 1)$.
• $y < 0$: Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси $x$. Весь график расположен выше или на оси $x$, поэтому таких промежутков нет.

2) 1) область определения: График функции существует при всех значениях $x$. В точке $x=3$ значение функции определено и равно 2 (сплошная точка), в то время как точка $(3, -2)$ выколота. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2) множество значений: График функции $y=|x-3|-2$ имеет минимальное значение -2, но точка $(3, -2)$ выколота. Следовательно, значения $y$ стремятся к -2, но не достигают его. Все значения больше -2 достигаются. Изолированная точка $(3, 2)$ дает значение $y=2$, которое уже входит в промежуток $(-2, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-2, +\infty)$.

3) точку пересечения с осью ординат: При $x=0$ значение функции равно $y = |0-3|-2 = 3-2=1$. Точка пересечения с осью $y$ соответствует показаниям на графике.

Ответ: $(0, 1)$.

4) промежутки знакопостоянства:

• $y > 0$: Решаем неравенство $|x-3|-2 > 0$, что эквивалентно $|x-3| > 2$. Это дает $x-3 > 2$ или $x-3 < -2$, откуда $x > 5$ или $x < 1$. Также в точке $x=3$ значение $y=2>0$, но это изолированная точка, а не промежуток.
• $y < 0$: Решаем неравенство $|x-3|-2 < 0$, что эквивалентно $|x-3| < 2$. Это дает $-2 < x-3 < 2$, откуда $1 < x < 5$. Однако, мы должны исключить точку $x=3$, так как в ней $y=2>0$.

3) Примечание: График в точке $x=0$ изображен неоднозначно. Предполагается, что точка $(0,3)$ принадлежит графику (закрашена), а точка $(0,5)$ — нет (выколота), чтобы выполнялось определение функции.

1) область определения: Функция определена на трех участках: от $x=-3$ до $x=0$ включительно, от $x=0$ до $x=4$ включительно (но $x=0$ исключен по предположению), и от $x=4$ до $x=7$ включительно (но $x=4$ исключен, так как точка $(4,-1)$ выколота). Таким образом, область определения — это объединение $[-3, 0]$, $(0, 4]$ и $(4, 7]$, что составляет отрезок $[-3, 7]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 7]$.

2) множество значений:

• На отрезке $[-3, 0]$ значения $y$ изменяются от 0 до 3, то есть $y \in [0, 3]$.
• На промежутке $(0, 4]$ значения $y$ изменяются от 1 (включительно) до 5 (не включительно), то есть $y \in [1, 5)$.
• На промежутке $(4, 7]$ значения $y$ изменяются от -1 (не включительно) до 2 (включительно), то есть $y \in (-1, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-1, 5)$.

3) точку пересечения с осью ординат: Согласно сделанному предположению, при $x=0$ значение функции $y=3$.

Ответ: $(0, 3)$.

4) промежутки знакопостоянства: Нули функции находятся в точках $x=-3$ и $x=5$.

• $y > 0$: На $(-3, 0]$, на $(0, 4]$ и на $(5, 7]$. Объединяя, получаем $x \in (-3, 4] \cup (5, 7]$.
• $y < 0$: На промежутке $(4, 7]$ функция $y = x-5$ отрицательна при $x < 5$. Таким образом, $y < 0$ на интервале $(4, 5)$.

4) 1) область определения: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=2$. В этой точке функция не определена. Во всех остальных точках функция определена.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2) множество значений: График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$. Это означает, что функция принимает все значения, кроме $y=1$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3) точку пересечения с осью ординат: График проходит через начало координат, поэтому точка пересечения с осью $y$ (и с осью $x$) — это точка $(0,0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) промежутки знакопостоянства: Нуль функции находится в точке $x=0$.

• $y > 0$: График находится выше оси $x$ при $x < 0$ и при $x > 2$.
• $y < 0$: График находится ниже оси $x$ при $0 < x < 2$.

2.6. Функция $y = f(x)$ определена на числовом отрезке $[a; b]$ и задана таблицей. Используя данные из таблиц 4–7, напишите формулу функции. Постройте ее график.

Таблица 4

1) x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Таблица 5

2) x: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5, 2

Таблица 6

3) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2

y: 9, 2, -3, -6, -7, -6, -3

Таблица 7

4) x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

y: 10, 5, 2, 1, 2, 5, 10

1) Проанализируем данные из таблицы 4. Заметим, что при увеличении значения $x$ на 1, значение $y$ также увеличивается на 1. Это указывает на линейную зависимость вида $y = kx + b$.

Найдем угловой коэффициент (скорость изменения функции) $k$, используя две любые точки, например, (0, -2) и (1, -1):

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-2)}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Теперь формула имеет вид $y = 1 \cdot x + b$ или $y = x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$ (смещение по оси y), подставим в формулу любую точку из таблицы, например, (0, -2):

$-2 = 0 + b$, откуда $b = -2$.

Таким образом, формула функции: $y = x - 2$. Проверим ее для другой точки, например, (4, 2): $2 = 4 - 2$, что является верным равенством.

Графиком данной функции на отрезке $[0; 6]$ является отрезок прямой линии, проходящий через точки (0, -2) и (6, 4).

Ответ: формула функции $y = x - 2$. Графиком является отрезок прямой.

2) Рассмотрим данные из таблицы 5. Заметим, что при увеличении значения $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 0,5. Это также указывает на линейную зависимость $y = kx + b$.

Найдем угловой коэффициент $k$, используя точки (-2, -1) и (-1, -0,5):

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-0,5 - (-1)}{-1 - (-2)} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

Формула принимает вид $y = 0,5x + b$.

Для нахождения $b$ используем точку (0, 0) из таблицы:

$0 = 0,5 \cdot 0 + b$, откуда $b = 0$.

Следовательно, формула функции: $y = 0,5x$ или $y = \frac{1}{2}x$. Проверим ее для точки (4, 2): $2 = 0,5 \cdot 4$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-2; 4]$ является отрезок прямой, проходящий через начало координат (0, 0) и, например, точку (4, 2).

Ответ: формула функции $y = 0,5x$. Графиком является отрезок прямой.

3) Проанализируем данные из таблицы 6. Изменение $y$ при изменении $x$ на 1 не является постоянным, следовательно, функция нелинейная. Проверим, не является ли она квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$). Для этого вычислим первые и вторые разности для $y$.

Первые разности: $2-9=-7$; $-3-2=-5$; $-6-(-3)=-3$; $-7-(-6)=-1$; $-6-(-7)=1$; $-3-(-6)=3$.

Вторые разности: $-5-(-7)=2$; $-3-(-5)=2$; $-1-(-3)=2$; $1-(-1)=2$; $3-1=2$.

Поскольку вторые разности постоянны и равны 2, функция является квадратичной. Коэффициент $a$ можно найти по формуле $a = \frac{\text{вторая разность}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Формула имеет вид $y = x^2 + bx + c$.

Из таблицы видно, что при $x=0, y=-7$. Это значение соответствует коэффициенту $c$. Таким образом, $c = -7$.

Теперь формула выглядит так: $y = x^2 + bx - 7$. Чтобы найти $b$, подставим любую другую точку, например, (1, -6):

$-6 = 1^2 + b \cdot 1 - 7$

$-6 = 1 + b - 7$

$-6 = b - 6$, откуда $b=0$.

Итоговая формула функции: $y = x^2 - 7$. Проверим для точки (-4, 9): $9 = (-4)^2 - 7 = 16 - 7$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-4; 2]$ является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, -7).

Ответ: формула функции $y = x^2 - 7$. Графиком является часть параболы.

4) Рассмотрим данные из таблицы 7. Как и в предыдущем пункте, проверим, является ли функция квадратичной, вычислив разности.

Первые разности: $5-10=-5$; $2-5=-3$; $1-2=-1$; $2-1=1$; $5-2=3$; $10-5=5$.

Вторые разности: $-3-(-5)=2$; $-1-(-3)=2$; $1-(-1)=2$; $3-1=2$; $5-3=2$.

Вторые разности снова постоянны и равны 2, значит, это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентом $a = \frac{2}{2} = 1$.

Формула имеет вид $y = x^2 + bx + c$.

Из таблицы при $x=0, y=1$, следовательно, $c = 1$.

Формула принимает вид $y = x^2 + bx + 1$. Для нахождения $b$ подставим точку (1, 2):

$2 = 1^2 + b \cdot 1 + 1$

$2 = 1 + b + 1$

$2 = b + 2$, откуда $b=0$.

Итоговая формула функции: $y = x^2 + 1$. Проверим для точки (3, 10): $10 = 3^2 + 1 = 9 + 1$, что верно.

Графиком данной функции на отрезке $[-3; 3]$ является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 1).

Ответ: формула функции $y = x^2 + 1$. Графиком является часть параболы.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему уравнения $x^6 - 6x^5 - 11x^4 + x^3 - 11x^2 - 6x + 1 = 0$; $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 - 7x^2 - 4x + 3 = 0$ являются симметрическими?

Симметрическим (или возвратным) уравнением называется алгебраическое уравнение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, в котором коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны между собой. То есть, для любого $k$ от 0 до $n$ должно выполняться условие $a_k = a_{n-k}$.

Рассмотрим каждое из представленных уравнений на соответствие этому определению.

Уравнение $x^6 - 6x^5 - 11x^4 + x^3 - 11x^2 - 6x + 1 = 0$

Это уравнение 6-й степени ($n=6$). Проверим его коэффициенты на симметричность, сравнивая пары коэффициентов, равноудаленных от краев:

• Коэффициент при $x^6$ равен 1, и свободный член (коэффициент при $x^0$) тоже равен 1. Выполняется $a_6 = a_0 = 1$.

• Коэффициент при $x^5$ равен -6, и коэффициент при $x^1$ тоже равен -6. Выполняется $a_5 = a_1 = -6$.

• Коэффициент при $x^4$ равен -11, и коэффициент при $x^2$ тоже равен -11. Выполняется $a_4 = a_2 = -11$.

• Коэффициент при $x^3$ является центральным и симметричен сам себе.

Так как для всех коэффициентов выполняется условие $a_k = a_{6-k}$, данное уравнение является симметрическим.

Ответ: Уравнение является симметрическим, потому что его коэффициенты, стоящие на одинаковом расстоянии от начала и конца, попарно равны: $1, -6, -11, 1, -11, -6, 1$.

Уравнение $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 - 7x^2 - 4x + 3 = 0$

Это уравнение 5-й степени ($n=5$). Проверим его коэффициенты на симметричность:

• Коэффициент при $x^5$ равен 3, и свободный член (коэффициент при $x^0$) тоже равен 3. Выполняется $a_5 = a_0 = 3$.

• Коэффициент при $x^4$ равен -4, и коэффициент при $x^1$ тоже равен -4. Выполняется $a_4 = a_1 = -4$.

• Коэффициент при $x^3$ равен 7, а коэффициент при $x^2$ равен -7. Эти коэффициенты не равны ($a_3 \neq a_2$).

Поскольку не выполняется условие $a_k = a_{n-k}$ для всех коэффициентов, данное уравнение в том виде, как оно записано, не является симметрическим. Также оно не является и кососимметрическим (где должно выполняться условие $a_k = -a_{n-k}$), так как, например, $a_5 \neq -a_0$ ($3 \neq -3$).

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если бы уравнение имело вид $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 + 7x^2 - 4x + 3 = 0$, оно было бы симметрическим, так как тогда выполнялось бы равенство $a_3=a_2=7$.

Ответ: В приведенной записи уравнение не является симметрическим, так как его коэффициенты при $x^3$ и $x^2$ не равны ($7 \neq -7$). Вопрос сформулирован некорректно, вероятно, из-за опечатки в условии.