Страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23.8. Два стрелка целятся по мишеням. Вероятность попадания их в мишень, соответственно, равна 0,9 и 0,8. Стрелки по очереди производят по одному выстрелу. Случайная величина $X$ — это число попадания в цель. Напишите закон распределения этой случайной величины.

Для решения задачи определим основные события и их вероятности. Пусть событие $A$ — первый стрелок попал в мишень, и событие $B$ — второй стрелок попал в мишень. По условию задачи:

$P(A) = 0,9$

$P(B) = 0,8$

События, заключающиеся в промахе каждого стрелка, являются противоположными к событиям $A$ и $B$. Обозначим их как $\overline{A}$ и $\overline{B}$. Их вероятности равны:

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$

$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Случайная величина $X$ — это общее число попаданий. Так как стрелков двое и каждый делает по одному выстрелу, $X$ может принимать значения 0, 1 или 2. Выстрелы считаются независимыми событиями. Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. Расчет вероятности для $X=0$ (нет попаданий)

Событие $X=0$ наступает, когда оба стрелка промахиваются. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого стрелка:

$P(X=0) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02$

2. Расчет вероятности для $X=2$ (два попадания)

Событие $X=2$ наступает, когда оба стрелка попадают в цель. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка:

$P(X=2) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72$

3. Расчет вероятности для $X=1$ (одно попадание)

Событие $X=1$ наступает в одном из двух взаимоисключающих случаев:

• Первый стрелок попал, а второй промахнулся. Вероятность этого исхода: $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0,9 \cdot 0,2 = 0,18$
• Первый стрелок промахнулся, а второй попал. Вероятность этого исхода: $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$

Общая вероятность для $X=1$ равна сумме вероятностей этих двух случаев:

$P(X=1) = (0,9 \cdot 0,2) + (0,1 \cdot 0,8) = 0,18 + 0,08 = 0,26$

Для проверки правильности расчетов убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,02 + 0,26 + 0,72 = 1,00$

Расчеты верны.

Закон распределения случайной величины $X$ — это таблица, показывающая соответствие между возможными значениями величины и их вероятностями.

Ответ:

Закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид: