Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23.1. Имеется закон распределения случайной величины (табл. 15):

Таблица 15

Заполните таблицу, учитывая, что доли неизвестных вероятностей равны между собой.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо использовать основное свойство закона распределения дискретной случайной величины: сумма всех вероятностей $p_i$ для всех возможных исходов $x_i$ равна единице. Математически это выражается формулой: $ \sum p_i = 1 $.

В таблице указаны пять возможных значений случайной величины X: 4, 7, 10, 13 и 17. Вероятность для первого значения, $P(X=4)$, известна и составляет $0,05$. Остальные четыре вероятности для значений $X=7, 10, 13, 17$ неизвестны.

По условию задачи, все неизвестные вероятности равны между собой. Обозначим значение каждой из этих неизвестных вероятностей через $p$. Таким образом, мы имеем:

$P(X=7) = p$

$P(X=10) = p$

$P(X=13) = p$

$P(X=17) = p$

Теперь мы можем составить уравнение, применив свойство о сумме всех вероятностей:

$P(X=4) + P(X=7) + P(X=10) + P(X=13) + P(X=17) = 1$

Подставим известные значения и нашу переменную $p$ в это уравнение:

$0,05 + p + p + p + p = 1$

Это можно упростить до следующего вида:

$0,05 + 4p = 1$

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти значение $p$:

$4p = 1 - 0,05$

$4p = 0,95$

$p = \frac{0,95}{4}$

$p = 0,2375$

Таким образом, мы нашли, что каждая из неизвестных вероятностей равна 0,2375. Теперь можно заполнить всю таблицу.

Заполненная таблица распределения:

Ответ: Каждая из неизвестных вероятностей в законе распределения равна 0,2375.

23.2. В таблице 16 дан закон распределения случайной величины.

Таблица 16

X: 2, ?, ?, ?, ?, 12

P: 0,05, ?, ?, ?, ?, 0,05

Заполните таблицу, учитывая, что неизвестные значения случайной величины вместе с данными составляют арифметическую прогрессию, а доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам $1 : 3$, $5 : 3$, $5 : 1$.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно найти неизвестные значения случайной величины $X$ и неизвестные значения вероятностей $P$.

1. Нахождение неизвестных значений случайной величины X

Согласно условию, значения случайной величины $X$ (верхняя строка таблицы) образуют арифметическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии как $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$.Из таблицы нам известны первый и шестой члены прогрессии: $x_1 = 2$ и $x_6 = 12$.Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ – разность прогрессии.Применим эту формулу для $x_6$:$x_6 = x_1 + (6-1)d$Подставим известные значения и решим уравнение относительно $d$:$12 = 2 + 5d$$5d = 12 - 2$$5d = 10$$d = 2$Зная разность прогрессии, мы можем найти все неизвестные значения $X$:$x_2 = x_1 + d = 2 + 2 = 4$$x_3 = x_2 + d = 4 + 2 = 6$$x_4 = x_3 + d = 6 + 2 = 8$$x_5 = x_4 + d = 8 + 2 = 10$Таким образом, полный ряд значений случайной величины $X$: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

2. Нахождение неизвестных вероятностей P

Основное свойство закона распределения случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.В нашей таблице 6 вероятностей: $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$.Известны первая и последняя вероятности: $p_1 = 0.05$ и $p_6 = 0.05$.Найдем сумму четырех неизвестных вероятностей:$p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1 - (p_1 + p_6) = 1 - (0.05 + 0.05) = 1 - 0.1 = 0.9$.В условии сказано, что доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам "1 : 3, 5 : 3, 5 : 1". Наиболее вероятной является интерпретация этой записи как пропорции $1 : 3.5 : 3.5 : 1$.Пусть $k$ - коэффициент пропорциональности. Тогда неизвестные вероятности можно выразить как:$p_2 = 1 \cdot k = k$$p_3 = 3.5 \cdot k = 3.5k$$p_4 = 3.5 \cdot k = 3.5k$$p_5 = 1 \cdot k = k$Сумма этих вероятностей равна 0.9, составим уравнение:$k + 3.5k + 3.5k + k = 0.9$$(1 + 3.5 + 3.5 + 1)k = 0.9$$9k = 0.9$$k = 0.1$Теперь мы можем найти каждую неизвестную вероятность:$p_2 = k = 0.1$$p_3 = 3.5k = 3.5 \cdot 0.1 = 0.35$$p_4 = 3.5k = 3.5 \cdot 0.1 = 0.35$$p_5 = k = 0.1$Таким образом, полный ряд вероятностей $P$: 0.05, 0.10, 0.35, 0.35, 0.10, 0.05.

Ответ:

Заполненная таблица закона распределения случайной величины выглядит следующим образом:

23.3. Дана арифметическая прогрессия из четырех членов, причем значения средних членов равны 8 и 12. Составьте закон распределения случайной величины, если вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов.

Пусть данная арифметическая прогрессия $a_n$ состоит из четырех членов: $a_1, a_2, a_3, a_4$. Эти члены являются возможными значениями случайной величины $X$.

По условию задачи, значения средних членов равны $a_2 = 8$ и $a_3 = 12$. Разность арифметической прогрессии $d$ равна разнице между любыми двумя последовательными членами, поэтому:

$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.

Зная разность прогрессии, мы можем найти первый (крайний) член $a_1$ и четвертый (крайний) член $a_4$:

$a_1 = a_2 - d = 8 - 4 = 4$.

$a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Таким образом, возможные значения случайной величины $X$ — это члены прогрессии: $x_1=4$, $x_2=8$, $x_3=12$ и $x_4=16$.

Теперь найдем соответствующие им вероятности $p_1, p_2, p_3, p_4$. По условию, «вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов». Будем считать, что вероятности крайних членов равны между собой ($p_1 = p_4$), и вероятности средних членов также равны между собой ($p_2 = p_3$). Тогда условие можно записать как $p_2 = 4p_1$. Обозначим вероятность крайнего члена как $p$, то есть $p_1 = p_4 = p$. Тогда вероятность среднего члена будет $4p$, то есть $p_2 = p_3 = 4p$.

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$.

Подставим наши выражения для вероятностей в это уравнение:

$p + 4p + 4p + p = 1$

$10p = 1$

$p = \frac{1}{10} = 0,1$.

Теперь мы можем вычислить все вероятности:

$p_1 = p_4 = p = 0,1$.

$p_2 = p_3 = 4p = 4 \cdot 0,1 = 0,4$.

Для проверки сложим полученные вероятности: $0,1 + 0,4 + 0,4 + 0,1 = 1$. Сумма равна 1, следовательно, вероятности найдены верно.

Ответ:Закон распределения случайной величины $X$ имеет вид таблицы:

23.4. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,9. Составьте закон распределения числа попаданий.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая число попаданий в мишень. Стрелок производит $n=3$ независимых выстрела, поэтому случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$.

Вероятность попадания при одном выстреле (событие "успех") составляет $p = 0,9$.

Соответственно, вероятность промаха (событие "неудача") составляет $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Поскольку выстрелы являются независимыми испытаниями, для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из $n$ по $k$.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Вероятность того, что попаданий не будет ($k=0$):

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,9)^0 \cdot (0,1)^3 = \frac{3!}{0!3!} \cdot 1 \cdot 0,001 = 1 \cdot 1 \cdot 0,001 = 0,001$.

Вероятность того, что будет ровно одно попадание ($k=1$):

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,9)^1 \cdot (0,1)^2 = \frac{3!}{1!2!} \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027$.

Вероятность того, что будет ровно два попадания ($k=2$):

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,9)^2 \cdot (0,1)^1 = \frac{3!}{2!1!} \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243$.

Вероятность того, что все три выстрела будут удачными ($k=3$):

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^0 = \frac{3!}{3!0!} \cdot 0,729 \cdot 1 = 1 \cdot 0,729 \cdot 1 = 0,729$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1$.

Закон распределения представляет собой соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Ответ: Закон распределения числа попаданий $X$ задается следующим рядом распределения:

при $X=0$ вероятность $P=0,001$;

при $X=1$ вероятность $P=0,027$;

при $X=2$ вероятность $P=0,243$;

при $X=3$ вероятность $P=0,729$.

23.5. Стрелок, имеющий четыре патрона, производит выстрелы до попадания в цель. Вероятность попадания в цель — 0,6. Напишите закон расположения потраченных стрелком патронов для попадания в цель.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству потраченных стрелком патронов. Стрелок производит выстрелы до первого попадания, но у него есть ограничение в 4 патрона. Таким образом, случайная величина $X$ может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4.

Из условия задачи известна вероятность попадания в цель при одном выстреле: $p = 0.6$.

Следовательно, вероятность промаха при одном выстреле составляет: $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. Событие $X=1$: Потрачен 1 патрон.

Это означает, что стрелок попал в цель с первого же выстрела. Вероятность этого события равна:$P(X=1) = p = 0.6$

2. Событие $X=2$: Потрачено 2 патрона.

Это означает, что первый выстрел был промахом, а второй — попаданием. Вероятность такой последовательности событий равна произведению вероятностей:$P(X=2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$

3. Событие $X=3$: Потрачено 3 патрона.

Это означает, что первые два выстрела были промахами, а третий — попаданием. Вероятность этого события:$P(X=3) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$

4. Событие $X=4$: Потрачено 4 патрона.

Это событие наступает, если первые три выстрела были промахами. В этом случае стрелок делает четвертый выстрел, который является последним, и стрельба прекращается независимо от его исхода (попадание или промах). Таким образом, для того чтобы было потрачено 4 патрона, необходимо и достаточно, чтобы первые три выстрела были промахами. Вероятность этого события:$P(X=4) = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0.4)^3 = 0.064$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна единице:$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.6 + 0.24 + 0.096 + 0.064 = 1.0$Сумма вероятностей равна 1, что подтверждает корректность расчетов.

Закон распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, которая сопоставляет все возможные значения $X$ с их вероятностями.

Ответ:

Закон распределения потраченных стрелком патронов имеет следующий вид:

23.6. Продано 100 лотерейных билетов, причем один билет обеспечивает выигрыш владельцу 500 тенге, десять билетов — по 100 тенге, 50 билетов — по 50 тенге, а остальные билеты безвыигрышные.

Составьте закон распределения выигрыша для владельца одного билета.

Пусть $X$ — случайная величина, обозначающая размер выигрыша по одному лотерейному билету. Для того чтобы составить закон распределения этой величины, необходимо определить все возможные значения, которые она может принимать, и вычислить вероятности каждого из этих значений.

Общее количество проданных билетов $N = 100$.

Возможные значения выигрыша $X$: 500 тенге, 100 тенге, 50 тенге и 0 тенге (в случае безвыигрышного билета). Рассчитаем вероятности для каждого случая.

Вероятность выигрыша 500 тенге

В лотерее есть $n_1 = 1$ билет с выигрышем 500 тенге. Вероятность вытянуть именно этот билет равна:

$P(X=500) = p_1 = \frac{n_1}{N} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Вероятность выигрыша 100 тенге

Количество билетов с выигрышем 100 тенге составляет $n_2 = 10$. Вероятность выигрыша 100 тенге:

$p_2 = P(X=100) = \frac{n_2}{N} = \frac{10}{100} = 0.10$.

Вероятность выигрыша 50 тенге

Количество билетов с выигрышем 50 тенге составляет $n_3 = 50$. Вероятность выигрыша 50 тенге:

$p_3 = P(X=50) = \frac{n_3}{N} = \frac{50}{100} = 0.50$.

Вероятность отсутствия выигрыша (0 тенге)

Остальные билеты являются безвыигрышными. Найдем их количество.

Количество всех выигрышных билетов: $1 + 10 + 50 = 61$.

Количество безвыигрышных билетов: $n_4 = N - 61 = 100 - 61 = 39$.

Вероятность получить безвыигрышный билет:

$p_4 = P(X=0) = \frac{n_4}{N} = \frac{39}{100} = 0.39$.

Для контроля выполним проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0.01 + 0.10 + 0.50 + 0.39 = 1.00$.

Условие выполняется.

Теперь мы можем составить закон распределения случайной величины $X$, который представляет собой соответствие между возможными значениями величины и их вероятностями.

Ответ:

Закон распределения выигрыша для владельца одного билета представлен в виде следующей таблицы:

Выигрыш ($X_i$, тенге) | 500 | 100 | 50 | 0

Вероятность ($p_i$) | 0.01 | 0.10 | 0.50 | 0.39

23.7. Монета брошена один раз. Найдите закон распределения выпада-ния монеты стороной, на которой изображен герб.

Для нахождения закона распределения введем дискретную случайную величину $X$, которая соответствует количеству выпадений стороны с гербом при одном броске монеты.

Эта случайная величина может принимать два возможных значения:

$X = 1$, если монета выпала стороной с гербом.

$X = 0$, если монета выпала другой стороной (назовем ее решкой).

Будем считать, что монета является идеальной (симметричной). Это означает, что при одном броске существует два равновероятных исхода: "выпал герб" и "выпала решка".

Вероятность каждого из этих исходов равна $1/2$.

Следовательно, мы можем определить вероятности для каждого значения случайной величины $X$:

Вероятность того, что выпадет герб: $P(X=1) = 1/2$.

Вероятность того, что герб не выпадет (выпадет решка): $P(X=0) = 1/2$.

Закон распределения случайной величины — это соответствие между всеми ее возможными значениями и их вероятностями. Его принято представлять в виде таблицы. Сумма всех вероятностей в законе распределения должна равняться единице, что в нашем случае выполняется: $1/2 + 1/2 = 1$.

Таблица закона распределения для величины $X$ выглядит так:

Ответ: Закон распределения представлен таблицей выше: случайная величина, обозначающая выпадение герба, принимает значение 1 (герб выпал) с вероятностью $1/2$ и значение 0 (герб не выпал) с вероятностью $1/2$.